MECHANIKA PŁYNÓW

POJĘCIA

PODSTAWOWE

PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW

TJ. CIECZY I GAZÓW

• Zakłada się płyn jest

ośrodkiem ciągłym

, tzn. zaniedbuje się jego

budowę cząsteczkową (atomową, ziarnistą).

•

PARAMETRY PŁYNU

• gęstość

ρ

;

• ciężar właściwy

γ

;

• współczynniki transportu opisujące transport

masy

,

pędu

i

energii

w wyniku chaotycznego ruchu molekuł: współczynnik

dyfuzji

D

, dynamiczny

μ

i kinematyczny

ν

współczynnik lepkości,

współczynnik przewodnictwa cieplnego

λ

;

• ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem

c

p

i w stałej objętości

c

v

oraz wykładnik adiabaty

к

zależne od struktury molekuł, przy

czym dla cieczy – c

p

= c

v

;

• ciśnienie

p

, prędkość

v

, temperatura

T

– opisujące stan płynu w

punkcie 

GĘSTOŚĆ PŁYNU

• We wnętrzu masy płynu, znajdującej się w spoczynku bądź

ruchu w polu przyspieszenia ziemskiego

g

, wyodrębniamy – za

pomocą abstrakcyjnej powierzchni zamkniętej o polu

A

- jej

część o objętości

V

i masie

m

.

• Dla potrzeb dalszych rozważań odnotujemy, że na masę płynu

zawartą w objętości

V

ograniczonej powierzchnią

A

działa

siła

objętościowa

będąca jej ciężarem

G

=

m·g

oraz zewnętrzne

siły

powierzchniowe

ze strony płynu otaczającego powierzchnie

A

.

• Powierzchni

A

można nadać

dowolny

kształt

.

Jeśli jest to np. pobocznica walca, to płyn
o objętości

V

będzie zawarty

w

zbiorniku cylindrycznym

. Przykład

układu

zamkniętego

w termodynamice.

V

A



V



A



G

GĘSTOŚĆ PŁYNU

• Dobierając odpowiedni stosunek średnicy do wysokości zbiornika i zakładając, że przez część powierzchni

S

, reprezentowaną przez powierzchnie:

S

1

i

S

2

, możliwy jest przepływ płynu, dostaje się

przewód

bądź

kanał

o kołowym przekroju poprzecznym, tj.

rurę okrągłą

, której ścianką,

nieprzenikliwą dla płynu, jest powierzchnia

S

3

(w danym przypadku powierzchnia abstrakcyjna). Przykład

układu otwartego

w termodynamice.

• Jeśli rozkład masy m wewnątrz objętości V jest
równomierny, to gęstość (zwana także masą
właściwą) definiuje się następująco:

• Jest to więc

wielkość skalarna

. W tym przypadku, gęstość płynu jest taka sama we wszystkich punktach objętości V.

Skalarne bądź skalarowe pole

gęstości

jest więc polem jednorodnym

.

S

1

V

V

S

3

S

3

S

2

S

2

S

1











3

m

kg

V

m



GĘSTOŚĆ PŁYNU

• Jeśli rozkład masy jest

nierównomierny

, to gęstość płynu,

traktowanego jako ośrodek ciągły, jest granicą ilorazu
różnicowego będącego stosunkiem elementarnej
masy Δm do zawierającej ją objętości elementarnej

ΔV

, tj.:

• W danym przypadku ma się do czynienia z polem skalarnym

gęstości, które jest polem

niejednorodnym

. Linie bądź

powierzchnie ekwiskalarne, na których

ρ=const

, noszą nazwę

linii

izopiknicznych

.

• Gęstość płynu

jest to więc jego masa przypadająca na jednostkę

objętości w danym punkcie objętości

V

i w danej chwili

t

.

• Pole skalarne gęstości płynu jako ośrodka ciągłego opisuje

ciągły

rozkład tego płynu w objętości V, tzn. że gęstość

ρ

jest

ciągłą

funkcją

punktu P, będącego dowolnym punktem w objętości V, i

czasu t, a więc

ρ = ρ(P, t)

.

