Kula

Matematyka z Plusem

Matematyka z Plusem

Klasa 3

Klasa 3

Temat kula w matematyce z

plusem poruszony jest w

następujący sposób. Uczniowie

poprzez zabawę dowiedzą się jak

powstał wzór na objętość oraz

pole powierzchni kuli.

Do wprowadzenia tematu

potrzebne są wiadomości o

stożku, które zostały

wprowadzone na poprzednich

zajęciach.

Wykonaj następujące Ćwiczenie

Wykonaj następujące Ćwiczenie

Znajdź grejpfruta, który kształtem
najbardziej przypomina kulę. Przetnij go na
pół i wydrąż łyżką miąższ.
Wytnij z kartonu koło i przetnij je wzdłuż
promienia. Przygotuj czapeczkę
dopasowując ją i przycinając tak, aby
obwód i wysokość czapeczki odpowiadały
wymiarom grejpfruta.
Wypełnij czapeczkę kaszą manną i przesyp
kaszę do wydrążonej połowy grejpfruta.
Powtórz tę czynność.

Ile razy objętość miąższu

całego grejpfruta jest

większa od pojemności

czapeczki

?

Kula o promieniu r ma

objętość 4 razy większą niż

stożek o promieniu podstawy r i

wysokości r.

r

r

V









2

3

1

4

Objętość kuli:

r — długość promienia kuli

3

3

4

r

V





Powierzchnię kuli nazywamy sferą.

Pokażemy teraz, jak obliczać pole sfery.

Wyobraź sobie, że kulę o promieniu r

dzielimy na bryły przypominające
ostrosłupy o wspólnym wierzchołku,
który jest środkiem kuli. Nazwijmy te
bryły nibyostrosłupami.

Niech P1 oznacza pole podstawy

pierwszego nibyostrosłupa, P2 —
drugiego, P3 — trzeciego itd. Suma pól
podstaw wszystkich nibyostrosłupów
jest równa polu sfery (P).

P1+P2 + ... + Pn = P

Im więcej będzie nibyostrosłupów i im

mniejsze będą ich pola podstaw, tym
bardziej nibyostrosłupy będą
przypominały ostrosłupy o wysokości r.
Wobec tego objętość każdego z
nibyostrosłupów można obliczać
podobnie jak objętość ostrosłupa.

Suma objętości nibyostrosłupów jest równa

objętości kuli (V).

r — długość promienia kuli

V

r

P

r

P

r

P

n





















3

1

...

3

1

3

1

2

1





3

2

1

3

4

...

3

1

r

P

P

P

r

n















r

r

P

r

3

1

:

3

4

3

1

3







2

4 r

P





Zadania

1.

Oblicz objętość i pole powierzchni kuli:

a) o promieniu 4√2,

b) o średnicy 16√3.

2.

Oblicz długość promienia kuli:

a) o polu powierzchni 100 cm2, b) o objętości 36 litrów.
3.

Można przyjąć, że równik jest okręgiem o promieniu 6371

km. Oblicz, jaką powierzchnię miałaby kula ziemska, gdyby była
kulą o takim pro mieniu. Porównaj otrzymany wynik z rzeczywistą
powierzchnią Ziemi równą 510,066 min km2. (Ścieżka edukacyjna-
przyrodnicza)
4.

Jak zmieni się objętość, a jak pole powierzchni kuli, jeżeli

promień:
a) zwiększymy dwukrotnie,

c) zmniejszymy dwukrotnie,

b) zwiększymy trzykrotnie,

d) zmniejszymy czterokrotnie?

5.

Dwie ołowiane kule o średnicach 8 cm i 4 cm przetopiono

na jedną kulę. Jaka jest średnica tej kuli?
6.

Czy złota kula, która waży tyle co ty, ma promień większy

czy mniejszy niż 10 cm? (1 cm3 złota waży 0,19 kg.)
7.

Kulę o średnicy 8 cm przecięto na dwie jednakowe części.

Jakie pole powierzchni ma każda z otrzymanych półkul?



Matematyka 2001

Matematyka 2001

klasa 3

klasa 3

Autor matematyki 2001 porusza

temat w postaci czytanki.

Uczniowie po przeczytaniu

dowiedzą się jak wyprowadzić

wzór na objętość kuli.

Do wprowadzenia tematu

potrzebne są wiadomości o

stożku i walcu, które zostały

wprowadzone na poprzednich

zajęciach.

Objętość walca oblicza się łatwo, mnożąc

pole podstawy przez wysokość:

r— promień podstawy, h — wysokość walca.

Przypomina to sposób obliczania

objętości prostopadłościanu. Objętość stożka
oblicza się podobnie jak objętość ostrosłupa:
jedna trzecia pola podstawy razy wysokość:

r— promień podstawy, h — wysokość stożka.

h

r

V

walca

2





h

r

V

stoka

2

3

1





Na rysunku widzimy walec o wysokości równej

promieniowi podstawy

a obok niego stożek, o takiej samej podstawie i

wysokości.

Objętość stożka wynosi jedną trzecią objętości walca.

Uzasadnimy, że

objętość półkuli o takim samym promieniu jak promień

podstawy walca

i stożka, wynosi dwa razy tyle, co objętość stożka, i dwie

trzecie objętość

walca.

