ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY
W SZCZECINIE
MATEMATYKA DYSKRETNA
Wykład 9: Struktury algebraiczne
Prowadzący wykłady: dr inż. Larisa Dobryakova
2012
Działania (1)
Działaniem nazywamy każdą funkcję:
d: A1 A2 ... An B ,
która uporządkowanemu n elementowemu ciągowi elementów zbioru
A1 A2 ... An przyporządkowuje pewien element zbioru B , n Ą.
Zbiory Ai nazywa się dziedzinami działania, zbiór B nosi nazwę przeciwdziedziny
działania. Ustalona liczba n (liczba argumentów) nazywa się argumentowością
(typem, arnoscią) działania.
Działaniem wewnętrznym n argumentowym (operacją n argumentową)
w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję:
d: An A,
która uporządkowanemu n elementowemu ciągowi elementów zbioru A
przyporządkowuje pewien element zbioru A , n Ą.
2
Działania (2)
Szczególnie ważny przypadek stanowi funkcja:
d: A A A,
czyli dla n = 2, którą nazywamy działaniem wewnętrznym dwuargumentowym
(operacją binarną).
Zbiór z działaniem wewnętrznym oznaczamy A,d , a wynik działania na parze
( )
elementów a,b zapisujemy a db , zamiast pisać d a,b .
( )
Często działania oznaczamy symbolami: +,-,,*,,.
Przykład
d: ó ó ó
d n,k = n + k , n + k ó, czyli piszemy ó,+ .
( ) ( ) ( )
3
Działania (3)
Działaniem zewnętrznym w niepustym zbiorze A nad niepustym zbiorem B
nazywamy każdą funkcję:
w : B A A.
Działanie zewnętrzne oznaczamy w b,a , gdzie b B,a A .
( )
Przykład
Niech A zbiór wektorów na płaszczyznie, a B = Ą. Działaniem zewnętrznym w
zbiorze A nad zbiorem B jest mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą, wynikiem
działania jest wektor.
UWAGA. Ponieważ zbiory A i B nie muszą być różne, to działanie wewnętrzne jest
szczególnym przypadkiem działania zewnętrznego.
4
Wybrane własności działania wewnętrznego
Aączność
działanie d nazywamy łącznym w zbiorze A , jeżeli:
"a,b,c A : adb dc = ad bdc .
( ) ( )
Przemienność
działanie d nazywamy przemiennym w zbiorze A , jeżeli:
"a,b A :adb = bda .
Na przykład, dodawanie w zbiorze liczb naturalnych Ą jest działaniem łącznym
i przemiennym, a odejmowanie w zbiorze liczb całkowitych ó nie jest ani łączne, ani
przemienne.
5
Element neutralny i element odwrotny (1)
Element e A nazywamy elementem neutralnym (względem działania d) , jeżeli:
"a A :ade = eda = a .
Element b A nazywamy elementem odwrotnym do elementu a , jeżeli:
adb = bda = e .
-1
Element odwrotny do elementu a oznaczamy symbolem a .
Na przykład, elementem neutralnym dodawania w zbiorach Ą,ó,Ą,ń jest 0, zaś
elementem neutralnym mnożenia w zbiorach Ą,ó,Ą,ń jest 1.
6
Element neutralny i element odwrotny (2)
Twierdzenie 1.
W zbiorze A , w którym określone jest działanie d, istnieje co najwyżej jeden element
neutralny.
Twierdzenie 2.
Jeżeli działanie łączne d w zbiorze A posiada element neutralny, to do danego
elementu istnieje co najwyżej jeden element odwrotny.
7
Podstawowe struktury algebraiczne (1)
Najprostszą strukturą algebraiczną jest półgrupa.
Zbiór A wraz z działaniem wewnętrznym łącznym d, nazywamy półgrupą
i oznaczamy A,d .
( )
Nieco bardziej skomplikowaną strukturą, która jednak jest często wykorzystywana,
jest grupa.
Zbiór G wraz działaniem wewnętrznym d nazywamy grupą i oznaczamy G,d ,
( )
jeżeli:
d jest działaniem łącznym;
w zbiorze G istnieje element neutralny działania d;
-1
"g G istnieje element odwrotny g G .
Warunki te nazywa się aksjomatami grupy.
Element neutralny w grupie nazywa się jednością grupy.
Jeżeli dodatkowo działanie wewnętrzne d jest przemienne w G , to grupę tę
nazywamy przemienną lub abelową.
8
Podstawowe struktury algebraiczne (2)
Twierdzenie. W dowolnej grupie G,d dla "g G istnieje dokładnie jeden element
( )
odwrotny w G .
Niech G,d będzie grupą i niech a,b G , wtedy zachodzą następujące własności
( )
grupy:
-1
e = e;
-1
-1
a = a;
( )
-1
-1 -1
adb = b da ;
( )
każde z równań adx = b oraz y da = b posiada jednoznaczne rozwiązanie
w G.
9
Zapis multiplikatywny i addytywny (1)
Jeżeli mamy do czynienia z grupami nieabelowymi oraz z grupami w ogóle, działanie
d oznacza się symbolem i nazywa się mnożeniem, wówczas zamiast pisać a b
piszemy często ab . Element neutralny oznaczamy wtedy przez e = 1, a element
-1
odwrotny do a przez a .
