41
Elektrotechnika podstawowa
ROZDZIAA
3
E l e m e n t y o b w o d ó w p r ą d u s t a ł e g o
Na początku objaśniono konwencje strzałkowania prądu i napięcia w elementach obwodu oraz
przypomniano prawa fizyczne dotyczące obwodów elektrycznych.
Podstawowymi elementami obwodów prądu stałego są idealne z
ródła napięciowe i prądowe oraz
rezystory liniowe i rożnego rodzaju rezystory nieliniowe. Cechy elementów są wyrażane analitycz-
nie  wzorami, albo graficznie  poprzez charakterystyki statyczne prądowo-napięciowe lub napię-
ciowo-prądowe. Dla rezystorów nieliniowych definiuje się pojęcia rezystancji statycznej i dyna-
micznej.
Gałęzie obwodu pełnią role generatorów ( wydajników ) bądz
odbiorników mocy elektrycznej,
zależnie od zwrotów prądu i napięcia względem zacisków. Trzeba to mieć na uwadze przy sporzą-
dzaniu bilansu mocy obwodu.
Istotnych informacji dostarcza analiza prostych układów, utworzonych z idealnych elementów, a
mianowicie: rzeczywistego z
ródła napięciowego i rzeczywistego z
ródła prądowego (charakterysty-
ki, sprawność, dopasowanie), z
ródeł powstałych z połączenia kilku z
ródeł (parametry z
ródeł za-
stępczych), linii zasilającej odbiornik (spadek napięcia, strata mocy), dzielnika napięcia i dzielnika
prądu (reguły podziału).
Możliwe są zamiany rzeczywistych z
ródeł  napięciowego na prądowe albo prądowego na napię-
ciowe, przy czym jest to zabiegi czysto obliczeniowe, dotyczące równoważności wielkości zaci-
skowych (napięć oraz prądów na zaciskach).
42
Elektrotechnika podstawowa
Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 3
C pojemność elektryczna
e napięcie z
ródłowe
E stałe napięcie z
ródłowe
G konduktancja (przewodność elektryczna)
Gw konduktancja wewnętrzna z
ródła prądowego
i prÄ…d
igen prÄ…d  generatorowy
iodb prÄ…d  odbiornikowy
I prąd stały
Igen stały prąd  generatorowy
Iodb stały prąd  odbiornikowy
Iz prąd zwarcia gałęzi aktywnej (z
ródła)
Iz
r prÄ…d z
ródłowy
"I zmiana (przyrost) prÄ…du
l długość przewodu
L indukcyjność
p moc
pgen moc  generatorowa
podb moc  odbiornikowa
P stała moc
Pgen stała moc  generatorowa
Podb stała moc  odbiornikowa
"P strata mocy w z
ródle lub linii prądu stałego
"p% procentowa strata mocy w linii prądu stałego
R rezystancja (opór elektryczny)
Rdyn rezystancja dynamiczna (różniczkowa)
RL rezystancja linii
Rs rezystancja statyczna
Rw rezystancja wewnętrzna z
ródła napięciowego
S pole przekroju przewodu linii
t czas
u napięcie
ugen napięcie  generatorowe
uodb napięcie  odbiornikowe
U napięcie stałe
Ugen stałe napięcie  generatorowe
Uodb stałe napięcie  odbiornikowe
U0 napięcie stanu jałowego
"U zmiana (przyrost) napięcia; spadek napięcia w linii prądu stałego
"u% procentowy spadek napięcia w linii prądu stałego
x odległość (od początku linii)
ł przewodność właściwa (konduktywność) przewodu
· sprawność
Literatura do rozdziału 3
[1], [2], [4], [6]
43
3. Elementy obwodów prądu stałego
Wykład V. ELEMENTY UKA
ADÓW I OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH
Podstawowe elementy funkcjonalne i schemat obwodu elektrycznego
Obwód elektryczny jest zbiorem elementów, połączonych ze sobą przewodami w taki sposób, że
możliwy jest przepływ prądu elektrycznego. Obwody elektryczne można przedstawiać na dwa spo-
soby  w tzw. ujęciach: zaciskowym i sieciowym.
