Własności  elektryczne metali

A. Model elektronów swobodnych

B.  Energia Fermiego E

F

 i gęstość stanów N(E)

C. Plazmony

D. Ciepło właściwe metali

E. Oporność elektryczna: Prawo Ohma

F. Efekt Halla

G. Przewodnictwo cieple metali

H. Ograniczenia modelu elektronów swobodnych

A. Model gazu elektronów swobodnych

Po analizie struktury ciał stałych, ich właśności termicznych, 
drgań atomów sieci, aktualnie rozpatrzymy własności 
elektryczne ciał stałych w ujęciu bardzo prostego modelu.

Wykres U(x) dla 
1-wymiarowej 
sieci 
krystalicznej

Prostry 
model 
studni 
potencjału
:
Czy możemy uzasadnić zastosowanie tego model?   Dlaczego 
możemy zastąpić potencjał sieci przez stały (zerowy) 
potencjał?

U

U = 0

Założenia modelu gazu elektronów 

swobodnych

1. Metale cechują się wysokim przwodnictwem elektrycznym, 
brak jest wyraźnej energii aktywacji i pewna ilość elektronów 
jest „swobodna” i nie związana z konkretnym atomem.

4. Uzasadnia to model zachowań 
elektronów swobodnych z U = 0 
wewnątrz objetości metalu i 
skończony skok potencjału przy 
powierzchni. Przyjmujemy, ze każdy 
atom na  n

0

 elektronów swobodnych, 

gdzie n

0

 = wartościowość chemiczna. 

Przyjmujemy, że opór pochodzi 
elektronów oddziaływujących z siecią 
poprzez zderzenia:

2. Kulombowska energia potencialna jonów dodatnich U  1/r 

jest ekranowana przez elektrony związane i jest bardzo mała 
w dużej odległości od jądra.

3. Elektrony posiadają najmniejsza wartość U (największą K) 
w pobliżu jądra, zatem mniej czasu „spędzają” w pobliżu 
jąder a więcej z dala od jądra gdzie  U nie zmienia się 
gwałtownie.

B. Energia Fermiego i gęstość stanów

Rozwiązania

1. Funkcja 
falowa:

2. Energia:

Równanie 
Schrödingera:







E

U

m









2

2

2



Przy U = 
0:





E

m







2

2

2







2

2

2



mE











2

2

k







)

(

t

r

k

i

Ae















Równanie fali płaskiej

m

k

E

2

2

2





Paraboliczna  energia 
“pasm”

E

k

x

Dalsze elementy modelu

Elementarna objetość w przestrzeni k 
wynosi:

Wykorzystując periodyczne warunki brzegowe dla ciała 
stałego w kształcie sześcianu L i objętości V = L

3

, definiujemy 

dozwolone wektory falowe:

...

,

3

,

2

,

1

,

,

2

2

2















z

y

x

z

z

y

y

x

x

n

n

n

L

n

k

L

n

k

L

n

k







3

2













L



Stąd gęstość stanów w przestrzeni 
k:





3

3

8

/

2

1

)

(





V

L

k

N





Przestrzeń wektorów falowych 
jest izotropowa i powierzchnia o 
stałej energii w tej przestrzeni 
jest kula.  Zatem dla metalu o N 
elektronach możemy obliczyć 
maksymum k  (k

F

) oraz 

maksymum energii (E

F

).

F

k

k

x

k

z

k

y

Kula 
Fermiego

E. Opór Elektryczny Metali: Prawo Ohma



mv

t

p

F

x

coll











coll

x

F

eE

dt

x

d

m

F











2

2

Ponieważ elektrony pod 
wpływem jednorodnego pola 
elektrycznego  przyspeszałyby 
nieskończenie i powodowałoby 
to wzrost prądu, Drude 
zaproponował  mechanizm 
dzieki któremu elektron doznają 
zderzeń co   sekund.  Przyjął,że 

po każym zderzeniu prędkość 
elektronów maleje do zero i 
muszą one przyspiszać znowu. 
Wynikiem tego mechanizmu jest 
stała średnia prędkość:

Model Gazu Elektronów Swobodnych 
został rozwinięty przez Paul Drudego 
(1900) w celu opisu przewodnictwa 
elektrycznego i termicznego  metali.  Te 
prace miały wielki wpływ na Fizykę Ciała 
Stałego,  a wprowadzone pojecia sa 
wykorzytywane również obecnie. 

0









mv

eE

m

eE

v







drift velocity (opposite 
to E)

relaxation 
time

Opór Elektryczny Metali: Prawo Ohma c.d.



