Wykład 2.
Analiza struktury
Z a d a n i a
część 2
Zadanie 1  szereg prosty
Zużycie benzyny (w litrach na 100 km) dla 5 wylosowanych
samochodów prezentuje tabela:
xi
5,5
6
7
7,5
9
S� = 35
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji)
10
9
9
8
7,5
7
7
6
6
5,5
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
Nr samochodu
Zużycie benzyny (w litrach)
10
9
9
8
7,5
7
7
x
6
6
5,5
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
Nr samochodu
Zużycie benzyny (w litrach)
Zadanie 1  szereg prosty
Zużycie benzyny (w litrach na 100 km) dla 5 wylosowanych
samochodów prezentuje tabela:
xi
5,5
k
6
��x
i
7
i=�1
7,5 x =�
N
9
S� = 35
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji)
10
9
9
8
7,5
7
7
x
6
6
5,5
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
Nr samochodu
Zużycie benzyny (w litrach)
10
9
9
8
7,5
7
7
x
6
6
5,5
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
Nr samochodu
Zużycie benzyny (w litrach)
Zadanie 1  szereg prosty
Zużycie benzyny (w litrach na 100 km) dla 5 wylosowanych
samochodów prezentuje tabela:
xi xi-xśr
5,5 5,5 - 7 = -1,5
6 6 - 7 = -1
7 7 - 7 = 0
7,5 7,5 - 7 = 0,5
9 9 - 7 = 2
S� = 35 S� = 0
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji)
10
9
8
( )
( )
7
x
( )
( )
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
Nr samochodu
Zużycie benzyny (w litrach)
Zadanie 1  szereg prosty
Zużycie benzyny (w litrach na 100 km) dla 5 wylosowanych
samochodów prezentuje tabela:
k
xi xi-xśr (xi-xśr)2
2
(�xi -� x)�
��
5,5 5,5 - 7 = -1,5 (5,5 - 7)2 = 2,25
i=�1
sx =�
6 6 - 7 = -1 (6 - 7)2 = 1
N
7 7 - 7 = 0 (7 - 7)2 = 0
7,5 7,5 - 7 = 0,5 (7,5 - 7)2 = 0,25
k
2
��x
i
9 9 - 7 = 2 (9 - 7)2 = 4
2
i=�1
sx =� -�(�x)�
S� = 35 S� = 0 S� = 7,5
N
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji)
10
9
9
+
8
7,5
7
7
x
6
6
5,5
5

4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
Nr samochodu
Zużycie benzyny (w litrach)
Zadanie 2  szereg rozdzielczy jednostopniowy
Tabela prezentuje liczbę lokat założonych w pewnym banku
według czasu trwania lokaty (w miesiącach):
Czas Liczba
trwania lokat
xi ni
1 8
2 10
3 5
4 4
5 2
6 1
Suma N=30
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji), asymetrii i koncentracji
Szereg prosty:
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4
5 5
6
12
10
10
8
8
6
5
4
4
2
2
1
0
1 2 3 4 5 6
Czas trwania lokaty (w miesiącach)
Liczba lokat
Zadanie 2  szereg rozdzielczy jednostopniowy
Tabela prezentuje liczbę lokat założonych w pewnym banku
według czasu trwania lokaty (w miesiącach):
Czas Liczba
trwania lokat xi*ni
xi ni
1 8 1 * 8 = 8
k
2 10 2 * 10 = 20
3 5 3 * 5 = 15
��x ni
i
i=�1
4 4 4 * 4 = 16
x =�
5 2 5 * 2 = 10
N
6 1 6 * 1 = 6
Suma N=30 S� = 75
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji), asymetrii i koncentracji
7
6
5
4
3
x
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Nr lokaty
Czas trwania lokaty (w miesiącach)
Zadanie 2  szereg rozdzielczy jednostopniowy
Tabela prezentuje liczbę lokat założonych w pewnym banku
według czasu trwania lokaty (w miesiącach):
Czas Liczba
trwania lokat xi*ni (xi-xśr)2ni
xi ni
1 8 1 * 8 = 8 (1 - 2,5)2 * 8 = 18
2 10 2 * 10 = 20 (2 - 2,5)2 * 10 = 2,5
3 5 3 * 5 = 15 (3 - 2,5)2 * 5 = 1,25
4 4 4 * 4 = 16 (4 - 2,5)2 * 4 = 9
5 2 5 * 2 = 10 (5 - 2,5)2 * 2 = 12,5
6 1 6 * 1 = 6 (6 - 2,5)2 * 1 = 12,25
Suma N=30 S� = 75 S� = 55,5
k
k
2
(�xi -� x)� ni
xi2ni
��
��
2
i=�1
i=�1
sx =�
sx =� -�(�x)�
N
N
k
3
(�xi -� x)� ni
m�3
��
i=�1
Asymetria:
a�3 =�
m�3 =�
3
N
sx
Czas Liczba
(xi-xśr)3ni (xi-xśr)4ni nskum
trwania lokat
xi ni
(1 - 2,5)3 * 8 = -27 (1 - 2,5)4 * 8 = 40,5 8
1 8
(2 - 2,5)3 * 10 = -1,25 (2 - 2,5)4 * 10 = 0,63 18
2 10
(3 - 2,5)3 * 5 = 0,63 (3 - 2,5)4 * 5 = 0,31 23
3 5
. . .
