MECHANIKA PŁYNÓW
POJĘCIA
PODSTAWOWE
MECHANIKA PŁYNÓW
POJĘCIA
PODSTAWOWE
PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW
TJ. CIECZY I GAZÓW
• Zakłada się płyn jest
ośrodkiem ciągłym
, tzn. zaniedbuje się jego
budowę cząsteczkową (atomową, ziarnistą).
•
PARAMETRY PŁYNU
• gęstość
ρ
;
• ciężar właściwy
γ
;
• współczynniki transportu opisujące transport
masy
,
pędu
i
energii
w wyniku chaotycznego ruchu molekuł: współczynnik
dyfuzji
D
, dynamiczny
μ
i kinematyczny
ν
współczynnik lepkości,
współczynnik przewodnictwa cieplnego
λ
;
• ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem
c
p
i w stałej objętości
c
v
oraz wykładnik adiabaty
к
zależne od struktury molekuł, przy
czym dla cieczy – c
p
= c
v
;
• ciśnienie
p
, prędkość
v
, temperatura
T
– opisujące stan płynu w
punkcie
GĘSTOŚĆ PŁYNU
• We wnętrzu masy płynu, znajdującej się w spoczynku bądź
ruchu w polu przyspieszenia ziemskiego
g
, wyodrębniamy – za
pomocą abstrakcyjnej powierzchni zamkniętej o polu
A
- jej
część o objętości
V
i masie
m
.
• Dla potrzeb dalszych rozważań odnotujemy, że na masę płynu
zawartą w objętości
V
ograniczonej powierzchnią
A
działa
siła
objętościowa
będąca jej ciężarem
G
=
m·g
oraz zewnętrzne
siły
powierzchniowe
ze strony płynu otaczającego powierzchnie
A
.
• Powierzchni
A
można nadać
dowolny
kształt
.
Jeśli jest to np. pobocznica walca, to płyn
o objętości
V
będzie zawarty
w
zbiorniku cylindrycznym
. Przykład
układu
zamkniętego
w termodynamice.
V
A
V
A
G
GĘSTOŚĆ PŁYNU
• Dobierając odpowiedni stosunek średnicy do wysokości zbiornika i zakładając, że przez część powierzchni
S
, reprezentowaną przez powierzchnie:
S
1
i
S
2
, możliwy jest przepływ płynu, dostaje się
przewód
bądź
kanał
o kołowym przekroju poprzecznym, tj.
rurę okrągłą
, której ścianką,
nieprzenikliwą dla płynu, jest powierzchnia
S
3
(w danym przypadku powierzchnia abstrakcyjna). Przykład
układu otwartego
w termodynamice.
• Jeśli rozkład masy m wewnątrz objętości V jest
równomierny, to gęstość (zwana także masą
właściwą) definiuje się następująco:
• Jest to więc
wielkość skalarna
. W tym przypadku, gęstość płynu jest taka sama we wszystkich punktach objętości V.
Skalarne bądź skalarowe pole
gęstości
jest więc polem jednorodnym
.
S
1
V
V
S
3
S
3
S
2
S
2
S
1
3
m
kg
V
m
GĘSTOŚĆ PŁYNU
• Jeśli rozkład masy jest
nierównomierny
, to gęstość płynu,
traktowanego jako ośrodek ciągły, jest granicą ilorazu
różnicowego będącego stosunkiem elementarnej
masy Δm do zawierającej ją objętości elementarnej
ΔV
, tj.:
• W danym przypadku ma się do czynienia z polem skalarnym
gęstości, które jest polem
niejednorodnym
. Linie bądź
powierzchnie ekwiskalarne, na których
ρ=const
, noszą nazwę
linii
izopiknicznych
.
• Gęstość płynu
jest to więc jego masa przypadająca na jednostkę
objętości w danym punkcie objętości
V
i w danej chwili
t
.
• Pole skalarne gęstości płynu jako ośrodka ciągłego opisuje
ciągły
rozkład tego płynu w objętości V, tzn. że gęstość
ρ
jest
ciągłą
funkcją
punktu P, będącego dowolnym punktem w objętości V, i
czasu t, a więc
ρ = ρ(P, t)
.
