Wiadomości wstępne
ALGEBRA WYKA
AD 2
Struktury algebraiczne
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
JeÅ›li (G , ·) jest grupÄ…, to
-1
(1) a-1 = a ,
"
a"G
-1
(2) ab = b-1a-1 ,
" "
a"G b"G

(3) ab = ac =Ò! b = c ,
" " "
a"G b"G c"G

(4) ba = ca =Ò! b = c ,
" " "
a"G b"G c"G

(5) ax = b '" ya = b .
" " " "
a"G b"G x"G y"G
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
D o w ó d. Warunek (1) wynika bezpośrednio z definicji
elementu odwrotnego.
Ad. (2). Niech a i b będą dowolnymi elementami grupy G .
Wtedy

(ab) · b-1 · a-1 = a · b · b-1 · a-1 =

= a · bb-1 · a-1 == a ea-1 = aa-1 = e,
co dowodzi warunku (2).
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Ad. (3).
Niech teraz a, b oraz c będą dowolnymi elementami grupy G .
Jeśli ab = ac, to również
a-1 · (ab) = a-1 · (ac),
więc

a-1 · a · b = a-1 · a · c,
zatem eb = ec, czyli b = c.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Dowód warunku (4) jest analogiczny.
Ad. (5). Niech a i b będą dowolnymi elementami tej grupy.
Wtedy element a-1 · b jest elementem grupy G i

a · a-1 · b = aa-1 · b = eb = b,
co oznacza, że element a-1·b jest rozwiÄ…zaniem równania
ax = b.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Podobnie, element ba-1 jest elementem grupy G i

b·a-1 · a = b· a-1 · a = be = b,
co oznacza, że element b·a-1 jest rozwiÄ…zaniem równania
ya = b.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Zauważmy, że, na podstawie (3) i (4), każde z równań ax = b
i ya = b ma jedno rozwiÄ…zanie w grupie G .
Istotnie. Niech a i b bÄ™dÄ… dowolnymi elementami grupy (G , ·).
Wtedy jeśli x1 i x2 są rozwiązaniami równania ax = b, czyli
ax1 = b i ax2 = b,
to ax1 = ax2,
skąd wynika równość x1 = x2.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Ostatni warunek powyższego twierdzenia można wzmocnić,
uzyskując następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Półgrupa (G , ·) jest grupÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych
elementów a i b ze zbioru G istnieją rozwiązania równań
ax = b oraz ya = b.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Definicja
Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) nazywamy podgrupÄ…, jeÅ›li zbiór
H z dziaÅ‚aniem · (obciÄ™tym do zbioru H × H ) jest grupÄ….
Twierdzenie
Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupÄ… wtedy i tylko
wtedy, gdy

a·b " H ,
" "
a"H b"H

a-1 " H .
"
a"H
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
D o w ó d. Oczywiście, jeśli H jest podgrupą, to spełnione są
powyższe warunki.
Jeśli spełnione są powyższe warunki, to z warunku pierwszego
wynika, że funkcja ·|H ×H jest dziaÅ‚aniem w zbiorze H .
Oczywiście, jest to działanie łączne, gdyż dla większego zbioru
spełniony jest warunek łączności.
Drugi warunek stwierdza, że każdy element zbioru H ma
element odwrotny (w zbiorze G ) należący do zbioru H .
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Pozostaje nam udowodnić, że element neutralny grupy G
należy też do zbioru H .
Ponieważ zbiór H jest niepusty, więc istnieje w tym zbiorze
jakiÅ› element a.
Wtedy, z pierwszego z powyższych warunków, wynika, że
e = a · a-1 " H ,
skÄ…d wnioskujemy, że (H , ·) jest grupÄ…, czyli podgrupÄ… grupy
G .
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Twierdzenie
Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupÄ… wtedy i tylko
wtedy, gdy

a·b-1 " H .
" "
a"H b"H
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Twierdzenie
SkoÅ„czony niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupÄ… wtedy
i tylko wtedy, gdy