(4 - 2,5)3 * 4 = 13,5 (4 - 2,5)4 * 4 = 20,25 27
4 4
(5 - 2,5)3 * 2 = 31,25 (5 - 2,5)4 * 2 = 78,13 29
5 2
(6 - 2,5)3 * 1 = 42,88 (6 - 2,5)4 * 1 = 150,06 30
6 1
S� = 60 S� = 289,88 X
Suma N = 30
k
m�4
4
(�xi -� x)� ni
Koncentracja:
a�4 =�
��
4
i=�1
m�4 =�
sx
N
Zadanie 3  szereg rozdzielczy wielostopniowy
Obserwacji poddano abonentów TP SA w pewnym bloku
mieszkaniowym ze względu na dzienny czas poświęcony na
rozmowy telefoniczne w minutach:
Czas Liczba
rozmów abonent.
xi ni
0  5 6
5  10 8
10  15 10
15  20 7
20  25 5
25  30 3
30  35 1
Suma N = 40
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji), asymetrii i koncentracji
12
10
8
6
4
2
0
0  5 5  10 10  15 15  20 20  25 25  30 30  35
Czas trwania rozmowy (w minutach)
Liczba abonentów
12
x
3
10
x
2
8
x
4
x
1
6
x
5
4
x
6
2
x
7
0
0  5 5  10 10  15 15  20 20  25 25  30 30  35
Czas trwania rozmowy (w minutach)
Liczba abonentów
Zadanie 3  szereg rozdzielczy wielostopniowy
Obserwacji poddano abonentów TP SA w pewnym bloku
mieszkaniowym ze względu na dzienny czas poświęcony na
rozmowy telefoniczne w minutach:
Czas Liczba
rozmów abonent. x
i
xi ni
0  5 6 2,5
5  10 8 7,5
10  15 10 12,5
15  20 7 17,5
20  25 5 22,5
25  30 3 27,5
30  35 1 32,5
Suma N = 40 X
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji), asymetrii i koncentracji
Zadanie 3  szereg rozdzielczy wielostopniowy
Obserwacji poddano abonentów TP SA w pewnym bloku
mieszkaniowym ze względu na dzienny czas poświęcony na
rozmowy telefoniczne w minutach:
Czas Liczba
rozmów abonent. x
i
xi ni
0  5 6 2,5
5  10 8 7,5
10  15 10 12,5
15  20 7 17,5
20  25 5 22,5
25  30 3 27,5
30  35 1 32,5
Suma N = 40 X
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji), asymetrii i koncentracji
Zadanie 3  szereg rozdzielczy wielostopniowy
Obserwacji poddano abonentów TP SA w pewnym bloku
mieszkaniowym ze względu na dzienny czas poświęcony na
rozmowy telefoniczne w minutach:
Czas Liczba
rozmów abonent. x x *ni
i i
xi ni
0  5 6 2,5 2,5 * 6 = 15
5  10 8 7,5 7,5 * 8 = 60
k
10  15 10 12,5 12,5 * 10 = 125
��x' ni
i
15  20 7 17,5 17,5 * 7 = 122,5
i=�1
x =�
20  25 5 22,5 22,5 * 5 = 112,5
N
25  30 3 27,5 27,5 * 3 = 82,5
30  35 1 32,5 32,5 * 1 = 32,5
Suma N = 40 X S� = 550
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji), asymetrii i koncentracji
35
30
25
20
15
x
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Nr abonenta
Czas trwania rozmowy (w minutach)
Zadanie 3  szereg rozdzielczy wielostopniowy
k
Obserwacji poddano abonentów TP SA w pewnym bloku
k
2
2
x
(�x'i -�x)� ni
�� i
��
mieszkaniowym ze względu na dzienny czas poświęcony na ' ni
2
i=�1
i=�1
sx =� -�(�x)�
sx =�
rozmowy telefoniczne w minutach:
N
N
Czas Liczba
rozmów abonent. x x *ni (x -xśr)2ni
i i i
xi ni
0  5 6 2,5 2,5 * 6 = 15 (2,5 - 13,75)2 * 6 = 759,38
5  10 8 7,5 7,5 * 8 = 60 (7,5 - 13,75)2 * 8 = 312,5
10  15 10 12,5 12,5 * 10 = 125 (12,5 - 13,75)2 * 10 = 15,63
15  20 7 17,5 17,5 * 7 = 122,5 (17,5  13,75)2 * 7 = 98,44
20  25 5 22,5 22,5 * 5 = 112,5 (22,5  13,75)2 * 5 = 382,81
25  30 3 27,5 27,5 * 3 = 82,5 (27,5  13,75)2 * 3 = 567,19
30  35 1 32,5 32,5 * 1 = 32,5 (27,5  13,75)2 * 1 = 351,56
Suma N = 40 X S� = 550 S� = 2 487,5
Oblicz miary zróżnicowania (dyspersji), asymetrii i koncentracji
k
3
Asymetria:
m�3
(�x'i -�x)� ni
��
a�3 =�
i=�1
3 m�3 =�
Liczba
sx
N
abone x
i
ntów (x -xśr)3ni (x -xśr)4ni nskum
i i
ni
6 2,5 (2,5 - 13,75)3 * 6 = (2,5 - 13,75)4 * 6 = 6
8 7,5 (7,5 - 13,75)3 * 8 = (7,5 - 13,75)4 * 8 = 14
10 12,5 (12,5 - 13,75)3 * 10 = (12,5 - 13,75)4 * 10 = 24
. . .
