dr in\
. Robert Kowalak
pok. E500, tel. [phone]
E-mail: [e-mail]
Terminy konsultacji:
Zajęcia 2
- Poniedziałek godz. 12:00  13:00
- Środa godz. 11:00  13:00
dr inż. Robert Kowalak
1 2
L-02 L-02
Metoda prądowa
Ka\
dy tor zasilany jednostronnie mo\
emy przedstawić jako
Metoda ta bazuje na podstawowych prawach elektrotechniki:
czwórnik
prawo Ohma, prawa Kirchhoffa &
�U
S1 S2
Im
U1 U2
U1
�U
"S
U2
�
Re
Metody obliczeń:
1.Metoda prądowa
2.Metoda mocowa
�U = 3 �"(R + jX )�" I
3 4
L-02 L-02
Metoda mocowa Metoda mocowa - zale\
ności
Podstawą tej metody jest wykres napięć dla toru
Składowe straty napięcia: �U , �U
P �" X - Q �" R
P �" R + Q �" X
�U"=
�U '=
U2
U2
P  moc czynna przepływająca przez tor
Q  moc bierna przepływająca przez tor
R  rezystancja toru
X  reaktancja toru
�U  składowa podłu\
na straty napięcia
U2  napięcie na końcu toru
�U  składowa poprzeczna straty napięcia
5 6
L-02 L-02
Metoda mocowa - zale\
ności Metoda mocowa - zale\
ności
Straty mocy  bieg jałowy (liczone dla pojedynczej gałęzi poprzecznej):
Straty mocy - przesyłowe:
2
"SY = U �"(G - jB)
P2 + Q2
P2 + Q2
"Q = �" X
"P = �" R
2
2
U  napięcie
U2
U2
G  konduktancja gałęzi
B  susceptancja gałęzi
"S = "P + j"Q
P  moc czynna przepływająca przez tor Moduł straty napięcia:
Q  moc bierna przepływająca przez tor
R  rezystancja toru
�U = �U '2 +�U"2
X  reaktancja toru
�U  składowa podłu\
na straty napięcia
U2  napięcie na końcu toru
�U  składowa poprzeczna straty napięcia
7 8
L-02 L-02
Metoda mocowa - zale\
ności Wa\
ne pojęcia
Kąt przesunięcia fazowego napięć: Strata i spadek napięcia
�U"
Strata napięcia Spadek napięcia
� = arctg( )
U2 + �U '
"U = U1 -U2
�U = U1 -U
2
�U  składowa podłu\
na straty napięcia
U1  napięcie na początku toru U1  moduł napięcia na początku toru
�U  składowa poprzeczna straty napięcia
U2  napięcie na końcu toru U2  moduł napięcia na końcu toru
U2  napięcie na końcu toru
9 10
L-02 L-02
Zadanie T1.1 (2.1) Zadanie T1.1 (2.1) c.d.
Obliczyć napięcie i moc dostarczoną do linii elektroenergetycznej, je\
eli
linia obcią\
ona jest na końcu mocą czynną P2=60MW i mocą bierną
indukcyjną Q2=25Mvar przy napięciu U2=230kV. Obliczenia wykonać
metodą prądową. Dane linii: l=100km, R L=0,108&!/km,
X L=0,414&!/km, B L=2,723�S/km, G L=0,095�S/km.
S2 = P2 + jQ2 = 60 + j25 MVA
RL = R'L�"l = 0,108�"100 = 10,8 &!