V

A



V



A



G



















3

0

lim

m

kg

V

m

V



GĘSTOŚĆ I CIĘŻAR WŁAŚCIWY PŁYNU

•Podobnie, tj. dla jednorodnego i niejednorodnego rozkładu

masy

m

w

zajmowanej przez nią objętości

V

, definiuje się ciężar

właściwy płynu

γ

:

•W ogólności:

ρ = ρ(T, p)

oraz

γ = γ(T, p)

. Ciecz

można jednak często

traktować jako

płyn nieściśliwy

(

ρ = const

). Jeśli g=const,

to wtedy i

γ =const

.

•Uwaga

: ciężar właściwy

γ

- w odróżnieniu od gęstości

ρ

-

zależy od siły

ciążenia, a więc w stanie nieważkości

γ = 0

.

•Jeśli gaz można potraktować jako doskonały, to jego

gęstość

ρ

można obliczyć

z

równania stanu

znanego w termodynamice pod nazwą

równania Clapeyrona

.



















3

m

N

g

V

m

g

V

G







































3

0

0

lim

lim

m

N

g

V

m

g

V

G

V

V





ZADANIA

• ZADANIE 1

• Obliczyć ciężar benzyny

G

o gęstości

ρ

= 740 kg/m

3

, która

całkowicie wypełnia zbiornik o objętości

V

= 10 m

3

.

Przyjąć g = 9,81 m/s

2

.

Rozwiązanie

• DANE: SZUKANE:

• ρ

= 740 kg/m

3

G = ? =

72,6

kN

• V

= 10 m

3

• g

= 9,81 m/s

2

• G

=

γ ·V = ρ · g · V =

740 · 9,81 · 10 = 72594 N = 72,6 kN

ZADANIA

• ZADANIE 2

• Wyznaczyć gęstość

ρ

1

gazu doskonałego w temperaturze

T

1

= 420

K i pod ciśnieniem

p

= 0,101 MPa, jeżeli jego gęstość pod tym

samym ciśnieniem i w temperaturze

T

2

=273 K wynosi

ρ

2

= 1,47

kg/m

3

.

Rozwiązanie

• DANE: SZUKANE:

• T

1

= 420 K

ρ

1

= ? =

0,9555 kg/m

3

• p

= 0,101 MPa

• T

2

= 273 K

• ρ

2

= 1,47 kg/m

3

• Z równania Clapeyrona

p

=

ρ · R · T

wynika

ρ · T = const.

, jako

że p =const.

ZADANIA

• Ciśnienie p podano w zadaniu tylko po to, aby móc

orzec, czy gaz można traktować jako doskonały.

• Skoro

ρ · T = const.

, to

ρ

1

· T

1

= ρ

2

· T

2

i ostatecznie:

ρ

1

= ρ

2

· T

2

/T

1

=

1,47 ·

273/420 = 0,9555 kg/m

3

• ZADANIE 3

• Powietrze o temperaturze

T

= 303 K znajduje się

pod ciśnieniem absolutnym

p

=2 MPa w zbiorniku o

objętości

V

= 20 m

3

. Obliczyć masę powietrza

m

.

Przyjąć, że jego indywidualna stała gazowa wynosi

R

= 287 J/(kg ·K).

ZADANIA

Rozwiązanie

• DANE: SZUKANE:

• T

= 303 K

m = ?

= 460 kg

• p

=2 MPa = 2

·

10

6

Pa

• V

= 20 m

3

• R

= 287 J/(kg ·K)

• Ciśnienie p nie jest wygórowane, a więc gaz można

potraktować jako gaz doskonały i stosować równanie

Clapeyrona:

p · V

=

m · R · T

czyli

m

=

p · V

/(R · T)

• Po podstawieniu danych dostaje się wskazany powyżej wynik.

ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW

• Jedyne możliwe odkształcenie płynu pozostającego w

spoczynku, to

zmiana

objętości

pod wpływem sił

zewnętrznych (ciśnienia) bądź pod wpływem wymiany
energii z otoczeniem na sposób ciepła (

ogrzewania

bądź

chłodzenia

).