7 17,5 (17,5  13,75)3 * 7 = (17,5  13,75)4 * 7 = 31
5 22,5 (22,5  13,75)3 * 5 = (22,5  13,75)4 * 5 = 36
3 27,5 (27,5  13,75)3 * 3 = (27,5  13,75)4 * 3 = 39
1 32,5 (27,5  13,75)3 * 1 = (27,5  13,75)4 * 1 = 40
N = 40 X S� = 7 593,75 S� = 369 863,28 X
k
4
m�4
(�x'i -�x)� ni
��
Koncentracja:
a�4 =�
4
i=�1
m�4 =�
sx
N
12
10
8
6
4
2
0
0  5 5  10 10  15 15  20 20  25 25  30 30  35
Czas trwania rozmowy (w minutach)
Liczba abonentów
MODALNA
Mo
nd -� nd -�1
(SzRW)
Mo =� xo +� co
(�nd -� nd -�1)�+�(�nd -� nd +�1)�
x0 - dolna granica przedziału
c0 - rozpiętość przedziału
nd - liczebność przedziału
nd-1 - liczebność przedziału poprzedniego
nd+1 - liczebność przedziału następnego
Informuje jaka wartość dominuje w szeregu;
jaka jest wartość najczęstsza
12
Graficzne wyznaczenie Modalnej
10
8
6
4
2
Mo
0
0  5 5  10 10  15 15  20 20  25 25  30 30  35
Czas trwania rozmowy (w minutach)
Liczba abonentów
MEDIANA
Me
k-�1
ć� N co
Me =� xo +� �� -� ��
(SzRW)
��n �� no
i
2
Ł� i=�1 ł�
poprzednia skumulowana liczebność
Informuje co jest wartością środkową w szeregu;
połowa jednostek ma wartości nie wyższe (mniejsze lub
równe) od Mediany, a połowa nie niższe (większe lub równe)
45
Graficzne wyznaczenie Mediany
40
35
30
25
N
20
2
15
10
5
Me
0
0  5 5  10 10  15 15  20 20  25 25  30 30  35
Czas trwania rozmowy (w minutach)
Skumulowana liczba abonentów
Zadanie 1  szereg prosty
Zużycie benzyny (w litrach na 100 km) dla 5 wylosowanych
samochodów prezentuje tabela:
xi xi-xśr (xi-xśr)2 (xi-xśr)3
5,5 5,5 - 7 = -1,5 (5,5 - 7)2 = 2,25 (5,5 - 7)3 = -3,38
6 6 - 7 = -1 (6 - 7)2 = 1 (6 - 7)3 = -1
7 7 - 7 = 0 (7 - 7)2 = 0 (7 - 7)3 = 0
7,5 7,5 - 7 = 0,5 (7,5 - 7)2 = 0,25 (7,5 - 7)3 = 0,13
9 9 - 7 = 2 (9 - 7)2 = 4 (9 - 7)3 = 8
S� = 35 S� = 0 S� = 7,5 S� = 3,75
k
3
(�xi -� x)�
��
i=�1
m�3 =�
m�3
N
Asymetria:
a�3 =�
3
sx
Zadanie 1  szereg prosty
Zużycie benzyny (w litrach na 100 km) dla 5 wylosowanych
samochodów prezentuje tabela:
xi xi-xśr (xi-xśr)2 (xi-xśr)3 (xi-xśr)4
5,5 5,5 - 7 = -1,5 (5,5 - 7)2 = 2,25 (5,5 - 7)3 = -3,38 (5,5 - 7)4 = 5,06
6 6 - 7 = -1 (6 - 7)2 = 1 (6 - 7)3 = -1 (6 - 7)4 = 1
7 7 - 7 = 0 (7 - 7)2 = 0 (7 - 7)3 = 0 (7 - 7)4 = 0
7,5 7,5 - 7 = 0,5 (7,5 - 7)2 = 0,25 (7,5 - 7)3 = 0,13 (7,5 - 7)4 = 0,06
9 9 - 7 = 2 (9 - 7)2 = 4 (9 - 7)3 = 8 (9 - 7)4 = 16
S� = 35 S� = 0 S� = 7,5 S� = 3,75 S� = 22,13
k
4
(�xi -� x)�
��
m�4
i=�1
m�4 =�
Koncentracja:
a�4 =�
N
4
sx
Zużycie benzyny (w litrach)
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5,5
1
6
2
Nr samochodu
7
3
7,5
4
9
5
x
Liczba
samochodów
1 1 1 1 1