Własności elektryczne metali

A. Model elektronów swobodnych

B. Energia Fermiego E

F

i gęstość stanów N(E)

C. Plazmony

D. Ciepło właściwe metali

E. Oporność elektryczna: Prawo Ohma

F. Efekt Halla

G. Przewodnictwo cieple metali

H. Ograniczenia modelu elektronów swobodnych

A. Model gazu elektronów swobodnych

Po analizie struktury ciał stałych, ich właśności termicznych,
drgań atomów sieci, aktualnie rozpatrzymy własności
elektryczne ciał stałych w ujęciu bardzo prostego modelu.

Wykres U(x) dla
1-wymiarowej
sieci
krystalicznej

Prostry
model
studni
potencjału
:
Czy możemy uzasadnić zastosowanie tego model? Dlaczego
możemy zastąpić potencjał sieci przez stały (zerowy)
potencjał?

U

U = 0

Założenia modelu gazu elektronów

swobodnych

1. Metale cechują się wysokim przwodnictwem elektrycznym,
brak jest wyraźnej energii aktywacji i pewna ilość elektronów
jest „swobodna” i nie związana z konkretnym atomem.

4. Uzasadnia to model zachowań
elektronów swobodnych z U = 0
wewnątrz objetości metalu i
skończony skok potencjału przy
powierzchni. Przyjmujemy, ze każdy
atom na n

0

elektronów swobodnych,

gdzie n

0

= wartościowość chemiczna.

Przyjmujemy, że opór pochodzi
elektronów oddziaływujących z siecią
poprzez zderzenia:

2. Kulombowska energia potencialna jonów dodatnich U  1/r

jest ekranowana przez elektrony związane i jest bardzo mała
w dużej odległości od jądra.

3. Elektrony posiadają najmniejsza wartość U (największą K)
w pobliżu jądra, zatem mniej czasu „spędzają” w pobliżu
jąder a więcej z dala od jądra gdzie U nie zmienia się
gwałtownie.

B. Energia Fermiego i gęstość stanów

Rozwiązania

1. Funkcja
falowa:

2. Energia:

Równanie
Schrödingera:







E

U

m









2

2

2



Przy U =
0:





E

m







2

2

2







2

2

2



mE











2

2

k







)

(

t

r

k

i

Ae















Równanie fali płaskiej

m

k

E

2

2

2





Paraboliczna energia
“pasm”

E

k

x

Dalsze elementy modelu

Elementarna objetość w przestrzeni k
wynosi:

Wykorzystując periodyczne warunki brzegowe dla ciała
stałego w kształcie sześcianu L i objętości V = L

3

, definiujemy

dozwolone wektory falowe:

...

,

3

,

2

,

1

,

,

2

2

2















z

y

x

z

z

y

y

x

x

n

n

n

L

n

k

L

n

k

L

n

k







3

2













L



Stąd gęstość stanów w przestrzeni
k:





3

3

8

/

2

1

)

(





V

L

k

N





Przestrzeń wektorów falowych
jest izotropowa i powierzchnia o
stałej energii w tej przestrzeni
jest kula. Zatem dla metalu o N
elektronach możemy obliczyć
maksymum k (k

F

) oraz

maksymum energii (E

F

).

F

k

k

x

k

z

k

y

Kula
Fermiego

E. Opór Elektryczny Metali: Prawo Ohma



mv

t

p

F

x

coll











coll

x

F

eE

dt

x

d

m

F











2

2

Ponieważ elektrony pod
wpływem jednorodnego pola
elektrycznego przyspeszałyby
nieskończenie i powodowałoby
to wzrost prądu, Drude
zaproponował mechanizm
dzieki któremu elektron doznają
zderzeń co  sekund. Przyjął,że

po każym zderzeniu prędkość
elektronów maleje do zero i
muszą one przyspiszać znowu.
Wynikiem tego mechanizmu jest
stała średnia prędkość:

Model Gazu Elektronów Swobodnych
został rozwinięty przez Paul Drudego
(1900) w celu opisu przewodnictwa
elektrycznego i termicznego metali. Te
prace miały wielki wpływ na Fizykę Ciała
Stałego, a wprowadzone pojecia sa
wykorzytywane również obecnie.

0









mv

eE

m

eE

v







drift velocity (opposite
to E)

relaxation
time

Opór Elektryczny Metali: Prawo Ohma c.d.