Wyrażenie
oznaczamy an i nazywamy n tą potęgą elementu a . Taki
a a ...a
14244
4a 3
n razy
sposób zapisu nazywa się multiplikatywnym.
W grupach abelowych przyjmuje się oznaczenie działania d przez + i nazywa je
dodawaniem. Element neutralny oznacza się wtedy przez e = 0, a element odwrotny
do a przez -a (element przeciwny), wtedy zamiast pisać a + -b piszemy a - b .
( )
Wyrażenie oznaczamy n a i nazywamy n tą wielokrotnością
a + a + + ... + a
1442444
4a 3
n razy
elementu a . Taki sposób zapisu nazywa się addytywnym.
Przykład.
Zbiór A = 0,1,2,3 , działanie jest określone jako:
{ }
a,b A : a b = reszta z dzielenia a + b przez 4. Sprawdzić, czy A, jest grupą.
( )
10
Rząd grupy, grupy cykliczne
Jeśli G,d jest grupą i zbiór G jest skończony, to liczbę elementów zbioru G
( )
nazywamy rzędem grupy G i oznaczamy G .
Jeśli zbiór G jest nieskończony to mówimy, że rząd grupy G jest nieskończony i
piszemy G =Ą.
Grupę G,d , której wszystkie elementy można wyrazić przy pomocy pewnego jej
( )
elementu a nazywa się grupą cykliczną. Równoważnie, jest to grupa generowana
przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).
Element a nazywa się wtedy generatorem grupy cyklicznej, co zapisujemy G = a .
Korzystając z logiki predykatów można zapisać:
G = a $a G "g G $n Ą : g = an.
Przy wykorzystaniu terminologii addytywnej: g = n a .
Każda grupa cykliczna jest abelowa, ale nie na odwrót. Na przykład, ń \ 0 , jest
{ }
( )
grupą abelową, ale nie jest to grupa cykliczna.
11
Podgrupa
Niech G,d będzie grupą. Podzbiór H zbioru G (H G ), taki, że H ,d jest grupą
( ) ( )
nazywamy podgrupą grupy G i oznaczamy H < G .
Każda grupa zawiera jako podgrupy siebie samą i grupę zawierającą tylko jedność,
są to tak zwane podgrupy niewłaściwe. Pozostałe podgrupy nazywamy
właściwymi.
12
Pierścień (1)
Zbiór P , z dwoma działaniami wewnętrznymi i nazywamy pierścieniem i
,
oznaczamy P, , jeśli:
( )
P, jest grupą abelową,
( )
działanie jest łączne w zbiorze P , tzn.
"a,b,c P : a b c = a b c .
( ) ( )
działanie jest rozdzielne względem działania , tzn.
"a,b,c P : a b c = a c b c oraz
( ) ( ) ( )
"a,b,c P :c a b = c a c b
( ) ( ) ( )
13
Pierścień (2)
Działanie nazywamy dodawaniem i oznaczamy zwykle symbolem +. Element
neutralny względem działania nazywamy zerem pierścienia.
Działanie nazywamy mnożeniem i oznaczamy zwykle symbolem .
Jeżeli w P istnieje element neutralny względem działania , to nazywamy go
,
jedynką pierścienia i oznaczamy symbolem 1, a sam pierścień P, nazywamy
( )
pierścieniem z jedynką.
,
Jeżeli działanie jest przemienne w P , to pierścień P, nazywamy
( )
przemiennym.
14
Ciało (1)
Ciałem intuicynie nazywamy zbiór , w którym potrafimy wykonywać 4 podstawowe
działania: +,-,,/. Ponieważ odejmowanie to dodawanie elementu przeciwnego, a
,
dzielenie to mnożenie przez odwrotność wystarczy rozważyć dwa działania +.
,
Zbiór K , z dwoma działaniami wewnętrznymi + nazywamy ciałem i oznaczamy
K ,+ , jeśli:
,
( )
,
K ,+ jest pierścieniem przemiennym z jedynką, gdzie jedynka nie jest równa 0,
( )
dla każdego niezerowego elementu zbioru K istnieje element odwrotny
względem działania , tzn.:
"a K \ 0 $b K : a b = 1
{ }
Drugi warunek oznacza, że zbiór K \ 0 , jest grupą. Nazywamy ją grupą
{ }
( )
,
multiplikatywną ciała K ,+ .
( )
,
Grupę K ,+ nazywamy grupą addytywną ciała K ,+ .
( ) ( )
15
Ciało (2)
,
Jeśli zbiór K jest skończony, to ciało K ,+ nazywamy skończonym i odpowiednio
( )
gdy zbiór K jest nieskończony to ciało nazywamy nieskończonym.
Ciałami nieskończonymi są ń,+, , Ą,+, , Ł,+, .
( ) ( ) ( )
Ciała skończone nazywane są ciałami Galois. Przykładem takich ciał mogą być
ciała óp,+ , gdzie p jest liczbą pierwszą.
,
( )
16
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algebra 0 03 struktury algebraiczne17 struktury algebraiczne wwwid358struktury algebraiczneWykład 1 struktury algebraiczneWykład 2 struktury algebraiczne IIWykład 2 struktury algebraiczne IIIX Zebrane wojskoStan cywilny, wyk struktura ludnosci wg 5 strElementy struktury organizacyjnej i zarządzanie projektowaniem organizacjiwyklad IXElementy składowe i struktura robotów cz 1plan2010 12 struktura pmswięcej podobnych podstron