S 60 + j25
*
2
I = = = (0,151+ j0,063) kA
2
3 �"U 3 �" 230
X = X 'L�"l = 0,414�"100 = 41,4 &! 2
L
I = (0,151- j0,063) kA
2
BL = B'L�"l = 2,723�"10-6 �"100 = 272,3�"10-6 S
U GL BL 230 9,5 272,3
2
I = �"( + j ) = �"( + j ) �"10-6 = (0,001+ j0,018)kA
GL = G'L�"l = 0,095�"10-6 �"100 = 9,5�"10-6 S
YL 2
3 2 2 2 2
3
I = I + IYL2 = 0,151- j0,063 + 0,001+ j0,018 = (0,152 - j0,045) kA
L 2
11 12
L-02 L-02
Zadanie T1.1 (2.1) c.d. Zadanie T1.2 (2.2)
Obliczyć napięcie i moc dostarczoną do linii elektroenergetycznej, je\
eli
�U = 3 �"(RL + jX ) �" I = 3 �"(10,8 + j41,4) �"(0,152 - j0,045) =
L L L
linia obcią\
ona jest na końcu mocą czynną P2=150MW i mocą bierną
= (6,07 + j10,058) kV
indukcyjną Q2=75MVAr przy napięciu U2=415kV. Obliczenia wykonać
U1 = U2 + �UL = 230 + 6,07 + j10,058 = (236,07 + j10,058) kV metodą mocową. Do obliczeń przyjąć: l=250km; R l=0,029&!/km;
X l=0,318&!/km; B l=3,512�S/km; G l=0,003�S/km.
U1 GL BL 236,04 + j10,058 9,5 272,3
I = �" ( + j ) = �"( + j ) �"10-6 =
YL1
3 2 2 3 2 2
S = P2 + jQ2 = (150 + j75)MVA
2
= j0,019 kA
RL = R'L�"l = 0,029�" 250 = 7,25 &!
I1 = I + I = 0,152 - j0,045 + j0,019 = (0,152 - j0,026) kA
L YL1
X = X 'L�"l = 0,318�" 250 = 79,5 &!
*
L
I1 = (0,152 + j0,026) kA
BL = B'L�"l = 3,512�"10-6 �" 250 = 878�"10-6 S
*
S1 = 3 �"U1 �" I = 3 �"(236,07 + j10,058) �"(0,152 + j0,026) =
1
GL = G'L�"l = 0,003�"10-6 �" 250 = 0,75�"10-6 S
= (61,698 + j13,279) MVA
13 14
L-02 L-02
Zadanie T1.2 (2.2) c.d. Zadanie T1.2 (2.2) c.d.
"SL
PL �" X - QL �" RL 150,07 �"79,5 + 0,61�"7,25
L
�U"= = = 28,76kV
S1 SL S2
U2 415
"SYl1 RL XL "SYl2
U1 = ((U2 + �U ')2 + �U"2 ) = ((415 + 2,51)2 + 28,762) = 418,5 kV
BL
GL BL GL U2
�U" 28,76
U1 2 2
2 2 �1 = � = arctg( ) = arctg( ) = 3,94�
U2 + �U ' 415 + 2,51
P2 + Q2 150,072 + 0,612
L L
MW
"PL = �" RL = �"7,25 = 0,95
2
U 4152
GL BL 0,75 878
2 2
"SYL2 = U2 �"( - j ) = 4152 �"( - j ) �"10-6 =
2 2 2 2
P2 + Q2 150,072 + 0,612
L L
"QL = �" X = �"79,5 = 10,4Mvar
= (0,07 - j75,61)MVA L
2
U 4152
2
S = S2 + "SYL2 = 150 + j75 + 0,07 - j75,61 = (150,07 - j0,61)
MVA
L
GL BL 0,75 878
"SYL1 = U12 �"( - j ) = 418,52 �"( - j )�"10-6 =
PL �" RL + QL �" X 150,07 �"7,25 - 0,61�"79,5
L
2 2 2 2
kV
�U '= = = 2,51
U2 415
= (0,07 - j76,89)
MVA
15 16
L-02 L-02
Zadanie T1.2 (2.2) c.d. Zadanie T1.3 (2.3)
Obliczyć napięcie i moc dostarczoną do linii elektroenergetycznej, je\
eli
S1 = S + "S + "SYL1 = 150,07 - j0,61+ 0,95 + j10,4 + 0,07 - j76,89 =
L L
linia obcią\
ona jest na końcu mocą czynną P2=20MW i mocą bierną
= 151,08 - j67,1 MVA
indukcyjną Q2=10Mvar przy napięciu U2=115kV. Obliczenia wykonać
"S = "PL + j"QL
gdzie:
L metodą prądową i mocową. Dane linii: l=30km, R L=0,239&!/km,
X L=0,421&!/km, B L=2,678�S/km.