 

nev

v

L

AL

ne

A

t

Q

A

A

I

J

















/

1

1

Gęstość prądu w modelu elektronów swobodnych może być 
łatwo obliczona jeśli przykmiemy prostą geometrię próbki :

m

eE

v







n

L

A

Lącząc to 
z 
poprzedni
m 
wynikiem

otrzymuje
my 

E

E

m

ne

J





















2

Gdzie definiujemy 
przewodność 
elektryczną















m

ne





2

Prawo 
Ohma

Oporność 

elektryczną























2

1

ne

m

Możemy postwić pytanie: Czy opór elektryczny zależy od  
temperatury?  Czy tę zależność dobrze przewiduje model 
elektonów swobodnych?  

Zależność Oporu Elektrycznego Od Temperatury

v







W sposób jasny temperaturową zależność   wprowadza się 

poprzez czas relaksacji :

Gdybyśny zastosowali wartość średnia v z kinetycznej teorii 
gazów to otrzymany wynik nie dałby wyników zgodnych  z 
eksperymentem. Co jest źle? 

Średnia droga swobodna elektronów między 
zderzeniami

Średnia prędkość elektronów między zderzeniami 
(nie prędkość dryfu)

Rozważmy ponownie diagram poziomów  energetycznych 
zajmowanych przez elektrony:

E

F

Poziom
y 
zajęte

Poziomy 
puste 

Stany zajęte maja energie (a zatem i 
prędkość) velocities), która jest 
zasadniczo niezależna od  T.  Więc 
jeśli obliczymy prędkość średnią to 
nie zależy on aod T.   Możemy 
jednak latwo pokazać, tylko  
elektrony w pobliżu  E

F

 wnoszą 

wkład do przewodnictwa 
elektrycznego.

Analiza Średniej Drogi Swobodnej

Ponieważ prędkość nośników prądu elektrycznego- 
elektronów jest zasadniczo niezależna od temperatury  T, 
powinniśmy zbadać zachowanie się średniej drogi swobodnej. 
 Naiwnie sądząc możemy oczykiwaćże będzie to po prostu 
krotność odległości pomiędzy atomami w metalu.  Przyjrzymy 
się jednak głębiej temu zagadnieniu:

Prawdopodobieństwo zderzenia na odległości 
x wynosi:

x

e

-

v

F

Przekrój obszaru zderzeń  = <r

2

>

Przekrój na 1 zderzenie = A

Koncentracja 
atomów = n

a

2

2

r

x

n

A

r

x

A

n

P

a

a













Jeśli odległość x = , P = 1 , 

wieć możemy obliczyć  :

2

1

r

n

a







Podsumowanie: (T)

Jeśli teraz przyjmiemy, przekrój na zderzenia  jest 
spowodowany przez drgania atomów wokół ich polożeń 
rownowagi, wtedy możmy zapisać:

Poza zakresem bardzo 
niskich temperatur 
(gdzie klasyczne  
podejście do drgań 
atomów zawodzi), 
liniowa zależność oporu 
od temperatury jest 
dobrze spełniona. 

2

2

2

y

x

r





kT

Cy

Cx

2

1

2

2

1

2

2

1





I średnia energia potencjalna 
może być zapisana w postaci:

Zatem 

T

r 

2

i 

T

1





skąd wynika

T





F. Efekt Halla 

To zjawisko, odkryte w 1879 przez 
amerycańskiego  dyplomanta fizyki 
(!) Edwin Halla, jest ważne 
ponieważ pozwala nam mierzyć 
koncentracje n elektronów 
swobodnych  w matalach  (oraz 
połprzewod- nikach!) i porównac z 
przwidywaniami modelu elektronów 
swobodnych.

Efekt Halla jest łatwo zrozumieć. 
Rozpatrzmy pole B field  
skierowane poprzecznie w 
stosunku cienkiej próbki metalu, 
w której płynie prąd:

I

Pomiary Efektu Halla

Nośnik prądu o ładunku q 
doznaje działanie siły Lorentza w 
kierunku poziomym:

I

t

w

qvB

F

B



Ponieważ coraz więcej ładunków 
jest odchylonych, zgromadzone 
ładunki wytwarzaja  “pole Halla” 
E

H

 i pojawia się siła skierowana 

przeciwnie do siły Lorentza 

H

E

qE

F 

Rownowaga jest osiągnięta jeśli te 
dwie przciwne siły sąrówne co do 
wielkości, co pozwala obliczyć 
predkość dryfu:

H

qE

qvB

B

E

v

H



Wtedy możemy obliczyć gęstość 
prądu:

B

nqE

nqv

J

H





Zwyczajowo definiuje się stała Halla 
prze wielkośći mierzone:

nq

JB

E

R

H

H

1





Wyniki Pomiarów Efektu Halla!