• W pierwszym przypadku ma się do czynienia ze

ściśliwością

płynu, tj. jego podatnością na zmianę objętości w stałej
temperaturze pod wpływem ciśnienia. Miarą ściśliwości
płynu jest

izotermiczny współczynnik

(

moduł

)

ściśliwości:

• Dla

skończonych zmian objętości

ΔV

pod wpływem

skończonych zmian ciśnienia

Δp

:

dp

dV

V

dp

V

dV

B

1

/

































Pa

p

p

V

V

V

p

V

V

B

1

1

1

1

2

1

2

1

1

ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW

• Z równania definicyjnego współczynnika ściśliwości wynika, że

V

2

= V

1

[ 1 – B · (p

2

– p

1

)]

(*)

• Jeśli gęstość płynu znajdującego się pod ciśnieniem

p

1

wynosi

ρ

1

, a po

izotermicznej

zmianie ciśnienia do wartości

p

2

wynosi

ρ

2

, to przy

m

= const.:

m

=

ρ

1

·V

1

=

ρ

2

·V

2

czyli

ρ

2

= ρ

1

·V

1

/V

2

, a uwzględniając zależność

(*) jest:

• Uwaga

: Nagłe zmiany ciśnienia (przemiana adiabatyczna)

wywołują zmiany temperatury (brak możliwości wymiany ciepła).

)

(

1

1

1

2

1

2

p

p

B















ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW

• Miano współczynnika ściśliwości [B] = Pa

-1

. Z tego też względu

częściej używa się jego odwrotności

E = 1/B [Pa]

. Jest to

moduł

sprężystości

, wielkość znana z wytrzymałości materiałów.

• Ciecze

– w odróżnieniu od gazów - można w wielu przypadkach

uważać za

płyny nieściśliwe

.

• Gazy

to

płyny ściśliwe

, które – w znacznym zakresie temperatury i

ciśnienia – można traktować jako

gazy doskonałe

i obliczać ich

parametry na podstawie

termicznego równania stanu

, znanego pod

nazwą

równania Clapeyrona

.

• Współczynnik ściśliwości gazów zależy od sposobu ich sprężania, tj.

rodzaju ich przemiany termodynamicznej. Tytułem przykładu
rozważmy najogólniejszy przypadek, tj. sprężanie gazu w

przemianie politropowej

.

ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW

• Jest to przemiana termodynamiczna, w której związek między

ciśnieniem absolutnym

p

i objętością

V

ma postać

p·V

n

= const

,

gdzie stały wykładnik

n

nazywa się

wykładnikiem politropy

.

Obliczymy współczynnik ściśliwości B.

• W tym celu bierzemy różniczkę obu stron równania politropy, tj.:

d(p·V

n

)

= d(const)

• Różniczkę lewej strony oblicza się podobnie jak różniczkę

iloczynu funkcji, a różniczka funkcji stałej jest równa zeru. Stąd:

V

n

· dp + n · p · V

n-1

· dV = 0

• Z równania tego wynika, że

dV/dp = -

n · p/· V

• Przywołamy teraz definicję

współczynnika ściśliwości

B:

ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW

• Mamy więc:

• Uwzględniając wcześniej otrzymane wyrażenie na pochodną

dV/dp, ostatecznie dostaje się:

B = 1/(n·p)

• WNIOSEK:

gaz jest tym mniej ściśliwy, im znajduje się pod

wyższym ciśnieniem p. Sprężanie gazu o tę samą wartość

Δp = p

2

- p

1

wymaga

tym większego nakładu pracy, im odbywa się ono w

obszarze wyższych ciśnień.

• Jeśli

n = κ

, to przemiana politropowa jest przemianą

adiabatyczną. Wykładnik

κ = c

p

/c

v

, który zależy tylko budowy

cząsteczki danego gazu,

określa się wtedy mianem

wykładnika

adiabaty.

Wówczas

współczynnik ściśliwości

B = 1/(κ ·p).

dp

dV

V

dp

V

dV

B

1

/









ŚCIŚLIWOŚĆ PŁYNÓW

• Jeśli

n = 1

, to przemiana politropowa jest przemianą

izotermiczną

. w której związek między ciśnieniem absolutnym

p

i

objętością

V

ma postać

p·V

= const (prawo Boyle’a-Mariotte’a).

