Wiadomości wstępne
ALGEBRA WYKA
AD 1
Struktury algebraiczne
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Zakładamy, że każdy z Czytelników spotkał się już z pojęciem
pary uporządkowanej. Niemniej dla pełności wykładu
przypomnijmy, że parą uporządkowaną o poprzedniku a i
następniku b (za Kazimierzem Kuratowskim) nazywamy zbiór

{a}, {a, b} .
ParÄ™ tÄ™ oznaczamy symbolem (a, b).
Z definicji pary uporządkowanej wynika, że

(a, b) = (c, d) Ð!Ò! a = c '" b = d .
Para uporządkowana (a, b) różni się od zbioru {a, b}, gdyż
jeśli a = b, to

(a, b) = (b, a) ale {a, b} = {b, a}.

Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Trójką uporządkowaną (lub ciągiem trójelementowym)
(a, b, c) nazywamy parÄ™ uporzÄ…dkowanÄ…

(a, b), c .
Podobnie, n-elementowy ciÄ…g (a1, . . . an), gdzie n > 2,
definiujemy jako


a1, . . . , an-1, an = a1, . . . , an-1 , an .
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Definicja
Jeśli A i B są dowolnymi zbiorami, to iloczynem kartezjańskim
zbioru A i zbioru B, oznaczanym symbolem A × B, nazywamy zbiór
wszystkich par uporządkowanych (a, b) takich, że a " A i b " B,
czyli
A × B = {(a, b) : a " A '" b " B} .
Wtedy:

A × B = " Ð!Ò! A = " (" B = " .
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Podobnie, jak w przypadku ciągów n-elementowych,
przyjmujemy następującą definicję.
Definicja
Jeśli A1, A2, . . . An, An+1 są dowolnymi zbiorami, to iloczyn
kartezjański określamy następująco:

A1 × A2 × A3 = A1 × A2 × A3

A1 × . . . × An × An+1 = A1 × . . . × An × An+1.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Definicja
Niech A będzie dowolnym zbiorem oraz n dowolną liczbą
naturalną. Wtedy n-tą potęgą zbioru A (n-tą potęgą kartezjańską
zbioru A) nazywamy iloczyn
A1 × . . . × An,
gdzie Ak = A dla każdej liczby naturalnej k ze zbioru {1, 2, . . . , n}.
Iloczyn ten oznaczamy symbolem An. Zbiór A2 nazywamy
kwadratem kartezjańskim zbioru A.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Definicja
Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Dwuargumentowym
działaniem wewnętrznym (krótko, działaniem wewnętrznym, lub
jeszcze krócej, działaniem) w zbiorze X nazywamy funkcję
2
Ä : X - X .
Zamiast zapisu wyniku dziaÅ‚ania Ä dla pary (a, b) w postaci
Ä((a, b)) bÄ™dziemy stosowali zapis aÄb.
Dla oznaczania działań w jakimś zbiorze najczęściej stosujemy
specjalne symbole, np. +, ·, " , , , ", Ä„" i tak dalej.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
W zbiorze liczb całkowitych Z, dodawanie, mnożenie
i odejmowanie są działaniami wewnętrznymi.
Ponadto, wzory
a ć% b = a + b - 4·a·b,
x y = -3·x + 5·y,
n m = n·m + 5·n2,
również określają działania w zbiorze liczb całkowitych.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Stosując oznaczenie działania +, będziemy czytali a + b jako
 suma elementów a i b , natomiast, gdy działanie jest
oznaczone symbolem · , wynik tego dziaÅ‚ania dla pary (a, b)
bÄ™dziemy oznaczali a·b lub w skrócie ab i bÄ™dziemy wynik ten
nazywali iloczynem elementów a i b.
Działaniem n-argumentowym w zbiorze X , gdzie n jest pewną
n
liczbą naturalną, nazywamy funkcję określoną w zbiorze X
i przyjmującą wartości w zbiorze X .
Czasami wygodnie jest traktować ustalony element zbioru X
jako działanie zeroargumentowe.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Definicja
StrukturÄ… algebraicznÄ… (systemem algebraicznym, czasem algebrÄ…)
nazywamy niepusty zbiór wraz z pewną liczbą działań
algebraicznych w tym zbiorze.
JeÅ›li w zbiorze X okreÅ›lone sÄ… dziaÅ‚ania É1, É2, . . ., Ém, to
strukturę algebraiczną złożoną ze zbioru X i tych działań
oznaczamy symbolem

