Teoria względności

Szczególna teoria

względności

Transformacje Galileusza

Przyspieszenie układu S’: a
= 0

y

y’

x

x’

x’ = x -
vt

y’ = y

z’ = z

t’ = t

vt

x’ = x - v

t

S

S’

(1)

(2)

v

x = x’ +
vt

y = y’

z = z’

t = t’

Transformacja odwrotna

x = x’+

vt

Dodawanie prędkości:

u = u’ + v

(2)

Spełniony jest
warunek:

(3)

We wszystkich rozpatrywanych przypadkach mamy
ruch w kierunku dodatnim osi x.

Einstein oparł swoją teorię na dwóch
postulatach:

1) zwany zasadą względności,

2) dotyczący stałości prędkości światła
we wszystkich układach
inercjalnych.

Ad 1) Od czasów Galileusza wiedziano, że prawa
mechaniki (fizyki) są takie same we wszystkich
układach inercjalnych. Einstein rozszerzył ten
pogląd na obszar całej fizyki, a w szczególności
elektromagnetyzmu.

Ad 2) Drugi postulat natomiast oznaczał, że
hipotetyczny eter nie jest potrzebny do propagacji
fal elektromagnetycznych.

Wszystkie wnioski dotyczące szczególnej teorii
względności wynikają z tych postulatów.

1. Zasada względności

We wszystkich układach inercjalnych
prawa fizyki są jednakowe.

Każdy układ poruszający się

względem układu inercjalnego ruchem
jednostajnym jest też układem inercjalnym.

Układ odniesienia, w którym ciało nie
poddane działaniu sił pozostaje w
spoczynku lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym nazywamy
układem inercjalnym.

2. Postulat szczególnej teorii

względności

Prędkość światła nie zależy od
układu odniesienia.

Przed ogłoszeniem przez Einsteina teorii

względności Michelson i Morley wykonali pomiary
prędkości światła polegające na porównaniu
rozchodzenia się prędkości dwóch wiązek
świetlnych w próżni, z których jedna poruszała się
w kierunku północ - południe, druga w kierunku
wschód -zachód. Należało oczekiwać, że
prędkości tych wiązek będą różne.

Doświadczenie pokazało, że w próżni światło
porusza się z prędkością c, niezależnie od
ruchu źródła lub obserwatora.

Transformacja

relatywistyczna

Dodawanie prędkości:

c = c + v

c = c - v

W przypadku kulistej fali światła

w układzie S: x

2

+ y

2

+ z

2

= c

2

t

2

(4)

w układzie S’: x’

2

+ y’

2

+ z’

2

= c

2

t’

2

(5)

W kinematyce nierelatywistycznej obowiązywało:

x’ = x - vt t = t’

Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej
wprowadzono współczynnik 

x’ =(x - vt) x = ’(x’ + vt’)

(6)

Skoro nie istnieje wyróżniony układ współrzędnych
inercjalnych, to ’ = 

(6a)

Szukamy transformacji czasu

x = (x’ + vt’)  x -  x’ =  vt’

ale x’ = (x - vt)

czyli





















































t

v

x

v

x

vt

x

v

v

x

v

vt

x

x

t

2

2

2

2

2

)

(

)

(









































t

v

x

t

)

1

1

(

2





(7)

t

x

x

v

'

'









Po uporządkowaniu

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

)

(













































t

v

x

c

z

y

vt

x







Z

(1)

wynika, że y’ = y z’ = z

(8)

(9)

(10)

Szukamy takiego , aby

(10)

było identyczne z

(4)

x

2

+ y

2

+ z

2

= c

2

t

2





2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

t

v

c

z

y

xt

v

c

v

x

v

c





















































































1

1

1

2

2

2

2

2





























v

c

Zatem musi być

c

2



2

- v

2



2

= c

2

z tego warunku wynika, że



2

2

2

2

2

2

1

1









c

c

v

v

c







1

1

2

2

v

c

(11)

Znając  przekształcamy

(7)

i otrzymujemy





















2

'

c

vx

t

t



(12)

Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne, zwane
transformacjami Lorentza, które w przypadku
ruchu układu w dodatnim kierunku osi x, mają
następującą postać:

x’ =



(x - vt)

y’ = y

z’ = z

  1, bo v 

c

(13)

Transformuje się czas! Tego
w fizyce klasycznej nie było.





















2

'

c

vx

t

t



Transformacje odwrotne mają postać
następującą:

x =



(x’ + vt’)

y = y’

z = z’





















2

'

'

c

vx

t

t



(14)

(15)

1

c

v







Równoczesność zdarzeń

• •

A

0

B

Punkt

0

leży w połowie odległości

między punktami

A

i

B

. Z punktu

0

emitowana jest kulista fala świetlna.
Zdarzenia polegające na tym, że do
punktów

A

i

B

dociera światło jednocześnie

są

równoczesne, ponieważ jest taka

sama droga światła.