a·b " H .
" "
a"H b"H
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Definicja
Niech (G , ·) i (H , ć%) bÄ™dÄ… grupami. FunkcjÄ™ Ć : G - H
nazywamy homomorfizmem, jeśli dla każdych dwóch elementów a i
b ze zbioru G spełniony jest warunek
Ć(a · b) = Ć(a) ć% Ć(b).
Definicja
Homomorfizm Ć : G - H grupy G w grupę H nazywamy
izomorfizmem, jeśli Ć jest funkcją wzajemnie jednoznaczną
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
PierÅ›cieniem nazywamy strukturÄ™ algebraicznÄ… (R, +, ·),
spełniającą następujące warunki:

a + b = b + a ,
" "
a"R b"R

(a + b) + c = a + (b + c) ,
" " "
a"R b"R c"R

Åš + a = a ,
" "
Åš"R a"R

a + a = Åš ,
" "
a"R a"R

a · (b + c) = (ab) + (ac) ,
" " "
a"R b"R c"R

(a + b) · c) = (ac) + (bc) ,
" " "
a"R b"R c"R

(ab)c = a(bc) ,
" " "
a"R b"R c"R

aÄ… = Ä…a = a .
" "
Ä…"R a"R
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Inaczej mówiąc, pierścieniem nazywamy strukturę algebraiczną
(R, +, ·), speÅ‚niajÄ…cÄ… nastÄ™pujÄ…ce warunki:
(R, +) jest grupÄ… przemiennÄ…,
(R, ·) jest półgrupÄ… z jedynkÄ…,
 mnożenie jest działaniem rozdzielnym względem
 dodawania .
Element neutralny grupy (R, +) nazywamy zerem pierścienia i
oznaczamy symbolem 0, jedynkÄ™ półgrupy (R, ·) nazywamy
jedynką pierścienia i oznaczamy symbolem 1.
Element odwrotny do elementu a względem działania +
nazywamy elementem przeciwnym do elementu a i oznaczamy
symbolem -a.
Często zamiast a + (-b) będziemy pisali a - b.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
JeÅ›li dziaÅ‚anie · pierÅ›cienia (R, +, ·) jest dziaÅ‚aniem
przemiennym, to taki pierścień nazywamy pierścieniem
przemiennym.
Przykład
PrzykÅ‚adem pierÅ›cienia jest (Z, +, ·), gdzie dziaÅ‚ania + i · sÄ…
zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia liczb.
Przykład
Struktura algebraiczna (N, +, ·) nie jest pierÅ›cieniem, gdyż (N, +)
nie jest grupÄ….
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Definicja
PodpierÅ›cieniem pierÅ›cienia (R, +, ·) nazywamy podzbiór K
zbioru R, który z dziaÅ‚aniami + i · stanowi pierÅ›cieÅ„ i zawiera
jedynkę pierścienia R.
Twierdzenie
JeÅ›li (R, +, ·) jest pierÅ›cieniem, to podzbiór K zbioru R,
zawierający jedynkę, stanowi podpierścień pierścienia R wtedy
i tylko wtedy, gdy

1. ab " K ,
" "
a"K b"K

2. a - b " K .
" "
a"K b"K
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Twierdzenie
Dla każdego pierÅ›cienia (R, +, ·) speÅ‚nione sÄ… nastÄ™pujÄ…ce warunki:

a · 0 = 0 · a = 0 ,
"
a"R

a · (-b) = (-a) · b = -(ab) ,
" "
a"R b"R

(-a) · (-b) = ab ,
" "
a"R b"R

(a - b) · c = (ac) - (bc),
" " "
a"R b"R c"R

c · (a - b) = (ca) - (cb) .
" " "
a"R b"R c"R
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
D o w ó d. Ponieważ 0 + 0 = 0, więc dla każdego elementu a
pierścienia R mamy:
0 + a · 0 = a · 0 = a · (0 + 0) = (a · 0) + (a · 0),
skąd na mocy prawa skracania w grupie wynika, że
a · 0 = 0.
W podobny sposób dowodzimy równoÅ›ci 0 · a = 0 dla każdego
elementu a pierścienia R.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Niech a i b będą dowolnymi elementami pierścienia R.
Ponieważ
0 = b + (-b),
więc
0 = a · 0 = a · (b + (-b)) = (ab) + (a · (-b)),
skąd wynika równość
a · (-b) = -(ab).
Podobnie dowodzimy, że
(-a) · b = -(ab)
dla dowolnych elementów a i b pierścienia R.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Niech znowu a i b będą dowolnymi elementami pierścienia R.
Wtedy
(-a) · (-b) = -(a · (-b)) = -(-(ab)) = ab,
co dowodzi następnego warunku twierdzenia.
Niech teraz a, b i c będą dowolnymi elementami pierścienia
R. Wtedy
(a - b) · c = [a + (-b)] · c = (a · c) + (-b) · c = (a · c) - (b · c),
skÄ…d wynika kolejny warunek twierdzenia.
Podobnie dowodzi siÄ™ ostatniego warunku tego twierdzenia.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
W dalszym ciągu będziemy stosowali tradycyjną zasadę
opuszczania nawiasów w wyrażeniach takich jak
(ac) - (bc),
traktując  mnożenie (czyli działanie oznaczane kropką) jako
działanie wykonywane w pierwszej kolejności, a  dodawanie
(czyli działanie oznaczane plusem) jako działanie wykonywane
w następnej kolejności.
Jeśli jedynym elementem pierścienia R jest element zerowy, to
taki pierścień nazywamy pierścieniem zerowym.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Pierścień mający więcej niż jeden element nazywamy
pierścieniem niezerowym. W takim przypadku 0 = 1.

Istotnie, gdyby element 1 był równy elementowi 0, to dla
każdego elementu a pierścienia, mielibyśmy
a = a · 1 = a · 0 = 0,
co jest sprzeczne z założeniem, że pierścień ma co najmniej
dwa elementy.
W dalszym ciągu będziemy rozważali pierścienie niezerowe.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Elementem odwracalnym w pierÅ›cieniu (R, +, ·) z jedynkÄ…
(różną od zera) nazywamy taki element a, dla którego istnieje
element b w pierścieniu R, spełniający warunek
ab = ba = 1.
Oczywiście wtedy a = 0 i b = 0.

Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Ciałem nazywamy pierścień przemienny z jedynką (różną od
zera), w którym wszystkie elementy różne od zera są
odwracalne.
Inaczej możemy określić ciało w następujący sposób.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Definicja
CiaÅ‚em nazywamy strukturÄ™ algebraicznÄ… (F, +, ·), speÅ‚niajÄ…cÄ…
następujące warunki:

1. a + b = b + a ,
" "
a"F b"F

2. (a + b) + c = a + (b + c) ,
" " "
a"F b"F c"F

3. Åš + a = a ,
" "
Åš"F a"F

4. a + a = Åš ,
" "
a"F a"F

5. a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ,
" " "
a"F b"F c"F

6. a · b = b · a ,
" "
a"F b"F

7. (a · b) · c = a · (b · c) ,
" " "
a"F b"F c"F

8. Ä… · a = a ,
" "
Ä…"F\{Åš} a"F

9. a · a = Ä… .
" "
a"F\{Åš} a "F\{Åš}
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Jeszcze inaczej można warunki ciała wyrazić następująco:
CiaÅ‚em nazywamy strukturÄ™ algebraicznÄ… (F, +, ·), gdzie F ma
co najmniej dwa elementy oraz
1. (F, +) jest grupą przemienną, w której Ś jest elementem
neutralnym  dodawania,
2. (F \ {Åš}, ·) jest grupÄ… przemiennÄ…,
3.  mnożenie jest rozdzielne względem dodawania z obu stron.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
W dalszym ciÄ…gu przyjmujemy starÄ… konwencjÄ™ opuszczania
 kropki jako znaku dziaÅ‚ania · oraz pisania
ab + cd
zamiast
(a · b) + (c · d).
Ponadto zawsze:
element neutralny dodawania (zero) będziemy oznaczali
symbolem 0,
element neutralny mnożenia (jedynkę)  symbolem 1,
element odwrotny (przeciwny) do elementu a względem
działania + oznaczamy symbolem -a,
natomiast element odwrotny do elementu a względem
dziaÅ‚ania · oznaczamy symbolem a-1.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
W dalszym ciągu będziemy stosowali umowę, iż jeśli mówimy
o pewnych ciałach i ustaliliśmy w nich działania, to dane ciała
będziemy wymieniali zaznaczając tylko zbiory ich elementów,
pomijając oznaczenia działań.
Przykład
PrzykÅ‚adami ciaÅ‚ sÄ…: (R, +, ·) i (Q, +, ·), gdzie + i · sÄ… zwykÅ‚ymi
działaniami dodawania i mnożenia liczb.
Przykład
Struktura algebraiczna (Z, +, ·) nie jest ciaÅ‚em. Istotnie,
(Z \ {0}, ·) nie jest grupÄ…, gdyż nie każdy element jest odwracalny.
Takim nieodwracalnym elementem jest np. 2.
W ciele (F, +, ·) przyjmujemy oznaczenia:
1 a
b-1 = , i ab-1 = , gdy b = 0.

b b
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
A
atwo udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie
W dowolnym ciele (F, +, ·) speÅ‚nione sÄ… warunki:
a at
= , gdy b = 0, t = 0,

b bt
a c ad + bc
+ = , gdy b = 0, d = 0,

b d bd
a c ac
· = , gdy b = 0, d = 0,

b d bd
a c ad
: = , gdy b = 0, d = 0, c = 0.

b d bc
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Twierdzenie
JeÅ›li (F, +, ·) jest ciaÅ‚em, x i y sÄ… elementami ciaÅ‚a F oraz
x · y = 0, to x = 0 lub y = 0.
D o w ó d. Przypuśćmy, że x = 0. Wtedy istnieje element x-1

odwrotny do elementu x i

y = 1 · y = x-1 · x · y = x-1 · (x · y) = x-1 · 0 = 0,
a stÄ…d wynika teza.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Definicja
PodciaÅ‚em ciaÅ‚a (F, +, ·) nazywamy podzbiór K zbioru F, który z
dziaÅ‚aniami + i · stanowi ciaÅ‚o.
Bezpośrednio z definicji wynika następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Niech (F, +, ·) bÄ™dzie dowolnym ciaÅ‚em. Podzbiór K zbioru F
stanowi podciało ciała F wtedy i tylko wtedy, gdy K ma co
najmniej dwa elementy oraz spełnia następujące warunki:

1. a - b " K ,
" "
a"K b"K

2. ab-1 " K .
" "
a"K b"K\{0}
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Przykład
Znając własności zbiorów liczbowych, łatwo zauważamy, że
(Q, +, ·) jest podciaÅ‚em ciaÅ‚a (R, +, ·). Natomiast struktura
(Z, +, ·) nie jest podciaÅ‚em ciaÅ‚a (Q, +, ·) ani ciaÅ‚a (R, +, ·).
Definicja
Niech (R, +, ·) i (K , •", ) bÄ™dÄ… pierÅ›cieniami.
Funkcję Ć : R - K nazywamy homomorfizmem, jeśli
spełnia następujące warunki:

1. Ć(a + b) = Ć(a) •" Ć(b) ,
" "
a"R b"R

2. Ć(a · b) = Ć(a) Ć(b) ,
" "
a"R b"R
3. Ć (1R) = 1K , gdzie 1R i 1K oznaczają jedynki w
odpowiednich pierścieniach.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Homomorfizm Ć : R - K nazywamy monomorfizmem, jeśli
Ć jest funkcją różnowartościową.
Homomorfizm Ć : R - K nazywamy epimorfizmem, jeśli Ć
przekształca pierścień R na pierścień K .
Homomorfizm Ć : R - K nazywamy izomorfizmem, jeśli Ć
jest funkcjÄ… wzajemnie jednoznacznÄ….
Zauważamy bez trudu, że izomorfizm jest jednocześnie
monomorfizmem i epimorfizmem.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Mówimy często, że homomorfizm zachowuje działania.
Warunek (1) z powyższej definicji nazywamy warunkiem
addytywności funkcji Ć.
JeÅ›li Ć jest homomorfizmem pierÅ›cienia (R, +, ·) w pierÅ›cieÅ„