Przyjmujemy �2 = 0�
j0�
Stąd kV
U = 115�"e
2
S = P2 + jQ2 = (20 + j10) MVA
2
RL = R'L�"l = 0,239�"30 = 7,17 &!
X = X 'L�"l = 0,421�"30 = 12,63 &!
L
BL = B'L�"l = 2,678�"10-6 �"30 = 80,34�"10-6 S
GL = 0 S
Przyjmujemy
17 18
L-02 L-02
Zadanie T1.3 (2.3) c.d. Zadanie T1.3 (2.3) c.d.
Metoda prądowa
�U = 3 �"(RL + jX ) �" I = 3 �"(7,17 + j12,63) �"(0,1- j0,047) =
L L L
= (2,27 + j1,6)
kV
U1 = U + �U = 115 + 2,27 + j1,6 = (117,27 + j1,6) kV
2 L
U1 BL 117,27 + j1,6 80,34
I = �" j = �" j �"10-6 = j0,003 kA
YL1
3 2 3 2
I1 = I + I = 0,1- j0,047 + j0,003 = (0,1- j0,044) kA
L YL1
S 20 + j10
* *
2
kA
I = = = (0,1+ j0,05) kA I1 = (0,1+ j0,044)
2
3 �"U 3 �"115
2 *
S1 = 3 �"U1 �" I = 3 �"(117,27 + j1,6) �"(0,1+ j0,044) =
1
I = (0,1- j0,05) kA
2
= (20,19 + j9,22) MVA
U BL 115 30,84
2
I = �" j = �" j �"10-6 = j0,003 kA
YL2
2
3 3 2 Praca samodzielna: rozwiązać zadanie metodą mocową.
I = I + I = 0,1- j0,05 + j0,003 = (0,1- j0,047) kA
L 2 YL2
19 20
L-02 L-02
Zadanie T1.4 (2.4) Zadanie T1.4 (2.4) c.d.
Obliczyć napięcie i moc dostarczoną do linii elektroenergetycznej, je\
eli a) bez uwzględniania w schemacie linii susceptancji (obliczenia typowe
linia obcią\
ona jest na końcu mocą S2=(1+j0,5)MVA przy napięciu dla linii tego typu)
"SL
U2=15kV. Dane linii: Un=15kV; l=10km; R l=0,44&!/km; X l=0,4&!/km.
S1 SL S2
Obliczenia wykonać metodą mocową w dwóch wariantach:
RL XL
a) bez uwzględniania w schemacie linii susceptancji (Bl);
U1 U2
b) z uwzględnieniem susceptancji, przyjmując B l=2,85�S/km.
Przyjmujemy �2 = 0�
j0�
S = S = (1+ j0,5)
Stąd kV MVA
U = 15�"e L 2
2
RL = R'L�"l = 0,44�"10 = 4,4 &! P2 + Q2 12 + 0,52
L L
"PL = �" RL = �" 4,4 = 0,024 MW
2
U 152
X = X 'L�"l = 0,4�"10 = 4 &! 2
L
"S = "PL + j"QL
L
P2 + Q2 12 + 0,52
}
L L
"QL = �" X = �" 4 = 0,022 Mvar
L
2
U 152
2
21 22
L-02 L-02
Zadanie T1.4 (2.4) c.d. Zadanie T1.5 (2.5)
Obliczyć moc S1 i napięcie U1 po stronie górnego napięcia
S1 = S + "S = 1+ j0,5 + 0,024 + j0,022 = (1,024 + j0,522)
MVA
L L
transformatora, je\
eli moc odbierana z transformatora
PL �" RL + QL �" X 1�" 4,4 + 0,5�" 4
L
S2=(200+j90)MVA, a napięcie U2=110kV. Obliczenia wykonać metodą
�U '= = = 0,427 kV
U2 15
mocową. Dane transformatora: Sn=250MVA; Ńn=420/123kV;
"uz%=15,5%; "PFe=237kW; "PCu=950kW; I0%=0,9%.
PL �" X - QL �" RL 1�" 4 - 0,5�" 4,4
L
�U"= = = 0,12 kV
UnT = 420 kV
U2 15
2
"PCu �"UnT 0,95�" 4202
RT = = = 2,68 [&!]
