Systemy
System liniowy:
- główna zaleta proporcjonalność
x(n) y(n)
h(n)
x1śąn źąŚą y1śąn źą x2śą nźąŚą y2śąnźą
Jeżeli i to:
a x1śąnźąƒÄ…b x2śąnźą Śąa y1śąnźąƒÄ…b y2 śąnźą
Przykłady systemów liniowych:
yśąnźą=-1 xśą nźą
2
yśąnźą=3 xśąnźąƒÄ…2 xśąn-5źą
Przykłady systemów nieliniowych
yśąnźą=2 xśąnźąxśą n-1źą
yśąnźą=3 x2śąnźą
System liniowy:
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;x=sin(2*pi*20*n);y=-.5*x;plot(n,x,n,y);
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;
x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1;
x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2;
x =2*x1-3*x2; y = .5*x;
plot(n,2*x1-3*x2,';x(n);',n,y,';y(n);',n,2*y1-3*y2,';y_l(n);');
System nieliniowy:
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;
x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1.*x1;
x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2.*x2;
x =2*x1-3*x2; y = .5*x.*x;
plot(n,2*x1-3*x2,';x(n);',n,y,';y(n);',n,2*y1-3*y2,';y_l(n);');
System inercyjny(bezwładnościowy) / nieinercyjny
Przykłady:
yśąnźą=1.1x śą nźą
 bezinercyjny
N=20;n=(0:N-1);x=[zeros(1,N/2),ones(1,N/2)];y=1.1*x;plot(n,x,'b*',n,y,'rx')
yśąnźą=0.5x śąnźąƒÄ…0.3x śąn-1źąƒÄ…0.1x śąn-2źąƒÄ…0.1xśąn-2źą
 inercyjny
N=50;Fs=200;n=(0:N-1)./Fs;f=5;x=square(2*pi*f*n,.5);
yb=1.1*x;
yi=.5*x+.3*[0,x(1:end-1)]+.1*[0,0,x(1:end-2)]+.1*[0,0,0,x(1:end-3)];
plot(n,x,'r+',n,yb,'b*',n,yi,'go');
System niezmienny w czasie / zmienny w czasie / adaptacyjny
x(n) y(n)
h(n)
Szereg Volterry (Volterra series)  modelowanie systemów nieliniowych
Najczęściej używany model systemu -
dyskretny liniowy inercyjny niezmienny w czasie
LTI  ang. Linear Time Invariant
Odpowiedz
impulsowa
B=[1 .9 -1.2 3 2 .1 -1 -1.5 -.9]; A=1; % nieznany system
N=20;n=(1:N);x=zeros(1,N);x(1)=1; % pobudzenie
y = filter(B,A,x);plot(n,x,'b*',n,y,'r');
Czy na podstawie obserwacji odpowiedzi systemu (kolor czerwony) jesteśmy w stanie wyznaczyć
nasz system - czyli h(n) ?
Transformata Z
Z {xśą kT źą}=Z {xśą nźą}= X śą zźą , xśąnźą"!N , X śą zźą"!N
gdzie
N -1
X śą zźą= xśąnźą z-n
"
n=0
Transformata Z istnieje tylko dla funkcji które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza
en
2
xśą nźą=n !
czyli np. dla lub transformata Z nie istnieje !!!
xśą nźą=en
Region zbieżności ROC
"
ROC = z: x śąnźą z-n "ą"
#"" #"
{ }
n=-"
ROC  to zbiór punktów zespolonej płaszczyzny Z spełniający powyższy warunek
Związek między transformatą Z a transformatą Fouriera
j ÎÄ…
r=1 Śą#"z#"=1
(omówić i przypadek kiedy )
z=r e
Własności transformaty Z
Liniowość
Z [a x1śąnźąƒÄ…b x2śąn źą]=a X śą zźąƒÄ…b X śą zźą
1 2
przesunięcie w czasie
Z {xśą n-kźą}=z-k X śą zźą
k-1
Z {x śą nƒÄ…k źą}=zk X śą zźą- x śą nźą z-k
"
{ }
n=0
odwrócenie czasu
Z {xśą-nźą}= X śą z-1źą
Transformata sumy
M -1
z
Z xśąn źą = X śą zźą
{" }
n=0
z-1
Transformata różnicy
Z [ x śąnƒÄ…1źą- xśą nźą]=śą z- 1źą X śą zźą- x śą0źą
Transformata iloczynu
Z {x śą nźą y śą nźą}= X śą zźą"Y śą zźą
Transformata splotu
Z {xśą nźą"yśą nźą}= X śązźąY śązźą
Tabela potrzebnych transformat
x(n) Transfomata Z Obszar zbieżności ROC
ºÄ…śą nźą z"!
1
ºÄ…śą n-kźą z`"0
z-k
u śąnźą 1 #"z#"ą1
1-z-1
Splot
"
yśątźą= h śąÉąźą xśąt-Éąźą d ÉÄ…
+"
-"
i konsekwentnie jeżeli mamy oraz
h śąnźą"!M x śą nźą"!N
M ƒÄ…N -1
yśąnźą= hśą kźą xśąn-k źą=h śąnźą"xśąnźą
"
k =1
przykład 1
hśąnźą=[0,0,1], xśąnźą=[1,2,3]
przykład 2
1
h śąnźą= [1,1], xśąnźą=[1,0 .1 ,-1,-0.1]
2
N=1000;Fs=1000;n=(0:N-1)./Fs;x=sin(2*pi*5*n)+.5*randn(1,N);
M=3;h=ones(1,M)./M;y = conv(x,h);y=y(1:N);
plot(n,x,'b',n,y,'r');
Transmitancja
X(z) Y(z)
H(z)
Y śą zźą=X śą zźą H śą zźą
yśąnźą= xśąnźą"hśą nźą
N=32;n=(0:N-1);x=zeros(1,N);x(6:15)=ones(1,10);
h=zeros(1,N);h(10:20)=bartlett(11)';plot(n,x,'b*',n,h,'r*');
plot(n,x,'b*',n,h,'r*',n,x.*h,'go');
plot(conv(x,h));
plot(n,x,'b*',n,h,'r*',n,x.*h,'go', conv(x,h)(6:37),'m');
Jak znalez
ć transmitancję systemu znając wejście i wyjście? (delta)
Bieguny i zera funkcji transmitancji
Bśą zźą
H śą zźą=
Aśą zźą
B śą zźą Aśą zźą
gdzie i to wielomiany stopnia Q i P odpowiednio
Q
B (z)=bQ z-Q+bQ -1 z-Q+ 1+& +b2 z-2+b1 z-1+b0= bq z-q=b0(1-q0 z-1)(1-q1 z-1)& (1-qQ z-1)
"
q =0
P
A (z)=aP z-P+aP-1 z-P+1+& +a2 z-2+a1 z-1+a0= aq z-q=a0(1- p0 z-1)(1- p1 z-1)& (1-pP z-1)
"
q =0