POLITECHNIKA WARSZAWSKA
WYDZIAA
TRANSPORTU
LABORATORIUM PODSTAW
AUTOMATYKI
SPRAWOZDANIE: ĆWICZENIE NR 1
TEMAT ĆWICZENIA: OBIEKT
DYNAMICZNY LINIOWY
Grupa: SRD
Zespół G:
Kacprzak Rafał
Mętrak Krzysztof
Kopański Marek
1. Wstęp teoretyczny
Układem dynamicznym nazywamy układ fizyczny, który rozpatrywany jest z punktu widzenia jego
zachowania siÄ™ w czasie.
Sterowalność  układ nazywa się całkowicie sterowalnym, jeżeli za pomocą odpowiedniego,
ograniczonego przedziałami, ciągłymi sterowania u(t), można przeprowadzić go z dowolnego stanu
początkowego x(t0) do zadanego dowolnego stanu końcowego x(tk) w skończonym czasie tk.
Obserwowalność  układ nazywa się całkowicie obserwowalnym, jeżeli przy zadanym dowolnym
sterowaniu istnieje skończona chwila tk taka, że na podstawie znajomości sterowania u(t) i
odpowiedzi y(t) w przedziale (t0,tk> można wyznaczyć stan początkowy x(t0) w każdej chwili t0.
Stabilność  zdolność układu do powrotu do stanu równowagi po ustaniu wymuszenia, które ten
układ ze stanu równowagi wytrąciła.
2. Przebieg ćwiczenia
2.1. Badanie podstawowych układów dynamicznych
Podczas wykonywania ćwiczenia mieliśmy za zadanie zbadać podstawowe człony dynamiczne. W
celu nastawienia parametrów modelu należało z równań wyznaczyć macierze A, B, C, D.
Równanie stanu:
gdzie:
x(t)  wektor stanu
A  macierz stanu
B  macierz wejścia
Równanie wyjścia:
y(t)  wektor wyjściowy
x(t)  wektor stanu
C  macierz wyjścia
D  macierz transmisyjna
I. Człon bezinercyjny
Równanie: y=kp*u
0 0
1 0
0 0
0 0
A= B= C= D=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 0 0
0 0
0 0
0 0
Na tablicy pomiarowej nie mogliśmy ustawić wartości 1 dla macierzy D, dlatego równanie
wymnożyliśmy przez (-1) skąd otrzymaliśmy -y=-kp*u. Poniżej prezentujemy zmienioną macierz D
-1 0
D'=
[ ]
0 0
Charakterystyka jest zgodna z teoretyczną i przedstawiliśmy ją w załączniku.
II. Człon całkujący
Równanie stanu: ‹=u
y=ky"x
Równanie wyjścia:
-1 0 1 0 1 0 0 0
A= B= C= D=
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 0 0 0 0
Charakterystyka jest zgodna z teoretyczną i przedstawiliśmy ją w załączniku.
III.Człon inercyjny
Równanie stanu: T"‹=-x+u
y=k "x
Równanie wyjścia:
p
-1 0 1 0 1 0 0 0
A= B= C= D=
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 0 0 0 0
Charakterystyka jest zgodna z teoretyczną i przedstawiliśmy ją w załączniku.
IV. Człon różniczkujący
T "‹=-Ä…"x+Ä…"u
Równanie stanu:
d
Równanie wyjścia: y=-ą"x+ą"u
-1 0 1 0 -1 0 1 0
A= B= C= D=
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 0 0 0 0
Na tablicy pomiarowej nie mogliśmy ustawić wartości 1 dla macierzy D, dlatego równanie
wymnożyliśmy przez (-1) skąd otrzymaliśmy -y=ą"x-ą"u . Poniżej prezentujemy zmienioną
macierz D oraz C.
1 0 -1 0
C'= D'=
[ ] [ ]
0 0 0 0
Charakterystyka jest zgodna z teoretyczną i przedstawiliśmy ją w załączniku.