V
A
V
A
G
3
0
lim
m
kg
V
m
V
GĘSTOŚĆ I CIĘŻAR WŁAŚCIWY PŁYNU
•Podobnie, tj. dla jednorodnego i niejednorodnego rozkładu
masy
m
w
zajmowanej przez nią objętości
V
, definiuje się ciężar
właściwy płynu
γ
:
•W ogólności:
ρ = ρ(T, p)
oraz
γ = γ(T, p)
. Ciecz
można jednak często
traktować jako
płyn nieściśliwy
(
ρ = const
). Jeśli g=const,
to wtedy i
γ =const
.
•Uwaga
: ciężar właściwy
γ
- w odróżnieniu od gęstości
ρ
-
zależy od siły
ciążenia, a więc w stanie nieważkości
γ = 0
.
•Jeśli gaz można potraktować jako doskonały, to jego
gęstość
ρ
można obliczyć
z
równania stanu
znanego w termodynamice pod nazwą
równania Clapeyrona
.
3
m
N
g
V
m
g
V
G
3
0
0
lim
lim
m
N
g
V
m
g
V
G
V
V
ZADANIA
• ZADANIE 1
• Obliczyć ciężar benzyny
G
o gęstości
ρ
= 740 kg/m
3
, która
całkowicie wypełnia zbiornik o objętości
V
= 10 m
3
.
Przyjąć g = 9,81 m/s
2
.
Rozwiązanie
• DANE: SZUKANE:
• ρ
= 740 kg/m
3
G = ? =
72,6
kN
• V
= 10 m
3
• g
= 9,81 m/s
2
• G
=
γ ·V = ρ · g · V =
740 · 9,81 · 10 = 72594 N = 72,6 kN
ZADANIA
• ZADANIE 2
• Wyznaczyć gęstość
ρ
1
gazu doskonałego w temperaturze
T
1
= 420
K i pod ciśnieniem
p
= 0,101 MPa, jeżeli jego gęstość pod tym
samym ciśnieniem i w temperaturze
T
2
=273 K wynosi
ρ
2
= 1,47
kg/m
3
.
Rozwiązanie
• DANE: SZUKANE:
• T
1
= 420 K
ρ
1
= ? =
0,9555 kg/m
3
• p
= 0,101 MPa
• T
2
= 273 K
• ρ
2
= 1,47 kg/m
3
• Z równania Clapeyrona
p
=
ρ · R · T
wynika
ρ · T = const.
, jako
że p =const.
ZADANIA
• Ciśnienie p podano w zadaniu tylko po to, aby móc
orzec, czy gaz można traktować jako doskonały.
• Skoro
ρ · T = const.
, to
ρ
1
· T
1
= ρ
2
· T
2
i ostatecznie:
ρ
1
= ρ
2
· T
2
/T
1
=
1,47 ·
273/420 = 0,9555 kg/m
3
• ZADANIE 3
• Powietrze o temperaturze
T
= 303 K znajduje się
pod ciśnieniem absolutnym
p
=2 MPa w zbiorniku o
objętości
V
= 20 m
3
. Obliczyć masę powietrza
m
.
Przyjąć, że jego indywidualna stała gazowa wynosi
R
= 287 J/(kg ·K).
ZADANIA
Rozwiązanie
• DANE: SZUKANE:
• T
= 303 K
m = ?
= 460 kg
• p
=2 MPa = 2
·
10
6
Pa
• V
= 20 m
3
• R
= 287 J/(kg ·K)
• Ciśnienie p nie jest wygórowane, a więc gaz można
potraktować jako gaz doskonały i stosować równanie
Clapeyrona:
p · V
=
m · R · T
czyli
m
=
p · V
/(R · T)
• Po podstawieniu danych dostaje się wskazany powyżej wynik.
ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW
• Jedyne możliwe odkształcenie płynu pozostającego w
spoczynku, to
zmiana
objętości
pod wpływem sił
zewnętrznych (ciśnienia) bądź pod wpływem wymiany
energii z otoczeniem na sposób ciepła (
ogrzewania
bądź
chłodzenia
).