Elementami obwodu w ujęciu zaciskowym są struktury o określonej liczbie zacisków: dwójniki,
trójniki, czwórniki, wielobiegunniki, wielowrotniki. Właściwości elementów obwodu są opisywane
przez zależności między ich wielkościami zaciskowymi, tj. prądami i napięciami wybranych par
zacisków. Struktury wewnętrzne elementów obwodu mają znaczenie drugorzędne, mówiąc poglą-
dowo: stanowiÄ…  czarne skrzynki .
Elementami obwodu w ujęciu sieciowym są struktury tworzone w określony sposób z elementów
podstawowych, którymi są: idealne z
ródła napięciowe, idealne z
ródła prądowe, rezystancje, pojem-
ności i indukcyjności. y
ródła to główny czynnik motoryczny w obwodzie (wymuszający ruch ła-
dunków elektrycznych). Rezystancje to elementy rozpraszające energię. Pojemności i indukcyjno-
ści to elementy magazynujące energię (w polu elektrycznym kondensatorów oraz w polu magne-
tycznym cewek indukcyjnych). Terminy: dwójniki i trójniki, występują również w ujęciu sieciowym
jako nazwy układów o 2 i 3 zaciskach. Wymienione elementy podstawowe to najprostsze dwójniki.
Równania wiążące napięcie i prąd elementów podstawowych: rezystancji R, pojemności C i induk-
cyjności L (definicja indukcyjności będzie podana póz
niej), są następujące:
iC C
iL L
iR R
duC diL
uR = R Å" iR iC = C Å" uL = L Å"
uR uC
uL
dt dt
Stałe wartości parametrów R, C i L znamionują elementy liniowe. Obiekty zbudowane z elementów
skupionych, liniowych i stacjonarnych tworzą klasę układów SLS, których badaniu poświęcona jest
zasadnicza część teorii obwodów.
R L C
Odwzorowaniem struktury połączeń elementów występujących
w obwodzie elektrycznym jest schemat elektryczny (rys. obok).
e(t)
Elementy przedstawia się używając ustalonych normami sym-
boli graficznych i literowych . Linie między elementami traktu-
Obwód z połączonymi szeregowo:
je się jako połączenia bezoporowe  o ile nie symbolizują
z
ródłem napięciowym e(t)
umownie jakichś elementów, opisanych symbolami literowymi
i elementami pasywnymi R, L, C
lub danymi liczbowymi (uproszczenie wyższego stopnia).
Elementy aktywne i pasywne. Strzałkowanie generatorowe i odbiornikowe
Elementy obwodu dzielą się na aktywne i pasywne. Ogólnie, przez aktywność bądz
pasywność ele-
mentu rozumie się jego zdolność bądz
niezdolność do wydania energii elektrycznej większej od
pobranej w przeszłości. Chodzi o bilans energii elementu względem reszty obwodu w długim prze-
dziale czasu. Podział elementów obwodu elektrycznego na aktywne i pasywne nie przesądza więc o
tym, czy  w pewnej chwili  dany element wydaje energię elektryczną do obwodu, czy też ją z
niego pobiera. W określonej sytuacji, element aktywny może z obwodu energię pobierać, a element
pasywny (nie każdy, co prawda, i tylko w ograniczonym czasie) może zwracać do obwodu energię
wcześniej z niego pobraną. Elementy magazynujące nie mogą jednak dostarczyć do obwodu energii
większej od tej, jaką wcześniej z niego przejęły, więc zalicza się je do elementów pasywnych.
y
ródła wytwarzają energię elektryczną poprzez zamianę na nią różnego rodzaju nieelektrycznych
nośników energii ewentualnie energii elektrycznej o innych parametrach. y
ródła czerpią energię z
otoczenia i oddają do obwodu, ale w określonych konfiguracjach mogą też energię z obwodu elek-
trycznego pobierać a oddawać do otoczenia (procesy przemian energii przebiegają wtedy w prze-
ciwnym kierunku, ale nie muszą być zwierciadlanym odbiciem cyklu wytwarzania energii elek-
44
Wykład V
trycznej). Jeśli ta  odwrotna sytuacja jest normalnym stanem pracy elementu aktywnego, to wtedy
nazywa siÄ™ go odbiornikiem aktywnym.