X , É1, . . . , Ém .
Przykład
Przyjmując wcześniej przyjęte oznaczenia możemy zapisać
następujące struktury algebraiczne:
(Z, +), (Z, ·), (Z, ć%), (Z, +, ·), (Z, ć%, ).
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Poza przypadkami, gdzie to będzie wyraz
nie zaznaczone,
działania, rozważane w tej książce, są działaniami
dwuargumentowymi, tak więc pisząc  działanie będziemy
mieli na uwadze właśnie działanie dwuargumentowe.
Definicja
Działanie w zbiorze X nazywamy działaniem łącznym, jeśli
spełniony jest warunek

(a b) c = a (b c) .
" " "
a"X b"X c"X
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Definicja
Działanie w zbiorze X nazywamy działaniem przemiennym, jeśli
spełnia ono warunek

a b = b a .
" "
a"X b"X
Definicja
Element e, należący do zbioru X , nazywamy elementem
lewostronnie neutralnym działania w zbiorze X , jeśli

e x = x .
"
x"X
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Definicja
Element e, należący do zbioru X , nazywamy elementem
prawostronnie neutralnym działania w zbiorze X , jeśli

x e = x .
"
x"X
Definicja
Element e nazywamy elementem neutralnym w zbiorze X , jeśli jest
on lewostronnie i prawostronnie neutralny, czyli

e x = x e = x .
"
x"X
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
A
atwo zauważamy, że jeśli w zbiorze X z działaniem istnieje
element neutralny, to jest tylko jeden.
Istotnie, jeśli e i e są elementami neutralnymi działania w
zbiorze X , to e = e e , gdyż e jest elementem neutralnym
oraz e = e e , gdyż e jest elementem neutralnym. Z tych
równości wynika więc równość
e = e .
Jeśli w strukturze algebraicznej (X , ) istnieje element
neutralny e działania , to strukturę tę można zapisać
symbolicznie jako (X , , e).
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Definicja
Strukturę algebraiczną, złożoną z niepustego zbioru P i jednego
działania łącznego, nazywamy półgrupą.
Innymi słowy, półgrupą nazywamy strukturę algebraiczną
(P, ), jeśli

(a b) c = a (b c) .
" " "
a"P b"P c"P
Półgrupę, w której istnieje element neutralny, nazywamy
półgrupą z jedynką lub monoidem.
Półgrupę, w której działanie jest przemienne, nazywamy
półgrupą przemienną lub półgrupą abelową.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Element a w półgrupie (P, ) z jedynką e nazywamy
elementem odwracalnym, jeśli istnieje element a w zbiorze P
taki, że
a a = a a = e.
Element a nazywamy wtedy elementem odwrotnym do
elementu a.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Warto zaznaczyć, że jeśli element a jest odwracalny, to ma
jedyny element odwrotny.
Istotnie, jeśli dla elementu a elementy a i ć są elementami
odwrotnymi, to


a = a e = a (a a) = a a a = e a = a.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Strukturę algebraiczną (G , ) nazywamy grupą, jeśli spełnione
są następujące warunki:

(1) (a b) c = a (b c) ,
" " "
a"G b"G c"G

(2) e a = a ,
" "
e"G a"G

(3) a a = e .
" "
a"G a"G
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Bez większego trudu można udowodnić, że jeśli (G , ) jest
grupą, to spełnione są również warunki:

(4) (a b) c = a (b c) ,
" " "
a"G b"G c"G

(5) a e = a ,
" "
e "G a"G

(6) a a = e
" "
a"G a "G
Ponadto e = e i a = a .
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Odwrotnie, jeśli struktura (G , ) spełnia warunki (4) (6), to
jest grupÄ… w sensie podanej definicji grupy.
Istotnie. Załóżmy najpierw, że (G , ) jest grupą.
Niech a będzie dowolnym elementem zbioru G .
Istnieje element a w grupie G taki, że a a = e.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa

Dla elementu a również istnieje element a w grupie G taki, że

a a = e.
Wtedy

a = e a = a a a = a a a ,
a zatem



e = a a = a a a a = a a a a = e a a = a a.
Dowodzi to, że a a = e.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Udowodnimy teraz warunek:
(a e = a) .
"
a"G
Niech a będzie dowolnym elementem zbioru G .
Z definicji grupy i powyżej udowodnionej własności wynika, że
istnieje element a w grupie G , taki, że a a = e = a a.
Zatem
a e = a (a a) = (a a) a = e a = a.
Podobnie dowodzi siÄ™ implikacji odwrotnej.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Z tych rozważań wynika, że:
Struktura algebraiczna (G , ) jest grupÄ… wtedy i tylko wtedy,
gdy

(a b) c = a (b c) ,
" " "
a"G b"G c"G

e a = a = a e ,
" "
e"G a"G

a a = e = a a .
" "
a"G a"G
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Zazwyczaj działanie w grupie G oznaczamy kropką, zatem
warunki grupy zapiszemy w postaci

(a · b) · c = a · (b · c) ,
" " "
a"G b"G c"G

e · a = a = a · e ,
" "
e"G a"G

a · a = e = a · a
" "
a"G a"G
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
PomijajÄ…c kropki, jak to zwykle czynimy, mamy:

(ab)c = a(bc) ,
" " "
a"G b"G c"G

ea = a = ae ,
" "
e"G a"G

aa = e = aa .
" "
a"G a"G
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Element neutralny grupy nazywamy czasem jedynkÄ… grupy,
gdy działanie w grupie oznaczamy znakiem +, taki element
neutralny nazywamy zerem grupy.
Z powyższych rozważań wynika, że każdy element grupy jest
odwracalny, element a nazywamy elementem odwrotnym do
elementu a i oznaczamy symbolem a-1.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Przykład
Bez trudu zauważamy, że zbiór liczb całkowitych z dodawaniem
tworzy grupę. Również zbiór liczb rzeczywistych z dodawaniem
tworzy grupę, natomiast zbiór liczb naturalnych z dodawaniem nie
jest grupą; jest  zaledwie półgrupą.
Przykład
Bez trudu zauważamy, że zbiór liczb całkowitych z dodawaniem
tworzy grupę. Również zbiór liczb rzeczywistych z dodawaniem
tworzy grupę, natomiast zbiór liczb naturalnych z dodawaniem nie
jest grupą; jest  zaledwie półgrupą.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Przykład
Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich z mnożeniem jest grupą.
Przykład
Również zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera z mnożeniem
jest grupÄ….
Definicja
Grupę nazywamy przemienną (abelową), jeśli działanie w tej grupie
jest przemienne.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
JeÅ›li (G , ·) jest grupÄ…, to
-1
(7) a-1 = a ,
"
a"G
-1
(8) ab = b-1a-1 ,
" "
a"G b"G

(9) ab = ac =Ò! b = c ,
" " "
a"G b"G c"G

(10) ba = ca =Ò! b = c ,
" " "
a"G b"G c"G

(11) ax = b '" ya = b .
" " " "
a"G b"G x"G y"G
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
D o w ó d. Warunek (1) wynika bezpośrednio z definicji
elementu odwrotnego.
Ad. (2). Niech a i b będą dowolnymi elementami grupy G .
Wtedy