U1 = ((U2 + �U ')2 +�U"2 ) = ((15 + 0,427)2 + 0,122 ) = 15,427 kV 2
SnT 2502
�U" 0,12 2
"uz % �"UnT 15,5�" 4202
�1 = � = arctg( ) = arctg( ) = 0,45�
XT E" ZT = = = 109,37 [&!]
U2 +�U ' 15 + 0,427
100�" SnT 100�" 250
"PFe 0,237
Praca samodzielna: rozwiązać podpunkt b) zadania
GT = = = 1,34�"10-6 [S]
2
Odpowiedz
:
UnT 4202
S1 = (1,024 + j0,516)
MVA
"i0% �" SnT 0,9�" 250
j0,45�
kV BT E" YT = = = 12,76�"10-6 [S]
U1 = 15,426 �"e
2
100�"UnT 100�" 4202
23 24
L-02 L-02
Zadanie T1.5 (2.5) c.d. Zadanie T1.5 (2.5) c.d.
PT �" RT + QT �" XT 200�" 2,68 + 90�"109,37
�U '= = = 27,63 kV
U '2 375,61
PT �" XT - QT �" RT 200�"109,37 - 90�" 2,68
�U"= = = 57,59 kV
U '2 375,61
U1 = ((U '2 +�U ')2 + �U"2 ) = ((375,61+ 27,63)2 + 57,592) = 407,34 kV
"SYT = U12 �"(GT - jBT ) = 407,342 �"(1,34 + j12,76) �"10-6 =
420
U '2 = U2 �"ŃnT = 110�" = 375,61 kV
= (0,22 + j2,12) MVA
123
S1 = ST + "ST + "SYT = 200 + j90 + 0,91+ j37,29 + 0,22 + j2,12 =
ST = S = (200 + j90)
MVA
2
2 = (201,14 + j129,4) MVA
PT2 + QT 2002 + 902
"PT = �" RT = �" 2,68 = 0,91
MW �U" 57,59
U '2 375,612 �1 = � = arctg( ) = arctg( ) = 8,13�
2
U '2 +�U ' 375,61+ 27,63
2
PT2 + QT 2002 + 902
Mvar
"QT = �" XT = �"109,37 = 37,29
2
U2 375,612
25 26
L-02 L-02
Zadanie T1.6 (2.19) Zadanie T1.6 (2.19) c.d.
Obliczyć metodą mocową napięcie UA i moc SA na początku linii, oraz
Dla tej linii mamy:
moc SB na końcu linii, je\
eli: R l=0,241&!/km; X l=0,401&!/km;
PL = PB oraz QL = QB
UB=15ej0�kV; cosĆB=0,8 (ind.); �=1�; l=10km
Stąd:
RL = R'L�"l = 0,241�"10 = 2,41 &!
PB �" X - QB �" RL SB �"cos�B �" X - SB �"sin�B �" RL
L L
tg� = =
2 2
UB + PB �" RL + QB �" X UB + SB �"cos�B �" RL + SB �"sin�B �" X
L L
X = X 'L�"l = 0,401�"10 = 4,01 &!
L
I po przekształceniu:
Zapisujemy wzór na moc SB
2
UB �"tg�
SB = =
S = SB �"cos� + jSB �"sin�
B
X �"cos�B - RL �"sin�B - RL �"cos�B �"tg� - X �"sin�B �"tg�
L L
Następnie korzystamy z zale\
ności na tg�
152 �"tg1
= = 2,329 MW
PL �" X - QL �" RL
L
4,01�"0,8 - 2,41�"0,6 - 2,41�"0,8�"tg1- 4,01�"0,6�"tg1
�U" UB PL �" X - QL �" RL
L
tg� = = =
2 S = SB �"cos� + jSB �"sin� = 2,329�"0,8 + j2,329�"0,6 =
PL �" RL + QL �" X B
UB + �U ' UB + PL �" RL + QL �" X
L
L
UB +
= (1,863 + j1,397) MW
UB
27 28
L-02 L-02
Zadanie T1.6 (2.19) c.d. Zadanie T1.7 (2.18)
PL �" RL + QL �" X 1,863�" 2,41+1,397�" 4,01 Obliczyć w oparciu o metodę mocową, jaką mocą czynną i bierną
L
�U '= = = 0,673 kV
obcią\
ona jest na końcu linia przesyłowa o danych: R l=0,06&!/km;
UB 15
X l=0,42&!/km; B l=3�S/km; G l=0�S/km; l=100km; Un=220kV, je\
eli
PL �" X - QL �" RL 1,863�" 4,01-1,397 �" 2,41
L
�U"= = = 0,274 kV
spadek napięcia w linii jest równy "UL=10kV, kąt rozchyłu wektorów
UB 15
napięć na początku i na końcu linii wynosi �=6�, a napięcie na końcu
U = ((UB + �U ')2 + �U"2 ) = ((15 + 0,673)2 + 0,2742) = 15,675 kV
A linii jest równe U2=210ej0�kV. Obliczyć równie\
napięcie i moc na
j� A j1� początku linii.