(K , •", ), to zbiór Ć(R) czyli y " K : y = Ć(x)
"
x"R
nazywamy obrazem homomorfizmu Ć.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Twierdzenie
JeÅ›li Ć jest homomorfizmem ciaÅ‚a (F, +, ·) w ciaÅ‚o (K, •", ), to
1. Ć (1F) = 1K,
2. Ć (0F) = 0K,
3. Ć (-a) = -Ć(a), gdy a " F,
-1

4. Ć a-1 = Ć(a) , gdy a " F \ {0F}, gdzie, oczywiście,
0F i 1F oznaczajÄ… zero i jedynkÄ™ w ciele F, natomiast 0K oraz
1K oznaczajÄ… zero i jedynkÄ™ w ciele K.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
D o w ó d. Z warunku addytywnoÅ›ci funkcji Õ wynika:
Ć (0F) = Ć (0F + 0F) = Ć (0F) + Ć (0F) ,
skąd wnioskujemy, że
Ć (0F) = 0K.
Ponadto, Ć(a) + Ć(-a) = Ć (a + (-a)) = Ć (0F) = 0K,
a stąd wynika równość
-Ć(a) = Ć (-a) .
Podobnie dowodzi siÄ™ ostatniego warunku.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Wniosek
Obraz homomorfizmu ciała F w ciało K jest podciałem ciała K.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Twierdzenie
JeÅ›li Ć jest homomorfizmem ciaÅ‚a (F, +, ·) w ciaÅ‚o (K, •", ), to
jest on monomorfizmem.
D o w ó d. Przypuśćmy, że istnieją elementy a i b w ciele F
takie, że a = b i Ć(a) = Ć(b).

Wtedy a - b = 0 oraz Ć(a - b) = Ć(a) - Ć(b) = 0.

StÄ…d

x = x · (a - b)-1 · (a - b) = x · (a - b)-1 · (a - b),
dla każdego elementu x z ciała F
i dalej
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany

Ć(x) = Ć x · (a - b)-1 · Ć ((a - b)) =

= Ć x · (a - b)-1 · (Ć(a) - Ć(b)) =

= Ć x · (a - b)-1 · 0 = 0,
co jest niemożliwe.
Wnioskujemy zatem, że Ć jest monomorfizmem.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
A
atwo zauważamy, że dla dowolnego ciaÅ‚a (F, +, ·), funkcja
tożsamoÅ›ciowa idF jest izomorfizmem ciaÅ‚a (F, +, ·) na siebie.
Niech (F, +, ·) i (K, •", ) bÄ™dÄ… ciaÅ‚ami. Niech ponadto Ć
bÄ™dzie izomorfizmem ciaÅ‚a (F, +, ·) na ciaÅ‚o (K, •", ).
Wiemy, że istnieje funkcja Ć-1 odwrotna do funkcji Ć. Wtedy
dla elementów x i y zbioru K istnieją elementy a i b zbioru F
takie, że
x = Ć(a) i y = Ć(b).
Zatem
a = Ć-1(x) i b = Ć-1(y)
oraz

Ć-1(x •" y) = Ć-1 Ć(a) •" Ć(b) =
= Ć-1 (Ć(a + b)) = a + b = Ć-1(x) + Ć-1(x),
co dowodzi warunku addytywności funkcji Ć-1.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Podobnie, Ć-1 spełnia drugi warunek homomorfizmu:

Ć-1(x y) = Ć-1 Ć(a) Ć(b) =
= Ć-1 (Ć(a · b)) = a · b = Ć-1(x) · Ć-1(x),
skąd wnioskujemy, że Ć-1 jest też izomorfizmem.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Niech teraz (F, +, ·), (K, •", ) i (L, , ) bÄ™dÄ… ciaÅ‚ami a
funkcje
Ć : F - K i È : K - L
izomorfizmami.
Wtedy zÅ‚ożenie (superpozycja) È ć% Ć funkcji È i Ć jest też
izomorfizmem.
Istotnie, złożenie dwu funkcji wzajemnie jednoznacznych jest
funkcjÄ… wzajemnie jednoznacznÄ….
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Udowodnimy teraz, że funkcja È ć% Ć zachowuje dziaÅ‚ania, czyli
jest homomorfizmem.
Niech a i b będą dowolnymi elementami zbioru F.
Wtedy, korzystając z warunku addytywności funkcji Ć i funkcji
È mamy:

(È ć% Ć)(a + b) = È Ć(a + b) = È Ć(a) •" Ć(b) =

= È Ć(a) È Ć(b) = (È ć% Ć)(a) (È ć% Ć)(b).
Podobnie dowodzi się drugiego z warunków homomorfizmu
przeksztaÅ‚cenia È ć% Ć.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Mówimy, że ciaÅ‚o (K, •", ) jest izomorficzne z ciaÅ‚em
(F, +, ·), jeÅ›li istnieje izomorfizm ciaÅ‚a K na ciaÅ‚o F. Piszemy
<"
wtedy K F.
=
Z poprzednich rozważań wynika:
<"
F F,
=
<" <"
F K =Ò! K F,
= =
<" <" <"
(F K '" K L) =Ò! F L.
= = =
W związku z drugim wypisanym powyżej warunkiem, nie
będziemy rozróżniali, czy ciało F jest izomorficzne z ciałem K,
czy odwrotnie. Ponieważ  być izomorficznym ma atrybuty
relacji równoważności, więc ciała izomorficzne są z punktu
widzenia algebry nierozróżnialne; będziemy je więc utożsamiali
(z punktu widzenia własności algebraicznych).
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
W szczególności, jeśli Ć jest monomorfizmem jakiegokolwiek
ciaÅ‚a (F, +, ·) w ciaÅ‚o (K, •", ), to ciaÅ‚o F utożsamiamy z
podciałem Ć(F) ciała K.
W tym sensie zamiast Ć(a) będziemy mogli pisać a dla
każdego elementu a ze zbioru F. W takim przypadku
będziemy mówili, że Ć jest zanurzeniem ciała F w ciało K.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Definicja
Wielomianem o współczynnikach z ciała K nazywamy wyrażenie
Ä…0 + Ä…1·x + . . . + Ä…n·xn,
gdzie ą0, ą1, . . ., ąn są ustalonymi elementami ciała K, a x jest
zmienną. Czasami wielomian taki będziemy oznaczali krótko jako
Õ(x).
Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach z ciała K
oznaczamy symbolem K[x].
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
Wielomiany takie można zapisać w postaci
"

Õ(x) = Ä…0 + Ä…k ·xk,
k=1
gdzie tylko skończona liczba współczynników ąk jest różna od
zera.
Wtedy dla wielomianów Õ(x) i È(x), gdzie
" "

Õ(x) = Ä…0 + Ä…k ·xk i È(x) = ²0 + ²k ·xk,
k=1 k=1
sumÄ… i iloczynem wielomianów Õ(x) i È(x) nazywamy
wielomiany (Õ + È)(x) i (Õ · È)(x),
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne
Grupy
Pierścienie
Wiadomości wstępne
Ciała
Wielomiany
gdzie
"

(Õ + È)(x) = (Ä…0 + ²0) + (Ä…k + ²k)·xk
k=1
"

(Õ · È)(x) = Å‚0 + Å‚k ·xk,
k=1
zaÅ›
k

Å‚0 = Ä…0 · ²0 i Å‚k = Ä…i · ²k-i.
i=0
Teraz już nietrudno sprawdzić, że K[x] jest pierścieniem
przemiennym.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 2 Struktury algebraiczne