STRUKTURY ALGEBRAICZNE
Definicja 1
Z: niech A oznacza zbiór, A `" "
Działaniem wewnętrznym (działaniem) określonym w zb. A nazywamy
każde odwzorowanie:
h: A×A A. Wartość tego odwzorowania h(a, b) nazywamy wynikiem
działania
Oznaczenia: (A, h) lub (A, )
Zamiast h(a, b) piszemy a b
Uwaga:
Zapis a b utożsamiamy z wynikiem działania.
Przykład 1
a).
h: Z× Z Z
h(n, k) = n + k (n + k) "Z
Piszemy: (
 , +)
b).
n
Z * h(n, k) =
k
Powyższe działanie nie jest działaniem określonym w Z *.
Definicja 2
Dane są zbiory F, X takie, że: F, X `" "
Działaniem zewnętrznym w zbiorze X nazywamy każde odwzorowanie g:
F× X X
Oznaczamy: g(Ä…,a) , gdzie Ä… " F, a " X
g(Ä…,a) = Ä… " a .
Przykład 2
X zbiór wektorów zaczepionych na płaszczyz
nie
F = R
* działanie mnożenia wektora przez liczbę (wynikiem wektor).
Własności działania wewnętrznego:
Z: (A, ) , - jest działaniem wewnętrznym w zbiorze A
1) Działanie jest łączne jeśli: "x, y " A : (x y) z = x (y z)
2) Działanie jest przemienne jeśli:"x, y " A : x y = y x
3) e " A jest elementem neutralnym działania jeśli:"x " A : x e = e x = x
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 4 Część 3 - Struktury algebraiczne
Twierdzenie 1
Jeżeli w zbiorze A z działaniem wewnętrznym istnieje element neutralny
to jest on jedyny.
4) Jeśli istnieje element neutralny e " A to elementem przeciwnym
(odwrotnym, symetrycznym) do x " A nazywamy taki element x'" A ,
że: x x' = x' x = e
Uwaga:
Jeśli działanie jest łączne i istnieje element neutralny tego działania
to jeśli jakiś element posiada element odwrotny to jest on jedyny i
wówczas: (x')' = x .
Przykład 2
Z: ( Z , +), e = 0
"x = k "Z "x' = -k: x + x' = 0 (każdy element x zb. Z posiada element
odwrotny  x)
Definicja. 3
Z: (A, ) , A `" " , - działanie wewnętrzne w zb. A.
StrukturÄ™ (A, ) nazywamy GRUP
jeżeli spełnione są warunki:
1) "x, y,z " A : (x y) z = x (y z)
2) "e " A '" "x " A : x e = e x = x
3) "x " A "x'" A : x x' = x' x = e
Jeżeli dodatkowo zachodzi warunek:
4) "x, y " A : x y = y x
to GRUP
nazywamy GRUP
PRZEMIENN
(ABELOW
).
Przykład 3
(Z, +) jest grupą abelową ponieważ:
" + jest działaniem wewnętrznym w Z
" dodawanie jest Å‚Ä…czne
" elementem neutralnym tego działanie jest e = 0
" każda liczba całkowita posiada liczbę przeciwną (całkowitą)
Przykład 4
(Q*, Å") jest grupÄ… abelowÄ… ponieważ:
" mnożenie jest działaniem wewnętrznym w Q*
" elementem neutralnym tego działania jest e = 1
"
1
"x "Q* "x' = 1 : x Å" = 1
x x
" mnożenie jest przemienne
Przykład 5
Z: A = [-1,1], (A, +)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 4 Część 3 - Struktury algebraiczne
W tym przypadku + nie jest działaniem wewnętrznym w A ponieważ
"x, y" A : (x + y) " A
1 3 5 1 3 5
Np. + = , " A " A
2 4 4 2 4 4
Definicja 4
Z: (P, , ") , P `" ", , *- działania wewnętrzne w zbiorze A.
Strukturę (P, , ") nazywamy PIERŚCIENIEM jeśli spełnione są warunki:
1) struktura (P, ) jest grupÄ… abelowÄ…
2)
"x, y,z " P : (x " y)" z = x "(y" z)
"x, y,z " P : (x y)"z = (x "z) (y z) '"
3)
x "(y z) = (x " y) (x " z)
Definicja 5
Z: (P, , ") - pierścień
Działanie ze względu na które pierścień jest grupą abelową nazywamy
działaniem addytywnym i oznaczamy je +. Element neutralny tego
działania nazywamy zerem, oznaczamy 0.
Drugie dziaÅ‚anie nazywamy dziaÅ‚aniem multiplikatywne, oznaczamy je  Å"
Przykład 6
Struktura ( Z , +, Å")- jest pierÅ›cieniem ponieważ:
" ( Z , +)  jest grupą abelową (sprawdziliśmy wcześniej)
" mnożenie jest łączne
" mnożenie jest rozdzielne względem dodawania
Definicja 6
Z: (P, , *) - pierścień
a). Jeżeli oprócz warunków z definicji 4 istnieje element neutralny ze
względu na działania multiplikatywne to element ten nazywamy jedynką,
oznaczamy 1 i mówimy, że mamy pierścień z jednością.
b). Jeżeli: "x, y " P : x Å" y = y Å" x to mówimy, że jest to pierÅ›cieÅ„ przemienny.
c). x, y nazywamy dzielnikami 0 :Ô! "x, y " P : x Å" y = 0 '" x `" 0 '" y `" 0 .
d) Jeżeli istnieją dzielniki 0 w pierścieniu mówimy, że jest to pierścień z
dzielnikami zera.
e) Pierścień przemienny, z jednością i bez dzielników zera nazywamy
pierścieniem całkowitym.
Przykład 7
Z: ( Z , +, Å") pierÅ›cieÅ„
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 4 Część 3 - Struktury algebraiczne
k Å" n = 0 Ô! k = 0 v n =0
Czyli w tym pierścieniu nie istnieją dzielniki zera.
Definicja. 7
Z: DziaÅ‚ania + i Å" to dziaÅ‚ania wewnÄ™trzne w zbiorze K
StrukturÄ™ (K, +, Å") nazywamy CIAA
EM jeśli spełnione są warunki:
1) Struktura (K, +) jest grupÄ… abelowÄ…
2) Struktura (K-{0}, Å") jest grupÄ…
"x, y " K : (x + y)Å"z = (x Å"z) + (yÅ" z) '"
3)
x Å"(y + z) = (x Å" y) + (x Å" z)
Jeżeli ponadto spełniony jest warunek:
4) "x, y " K : x Å" y = y Å" x
mówimy, że ciało jest ciałem przemiennym.
Uwaga:
Często mając na myśli ciało przemienne mówimy tylko: ciało.
Przykład 8
( R , +, Å")  ciaÅ‚o liczb rzeczywistych
( , +, Å")  ciaÅ‚o liczb zespolonych
Obydwa w/w ciała są ciałami przemiennymi.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 4 Część 3 - Struktury algebraiczne