•

Skrócenie odległości

x

1

’

x

2

’

S

S’

l

0

Pręt spoczywa w układzie S’, jego długość
spoczynkowa

l

0

= x

2

‘ - x

1

’ = x’

O

Obserwator O w układzie S mierzy
jednocześnie położenie obu końców pręta.

v

x

1

x

2

x

2

‘ - x

1

’ = 

(x

2

- vt) -



(x

1

- vt) =



(

x

2

- x

1

)

x’ =  x
  1  x < x’

Długość L mierzona przez obserwatora O w
układzie S jest

mniejsza

niż zmierzona w

układzie S’.

0

2

0

1

l

l

L









Skróceniu ulegają tylko
wymiary równoległe do
wektora prędkości v.

(16)

Dylatacja czasu. Paradoks bliźniąt.

Zegar spoczywa w początku układu S. Mierzy

odstęp czasu t między zjawiskami, które zaszły w

tym samym punkcie układu S’ np. x’, (t

1

’, t

2

’).

Wskazania zegara w układzie S są większe od
wskazań w układzie S’.

(17
)

t

t









2

2

1

'

c

v

t

t









2

2

1

1

1

'

'









c

vx

t

t

2

2

2

2

1

'

'









c

vx

t

t

Transformacje prędkości

u

u’

u

x x

u

x’ x

u

y

u

y’

y

y’

u

z

u

z’

z

z’

S

S’

Układ S’ porusza się z prędkością v wzdłuż osi x.
Punkt materialny porusza się z prędkością u w
układzie S, a z prędkością u’ w układzie S’.

x’ =



(x - vt)

y’ = y

z’ = z

dx’ =



(dx - vdt

dy’ = dy

dz’ = dz





















2

'

c

vx

t

t























2

'

'

c

vdx

dt

dt



Obliczamy składowe prędkości w układzie

S’

.

(18
)

2

2

2

,

,

,

1

)

(

)

(

c

v

u

v

u

c

dt

dx

v

dt

dt

dt

dt

v

dt

dx

c

vdx

dt

vdt

dx

dt

dx

u

x

x

x

























u

dy

dt

dy

dt

vdx

c

u

u v

c

y

y

x

'

'

'

(

)

















2

2

2

1

1

u

u

u v

c

z

z

x

'





1

1

2

2



Składowe u

y

i u

z

zależą od składowej równoległej do

osi x.

(19
)

(20)

Przykład1.

Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w
przeciwnych kierunkach. Znaleźć ich prędkość
względną.

c

c

A

u

x

= -c

v = c

Foton spoczywa w układzie
poruszającym się z prędkością
światła.

Prędkość fotonu w układzie
nieprimowanym

c

c

c

c

c

c

u

x















2

)

)(

(

1

Interwał czasoprzestrzenny

S

2

= c

2

(t

2

- t

1

)

2

- (x

2

-x

1

)

2

- (y

2

- y

1

)

2

-(z

2

- z

1

)

2

S’

2

= c

2

(t’

2

- t’

1

)

2

- (x’

2

-x’

1

)

2

- (y’

2

- y’

1

)

2

-(z’

2

- z’

1

)

2

S’

2

= S

2

Interwał między zdarzeniami 1 i
2 jest niezmienniczy względem
transformacji Lorentza.

(s)

2

= (ct)

2

- (x)

2

= (ct’)

2

-

(x)’

2

W zakresie szczególnej teorii względności x = x’ i
y = y’, więc słuszny jest związek:

(21)

(22)

(23)

(24
)

x = ct

x

ct

ct< x

ct> x

x =
-ct

Absolutna
przyszłość

Absolutna przeszłość

•

•



ct< x (s)

2

<0

Interwał typu
przestrzennego

ct > x (s)

2

> 0

Interwał typu
czasowego

ct = x (s)

2

= 0

Interwał zerowy

Nie ma związku
przyczynowo -
skutkowego między
zdarzeniami

Może być związek
przyczynowo -
skutkowy między
zdarzeniami

Zdarzenia mogą być
połączone
sygnałem
świetlnym.

