WYDZIAA
TRANSPORTU PW Zakład Sterowania Ruchem
LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI III
Rok akad. 2015/2016 Data wykonania ćwiczenia 2015r. Uzyskane punkty za:
przygotowanie zaliczenie poprawÄ™
Specjalizacja Imiona i Nazwiska studentów
i realizacjÄ™ zaliczenia
. . . . . . . . . . 1.
Zespół 2.
3.
4.
5.
Ćwiczenie nr 1
Temat ćwiczenia: Badanie obiektów dynamicznych z zastosowaniem programu MATLAB
1 Cel ćwiczenia
Ćwiczenie ma na celu zapoznanie studentów z rozwiązywaniem problemów z zakresu automatyki z
użyciem programu MATLAB oraz Matlab Simulink.
Matlab to program komputerowy będący interaktywnym środowiskiem do wykonywania
obliczeń naukowych i inżynierskich, oraz do tworzenia symulacji komputerowych.
Simulink jest częścią pakietu numerycznego MATLAB firmy The MathWorks i służy do
przeprowadzania symulacji komputerowych. Simulink pozwala budować modele symulacyjne przy
pomocy interfejsu graficznego i tzw. bloków. Przy pomocy Simulinka można przeprowadzać
zarówno symulacje z czasem dyskretnym jak i ciągłym. Simulink znajduje głównie zastosowanie
(poprzez to, że umożliwia symulacje w czasie ciągłym) w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów,
analizie obwodów elektrycznych i teorii sterowania.
2 Niezbędny zakres tematyczny obowiązujący do przygotowania się do zajęć
Pojęcia: obiekt dynamiczny ciągły i liniowy, moduł transmitancji, kąt przesunięcia fazowego,
obserwowalność, sterowalność, stabilność (oraz kryteria i wyznaczanie obserwowalności,
sterowalności i stabilności  Nyquista, Bodego), układu dynamicznego i układu regulacji, równanie
charakterystyczne i wielomian charakterystyczny, stała czasowa w podstawowych członach
dynamicznych,
Charakterystyki układów dynamicznych  charakterystyki skokowe i częstotliwościowe,
interpretacja charakterystyk, sposoby wyznaczania charakterystyk, obliczanie modułu transmitancji
i przesunięcia fazowego.
Wyznaczanie zapasu stabilności.
Układy regulacji i parametry oceny regulacji.
Równania wektorowo-macierzowe układu dynamicznego. Macierze: stanu, wejścia i wyjścia.
3 Zasady współpracy z programem MATLAB
Wykonanie ćwiczenia należy rozpocząć od uruchomienia programu matlab - skrót na pulpicie.
Następnie za pomocą paska narzędzi wybrać File/Open/cw_automatyka.m, a następnie
zainicjowanie go przyciskiem run . Po zainicjowaniu programu wyświetlone zostanie okno
dialogowe 'Matlab editor'. Należy wybrać opcję 'Change Folder'. Następnie uruchomiony zostanie
programu simulink, oraz okno nawigacyjne wykonane w interfejsie graficznym.
1
4) 6)
2) 5)
1) 3)
Rysunek 1Okno programu simulink
1)wymuszenie - skok jednostkowy, 2)węzeł sumujący (domyślnie bez sprzężenia zwrotnego),
3)współczynnik proporcjonalności kp, 4)człon inercyjny (domyślnie wyłączony), 5)obiekt n-tego
rządu (pierwszego, drugiego lub trzeciego), 6)zakłócenie
1)
3)
2)
4)
Rysunek 2 Okno interfejsu użytkownika
1) współczynniki wielomianu charakterystycznego, 2)współczynnik członu proporcjonalnego (kp) i
całkującego (ki), 3) pierwiastki wielomianu charakterystycznego, 4)zakłócenie (domyślnie zerowe)
4 Wykonanie ćwiczenia
4.1 Wyznaczenie charakterystyk skokowych.
Korzystając z interfejsu użytkownika wygenerować odpowiedz
na skok jednostkowy obiektów
pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu w otwartym układzie sterowania. Zidentyfikować wpływ
stałych czasowych oraz współczynnika proporcjonalności (kp). Zarejestrować przykładowe
charakterystyki, potrzebne do uzasadnienia działania współczynników.