U = U �"e = 15,675�"e kV
A A
RL = R'L�"l = 0,06�"100 = 6 &!
P2 + Q2 1,8632 +1,3972
L L
"PL = �" RL = �"2,41 = 0,058 MW
2
UB 152
X = X 'L�"l = 0,42�"100 = 42 &!
L
P2 + Q2 1,8632 +1,3972
BL = B'L�"l = 3�"10-6 �"100 = 300�"10-6 S
L L
"QL = �" X = �"4,01 = 0,097 Mvar
2
UB L 152
S = S + "S = 1,863+ j1,397 + 0,058 + j0,097 = (1,921+ j1,494)
MVA
A B L
29 30
L-02 L-02
Zadanie T1.7 (2.18) c.d. Zadanie T1.7 (2.18) c.d.
U1 = "UL +U2 = 10 + 210 = 220 kV
I QL podstawiamy do drugiego równania:
j�1 j6�
U1 = U1 �"e = 220�"e kV
�U"�"U2 �" X + �U '�"U2 �" RL 23�" 210�" 42 + 8,8�" 210�"6
L
PL = = = 118,84 MW
2 2
RL + X 62 + 422
L
U2 �"�U '-PL �" RL 210�"8,8 -118,84�"6
QL = = = 27 MW
X 42
L
P2 + Q2 118,842 + 272
L L
"PL = �" RL = �"6 = 2,02 MW
2
U 2102
2
�U"= U1 �"sin� = 220�"sin 6� = 23 kV
P2 + Q2 118,842 + 272
L L
�U"= U1 �"cos� -U2 = 220�"cos 6� - 210 = 8,8 kV Mvar
"QL = �" X = �" 42 = 14,14
L
2
U 2102
2
Układamy układ równań:
BL 300
2
"SYL2 = U2 �"(- j ) = 2102 �"(- j )�"10-6 = (- j6,62) MVA
PL �" RL + QL �" X U2 �"�U '-PL �" RL 2 2
L
�U '= QL =
BL 300
U2 X
L "SYL1 = U12 �"(- j ) = 2202 �"(- j ) �"10-6 = (- j7,26) MVA
PL �" X - QL �" RL 2 2
{ L
�U"=
U2
31 32
L-02 L-02
Zadanie T1.7 (2.18) c.d. Zadanie T1.8 (2.20)
Jaki powinien być współczynnik mocy odbiorów na końcu linii
S1 = S + "S + "SYL1 = 118,84 + j27 + 2,02 + j14,14 - j7,26 =
L L
przesyłowej, aby napięcia na końcu linii i na początku linii były ze sobą
= (120,86 + j33,88) MVA
w fazie? Obliczyć moce pozorne na początku oraz na końcu linii, oraz
S = S - "SYL2 = 118,84 + j27 + j6,62 = (118,84 + j33,61) MVA
2 L napięcie na początku linii, je\
eli moc czynna pobierana na końcu linii
jest równa PB=2MW, a napięcie na końcu linii wynosi UB=110ej0�kV.
Dane linii: R l=0,24&!/km; X l=0,42&!/km; B l=2,68�S/km; G l=0�S/km;
l=50km; Un=110kV.
RL = R'L�"l = 0,24�"50 = 12 &!
X = X 'L�"l = 0,42�"50 = 21 &!