• W pierwszym przypadku ma się do czynienia ze
ściśliwością
płynu, tj. jego podatnością na zmianę objętości w stałej
temperaturze pod wpływem ciśnienia. Miarą ściśliwości
płynu jest
izotermiczny współczynnik
(
moduł
)
ściśliwości:
• Dla
skończonych zmian objętości
ΔV
pod wpływem
skończonych zmian ciśnienia
Δp
:
dp
dV
V
dp
V
dV
B
1
/
Pa
p
p
V
V
V
p
V
V
B
1
1
1
1
2
1
2
1
1
ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW
• Z równania definicyjnego współczynnika ściśliwości wynika, że
V
2
= V
1
[ 1 – B · (p
2
– p
1
)]
(*)
• Jeśli gęstość płynu znajdującego się pod ciśnieniem
p
1
wynosi
ρ
1
, a po
izotermicznej
zmianie ciśnienia do wartości
p
2
wynosi
ρ
2
, to przy
m
= const.:
m
=
ρ
1
·V
1
=
ρ
2
·V
2
czyli
ρ
2
= ρ
1
·V
1
/V
2
, a uwzględniając zależność
(*) jest:
• Uwaga
: Nagłe zmiany ciśnienia (przemiana adiabatyczna)
wywołują zmiany temperatury (brak możliwości wymiany ciepła).
)
(
1
1
1
2
1
2
p
p
B
ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW
• Miano współczynnika ściśliwości [B] = Pa
-1
. Z tego też względu
częściej używa się jego odwrotności
E = 1/B [Pa]
. Jest to
moduł
sprężystości
, wielkość znana z wytrzymałości materiałów.
• Ciecze
– w odróżnieniu od gazów - można w wielu przypadkach
uważać za
płyny nieściśliwe
.
• Gazy
to
płyny ściśliwe
, które – w znacznym zakresie temperatury i
ciśnienia – można traktować jako
gazy doskonałe
i obliczać ich
parametry na podstawie
termicznego równania stanu
, znanego pod
nazwą
równania Clapeyrona
.
• Współczynnik ściśliwości gazów zależy od sposobu ich sprężania, tj.
rodzaju ich przemiany termodynamicznej. Tytułem przykładu
rozważmy najogólniejszy przypadek, tj. sprężanie gazu w
przemianie politropowej
.
ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW
• Jest to przemiana termodynamiczna, w której związek między
ciśnieniem absolutnym
p
i objętością
V
ma postać
p·V
n
= const
,
gdzie stały wykładnik
n
nazywa się
wykładnikiem politropy
.
Obliczymy współczynnik ściśliwości B.
• W tym celu bierzemy różniczkę obu stron równania politropy, tj.:
d(p·V
n
)
= d(const)
• Różniczkę lewej strony oblicza się podobnie jak różniczkę
iloczynu funkcji, a różniczka funkcji stałej jest równa zeru. Stąd:
V
n
· dp + n · p · V
n-1
· dV = 0
• Z równania tego wynika, że
dV/dp = -
n · p/· V
• Przywołamy teraz definicję
współczynnika ściśliwości
B:
ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW
• Mamy więc:
• Uwzględniając wcześniej otrzymane wyrażenie na pochodną
dV/dp, ostatecznie dostaje się:
B = 1/(n·p)
• WNIOSEK:
gaz jest tym mniej ściśliwy, im znajduje się pod
wyższym ciśnieniem p. Sprężanie gazu o tę samą wartość
Δp = p
2
- p
1
wymaga
tym większego nakładu pracy, im odbywa się ono w
obszarze wyższych ciśnień.
• Jeśli
n = κ
, to przemiana politropowa jest przemianą
adiabatyczną. Wykładnik
κ = c
p
/c
v
, który zależy tylko budowy
cząsteczki danego gazu,
określa się wtedy mianem
wykładnika
adiabaty.
Wówczas
współczynnik ściśliwości
B = 1/(κ ·p).
dp
dV
V
dp
V
dV
B
1
/
ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW
• Jeśli
n = 1
, to przemiana politropowa jest przemianą
izotermiczną
. w której związek między ciśnieniem absolutnym
p
i
objętością
V
ma postać
p·V
= const (prawo Boyle’a-Mariotte’a).