Wówczas

współczynnik ściśliwości:

B = 1/p

• WNIOSEK

:

Współczynnik ściśliwości

B

jest największy w

izotermicznej przemianie gazu doskonałego. Pozostaje słuszny
poprzedni wniosek, że gaz jest tym mniej ściśliwy, im znajduje się
pod wyższym ciśnieniem p.

• WNIOSEK

: Skoro współczynnik ściśliwości

B

jest największy

w izotermicznej przemianie gazu doskonałego, to

sprężarka

izotermiczna jest sprężarką doskonałą

o największej sprawności w

porównaniu ze wszystkimi sprężarkami rzeczywistymi, albowiem
takie sprężanie gazów wymaga najmniejszego wkładu pracy.

ROZSZERZALNOŚĆ CIEPLNA

PŁYNÓW

• Przemiana izotermiczna jest w praktyce

porównawczą

przemianą termodynamiczną

, tj. najbardziej ekonomiczną,

ale zarazem trudną do realizacji, jako że wymaga

doskonałego chłodzenia

gazu w celu utrzymania jego stałej

temperatury (

T = const

).

• Miarą rozszerzalności cieplnej płynów jest

współczynnik

rozszerzalności objętościowej

α

dany wzorem:

• Dla

skończonych zmian objętości

ΔV

pod wpływem

skończonych zmian temperatury

ΔT

:













K

dT

dV

V

dT

V

dV

1

1

/

















K

T

T

V

V

V

1

1

1

2

1

2

1



ROZSZERZALNOŚĆ CIEPLNA

PŁYNÓW

• Z równania definicyjnego współczynnika rozszerzalności

objętościowej

α

wynika, że

V

2

= V

1

[ 1 + α · (T

2

– T

1

)]

(*)

• Jeśli gęstość płynu o temperaturze

T

1

wynosi

ρ

1

, a w

temperaturze

T

2

jest równa

ρ

2

, to przy

m

= const.:

m

=

ρ

1

·V

1

=

ρ

2

·V

2

czyli

ρ

2

= ρ

1

·V

1

/V

2

, a uwzględniając

zależność (*) jest:

• Gęstość płynów

ρ

jest

więc

malejącą funkcją temperatury

T

.

Anomalia – o ważnej wymowie praktycznej – występuje np. w
przypadku wody w zakresie od 0

0

C do 4

0

C.

)

(

1

1

1

2

1

2

T

T 















ZADANIE

• ZADANIE 4

• Zbiornik ciśnieniowy wypełniono całkowicie wodą i hermetycznie

zamknięto. Jeśli założyć, że można pominąć odkształcalność
termiczną i sprężystą zbiornika, tj. przyjąć

V = const

, obliczyć

przyrost ciśnienia

Δp

spowodowany podgrzaniem wody o

ΔT = 30

K

. Przyjąć, że współczynnik rozszerzalności objętościowej

α =

18·10

-5

K

-1

,

a średni współczynnik ściśliwości

B = 4,7 ·10

-4

m

2

/MN

-1

.

• DANE: SZUKANE:

• ΔT = 30 K Δp = ? = 11,5

MPa

• α = 18·10

-5

K

-1

• B = 4,7 ·10

-4

m

2

/MN

-1

=4,7 · 10

-10

m

2

/N

-1

• Uwaga: Dane wyrażamy w spójnym układzie jednostek SI.

ZADANIE

• Przyrost objętości wody, który nastąpiłby, gdyby zbiornik był

odkształcalny termicznie, obliczymy przekształcając wzór

determinujący współczynnik rozszerzalności objętościowej

α

:

•

• Po prostym przekształceniu dostaje się

ΔV = α · V

1

· ΔT

.

Jednak

ta zmiana objętości

wody

nie dokonała się, co spowodowało

poszukiwany wzrost ciśnienia

Δp

w zbiorniku, który obliczymy

przekształcając wzór determinujący współczynnik ściśliwości

B

:

• We wzorze tym należy jednak uwzględnić, że

wzrost ciśnienia

Δp

wywołuje zmniejszenie objętości wody, które jest równe co do

wartości bezwzględnej wzrostowi jej objętości w wyniku

podgrzania o

ΔT

.