L
BL = B'L�"l = 2,68�"10-6 �"50 = 134�"10-6 S
33 34
L-02 L-02
Zadanie T1.8 (2.20) c.d. Zadanie T1.8 (2.20) c.d.
Dla układu linii zachodzi zale\
ność:
S = S - "SYLB = 2 + j3,5 + j0,81 = 2 + j4,31 MVA
B L
PB = PL = 2 MW
2 2
SB = PB + QB = 22 + 4,312 = 4,75 MVA
Poniewa\
napięcia na początku i na końcu linii mają być w fazie, więc:
PB 2
� = �B = � = 0�
A
cos�B = = = 0,42
SB 4,75
A więc:
�U"
PL �" RL + QL �" X 2�"12 + 3,5�" 21
tg� = = 0 L
�U"= 0 kV
�U '= = = 0,89 kV
UB + �U '
UB 110
PL �" X - QL �" RL PL �" X -UB �"�U"
L L
U = UB + �U '=110 + 0,89 =110,89 kV
�U"= QL = =
A
UB RL
j� j 0�
A
kV
U = U �"e = 110,89�"e
A A
2�" 21-110�"0
= = 3,5 Mvar
BL 134
2
12
"SYLA = U �"(- j ) = 110,892 �"(- j )�"10-6 = (- j0,82) MVA
A
2 2
BL 134
2
"SYLB = UB �"(- j ) = 1102 �"(- j )�"10-6 = (- j0,81) MVA
2 2
35 36
L-02 L-02
Zadanie T1.8 (2.20) c.d. Zadanie T1.9 (2.46)
2 Obliczyć straty mocy powstające w transformatorze o danych:
PL2 + QL 22 + 3,52
"PL = �" RL = �"12 = 0,02 MW
Sn=100MVA; Ńn=231/121kV; "uz%=10%; "PFe=66kW; "PCu=255kW;
2
UB 1102
I0%=1%; je\
eli moc odbierana z transformatora S2=(90-j20)MVA, a
2
PL2 + QL 22 + 3,52
napięcie U2=112kV. Obliczenia wykonać metodą mocową.
Mvar
"QL = �" X = �"21 = 0,03
2
UB L 1102
UnT = 231 kV
2
S = S + "S + "SYLA = 2 + j3,5 + 0,02 + j0,03- j0,82 =
"PCu �"UnT 0,255�" 2312
A L L
RT = = = 1,36 [&!]
2
= (2,02 + j2,7) MVA
SnT 1002
2
"uz% �"UnT 10�" 2312
ZT = = = 53,36 [&!]
100�" SnT 100�"100
2 2
XT = ZT - RT = 53,362 -1,362 = 53,34 [&!]
"PFe 0,066
GT = = = 1,24�"10-6 [S]
2
UnT 2312
37 38
L-02 L-02
Zadanie T1.9 (2.46) c.d. Zadanie T1.9 (2.46) c.d.
2
"i0% �" SnT 1�"100
PT2 + QT 902 + 202
YT = = = 18,74�"10-6 [S]
"PT = �" RT = �"1,36 = 0,25 MW
2
100�"UnT 100�" 2312
U '2 213,822
2
2
2
PT2 + QT 902 + 202
BT = YT2 - GT = (18,742 -1,242 ) �"10-6 = 18,74�"10-6 [S]
"QT = �" XT = �"53,34 = 9,92 Mvar
2
U2 213,822
PT �" RT + QT �" XT 90�"1,36 - 20�"53,34
�U '= = = -4,42 kV
U '2 213,82
PT �" XT - QT �" RT 90�"53,34 + 20�"1,36
�U"= = = 22,58 kV
U '2 213,82
U1 = ((U '2 +�U ')2 + �U"2 ) = ((213,82 - 4,42)2 + 22,582 ) = 210,62 kV
"SYT = U12 �"(GT - jBT ) = 210,622 �"(1,24 + j18,7)�"10-6 =
231
U '2 = U2 �"ŃnT = 110�" = 213,82 kV
= (0,05 + j0,83) MVA
121
"S = "ST + "SYT = 0,25 + j9,92 + 0,05 + j0,83 = (0,3+ j10,75)MVA
ST = S = (90 - j20) MVA
2
39 40
L-02 L-02
41