V. Człon proporcjonalno całkujący
T "‹=u
Równanie stanu:
i
y=k "x+k "u
Równanie wyjścia:
p p
0 0 1 0 1 0 1 0
A= B= C= D=
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 0 0 0 0
Na tablicy pomiarowej nie mogliśmy ustawić wartości 1 dla macierzy D, dlatego równanie
-y=-k "x-k "u
wymnożyliśmy przez (-1) skąd otrzymaliśmy . Poniżej prezentujemy
p p
zmienionÄ… macierz C oraz D.
-1 0 -1 0
C= D=
[ ] [ ]
0 0 0 0
Charakterystyka jest zgodna z teoretyczną i przedstawiliśmy ją w załączniku.
VI. Człon dwuinercyjny
T "‹1=-x1+u
Równania stanu:
1
T "‹2= x1- x2
2
y=k "x2
Równanie wyjścia:
p
-1 0 1 0 0 1 0 0
A= B= C= D=
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 -1 0 0 0 0 0 0
Charakterystyka jest zgodna z teoretyczną i przedstawiliśmy ją w załączniku.
VII. Człon oscylacyjny
Równania stanu: ‹1=É2"x2
n
‹2=-x1-2Én"x2+u
y=k"x1
Równanie wyjścia:
0 1 0 0 1 0 0 0
A= B= C= D=
[ ] [ ] [ ] [ ]
-1 -1 1 0 0 0 0 0
Charakterystyka jest zgodna z teoretyczną i przedstawiliśmy ją w załączniku.
Ponadto dla członu oscylacyjnego otrzymaliśmy dodatkowe zadanie jakim było wykreślenie
charakterystyk o macierzach podanych poniżej:
0 1 0 0 1 0 0 0
A= B= C= D=
[ ] [ ] [ ] [ ]
-1 -1 1 0 0 0 0 0
0 7 0 0 1 0 0 0
A1= B1= C1= D1=
[ ] [ ] [ ] [ ]
-1 -1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
A2= B2= C2= D2=
[ ] [ ] [ ] [ ]
-7 -1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
A3= B3= C3= D3=
[ ] [ ] [ ] [ ]
-1 -7 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
A4= B4= C4= D4=
[ ] [ ] [ ] [ ]
-1 0 1 0 0 0 0 0
Wszystkie wykonane charakterystyki zostały umieszczone w załączniku.
2.2. Badanie prostego układu regulacji
Transmitancja zastępcza układu prezentuje się następująco:
1
G(s)=
s2+s+1
Obliczenie transmitacji wypadkowej:
Y (s)
G(s)=
U (s)
Y (s)
1
=
U (s)
s2+s+1
Y (s)"s2+Y (s)"s+Y (s)=U (s)
y' ' (t)+ y' (t )+ y (t)=u(t)
y(t)= x1(t)
{
x1(t)= x2(t)
x '1(t)= x2(t)
x '2(t)=-x1(t )-x2(t )+u (t)
{
y(t)=x1(t )
Macierze odnoszące się do powyższych równań:
0 1 0 0 1 0 0 0
A= B= C= D=
[ ] [ ] [ ] [ ]
-1 -1 1 0 0 0 0 0
Badanie sterowalności:
Warunkiem koniecznym i dostatecznym sterowalności jest, aby macierz
o n-wierszach i m-kolumnach miała rząd n, czyli n-liniowo
S =[ B , AB , A2 B ,... , An-1 B]
niezależnych kolumn.
Warunek:
det S =[B , AB , A2 B ,... , An-1 B ]`"0
0 1 0
A= B=
[ ] [ ]
-1 -1 1
wtedy:
0 1 0 1
AB= =
[ ][ ] [ ]
-1 -1 1 -1
0 1
det S = =-1`"0
#" #"
1 -1
Układ jest sterowalny
Badanie obserwowalności:
C
AC
O=
Warunkiem koniecznym i dostatecznym obserwowalności jest, aby macierz A2C o
...