 

nev

v

L

AL

ne

A

t

Q

A

A

I

J

















/

1

1

Gęstość prądu w modelu elektronów swobodnych może być
łatwo obliczona jeśli przykmiemy prostą geometrię próbki :

m

eE

v







n

L

A

Lącząc to
z
poprzedni
m
wynikiem

otrzymuje
my

E

E

m

ne

J





















2

Gdzie definiujemy
przewodność
elektryczną















m

ne





2

Prawo
Ohma

Oporność

elektryczną























2

1

ne

m

Możemy postwić pytanie: Czy opór elektryczny zależy od
temperatury? Czy tę zależność dobrze przewiduje model
elektonów swobodnych?

Zależność Oporu Elektrycznego Od Temperatury

v







W sposób jasny temperaturową zależność  wprowadza się

poprzez czas relaksacji :

Gdybyśny zastosowali wartość średnia v z kinetycznej teorii
gazów to otrzymany wynik nie dałby wyników zgodnych z
eksperymentem. Co jest źle?

Średnia droga swobodna elektronów między
zderzeniami

Średnia prędkość elektronów między zderzeniami
(nie prędkość dryfu)

Rozważmy ponownie diagram poziomów energetycznych
zajmowanych przez elektrony:

E

F

Poziom
y
zajęte

Poziomy
puste

Stany zajęte maja energie (a zatem i
prędkość) velocities), która jest
zasadniczo niezależna od T. Więc
jeśli obliczymy prędkość średnią to
nie zależy on aod T. Możemy
jednak latwo pokazać, tylko
elektrony w pobliżu E

F

wnoszą

wkład do przewodnictwa
elektrycznego.

Analiza Średniej Drogi Swobodnej

Ponieważ prędkość nośników prądu elektrycznego-
elektronów jest zasadniczo niezależna od temperatury T,
powinniśmy zbadać zachowanie się średniej drogi swobodnej.
Naiwnie sądząc możemy oczykiwaćże będzie to po prostu
krotność odległości pomiędzy atomami w metalu. Przyjrzymy
się jednak głębiej temu zagadnieniu:

Prawdopodobieństwo zderzenia na odległości
x wynosi:

x

e

-

v

F

Przekrój obszaru zderzeń = <r

2

>

Przekrój na 1 zderzenie = A

Koncentracja
atomów = n

a

2

2

r

x

n

A

r

x

A

n

P

a

a













Jeśli odległość x = , P = 1 ,

wieć możemy obliczyć :

2

1

r

n

a







Podsumowanie: (T)

Jeśli teraz przyjmiemy, przekrój na zderzenia jest
spowodowany przez drgania atomów wokół ich polożeń
rownowagi, wtedy możmy zapisać:

Poza zakresem bardzo
niskich temperatur
(gdzie klasyczne
podejście do drgań
atomów zawodzi),
liniowa zależność oporu
od temperatury jest
dobrze spełniona.

2

2

2

y

x

r





kT

Cy

Cx

2

1

2

2

1

2

2

1





I średnia energia potencjalna
może być zapisana w postaci:

Zatem

T

r 

2

i

T

1





skąd wynika

T





F. Efekt Halla

To zjawisko, odkryte w 1879 przez
amerycańskiego dyplomanta fizyki
(!) Edwin Halla, jest ważne
ponieważ pozwala nam mierzyć
koncentracje n elektronów
swobodnych w matalach (oraz
połprzewod- nikach!) i porównac z
przwidywaniami modelu elektronów
swobodnych.

Efekt Halla jest łatwo zrozumieć.
Rozpatrzmy pole B field
skierowane poprzecznie w
stosunku cienkiej próbki metalu,
w której płynie prąd:

I

Pomiary Efektu Halla

Nośnik prądu o ładunku q
doznaje działanie siły Lorentza w
kierunku poziomym:

I

t

w

qvB

F

B



Ponieważ coraz więcej ładunków
jest odchylonych, zgromadzone
ładunki wytwarzaja “pole Halla”
E

H

i pojawia się siła skierowana

przeciwnie do siły Lorentza

H

E

qE

F 

Rownowaga jest osiągnięta jeśli te
dwie przciwne siły sąrówne co do
wielkości, co pozwala obliczyć
predkość dryfu:

H

qE

qvB

B

E

v

H



Wtedy możemy obliczyć gęstość
prądu:

B

nqE

nqv

J

H





Zwyczajowo definiuje się stała Halla
prze wielkośći mierzone:

nq

JB

E

R

H

H

1





Wyniki Pomiarów Efektu Halla!