Zależność ta została odkryta po raz pierwszy przez

uznanego za najwybitniejszego matematyka

starożytności Archimedesa z Syrakuz, który żył w

latach 287 - 212 p.n.e. Uzasadnienie, które tu podamy,

jest bardzo podobne do opisanego przez Archimedesa.

Jeżeli ułożymy równo talię kart, to graniastosłup, który

te karty wypełniają ma taką samą objętość jak

graniastosłup pochyły, który otrzymamy, gdy karty

równomiernie przesuniemy w bok.

Płaszczyzny równoległe do podstaw obu

graniastosłupów przecinają obie figury w ten

sposób, że gdybyśmy sobie je wyobrazili

pokrajane tymi płaszczyznami w plasterki, to

pola powierzchni odpowiadających sobie

plasterków, otrzymanych tym samym

„cięciem", byłyby równe.

Obróćmy teraz nasz stożek „do góry nogami" i włóżmy

go do walca. Jego wierzchołek znajduje się w środku

podstawy walca. Wyobraź sobie, że z walca usuwamy

tę część, którą zajmuje stożek. Otrzymamy w ten

sposób dziwną bryłę, walec z wyżłobionym stożkiem —

„walec bez stożka". Gdyby do tego wyżłobienia nalać

wody, zmieściłoby się dokładnie tyle, ile w „lejku"

zrobionym ze stożka. Wyobraź sobie następnie, że

ustawiłeś walec z wyżłobionym stożkiem obok połówki

kuli o takim samym promieniu jak walec i stożek.

Przetnijmy obie te bryły, w myśli, płaszczyzną

równoległą do podstawy w odległości x od podstawy

walca z wyżłobionym stożkiem i tak samo w odległości

x od podstawy połówki kuli. Walec bez stożka daje w

przekroju

pierścień,

połówka kuli daje w przekroju na tej samej
wysokości koło. Pole powierzchni tego pierścienia i
tego koła są na każdej wysokości takie same.





2

2

2

2

x

r

x

r

P

ienia

pierśierśc























2

2

2

2

2

2

x

r

x

r

P

koło

























Gdybyśmy w ten sposób krajali na plasterki „walec

bez stożka" i półkulę, ta każda para plasterków

miałaby tę samą powierzchnię. Sytuacja byłaby

podobna do przykładu z talią kart. Można więc

przypuszczać, że objętość „walca bez stożka" i półkuli

jest jednakowa.

kuli

V

h

r

h

r

2

1

3

1

2

2









kuli

V

h

r

2

1

3

2

2





3

3

4

r

V

kuli





czyli

Zatem cała kula miałaby

objętość dwukrotnie

większą niż „walec bez

stożka", czyli

Podręcznik matematyka wokół nas podobnie

wprowadza zagadnienie kuli co matematyka z

plusem.

W wszystkich podręcznikach kula została

wprowadzona w dziale bryły.

Na egzaminach gimnazjalnych w latach 2002-2007

pojęcie kuli nie występowało w zadaniach.

Geografia
Można przyjąć, że równik jest okręgiem o promieniu 6371
km. Oblicz, jaką powierzchnię miałaby kula ziemska,
gdyby była kulą o takim promieniu. Porównaj otrzymany
wynik z rzeczywistą powierzchnią Ziemi równą 510,066
mln km2.

Pojęcie kuli można wykorzystać podczas realizacji
programu z innego przedmiotu.

Fizyka
Wykorzystajcie w doświadczeniu metalową kulkę, która
swobodnie przechodzi przez tzw. pierścień Gravesanda.
Ogrzejcie kulkę w płomieniu świecy. Zaobserwujcie, czy kulka
równie łatwo przechodzi przez pierścień, po ogrzaniu.
Następnie wystudźcie kulkę, wkładając ja do zlewki z zimną
wodą. Ponownie włóżcie do pierścienia. Co teraz
obserwujecie?

Do pojemnika w kształcie walca o średnicy 10 cm nalano
wody i wrzucono do niego 30 metalowych kulek, każda o

promieniu długości 1 cm. Kulki całkowicie zanurzyły się w

wodzie. O ile centymetrów podniósł się poziom wody w

naczyniu?

Z kuli o promieniu 5 cm odcięto czaszę w odległości 3 cm

od środka kuli. Oblicz pole powierzchni otrzymanego

przekroju.

Kocioł o średnicy 6 dm i wysokości 5 dm wypełniony jest

grochówką aż po brzegi. Chochla ma kształt półkuli o

promieniu 6 cm. Żołnierze dostają po dwie chochle zupy.

Czy zupy wystarczy dla 150 żołnierzy?

(Ścieżka edukacyjna-

wychowanie do życia w rodzinie)

Zadania rozwijające dla uczniów

bardzo dobrych

.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym.
Wykaż, że pole sfery wpisanej w ten stożek jest cztery
razy mniejszy od pola sfery na nim opisanej.

Na czworościanie foremnym opisano sferę. Oblicz jej
promień.

W czworościanie foremnym wpisano sferę. Oblicz jej
promień

Wyraź pole powierzchni kuli P przez jej objętość V oraz
jej objętość przez pole powierzchni.

Cele operacyjne:

Uczeń :

• Zna wzory na objętość i pole powierzchni

stożka i walca

• Wie jak powstał wzór na objętość i pole

powierzchni kuli

• Potrafi wyprowadzić wzór na objętość i

pole powierzchni kuli

• Zna wzór na objętość i pole powierzchni

kuli

• Potrafi wykorzystać poznane wzory w

zadaniach