Przejmowanie energii ruchu ładunków zachodzi w rezystancjach, gdzie jest ona w całości rozpra-
szana po zamianie na ciepło (wyłączając z rozważań procesy elektrochemiczne, w których zasadni-
cza część pobranej energii powiększa energię chemiczną elementu), oraz w pojemnościach, gdzie
pobrana energia gromadzi się w polu elektrycznym, i w indukcyjnościach, gdzie gromadzi się w
polu magnetycznym. Energia zmagazynowana w pojemności lub indukcyjności uczestniczy czyn-
nie w dalszych przemianach, stosownie do zmian zachodzÄ…cych w obwodzie.
Rola generatora ( wydajnika ) bÄ…dz
odbiornika mo-
a) b)
cy elektrycznej, przypisana elementowi lub układo-
Generator Odbiornik
wi, znajduje wyraz w odpowiednim strzałkowaniu
mocy mocy
prądu i napięcia na zaciskach. Jeśli poprzez zaciski
moc jest wydawana do obwodu, to stosuje się strzał-
pgen podb
kowanie generatorowe (rys. a), jeśli natomiast moc
igen iodb
jest poprzez zaciski pobierana, to stosuje się strzał-
ugen uodb
kowanie odbiornikowe (rys. b).
Formalnie, każdy element obwodu może być odbiornikiem lub generatorem energii (mocy) elek-
trycznej. Zależy to jedynie od konwencji strzałkowania prądu i napięcia: generatorowego  o zgod-
nych zwrotach tych wielkości, albo odbiornikowego  o zwrotach przeciwnych. Jeśli zastosowane
strzałkowanie nie odpowiada rzeczywistej sytuacji, to iloczyn wielkości zaciskowych ma ujemną
wartość, a więc moc (odpowiednio  wydawana lub oddawana) jest ujemna.
Elementy struktury obwodów elektrycznych. Prawa Kirchhoffa
Strukturę geometryczną obwodów elektrycznych opisuje się (w ujęciu sieciowym) za pomocą ta-
kich terminów, jak: gałąz
, węzeł, rodzaj połączenia, oczko. Ponieważ są to pojęcia znane z fizyki,
wystarczy krótkie przypomnienie.
Gałąz
jest elementem dwukońcówkowym (dwuzaciskowym). W  środku jej może się znajdować
dowolna liczba różnych elementów podstawowych. Gałąz
jest dwójnikiem. Najprostszymi gałęzia-
mi są rezystancje, pojemności i indukcyjności oraz idealne z
ródło napięciowe. Idealne z
ródło prądowe
nie tworzy samo gałęzi (bo przy prądzie z
ródłowym równym zero stanowi przerwę w obwodzie).
Węzeł jest elektrycznym połączeniem końcówek więcej niż dwóch gałęzi. Prądy tych gałęzi speł-
niają I (prądowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna prądów zbiegających się w
dowolnym węz
le obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem ogólnym dla wartości chwi-
lowych:
n
= 0 , (3.1)
"ik
k=1
i1
i5
gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem  + , a od-
pływające ze znakiem    ; indeksy: n  liczba gałęzi zbiegających się
i2
i4 w węz
le, k  nr gałęzi zbiegającej się w węz
le (k = 1, ... , n).
i3
Przykład. Równanie prądów w węz
le przedstawionym obok na rysun-
ku, wyraża się następująco: i1-i2 + i3 - i4 + i5 = 0 .
Szeregowe połączenie gałęzi cechuje się tym, że w każdej z gałęzi płynie ten sam prąd, a napięcia
występujące na poszczególnych gałęziach dodają się.
Równoległe połączenie gałęzi cechuje się tym, że każda z gałęzi jest pod tym samym napięciem, a
prądy płynące w poszczególnych gałęziach dodają się.
Kombinacje połączeń szeregowych i równoległych określa się jako mieszane połączenia gałęzi.