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

;

;

1

1

T

T

T

V

V

V

T

V

V

T

T

V

V

V



























1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

;

;

1

1

p

p

p

V

V

V

p

V

V

p

p

V

V

V

B





























ZADANIE

• Z rozumowania tego wynika, że: objętość końcowa

V

2

wody w

procesie jej ogrzewania jest objętością początkową

V

1

w procesie

zmniejszania jej objętości w wyniku postępującego wzrostu
ciśnienia, a objętość początkowa V

1

wody w procesie jej

ogrzewania jest objętością końcową V

2

po wzroście ciśnienia o

Δp

.

W ten sposób tłumaczy się fakt, że objętość zbiornika

V = const

.

• Aczkolwiek z przytoczonego ostatnio wzoru, określającego

współczynnik ściśliwości

B

, wynika, że

ΔV = - B · V

1

· Δp

, to – z

uwagi na powyższe wyjaśnienie – należy

przyjąć, że

ΔV = B ·

V

1

· Δp

• W związku z tym, że

przyrost objętości wody z tytułu

rozszerzalności cieplnej ma być równy – co do wartości
bezwzględnej - ubytkowi jej objętości z tytułu wzrostu ciśnienia

,

dostaje się:

α · V

1

· ΔT = B · V

1

· Δp czyli Δp = ΔT · α /B

ZADANIE

• Dopiero teraz podstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy, że

poszukiwany przyrost ciśnienia

Δp = 11,5 MPa.

Otrzymany wynik

wpisujemy w pozycji SZUKANE.

• ZADANIE DOMOWE D.1

• Jaką objętość wody

ΔV

można wpomować

do autoklawu o objętości

V=0,5 m

3

,

aby przyrost cisnienia nie przekroczył wartości

Δp= 1,0

MPa

? Przyjąć, że moduł ściśliwości wody

B = 8

·10

-4

m

2

/MN

-1

.

• ZADANIE DOMOWE D.2

• Gęstość cieczy w temperaturze

T

1

= 293 K

i pod ciśnieniem

p

1

= 0,1

MPa

wynosi

ρ

1

=800 kg/m

3

. Jaka będzie gęstość cieczy

ρ

2

w

temperaturze

T

2

= 313 K

i pod ciśnieniem

p

2

= 0,3 MPa

? Przyjąć:

α

= 0,9 ·10

-3

K

-1

i

B = 8

·10

-4

m

2

/MN

-1

.

• Uwaga:

ciecz została poddana zarówno ogrzewaniu (T

2

> T

1

), jak i

sprężaniu (p

2

> p

1

). Z uwagi na stosunkowo niewielkie zmiany

gęstości

ρ

, wymienione zjawiska można potraktować jako niezależne,

zachodzące jedno po drugim.

SIŁOWNIK HYDRAULICZNY

• ZADANIE 5

• Siłownik hydrauliczny

, zwany także cylindrem

hydraulicznym lub silnikiem hydrostatycznym, o średnicy
tłoka

D = 80 mm

i skoku

s = 500 mm

całkowicie

wypełniono olejem o współczynniku ściśliwości

B = 56

·10

-5

m

2

/MN

. Obliczyć przesunięcie

Δs

tłoka, jeżeli

tłoczysko poddamy działaniu siły

P = 30kN

.

• W danym przypadku, organem roboczym jest tłok

umieszczony w korpusie cylindrycznym i wykonujący ruch
posuwisty.

• Do domu:

Zasada działania siłowników hydraulicznych

(jedno- i dwustronnego działania). Przykłady zastosowań.

SIŁOWNIK HYDRAULICZNY

• DANE:

SZUKANE:

• D = 80 mm = 0, 08 m Δs = ?