(ab)· b-1 · a-1 = a· b · b-1 · a-1 = a· bb-1 · a-1 =

= a ea-1 = aa-1 = e,
co dowodzi warunku (2).
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Ad. (3).
Niech teraz a, b oraz c będą dowolnymi elementami grupy G .
Jeśli ab = ac, to również
a-1 · (ab) = a-1 · (ac),
więc

a-1 · a · b = a-1 · a · c,
zatem eb = ec, czyli b = c.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Dowód warunku (4) jest analogiczny.
Ad. (5). Niech a i b będą dowolnymi elementami tej grupy.
Wtedy element a-1 · b jest elementem grupy G i

a · a-1 · b = aa-1 · b = eb = b,
co oznacza, że element a-1·b jest rozwiÄ…zaniem równania
ax = b.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Podobnie, element ba-1 jest elementem grupy G i

b·a-1 · a = b· a-1 · a = be = b,
co oznacza, że element b·a-1 jest rozwiÄ…zaniem równania
ya = b.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Zauważmy, że, na podstawie (3) i (4), każde z równań ax = b
i ya = b ma jedno rozwiÄ…zanie w grupie G .
Istotnie. Niech a i b bÄ™dÄ… dowolnymi elementami grupy (G , ·).
Wtedy jeśli x1 i x2 są rozwiązaniami równania ax = b, czyli
ax1 = b i ax2 = b,
to ax1 = ax2,
skąd wynika równość x1 = x2.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Ostatni warunek powyższego twierdzenia można wzmocnić,
uzyskując następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Półgrupa (G , ·) jest grupÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych
elementów a i b ze zbioru G istnieją rozwiązania równań
ax = b oraz ya = b.
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Definicja
Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) nazywamy podgrupÄ…, jeÅ›li zbiór
H z dziaÅ‚aniem · (obciÄ™tym do zbioru H × H ) jest grupÄ….
Twierdzenie
Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupÄ… wtedy i tylko
wtedy, gdy

a·b " H ,
" "
a"H b"H

a-1 " H .
"
a"H
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
D o w ó d. Oczywiście, jeśli H jest podgrupą, to spełnione są
powyższe warunki.
Jeśli spełnione są powyższe warunki, to z warunku pierwszego
wynika, że funkcja ·|H ×H jest dziaÅ‚aniem w zbiorze H .
Oczywiście, jest to działanie łączne, gdyż dla większego zbioru
spełniony jest warunek łączności.
Drugi warunek stwierdza, że każdy element zbioru H ma
element odwrotny (w zbiorze G ) należący do zbioru H .
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Pozostaje nam udowodnić, że element neutralny grupy G
należy też do zbioru H .
Ponieważ zbiór H jest niepusty, więc istnieje w tym zbiorze
jakiÅ› element a.
Wtedy, z pierwszego z powyższych warunków, wynika, że
e = a · a-1 " H ,
skÄ…d wnioskujemy, że (H , ·) jest grupÄ…, czyli podgrupÄ… grupy
G .
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Twierdzenie
Niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupÄ… wtedy i tylko
wtedy, gdy

a·b-1 " H .
" "
a"H b"H
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Twierdzenie
SkoÅ„czony niepusty podzbiór H grupy (G , ·) jest podgrupÄ… wtedy
i tylko wtedy, gdy

a·b " H .
" "
a"H b"H
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Wiadomości wstępne
Półgrupa, grupa
Definicja
Niech (G , ·) i (H , ć%) bÄ™dÄ… grupami. FunkcjÄ™ Ć : G - H
nazywamy homomorfizmem, jeśli dla każdych dwóch elementów a i
b ze zbioru G spełniony jest warunek
Ć(a · b) = Ć(a) ć% Ć(b).
Definicja
JeÅ›li (G , ·) i (H , ć%) sÄ… grupami, to funkcjÄ™ Ć : G - H
nazywamy izomorfizmem, jeśli Ć jest funkcją wzajemnie
jednoznaczną i dla każdych dwóch elementów a i b ze zbioru G
spełniony jest warunek
Ć(a · b) = Ć(a) ć% Ć(b).
Tak więc wzajemnie jednoznaczny homomorfizm grupy G na
grupÄ™ H nazywamy izomorfizmem grupy G na grupÄ™ H .
Jacek Jędrzejewski ALGEBRA WYKA
AD 1 Struktury algebraiczne