Oczko jest utworzoną przez gałęzie, zamkniętą drogą dla prądu, przy czym usunięcie którejkolwiek
z gałęzi powoduje przerwanie tej drogi. Napięcia występujące na elementach gałęzi tworzących
45
3. Elementy obwodów prądu stałego
oczko spełniają II (napięciowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna napięć z
ró-
dłowych i odbiornikowych w dowolnym oczku obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem
dla wartości chwilowych:
n n
+ = 0 , (3.2)
"ek "uk
i5
k=1 k=1
R1
L5
gdzie napięcia z
ródeł są strzałkowane generatorowo,
i1
C5
a elementów pasywnych  odbiornikowo (względem
u1
u5
założonych zwrotów prądów); sumowanie napięć
i2
i4
jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.
R2 napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu
u4
R4 oczka są pisane ze znakiem  + , a zwrócone prze-
u2
L2
ciwnie do zwrotu obiegu oczka  ze znakiem    ;
indeksy: n  liczba gałęzi tworzących oczko, k  nr
u3
e4
e2
gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n).
Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawio-
C3
L3
i3 R3
nym obok na rysunku, wyraża się następująco:
- e2 + e4 + u1 + u2 + u3 - u4 - u5 = 0 .
Obwód elektryczny musi zawierać co najmniej jedno oczko. Obwód zawierający jedno oczko na-
zywa się obwodem nierozgałęzionym, a zawierający więcej niż jedno oczko  obwodem rozgałęzio-
nym lub sieciÄ… elektrycznÄ….
Bilans mocy obwodu elektrycznego (zasada Tellegena)
Ze spełnienia w obwodzie obu praw Kirchhoffa wynika zasada Tellegena. Mówi ona, że moce od-
dawane i moce pobierane przez wszystkie elementy obwodu muszą się bilansować. Można to wyra-
zić wzorem ogólnym dla wartości chwilowych:
n n
Å"ik.gen = Å"ik.odb , (3.3a)
"uk.gen "uk.odb
k=1 k=1
gdzie elementy, stosownie do ich charakteru, strzałkuje się generatorowo bądz
odbiornikowo, a
wielkości ich dotyczące umieszcza, odpowiednio, po lewej lub prawej stronie równania (konwencja
mieszana); indeksy: n  liczba elementów występujących się w obwodzie, k  nr elementu
(k = 1, ... , n).
Dla ujednolicenia procedury sporządzania bilansu mocy przyjmuje się często tę samą konwencję
strzałkowania prądu i napięcia każdego elementu, co powoduje, że moce elementów o różnym cha-
rakterze mają różne znaki, ale bilans mocy wyraża się prościej. Jeśli wszystkie elementy obwodu są
traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa), to bilans mocy zapisuje się następująco:
n
Å"ik.odb = 0 . (3.3b)
"uk.odb
k=1
Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako aktywne (konwencja generatorowa), to bilans
mocy przyjmuje postać:
n
Å"ik.gen = 0 . (3.3c)
"uk.gen
k=1
Elementami mogą być całe gałęzie oraz z
ródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi.
Pojęcie obwodu prądu stałego
Obwód elektryczny, w którym wartości prądu wszystkich elementów i wartości napięcia na wszyst-
kich elementach są niezmienne w czasie, a przy tym nie są wszystkie równe zeru, nazywa się ob-
wodem prądu stałego. Jest to ścisła definicja tego pojęcia i w tym rozumieniu będzie ono tu używane.
46
Wykład V
Warto zaznaczyć, że nieformalnie używa się pojęcia obwodu prądu stałego także w szerszym zna-
czeniu, obejmującym dodatkowo, oprócz stanów ustalonych, stany przejściowe układów zawierają-
cych pojemności i indukcyjności, przy wymuszeniach stałoprądowych. Określenie  stan przejścio-
wy obwodu prądu stałego zawiera jednak sprzeczność terminologiczną, ponieważ obwód prądu
stałego znajduje się zawsze w stanie ustalonym (poprawnie sformułowanym określeniem jest w tym
wypadku  stan przejściowy obwodu ze z
ródłami stałoprądowymi ).
Prądy i napięcia elementów obwodu prądu stałego są zatem stałe, tj. niezmienne w czasie, co za-
znacza się pisząc symbole wielkimi literami: U, I. Wszystkie elementy obwodu prądu stałego znaj-
dujÄ… siÄ™ w stanie stacjonarnym.