2
4.2 Wyznaczenie charakterystyk amplitudowo-fazowych, kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista pozwala na badanie stabilności jednowymiarowego układu zamkniętego na
podstawie przebiegu wykresu funkcji G ( jÉ) o ukÅ‚adu otwartego na pÅ‚aszczyz
nie zmiennej
zespolonej.
Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco:
1. Układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, przy założeniu, że równanie charakterystyczne
układu otwartego ma k pierwiastków w prawej półpłaszczyz
nie i n-k pierwiastków w lewej
półpłaszczyz
nie, wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego
przy zmianie pulsacji É od -" do " obejmuje w kierunku dodatnim k razy punkt (-1,j0)
2. Układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, przy założeniu, że równanie charakterystyczne
układu otwartego nie ma pierwiastków w prawej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej, wtedy i tylko
wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa ukÅ‚adu otwartego przy zmianie pulsacji É od -"
do " nie obejmuje punktu (-1,j0).
3. Na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej punkt (-1,j0) nazywamy punktem Nyquista.
W pewnych przypadkach wygodniej jest posługiwać tzw. regułą lewej strony, która mówi, że układ
zamkniÄ™ty jest stabilny, jeżeli przy wzroÅ›cie É od 0 do " , punkt (-1,j0) znajduje siÄ™ w obszarze po
lewej stronie wykresu Go(jw).
W praktycznych zastosowaniach kryterium Nyquista jest szczególnie przydatne w przypadku, gdy
ukÅ‚ad otwarty jest stabilny. Można wtedy korzystać z przebiegu charakterystyki G ( jÉ) o ukÅ‚adu
otwartego zdjętej doświadczalnie, co pozwala na badanie stabilności także układu,
którego opis matematyczny nie jest znany.
Przyjmując wartości stałych czasowych zadanych przez prowadzącego zbadać stabilność obiektu
dynamicznego, korzystajÄ…c z kryterium Nyquista.
Następnie sprawdzić odpowiedz
obiektu dynamicznego w układzie zamkniętym.
Czy odpowiedz
układu w układzie zamkniętym jest zgodna z oczekiwaniami?
Zarejestrować odpowiedz
na skok jednostkowy, charakterystyki częstotliwościowe oraz pierwiastki
równania charakterystycznego układu otwartego i zamkniętego.
T0 T1 T2 T3 kp ki p1 p2 p3 Kryterium
stabilności
spełnione
(TAK/NIE)
0
0
0
3
4.3 Wyznaczenie zapasu stabilności
Zapas stabilności  Nyguist
Zapas wzmocnienia Gm  odwrotność długości odcinka wyznaczonego przez początek układu
współrzÄ™dnych oraz punkt przeciÄ™cia wykresu Nyquista z ujemnÄ… półosiÄ… Re(G(jÉ)).
Zapas fazy Pm  kąt między półprostą wychodzącą z początku układu współrzędnych i
przechodzącą przez punkt przecięcia wykresu Nyquista z kołem jednostkowym.
Wyznaczenie zapasu wzmocnienia i zapasu fazy na podstawie wykresów Bodego
Zapas wzmocnienia Gm (ang. gain margin)  wartość wzmocnienia, dla którego faza osiąga -
180°. Jego wartość oznacza o ile można zwiÄ™kszyć wzmocnienie zanim stracimy stabilność.
Zapas fazy Pm (ang. phase margin)  wartość fazy dla częstotliwości, przy której wzmocnienie
wynosi 1 (0 dB). Jego wartość oznacza o ile można zmniejszyć przesunięcie fazowe zanim
stracimy stabilność.