= 1,68 mm

• s = 500 mm = 0,5 m
• B = 56

·10

-5

m

2

/MN = 56 ·10

-11

m

2

/N

• P = 30 kN = 3 ·10

4

N

P

s

s

D

SIŁOWNIK HYDRAULICZNY

ROZWIĄZANIE

• Odwołujemy się do definicji

współczynnika

ściśliwości

:

• W danym przypadku:

P

s

s

D

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

,

;

1

1

p

p

p

V

V

V

p

V

V

p

p

V

V

V

B

































2

2

2

2

2

1

4

;

4

);

(

4

;

4

D

P

p

s

D

V

s

s

D

V

s

D

V













































SIŁOWNIK HYDRAULICZNY

• Podstawiamy te wyrażenia do wzoru określającego

współczynnik ściśliwości:

• Podstawiamy

dane liczbowe

i otrzymujemy:

2

2

4

4

D

s

P

B

s

s

P

s

D

B































3

4

7

2

4

11

10

67

,

1

10

64

14

,

3

10

336

)

08

,

0

(

14

,

3

5

,

0

10

3

10

56

4



































s

P

s

s

D

LEEPKOŚĆ DYNAMICZNA I

KINEMATYCZNA

• ZADANIE 6

• Współczynnik lepkości kinematycznej nafty

ν = 7,6

·10

-6

m

2

/s

, a jej gęstość

ρ = 786 kg/m

3

. Określić jej

lepkość dynamiczną

μ

.

• DANE: SZUKANE:

• ν = 7,6 ·10

-6

m

2

/s μ = ? =

5,97 Pa ·s

• ρ = 786 kg/m

3

•

ROZWIĄZANIE

• Z definicji lepkości kinematycznej

ν

:

μ

=

ν · ρ = 7,6 ·10

-6

·786 = 5,97 ·10

-3

Pa ·s

LEPKOŚĆ CIECZY

• Zadanie 7

• Współczynnik lepkości kinematycznej cieczy w

temperaturze

T

2

= 313 K

wynosi

ν

2

=

6,2

·10

-6

m

2

/s.

Natomiast gęstość tej cieczy w temperaturze

T

1

=

283 K

jest równa

ρ

1

= 920 kg/m

3

. Jeśli współczynnik

rozszerzalności objętościowej

α = 16

·10

-5

K

-1

, to ile

wynosi lepkość dynamiczna

μ

2

cieczy w temperaturze

T

2

.

• DANE: SZUKANE:

• T

2

= 313 K μ = ? = 5,673

·10

-3

Pa ·s

• ν

2

=

6,2

·10

-6

m

2

/s

• T

1

=

283 K

• ρ

1

= 920 kg/m

3

• α = 16

·10

-5

K

-1

LEPKOŚĆ CIECZY

• ROZWIĄZANIE

• Z definicji lepkości kinematycznej -

μ

2

= ν

2

· ρ

2

• Z warunku

m = const

i definicji gęstości

ρ = m/V

-

ρ

1

· V

1

= ρ

2

· V

2

• Oznacza to, że

• W celu wyznaczenia stosunku objętości

V

1

/V

2

odwołamy się do definicji współczynnika
rozszerzalności objętościowej:

2

1

1

2

2

2

2

V

V

























)

(

1

1

)

(

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

T

T

V

V

T

T

V

V

T

T

V

V

V





































LEPKOŚĆ CIECZY

• Ostatecznie, dostaje się:

• Podstawiamy

dane liczbowe

i otrzymujemy:

• Uwaga

: jeśli nie wie się, w jakich jednostkach w

układzie SI wyraża się dana wielkość, to
konieczne jest wykonanie działań na mianach. W
danym przypadku wiadomo, że

jednostką lepkości

dynamicznej

jest [Pa ·s] = [N ·s/m

2

].

)

(

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

2

2

T

T

V

V





































3

5

6

2

10

673

,

5

0048

,

1

0057

,

0

)

283

313

(

10

16

1

920

10

2

,

6





























PRACA DOMOWA

• ZADANIE DOMOWE D.3

• Współczynnik lepkości dynamicznej wody w

temperaturze

T

2

= 323 K

wynosi

μ

2

= 0,546

·10

-3

Pa ·s

, a jej gęstość w temperaturze

T

1

=

277 K

jest równa

ρ

1

=800 kg/m

3

. Wiedząc, że

współczynnik rozszerzalności objętościowej
wody wynosi

α = 18 ·10

-5

K

-1

, obliczyć jej

lepkość kinematyczną

ν

2

w temperaturze

T

2

.

• Uwaga: wzorować się na rozwiązaniu zadania 7.

ZAPROSZENIE

ZAPRASZAM

NA

NASTĘPNE ĆWICZENIA