Pojemności i indukcyjności, odwzorowujące określone właściwości struktury przestrzennej bada-
nego obiektu, nie mają wpływu na stan pracy obwodu prądu stałego. Energia zakumulowana w ele-
mentach układu jest wynikiem procesów przejściowych, poprzedzających osiągnięcie stanu ustalo-
nego  przedmiotu aktualnych rozważań.
W stanie ustalonym nie płyną prądy ładowania pojem- a)
iC = 0 C
(rozwarcie)
ności (rys. a) i nie występują napięcia na indukcyjno-
a"
ściach (rys. b). Nie ma więc potrzeby umieszczania tych
elementów na schematach obwodów prądu stałego (po- b)
L
(zwarcie)
jemność stanowi tu przerwę, a indukcyjność  zwarcie
a"
końców). Jedynymi elementami pasywnymi, występują-
uL = 0
cymi na schematach tych obwodów, są rezystancje.
Podstawowe elementy gałęzi obwodów prądu stałego
Omawiane obwody prądu stałego będą się składać z gałęzi, zbudowanych z rezystancji (konduktan-
cji) oraz idealnych z
ródeł prądu stałego  napięciowych (o stałej wartości napięcia) i prądowych (o
stałej wartości prądu). Znane będą przy tym relacje, jakie zachodzą między wartościami napięcia U
i prądu I tych elementów.
Zależność U od I nazywa się charakterystyką statyczną prądowo-napięciową U(I) elementu, a za-
leżność I od U  jego charakterystyką statyczną napięciowo-prądową I(U). Przydomek  statyczna
oznacza, że chodzi o wielkości stałe w czasie. Analogiczne zależności dla wielkości zmiennych w
czasie (u, i  pisane małymi literami): u(i) lub i(u), dotyczące tych samych obiektów fizycznych,
mogą się znacznie różnić od charakterystyk statycznych.
Obok przedstawiono symbole oraz cha-
a) b)
rakterystyki statyczne prÄ…dowo-napiÄ™-
U I
I
ciowe idealnych z
ródeł: napięciowego I
U U
(rys. a) i prÄ…dowego (rys. b), oraz rezy- Iz
r
E
Iz
r
E
I
U
storów: liniowego (rys. c) i nieliniowego
0
0
(rys. d). Napięcie i prąd są tu strzałko-
wane w normalny sposób: przy z
ródłach
c) d)
 zgodnie (generatorowo), przy rezysto-
U U
rach  przeciwnie (odbiornikowo). y
ró- I I
I
U U
dła: napięciowe przy I < 0 i prądowe
I
R
0
przy U < 0, stajÄ… siÄ™ odbiornikami ak-
0
tywnymi.
Charakterystyka U(I) rezystora liniowego jest funkcjÄ… liniowÄ… U = R Å" I , gdzie R  rezystancja.
Pokazana wyżej charakterystyka rezystora
U U U
nieliniowego (jednoznaczna niesymetryczna)
I
jest funkcjÄ… nieliniowÄ…. Charakterystyki ele-
I
I
mentów nieliniowych nie zawsze są funkcjami 0
0
0
(przykładowe wykresy  na rysunku obok).
47
3. Elementy obwodów prądu stałego
Rezystancja statyczna i dynamiczna. Obwód nieliniowy prądu stałego
Poszczególnym punktom (I, U) nieliniowych, nie zawierających
U
pętli histerezy, charakterystyk statycznych rezystorów (rys.
(Rdyn2<0)
obok) można przyporządkować wartości rezystancji statycznej
(Rs2)
Rs i rezystancji dynamicznej (różniczkowej) Rdyn :
2
(Rs1)
U dU
Rs = , Rdyn = . (3.4a, b)
1
I dI
W przypadku rezystorów liniowych  rezystancja statyczna i re-
(Rdyn1>0)
I
zystancja dynamiczna, określone jw., znaczą to samo i mają tę
0
samą wartość R (rezystancji) w każdym punkcie charakterystyki.
Rezystancja statyczna rezystorów (fizycznych, rzeczywistych) ma wartości dodatnie, natomiast
rezystancja dynamiczna może przyjmować również wartości ujemne. Mówi się w związku z tym o
dodatnim  dla Rdyn > 0, i ujemnym  dla Rdyn < 0, nachyleniu charakterystyki w określonych prze-
działach wartości prądu i napięcia.