W  laboratorium  mierzy  się   napięcie   Halla  V

H

    oraz    prad    I,   

 co pozwala nam określić stałą Halla  R

H

:

Jeśli obliczymyR

H

 z naszych 

pomiarów i przyjmiemy  |q| = e 
(czego Hall nie wiedział!) 
możemy określić n.  Także, znak 
V

H

 a zatem R

H

 mówi nam o znaku 

q!





nq

IB

t

V

B

wt

I

w

V

JB

E

R

H

H

H

H

1

/

/









w

E

V

H

H



Jwt

JA

I





R

H

 (10

-11

 m

3

/As)

Met

al

n

0

solid

liqui

d

FEG value

Na

1

-25

-25.5

-25.5

Cu

1

-5.5

-8.25

-8.25

Ag

1

-9.0

-12.0

-12.0

Au

1

-7.2

-11.8

-11.8

Be

2

+24.

4

-2.6

-2.53

Zn

2

+3.3

-5

-5.1

Al

3

-3.5

-3.9

-3.9

Rozbierznosci pomiedzy 
przewidywaniami modelu 
elektronow swobodnych (FEG) i 
eksp. Niemal znikaja kiedy 
porównywane sa wyniki dla 
ciekłych  metali.  To ujawnia ze 
żródłem tych rozbieżności jest 
oddziaływanie  electron-sieć. 
Jednak wyniki dla Be i Zn są 
zagadkowe.  W jaki sposób pojawia 
się  q > 0 ???

*

*

G. Cieplne Przewodnictwo Metali

W metalach w szczegolnie w niskich  temperaturach, 
wkład elektronów do  znacząco przeważ nad wkładem 

sieci. Możemy więc napisać:







v

C

el

el

3

1





Ponadto, elektrony, które mogą pochłaniac 
energie cieplna  a zatem wnosic wkład do 
pojemności cieplnej maja energie bliską  E

F

, więc 

maja wszystkie prędkość v

F

.  To daje:

Średnia

 

droga swobodna 

elektronów może być 
wyrażona prze czas 



 :



v









2

3

1

v

C

el



Z naszej wczesniejsze diskusji elektronowa 
pojemność cieplna wynosi:

T

E

N

k

C

F

el

)

(

2

3

2









2

3

1

F

el

v

C



Łatwo pokazać, że 
N(E

F

) można zapisać 

w postaci:

F

F

E

N

E

N

2

3

)

(



Lub na 
jednostkę 
objętości 
próbki, 

F

F

E

n

E

N

2

3

)

(





Co daje pojemność cieplna na 
jednoskę objętości:

F

el

E

T

n

k

C

2

2

2







Prawo Wiedemanna-Franza  i Liczba Lorenza







2

2

2

2

3

1

F

F

v

E

T

n

k





Na długo przed pracami  
Drudego, Gustav Wiedemann 
oraz Rudolf Franz 
opublikowali artykuł w 1853 
twierdząc, że stosunek 
przwodnictwa cieplnego do 
elektrycznego dla wszystkich 
metali  ma niemal taką samą 
wartość przy danej  T:

Przewodnictwo cieple 
na jednostke objętosci 
wynosi:

Ostatecznie…

T

m

n

k

3

2

2















2

2

2

1

2

2

2

3

1

F

F

v

mv

T

n

k



constant







Gustav Wiedemann

Nie długo póżnejr (1872) 
Ludwig Lorenz (nie 
Lorentz!) zmierzył tę 
zależność i została 
określona  liczba Lorenza 
L :

L

T







Niemal stała dla 
wszystkich metali (w 
temperaturze pokojowej i 
powyżej)

Test Eksperymentalny!

Możemy łatwo porównać 
przewidywania modelu elektronów 
swobodnych z wynikami 
eksperymentu:

Jest zadziwiające…
niezależność od  n, m, i 
nawet  !!

T

m

ne

T

m

n

k

T

L

FEG











2

2

2

3





L = /T  10

-8

 

(J/CK)

2

Metal

0 ° C

100 °C

Cu

2.23

2.33

Ag

2.31

2.37

Au

2.35

2.40

Zn

2.31

2.33

Cd

2.42

2.43

Mo

2.61

2.79

Pb

2.47

2.56

2

2

2

3e

k





 

2

8

10

45

.

2

CK

J

FEG

L







Zgodność z eksperymentem 
jest b. dobra chociaż wartość L 
jest o czynnik  10 mniejsza w 
poblizu 10 K…Jak może być 
tego przyczyna?