W laboratorium mierzy się napięcie Halla V

H

oraz prad I,

co pozwala nam określić stałą Halla R

H

:

Jeśli obliczymyR

H

z naszych

pomiarów i przyjmiemy |q| = e
(czego Hall nie wiedział!)
możemy określić n. Także, znak
V

H

a zatem R

H

mówi nam o znaku

q!





nq

IB

t

V

B

wt

I

w

V

JB

E

R

H

H

H

H

1

/

/









w

E

V

H

H



Jwt

JA

I





R

H

(10

-11

m

3

/As)

Met

al

n

0

solid

liqui

d

FEG value

Na

1

-25

-25.5

-25.5

Cu

1

-5.5

-8.25

-8.25

Ag

1

-9.0

-12.0

-12.0

Au

1

-7.2

-11.8

-11.8

Be

2

+24.

4

-2.6

-2.53

Zn

2

+3.3

-5

-5.1

Al

3

-3.5

-3.9

-3.9

Rozbierznosci pomiedzy
przewidywaniami modelu
elektronow swobodnych (FEG) i
eksp. Niemal znikaja kiedy
porównywane sa wyniki dla
ciekłych metali. To ujawnia ze
żródłem tych rozbieżności jest
oddziaływanie electron-sieć.
Jednak wyniki dla Be i Zn są
zagadkowe. W jaki sposób pojawia
się q > 0 ???

*

*

G. Cieplne Przewodnictwo Metali

W metalach w szczegolnie w niskich temperaturach,
wkład elektronów do  znacząco przeważ nad wkładem

sieci. Możemy więc napisać:







v

C

el

el

3

1





Ponadto, elektrony, które mogą pochłaniac
energie cieplna a zatem wnosic wkład do
pojemności cieplnej maja energie bliską E

F

, więc

maja wszystkie prędkość v

F

. To daje:

Średnia

droga swobodna

elektronów może być
wyrażona prze czas



:



v









2

3

1

v

C

el



Z naszej wczesniejsze diskusji elektronowa
pojemność cieplna wynosi:

T

E

N

k

C

F

el

)

(

2

3

2









2

3

1

F

el

v

C



Łatwo pokazać, że
N(E

F

) można zapisać

w postaci:

F

F

E

N

E

N

2

3

)

(



Lub na
jednostkę
objętości
próbki,

F

F

E

n

E

N

2

3

)

(





Co daje pojemność cieplna na
jednoskę objętości:

F

el

E

T

n

k

C

2

2

2







Prawo Wiedemanna-Franza i Liczba Lorenza







2

2

2

2

3

1

F

F

v

E

T

n

k





Na długo przed pracami
Drudego, Gustav Wiedemann
oraz Rudolf Franz
opublikowali artykuł w 1853
twierdząc, że stosunek
przwodnictwa cieplnego do
elektrycznego dla wszystkich
metali ma niemal taką samą
wartość przy danej T:

Przewodnictwo cieple
na jednostke objętosci
wynosi:

Ostatecznie…

T

m

n

k

3

2

2















2

2

2

1

2

2

2

3

1

F

F

v

mv

T

n

k



constant







Gustav Wiedemann

Nie długo póżnejr (1872)
Ludwig Lorenz (nie
Lorentz!) zmierzył tę
zależność i została
określona liczba Lorenza
L :

L

T







Niemal stała dla
wszystkich metali (w
temperaturze pokojowej i
powyżej)

Test Eksperymentalny!

Możemy łatwo porównać
przewidywania modelu elektronów
swobodnych z wynikami
eksperymentu:

Jest zadziwiające…
niezależność od n, m, i
nawet  !!

T

m

ne

T

m

n

k

T

L

FEG











2

2

2

3





L = /T 10

-8

(J/CK)

2

Metal

0 ° C

100 °C

Cu

2.23

2.33

Ag

2.31

2.37

Au

2.35

2.40

Zn

2.31

2.33

Cd

2.42

2.43

Mo

2.61

2.79

Pb

2.47

2.56

2

2

2

3e

k





 

2

8

10

45

.

2

CK

J

FEG

L







Zgodność z eksperymentem
jest b. dobra chociaż wartość L
jest o czynnik 10 mniejsza w
poblizu 10 K…Jak może być
tego przyczyna?