Dla ustalonych (quasi-ustalonych) zmian napięcia "U i prądu
U
"I, zachodzących w otoczeniu ustalonych wartości Uo i Io (rys.
"U
obok) i mieszczÄ…cych siÄ™ w zakresie ujemnego nachylenia cha-
"I
U0 rakterystyki U (I), można podać przybliżoną zależność liniową
0
"U = - R Å" "I , (3.5)
I
gdzie ôÅ‚R ôÅ‚ jest rezystancjÄ… ujemnego oporu elementu w ogra-
0 I0
niczonym zakresie zmian "U i "I.
Obwód prądu stałego zawierający przynajmniej jeden rezystor nieliniowy nazywa się obwodem
nieliniowym prądu stałego. Obwód prądu stałego nie zawierający rezystorów nieliniowych jest
obwodem liniowym prądu stałego.
Zasadnicza część teorii obwodów elektrycznych dotyczy układów zbudowanych elementów sku-
pionych, liniowych i stacjonarnych. Jeżeli nie zaznacza się wyraz
nie, że któryś z warunków SLS
nie jest spełniony, oznacza to na ogół, że rozważany element lub układ jest klasy SLS. Przy prądzie
stałym warunek stacjonarności (niezmienności parametrów) jest spełniony w sposób oczywisty.
Prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu stałego
Podane wcześniej prawa dla wartości chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym obo-
wiązują w obwodzie prądu stałego dla wartości ustalonych. Zostaną zapisane aktualne formuły.
I (prądowe) prawo Kirchhoffa wyraża się wzorem:
n
= 0 , (3.6)
"Ik
k=1
I1
I5
gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem  + , a od-
I2 pływające ze znakiem    ; indeksy: n  liczba gałęzi zbiegających się
w węz
le, k  nr gałęzi zbiegającej się w węz
le (k = 1, ... , n).
I4
I3
Przykład. Równanie prądów w węz
le przedstawionym obok na rysun-
ku, wyraża się następująco: I1-I2 + I3 - I4 + I5 = 0 .
II (napięciowe) prawo Kirchhoffa wyraża się wzorami:
n n n n
+ = 0 lub Å" Ik = (3.7a, b)
"Ek "U k "Rk "Ek
k=1 k=1 k=1 k=1
gdzie napięcia z
ródeł są strzałkowane generatorowo, a na rezystorach  odbiornikowo (względem
zwrotu prądów gałęzi); sumowanie napięć jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.:
48
Wykład V
a) napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu
I5
oczka są pisane ze znakiem  + , a zwrócone prze-
R1
R5
ciwnie do zwrotu obiegu oczka  ze znakiem    ;
I1
b) wyrażenia Rk Ik są pisane po przeciwnej niż Ek
U1
U5
stronie równania ze znakiem  + , gdy prądy w obie-
I2 I4
ganych gałęziach są zwrócone zgodnie ze zwrotem
obiegu, a ze znakiem    , gdy są zwrócone przeciw-
U2
U4
nie; indeksy: n  liczba gałęzi tworzących oczko, k  R2
R4
nr gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n).
Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawio-
E4
U3
E2
nym obok na rysunku, wyraża się następująco:
- E2 + E4 + U1 + U2 + U3 -U -U5 = 0 lub
4
R3
I3
- R1 Å" I1 - R2 Å" I2 - R3 Å" I3 + R4 Å" I4 + R5 Å" I5 = -E2 + E4 .
Moce wydawane i pobierane przez gałęzie w obwodzie prądu stałego
Od konwencji strzałkowania prądu i napięcia elementów bądz
gałęzi zależy tylko formalnie, czy są
one odbiornikami, czy generatorami mocy elektrycznej. Jeśli przyjęte strzałkowanie nie odpowiada
rzeczywistej sytuacji, to moc (odpowiednio  wydawana lub oddawana) jest ujemna, co wskazuje
na przeciwny kierunek jej przepływu. Zostanie to pokazane na przykładzie gałęzi aktywnych dwu-
elementowych E, R oraz Iz
r , G :
a ) zgodne zwroty E i I
2
Pgen = U Å" I = (E -U ) Å" I = (E - R Å" I) Å" I = E Å" I - R Å" I ;
gen R
I R E
2
Podb = Uodb Å" I = (U - E) Å" I = (R Å" I - E) Å" I = R Å" I - E Å" I
UR
R
Uodb E
 gałąz
jest generatorem, gdy E - R Å" I > 0 czyli I < = I ,
z
Ugen
R
E
a odbiornikiem, gdy R Å" I - E > 0 czyli I > = I ,
z
Ugen
R
gdzie Iz  prąd zwarcia gałęzi.