Wówczas
współczynnik ściśliwości:
B = 1/p
• WNIOSEK
:
Współczynnik ściśliwości
B
jest największy w
izotermicznej przemianie gazu doskonałego. Pozostaje słuszny
poprzedni wniosek, że gaz jest tym mniej ściśliwy, im znajduje się
pod wyższym ciśnieniem p.
• WNIOSEK
: Skoro współczynnik ściśliwości
B
jest największy
w izotermicznej przemianie gazu doskonałego, to
sprężarka
izotermiczna jest sprężarką doskonałą
o największej sprawności w
porównaniu ze wszystkimi sprężarkami rzeczywistymi, albowiem
takie sprężanie gazów wymaga najmniejszego wkładu pracy.
ROZSZERZALNOŚĆ CIEPLNA
PŁYNÓW
• Przemiana izotermiczna jest w praktyce
porównawczą
przemianą termodynamiczną
, tj. najbardziej ekonomiczną,
ale zarazem trudną do realizacji, jako że wymaga
doskonałego chłodzenia
gazu w celu utrzymania jego stałej
temperatury (
T = const
).
• Miarą rozszerzalności cieplnej płynów jest
współczynnik
rozszerzalności objętościowej
α
dany wzorem:
• Dla
skończonych zmian objętości
ΔV
pod wpływem
skończonych zmian temperatury
ΔT
:
K
dT
dV
V
dT
V
dV
1
1
/
K
T
T
V
V
V
1
1
1
2
1
2
1
ROZSZERZALNOŚĆ CIEPLNA
PŁYNÓW
• Z równania definicyjnego współczynnika rozszerzalności
objętościowej
α
wynika, że
V
2
= V
1
[ 1 + α · (T
2
– T
1
)]
(*)
• Jeśli gęstość płynu o temperaturze
T
1
wynosi
ρ
1
, a w
temperaturze
T
2
jest równa
ρ
2
, to przy
m
= const.:
m
=
ρ
1
·V
1
=
ρ
2
·V
2
czyli
ρ
2
= ρ
1
·V
1
/V
2
, a uwzględniając
zależność (*) jest:
• Gęstość płynów
ρ
jest
więc
malejącą funkcją temperatury
T
.
Anomalia – o ważnej wymowie praktycznej – występuje np. w
przypadku wody w zakresie od 0
0
C do 4
0
C.
)
(
1
1
1
2
1
2
T
T
ZADANIE
• ZADANIE 4
• Zbiornik ciśnieniowy wypełniono całkowicie wodą i hermetycznie
zamknięto. Jeśli założyć, że można pominąć odkształcalność
termiczną i sprężystą zbiornika, tj. przyjąć
V = const
, obliczyć
przyrost ciśnienia
Δp
spowodowany podgrzaniem wody o
ΔT = 30
K
. Przyjąć, że współczynnik rozszerzalności objętościowej
α =
18·10
-5
K
-1
,
a średni współczynnik ściśliwości
B = 4,7 ·10
-4
m
2
/MN
-1
.
• DANE: SZUKANE:
• ΔT = 30 K Δp = ? = 11,5
MPa
• α = 18·10
-5
K
-1
• B = 4,7 ·10
-4
m
2
/MN
-1
=4,7 · 10
-10
m
2
/N
-1
• Uwaga: Dane wyrażamy w spójnym układzie jednostek SI.
ZADANIE
• Przyrost objętości wody, który nastąpiłby, gdyby zbiornik był
odkształcalny termicznie, obliczymy przekształcając wzór
determinujący współczynnik rozszerzalności objętościowej
α
:
•
• Po prostym przekształceniu dostaje się
ΔV = α · V
1
· ΔT
.
Jednak
ta zmiana objętości
wody
nie dokonała się, co spowodowało
poszukiwany wzrost ciśnienia
Δp
w zbiorniku, który obliczymy
przekształcając wzór determinujący współczynnik ściśliwości
B
:
• We wzorze tym należy jednak uwzględnić, że
wzrost ciśnienia
Δp
wywołuje zmniejszenie objętości wody, które jest równe co do
wartości bezwzględnej wzrostowi jej objętości w wyniku
podgrzania o
ΔT
.