W celu wyznaczenia zapasu fazy należy wyznaczyć tzw. pulsację odcięcia, tj. pulsacje ,która
speÅ‚nia warunek 20lg M(Éo)=0 a nastÄ™pnie okreÅ›lić fazÄ™ Åš(Éo). Zapasem fazy okreÅ›la siÄ™
sumÄ™ _f= 180 - Åš(Éo) [deg] JeÅ›li jest ona dodatnia ukÅ‚ad jest stabilny z zapasem fazy _f,
który mówi o tym, o ile można zwiększyć fazę układu otwartego bez zmiany jego
wzmocnienia, aby układ pozostawał jeszcze stabilnym . Zapas modułu można wyznaczyć
okreÅ›lajÄ…c É dla której Åš(É - ) = -180 deg a nastÄ™pnie pomierzyć dla tej samej pulsacji
moduÅ‚ Lm(É - ) . Jest on równy zapasowi moduÅ‚u, gdyż wÅ‚aÅ›nie o tyle można zwiÄ™kszyć
moduł w układzie, aby przy niezmiennej fazie pozostawał on stabilny. Aby wyznaczyć, o ile
można zwiększyć wzmocnienie układu otwartego, należy skorzystać z zależności: Lm=20lgK
4
4.3.1 Wyznaczenie zapasu stabilności w układzie zamkniętym z regulatorem proporcjonalnym
Wartości stałych czasowych przyjąć podane przez prowadzącego. Wartość współczynnika kp
dobrać tak aby układ był: stabilny, niestabilny, na granicy stabilności. Wyznaczyć zapas stabilności
korzystając z kryteriów Nyquista i Bodego. Zarejestrować otrzymane charakterystyki.
T0=...., T1=...., T2=..., T3=.....
Nyquist Bode
kp Gm Pm Gm Pm
układ stabilny
układ stabilny
układ stabilny
układ niestabilny
układ na granicy stab.
Jaki jest wpływ współczynnika kp na zapas stabilności?
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
5
4.3.2 Wyznaczenie zapasu stabilności w układzie zamkniętym z regulatorem całkującym
Włączyć w układ szeregowo człon całkujący. Wartość kp ustawić na 1. Wartości stałych czasowych
przyjąć jak w poprzednim punkcie.
Wartość współczynnika ki dobrać tak aby układ był: stabilny, niestabilny, na granicy stabilności.
Wyznaczyć zapas stabilności korzystając z kryteriów Nyquista i Bodego.
Zarejestrować otrzymane charakterystyki.
T0=...., T1=...., T2=..., T3=.....
Nyquist Bode
ki Gm Pm Gm Pm
układ stabilny
układ stabilny
układ stabilny
układ niestabilny
układ na granicy stab.
Jaki jest wpływ współczynnika kp na zapas stabilności?
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
4.3.3 Wyznaczenie zapasu stabilności w układzie zamkniętym z regulatorem proporcjonalnym
i całkującym
Wartości stałych czasowych przyjąć jak w poprzednim punkcie.
Wartość współczynników kp oraz ki dobrać tak aby układ był: stabilny, niestabilny, na granicy
stabilności. Wyznaczyć zapas stabilności korzystając z kryteriów Nyquista i Bodego.
Zarejestrować otrzymane charakterystyki.
T0=...., T1=...., T2=..., T3=.....
Nyquist Bode
kp ki Gm Pm Gm Pm
układ stabilny
układ stabilny
układ stabilny
układ niestabilny
układ na granicy
stab.
Jaki jest wpływ współczynników ki oraz kp na zapas stabilności?
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
6
4.4 Regulacja układu członem proporcjonalnym
uchyb statyczny (ustalony)- w układzie regulacji jest to różnica między wartością zadaną sygnału
oraz wartością sygnału wyjściowego w stanie ustalonym.
czas regulacji - czas od chwili - czas o chwili pobudzenia do chwili gdy uchyb przejściowy zmaleje
trwale poniżej 5% wartości maksymalnej
przeregulowanie - jest stosunkiem początkowej maksymalnej wartości uchybu przejściowego do
największej wartości uchybu o znaku przeciwnym (ye2/ye1*100%)
Z układu wyłączyć człon całkujący. Wartość ki ustawić na 0.
W polu 'zakłócenia' wprowadzić wartość 0.2. Zniwelować uchyb, korzystając ze współczynnika kp.
Czy możliwe jest zniwelowania uchybu statycznego? (wartość zadana =1)
Czy możliwe byłoby w układzie otwartym?
Zarejestrować odpowiedzi na skok jednostkowy.
Następnie zmienić wartość zakłócenia na 'rand(1)' i ponownie wykonać regulację.
Czy możliwe jest zniwelowania uchybu statycznego?
4.5 Regulacja układu członem całkującym
Włączyć do układu człon całkujący, powtórzyć regulację korzystając ze współczynnika ki.
W polu 'zakłócenia' wprowadzić wartość 0.2. Zniwelować uchyb, korzystając ze współczynnika ki.
Czy możliwe jest zniwelowania uchybu statycznego? (wartość zadana =1)
Czy możliwe byłoby w układzie otwartym?