E
(-I)
I
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 &!, E = 6 V, I = 2 A.
Iz
0
PrÄ…d zwarcia gaÅ‚Ä™zi ma wartość Iz = E / R = 1,5 A Ò! I > Iz ; gaÅ‚Ä…z
jest
Uod
odbiornikiem; Uodb = R I  E = 2 V, Podb = Uodb I = 4 W albo
2
Podb = R Å" I - E Å" I = 16 -12 = 4 W.
a ) przeciwne zwroty E i I
2
Podb = Uodb Å" I = (E + U ) Å" I = (E + R Å" I ) Å" I = E Å" I + R Å" I > 0 ;
I R E R
2
UR
Pgen = U Å" I = (-E -U ) Å" I = -(E + R Å" I ) Å" I = -E Å" I - R Å" I < 0
gen R
Uodb
 gałąz
nie może być generatorem (przy założonym zwrocie I nie jest
Ugen
- E
możliwe speÅ‚nienie warunku E + R Å" I < 0 czyli I < = -I , gdzie
z
R
Uod
Iz  prąd zwarcia gałęzi).
E
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 &!, E = 6 V, I = 2 A.
(-I) I
(-Iz) 0 Gałąz
jest odbiornikiem; Uodb = E + R I = 14 V, Podb = Uodb I = 28 W
2
Ugen
albo Podb = E Å" I + R Å" I = 12 +16 = 28 W.
49
3. Elementy obwodów prądu stałego
b ) zgodne zwroty Iz
r i U
2
Pgen = U Å" I = U Å" (I - IG ) = U Å" (I - G Å"U ) = U Å" I - G Å"U ;
gen z
r z
r z
r
Iz
r Igen
2
Podb = U Å" Iodb = U Å" (IG - I ) = U Å" (G Å"U - I ) = G Å"U -U Å" I
z
r z
r z
r
Iodb
IG
G
I
z
r
 gałąz
jest generatorem, gdy I - G Å"U > 0 czyli U < = U0 ,
z
r
G
U
I
z
r
a odbiornikiem, gdy G Å"U - I > 0 czyli U > = U0 ,
z
r
G
Igen
gdzie U0  napięcie stanu jałowego gałęzi.
Iz
r
(-U)
U
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, Iz
r = 3 A, U = 2 V.
U0
0
Napięcie stanu jałowego gałęzi ma wartość U0 = Iz
r / G = 3 V Ò!
Iodb
U < U0 ; gałąz
jest generatorem; Igen = Iz
r  G U = 1 A,
2
Pgen = U Igen = 2 W albo Pgen = U Å" I - G Å"U = 6 - 4 = 2 W.
z
r
b ) przeciwne zwroty Iz
r i U
2
Iz
r Igen
Podb = U Iodb = U (I + IG ) = U (I + G U ) = U I + G U > 0 ;
z
r z
r z
r
2
Pgen = U I = U (-I - IG ) = -U (I + G U ) = -U I - GU < 0
gen z
r z
r z
r
Iodb
IG
G
 gałąz
nie może być generatorem (przy założonym zwrocie U nie jest
U
- I
z
r
możliwe spełnienie warunku I + G U < 0 czyli U < = -U0 ,
z
r
G
Iodb
gdzie U0  napięcie stanu jałowego gałęzi).
Iz
r
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, Iz
r = 3 A, U = 2 V.