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
;
;
1
1
T
T
T
V
V
V
T
V
V
T
T
V
V
V
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
;
;
1
1
p
p
p
V
V
V
p
V
V
p
p
V
V
V
B
ZADANIE
• Z rozumowania tego wynika, że: objętość końcowa
V
2
wody w
procesie jej ogrzewania jest objętością początkową
V
1
w procesie
zmniejszania jej objętości w wyniku postępującego wzrostu
ciśnienia, a objętość początkowa V
1
wody w procesie jej
ogrzewania jest objętością końcową V
2
po wzroście ciśnienia o
Δp
.
W ten sposób tłumaczy się fakt, że objętość zbiornika
V = const
.
• Aczkolwiek z przytoczonego ostatnio wzoru, określającego
współczynnik ściśliwości
B
, wynika, że
ΔV = - B · V
1
· Δp
, to – z
uwagi na powyższe wyjaśnienie – należy
przyjąć, że
ΔV = B ·
V
1
· Δp
• W związku z tym, że
przyrost objętości wody z tytułu
rozszerzalności cieplnej ma być równy – co do wartości
bezwzględnej - ubytkowi jej objętości z tytułu wzrostu ciśnienia
,
dostaje się:
α · V
1
· ΔT = B · V
1
· Δp czyli Δp = ΔT · α /B
ZADANIE
• Dopiero teraz podstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy, że
poszukiwany przyrost ciśnienia
Δp = 11,5 MPa.
Otrzymany wynik
wpisujemy w pozycji SZUKANE.
• ZADANIE DOMOWE D.1
• Jaką objętość wody
ΔV
można wpomować
do autoklawu o objętości
V=0,5 m
3
,
aby przyrost cisnienia nie przekroczył wartości
Δp= 1,0
MPa
? Przyjąć, że moduł ściśliwości wody
B = 8
·10
-4
m
2
/MN
-1
.
• ZADANIE DOMOWE D.2
• Gęstość cieczy w temperaturze
T
1
= 293 K
i pod ciśnieniem
p
1
= 0,1
MPa
wynosi
ρ
1
=800 kg/m
3
. Jaka będzie gęstość cieczy
ρ
2
w
temperaturze
T
2
= 313 K
i pod ciśnieniem
p
2
= 0,3 MPa
? Przyjąć:
α
= 0,9 ·10
-3
K
-1
i
B = 8
·10
-4
m
2
/MN
-1
.
• Uwaga:
ciecz została poddana zarówno ogrzewaniu (T
2
> T
1
), jak i
sprężaniu (p
2
> p
1
). Z uwagi na stosunkowo niewielkie zmiany
gęstości
ρ
, wymienione zjawiska można potraktować jako niezależne,
zachodzące jedno po drugim.
SIŁOWNIK HYDRAULICZNY
• ZADANIE 5
• Siłownik hydrauliczny
, zwany także cylindrem
hydraulicznym lub silnikiem hydrostatycznym, o średnicy
tłoka
D = 80 mm
i skoku
s = 500 mm
całkowicie
wypełniono olejem o współczynniku ściśliwości
B = 56
·10
-5
m
2
/MN
. Obliczyć przesunięcie
Δs
tłoka, jeżeli
tłoczysko poddamy działaniu siły
P = 30kN
.
• W danym przypadku, organem roboczym jest tłok
umieszczony w korpusie cylindrycznym i wykonujący ruch
posuwisty.
• Do domu:
Zasada działania siłowników hydraulicznych
(jedno- i dwustronnego działania). Przykłady zastosowań.
SIŁOWNIK HYDRAULICZNY
• DANE:
SZUKANE:
• D = 80 mm = 0, 08 m Δs = ?