[ ]
An-1 C
wymiarach m x n miała rząd n, czyli zawierała n liniowo niezależnych wierszy. Dla ułatwienia
analizy macierzy O wprowadza się macierz W, która jest transpozycją macierzy O. Warunek
obserwowalności odnoszący się do macierzy W formułuje się następująco: układ jest całkowicie
T
obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rzÄ…d macierzy
W =[CT , AT CT , A2TC ,... , AT"(n-1)CT ]
jest równy n.
1
0 -1
CT=
[ ] AT=
C= 1 0
[ ]
[ ]
0
1 -1
Wtedy:
0 -1
1 1
AT CT= =
[ ]
[ ] [ ]
1 -1 0 0
Wtedy W:
1 0
W =
[ ]
0 1
1 0
det W = =1`"0
#" #"
0 1
Układ jest obserwowalny.
Badanie stabilności:
Do zbadania czy układ jest stabilny stosujemy kryterium Hurwitza.
1
G(s)=
s2+s+1
Równanie charakterystyczne :
a2s2+a1s+a0=0
Warunkiem koniecznym stabilności jest, aby wartości współczynników były dodatnie, u nas ten
warunek jest spełniony ponieważ a2=1, a1=1 oraz a0=1.
Warunkiem koniecznym oraz dostatecznym jest :
a0 0
"0= =a0"a1=1>0 "1=a1=1>0
[ ]
a2 a1
Warunek konieczny oraz dostateczny został spełniony.
Układ jest stabilny.
3. Wnioski
Na ćwiczeniu przeprowadzaliśmy badania różnych członów dynamicznych poprzez odpowiednie
modelowanie macierzy A, B, C, D dla dwóch poszczególnych napięć (napięcia U1 oraz U2, gdzie
U1Badane człony:
a) bezinercyjny  im większe napięcie tym wartość wyjściowa rośnie
b) całkujący  wartość napięcia zmienia kąt pochylenia charakterystyki, im większe napięcie tym
kąt jest większy
c) inercyjny  na początku charakterystyka rośnie bardzo gwałtownie(im większe napięcie tym
charakterystyka rośnie bardziej), aby następnie przy pewnej wartości przypominać prostą poziomą
d) różniczkujący  na początku charakterystyka rośnie bardzo gwałtownie do pewnej wartości, aby
następnie opadać. Im większe napięcie tym skok jest większy
f) proporcjonalno całkujący  na początku widać skok charakterystyki (im większe napięcie tym
skok jest większy) następnie przypomina charakterystykę całkującą
g) dwuinercyjny  podobnie do członu inercyjnego, im większe napięcie tym charakterystyka rośnie
gwałtowniej
h) oscylacyjny  im większe napięcie podane na początku tym amplituda oscylacji się zwiększa.
Następnie wykonaliśmy charakterystyki zmieniając wartości macierzy A dla charakterystyki
oscylacyjnej. Po wyrysowaniu charakterystyk mogliśmy zaobserwować zmiany zachowania się
układu dla zmienionych wartości macierzy.
Na podstawie poniższej macierzy zaobserowaliśmy, jak zmienia się charakterystyka dla
zmienionych poszczególnych wartości macierzy:
a11 a12
A=
[ ]
a21 a22
Zmiana współczynnika:
a11  wspóczynnik nie ulegał zmianie
a12  powoduje zmianę oscylacji(są większe)
a21  tłumi wykres odpowiedzi
a22  tłumi oscylacje
W drugiej części ćwiczenia sprawdzaliśmy stabilność, sterowalność oraz obserowalność układu
dynamicznego. Po znalezieniu równań (stanu oraz wyjścia) oraz macierzy A, B, C, D
stwierdziliśmy, że zadany układ jest stabilny, sterowalny oraz obserwowalny.