(-U) U
Gałąz
jest odbiornikiem; Iodb = Iz
r + G U = 5 A, Podb = U Iodb = 10 W
(-U0) 0
2
Igen albo Podb = U Å" I + G Å"U = 6 + 4 = 10 W.
z
r
Bilans mocy obwodu prądu stałego
Zasada Tellegena (bilansowania się mocy w obwodzie elektrycznym), podana wcześniej dla warto-
ści chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym, obowiązuje w obwodzie prądu stałego
dla wartości ustalonych. Zostaną zapisane aktualne formuły.
Bilans mocy obwodu prądu stałego wyraża się następująco:
n n
2
Å" Ik.gen = Å" Ik , (3.8a)
"Uk.gen "Rk
k =1 k =1
gdzie z
ródła strzałkuje się generatorowo i wielkości ich dotyczące umieszcza po lewej stronie rów-
nania, a wielkości dotyczące rezystancji gałęziowych umieszcza po prawej stronie (konwencja mie-
szana); indeksy: n  liczba elementów występujących się w obwodzie, k  nr elementu (k = 1, ... ,
n).
Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa) albo ak-
tywne (konwencja generatorowa), to bilans mocy przyjmuje postaci:
n n
Uk .odb Å" Ik .odb = 0 lub U Å" Ik .gen = 0 , (3.8b, c)
" "
k .gen
k =1 k =1
gdzie wszystkie elementy obwodu strzałkuje się tak samo  odbiornikowo bądz
generatorowo; in-
deksy: n  liczba elementów występujących się w obwodzie, k  nr elementu (k = 1, ... , n).
Elementami mogą być całe gałęzie oraz z
ródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi.
50
Wykład V
Przykład. Na schemacie obwodu prądu stałego podano wartości parametrów i prądów gałęziowych
(wartości prądów są wynikiem rozwiązania obwodu, uzyskanego jedną z metod objaśnionych da-
lej). Po wyznaczeniu wartości napięć na elementach, zostanie sporządzony  na dwa sposoby  bi-
lans mocy obwodu.
a)
1. Bilans mocy obwodu przy mieszanej konwencji strzał-
1 &! 6 V
1 A 1 A
kowania prądów i napięć elementów
Uwzględniając zwroty prądów zaznaczone na danym
2 A
schemacie (rys. a), dorysowano napięcia: na z
ródłach  w
konwencji generatorowej, oraz na rezystorach  w kon-
1 &!
wencji odbiornikowej (rys. b). Wartość napięcia na z
ródle
3 V 1 &!
prądowym jest sumą napięć (o właściwym zwrocie) na
2 A 4 A
gałęziach tworzących dowolną drogę między węzłami, do
których jest przyłączone to z
ródło, np. na dwóch górnych
3 A
gałęziach (1 + 6 = 7 V) albo na dwóch środkowych
(3 + 4 = 7 V).
Wartości sum po lewej i prawej stronie równania (3.8a)
b)
wynoszÄ…:
1 &! 6 V
1 A 1 A
n
= Å" Ik.gen = 6 Å"1+ (-3) Å" 2 + 7 Å" 3 = 21 W,
"Pk.gen "Uk.gen
2 A
k k =1 1 V 6 V
n
2
2 V
1 &!
= Å" Ik = 1Å"12 +1Å" 22 +1Å" 42 = 21 W,
"Pk.odb "Rk
k k =1
3 V 1 &!
2 A 4 A
tzn. moce siÄ™ bilansujÄ… = .
"Pk.gen "Pk.odb
k k
3 A
 3 V 4 V
2. Bilans mocy obwodu przy odbiornikowej konwencji
strzałkowania prądów i napięć każdego z elementów
Zwroty napięć wszystkich elementów obwodu przyjęto
7 V
przeciwne do zwrotów prądu (rys. c).
c)
Wartość sumy w równaniu (3.8b) wynosi:
1 &! 6 V
1 A 1 A
n
= Å" Ik.odb =
"Pk.odb "U k.odb
2 A
k k=1
1 V  6 V
= 1Å"1+ (-6) Å"1+ 2 Å" 2 + 3Å" 2 + 4 Å" 4 + (-7) Å" 3 = 0 W,
2 V
1 &!
tzn. moce siÄ™ bilansujÄ… = 0 .
"Pk.odb
3 V 1 &!
k
2 A 4 A
3 A
3 V 4 V
 7 V