Zarejestrować odpowiedzi na skok jednostkowy.
Następnie zmienić wartość zakłócenia na 'rand(1)' i ponownie wykonać regulację.
Czy możliwe jest zniwelowanie uchybu statycznego?
4.6 Badanie jakości regulacji
W układzie zamkniętym z członami proporcjonalnym oraz całkującym, i stałym zakłóceniem
wykreślić co najmniej 4 odpowiedzi na skok jednostkowy. Dla zarejestrowanych przebiegów
wyznaczyć: uchyb statyczny (ustalony), czas regulacji oraz przeregulowanie.
7
5 Zakres sprawozdania
Sprawozdanie powinno zawierać następujące nagłówki i odpowiedzi na poniższe pytania:
1. Sterowanie w układzie otwartym
- jaki jest wpływ poszczególnych stałych czasowych oraz współczynnika wzmocnienia na
odpowiedz
obiektów n-tego rzędu na skok jednostkowy?
2. Kryterium Nyquista
- należy zamieścić równanie transmitancji badanego układu otwartego oraz zamkniętego. Dla
obydwu układów zamieścić charakterystyki: odpowiedz
na skok jednostkowy oraz charakterystyki
częstotliwościowe.
- należy przestawić nanieść pierwiastki wielomianu charakterystycznego na płaszczyznę zespoloną.
Co można powiedzieć o stabilności układu na podstawie położenia tych pierwiastków?
3. Wyznaczenie zapasu stabilności w układzie zamkniętym z regulatorem proporcjonalnym
- co to jest zapas stabilności i jak się go wyznacza? jaki jest wpływ współczynnika kp na zapas
stabilności? czy przy zastosowaniu różnych metod wyznaczania zapasu stabilności otrzymano
jednakowe wyniki? Jeśli nie dlaczego?
4. Wyznaczenie zapasu stabilności w układzie zamkniętym z regulatorem całkującym
-jaki jest wpływ współczynnika ki na zapas stabilności? czy przy zastosowaniu różnych metod
wyznaczania zapasu stabilności otrzymano jednakowe wyniki? Jeśli nie dlaczego?
5. Regulacja układu członem proporcjonalnym
Jakie jest regulacyjne członu proporcjonalnego? Czy możliwe jest zniwelowania uchybu
statycznego?
W układzie zamkniętym lub otwartym?
6. Regulacja układu członem całkującym
Jakie jest regulacyjne członu całkującego? Czy możliwe jest zniwelowania uchybu statycznego?
W układzie zamkniętym lub otwartym?
7. Badanie jakości regulacji
Jaki jest wpływ współczynników kp i ki na uchyb statyczny (ustalony) czas regulacji oraz
przeregulowanie? Jaka jest zależność między przeregulowaniem a zapasem stabilności?
8. Badanie sterowalności, obserwowalności i stabilności
Dla układu wyrażonego poniższą transmitancją wyznaczyć stabilność, sterowalności i
obserwowalność:
kp
G(s) =ð
T3s3 +ðT2s2 +ðT1s +ðT0
Wartości współczynników przyjąć jak na laboratorium.
Czy układ jest sterowalny, obserwowalny i stabilny dla dowolnego kp?
8
6 Literatura pomocna do wykonania ćwiczenia, przygotowania sprawozdania i przygotowania
siÄ™ do zaliczenia:
1. Brzózka J., Ćwiczenia z automatyki w MATLABIE i SIMULINKU, Mikom, Warszawa, 1997.
2. Dębowski A.: Automatyka. Podstawy teorii, WNT, Warszawa 2008.
3. Frelek B. i inni, Laboratorium podstaw automatyki, W PW, 1984.
4. Mrozek B+Z, Matlab 5.x i Simulink 2.x, Wydawnictwo PLJ, Warszawa 1998.
5. Nowacki P., Szklarski L., Górecki H.: Podstawy teorii układu regulacji autonomicznej. Tom I,
PWN, Warszawa 1970.
6. Pełczewski W., Teoria sterowania, WNT, Warszawa 1980.
7. Żelazny M., Podstawy automatyki, PWN, Warszawa 1976.
8. Badania obiektów dynamicznych (z zastosowaniem programu MATLAB) - Przykłady
programów do wykonania w czasie zajęć laboratoryjnych. Opracowanie WTPW, Warszawa
2002.
9