= 1,68 mm
• s = 500 mm = 0,5 m
• B = 56
·10
-5
m
2
/MN = 56 ·10
-11
m
2
/N
• P = 30 kN = 3 ·10
4
N
P
s
s
D
SIŁOWNIK HYDRAULICZNY
ROZWIĄZANIE
• Odwołujemy się do definicji
współczynnika
ściśliwości
:
• W danym przypadku:
P
s
s
D
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
,
;
1
1
p
p
p
V
V
V
p
V
V
p
p
V
V
V
B
2
2
2
2
2
1
4
;
4
);
(
4
;
4
D
P
p
s
D
V
s
s
D
V
s
D
V
SIŁOWNIK HYDRAULICZNY
• Podstawiamy te wyrażenia do wzoru określającego
współczynnik ściśliwości:
• Podstawiamy
dane liczbowe
i otrzymujemy:
2
2
4
4
D
s
P
B
s
s
P
s
D
B
3
4
7
2
4
11
10
67
,
1
10
64
14
,
3
10
336
)
08
,
0
(
14
,
3
5
,
0
10
3
10
56
4
s
P
s
s
D
LEEPKOŚĆ DYNAMICZNA I
KINEMATYCZNA
• ZADANIE 6
• Współczynnik lepkości kinematycznej nafty
ν = 7,6
·10
-6
m
2
/s
, a jej gęstość
ρ = 786 kg/m
3
. Określić jej
lepkość dynamiczną
μ
.
• DANE: SZUKANE:
• ν = 7,6 ·10
-6
m
2
/s μ = ? =
5,97 Pa ·s
• ρ = 786 kg/m
3
•
ROZWIĄZANIE
• Z definicji lepkości kinematycznej
ν
:
μ
=
ν · ρ = 7,6 ·10
-6
·786 = 5,97 ·10
-3
Pa ·s
LEPKOŚĆ CIECZY
• Zadanie 7
• Współczynnik lepkości kinematycznej cieczy w
temperaturze
T
2
= 313 K
wynosi
ν
2
=
6,2
·10
-6
m
2
/s.
Natomiast gęstość tej cieczy w temperaturze
T
1
=
283 K
jest równa
ρ
1
= 920 kg/m
3
. Jeśli współczynnik
rozszerzalności objętościowej
α = 16
·10
-5
K
-1
, to ile
wynosi lepkość dynamiczna
μ
2
cieczy w temperaturze
T
2
.
• DANE: SZUKANE:
• T
2
= 313 K μ = ? = 5,673
·10
-3
Pa ·s
• ν
2
=
6,2
·10
-6
m
2
/s
• T
1
=
283 K
• ρ
1
= 920 kg/m
3
• α = 16
·10
-5
K
-1
LEPKOŚĆ CIECZY
• ROZWIĄZANIE
• Z definicji lepkości kinematycznej -
μ
2
= ν
2
· ρ
2
• Z warunku
m = const
i definicji gęstości
ρ = m/V
-
ρ
1
· V
1
= ρ
2
· V
2
• Oznacza to, że
• W celu wyznaczenia stosunku objętości
V
1
/V
2
odwołamy się do definicji współczynnika
rozszerzalności objętościowej:
2
1
1
2
2
2
2
V
V
)
(
1
1
)
(
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
T
T
V
V
T
T
V
V
T
T
V
V
V
LEPKOŚĆ CIECZY
• Ostatecznie, dostaje się:
• Podstawiamy
dane liczbowe
i otrzymujemy:
• Uwaga
: jeśli nie wie się, w jakich jednostkach w
układzie SI wyraża się dana wielkość, to
konieczne jest wykonanie działań na mianach. W
danym przypadku wiadomo, że
jednostką lepkości
dynamicznej
jest [Pa ·s] = [N ·s/m
2
].
)
(
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
T
T
V
V
3
5
6
2
10
673
,
5
0048
,
1
0057
,
0
)
283
313
(
10
16
1
920
10
2
,
6
PRACA DOMOWA
• ZADANIE DOMOWE D.3
• Współczynnik lepkości dynamicznej wody w
temperaturze
T
2
= 323 K
wynosi
μ
2
= 0,546
·10
-3
Pa ·s
, a jej gęstość w temperaturze
T
1
=
277 K
jest równa
ρ
1
=800 kg/m
3
. Wiedząc, że
współczynnik rozszerzalności objętościowej
wody wynosi
α = 18 ·10
-5
K
-1
, obliczyć jej
lepkość kinematyczną
ν
2
w temperaturze
T
2
.
• Uwaga: wzorować się na rozwiązaniu zadania 7.
ZAPROSZENIE
ZAPRASZAM
NA
NASTĘPNE ĆWICZENIA