Dynamika

relatywistyczna

Pęd i energia

p = M

0

v

(25)

E = M

0

c

2



(26)

Zachowanie pędu

y

x

u

y

S

Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się
z tą samą prędkością u

y

u

x

= 0

p = 2mu

y

u

y

’ = vtg



S’

u

x

’ = v





Obserwator w układzie S’ porusza się wraz z
układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo. Widzi
on teraz cząstkę padającą pod kątem

,

jej

s

kładowa pozioma wynosi v, a pionowa - v tg  .

y’

x’

v

Tak oceni
obserwator w
układzie S’:

u

x

= 0

u

u

v

u v

c

x

x

x

'





1

2

u

u

u v

c

y

y

x

'





1

1

2

2



Wstawiając

otrzymujemy

u

x

’ = - v

u

y

’ = v tg 

u

u

y

y

'



1

2



Wartości składowych prędkości w układach S i
S’ nie są sobie równe, jak również nie są równe
składowe pędu cząstki. Widzimy, że określenie
pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie
wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu
we wszystkich układach odniesienia.

p

y

’= 2mu

y

’

Jeżeli zdefiniujemy

pęd relatywistyczny

cząstki o

masie

spoczynkowej M

0

jako

to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym
innym układzie inercjalnym, który różni się od układu
pozostającego w spoczynku stałą prędkością v
poruszania się w kierunku osi x. Na tej podstawie
wyrażenie:

p

M v

v

c





0

2

2

1

(25
a)

interpretujemy jako

relatywistyczną masę

.

M v

M

v

c

( ) 



0

2

2

1

M v

M

( ) 

0



(27)

(27a
)

Relatywistyczna II zasada dynamiki

Newtona

Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej M

o

obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego,
ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym
samym wzorem co w mechanice klasycznej:

Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku

d

dt

M v

v

c

F

0

2

2

1































dt

p

d

F





(28)

(29)

d

M v

v

c

Fdt

0

2

2

1































M v

v

c

Ft C

0

2

2

1

 

C jest stałą całkowania.

W szczególnym
przypadku dla

t = 0, C = 0

Przez różniczki wolno
nam mnożyć
równanie, dlatego
mamy taką postać
równania.

Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F =
const, to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z
prędkością i czasem.

Masa spoczynkowa M

0

jest to masa M(v) dla v

 0. Gdy v  c M(v)  .

Energia relatywistyczna

Zgodnie z wzorem

(25)

, kwadrat pędu można

zapisać w postaci:

p

M c

2

0

2 2

2

2



 

Tożsamość

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2









v

c

v

c

v

c

lub



 

2

2 2

1





jest niezmiennikiem Lorentza, bo 1 jest stałą.
Mnożąc obie strony równania

(31a)

przez

(30)

(31
)

(31a)

M c

o

2 4

E

M c

v

c





0

2

2

2

1

(26a
)

otrzymamy

M c

M c

0

2 4

2

2

2

0

2 4

(

)



 





lub

M c

p c

M c

0

2 4 2

2 2

0

2 4







Wyrażenie to jest stałe, ponieważ masa
spoczynkowa jest stała i tym samym jest
niezmiennicze wobec transformacji
Lorentza

.

Wszystkie wyrazy wzoru

(33)

mają wymiar

kwadratu energii,

stąd następująca
definicja
całkowitej energii
cząstki

(32
)

(33
)

M c

o

2 4

Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy
relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą
E i energią spoczynkową M

0

c

2

o postaci:

E

p c

M c

2

2 2

0

2 4





(34
)

Wyrażenie E

k

= 1/2 Mv

2

opisujące klasyczną

energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie
prędkości bliskich prędkości światła c.

Energię kinetyczną obliczamy teraz jako

E

k

= E - E

0

= E - M

0

c

2

gdzie E jest zdefiniowana przez

(26)

.

(35)

Można jednak pokazać, że przy małych wartościach
prędkościach v wzór relatywistyczny

(33)

jest zgodny z

klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną E

k

= 1/2

Mv

2

. W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg

dwumianu.

(

)

(

)

...

1

1

1

1 2

2



 









x

nx

n n

x

n

W naszym przypadku n = -1/2, x = - (v/c

)2

.

Zatem

E

M c

v

c

v

c

k









0

2

2

2

4

4

1

1

2

3

8

(

...)

Jeżeli v << c, to można opuścić wyrazy o
wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzór
na energię kinetyczną.

E

M c

v

c

M v

k







0

2

2

2

0

2

1

2

2

Równoważność masy i energii

Możliwość przemiany masy spoczynkowej na
energię i związek ilościowy między tymi
wielkościami była według Einsteina
najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii
względności. Z wzoru

(26)

wynika, że można

napisać:

E = M(v)c

2

(26b)

oraz że zmiana energii

(36
)

Przykład 2.

Jakiej masie równoważna jest energia wysyłana
przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby?

E =

Mc

2

1 doba = 86400 s
E = 86400000 J =
8.64• 10

7

J

m

E

c

J

m

s

kg

g

















2

7

16

2

2

9

864 10

9 10

096 10

1

.

.



Pęd kwantu

Jeżeli do wzoru

E

p c

M c

2

2 2

0

2 4





wstawimy M

0

= 0, otrzymamy E

= pc

p

pęd cząstki o

zerowej

masie spoczynkowej
(kwant)

p

E

c



(37
)

Foton ma zerową masę spoczynkową, warunkiem
istnienia fotonu jest energia i pęd. Dzięki
równoważności masy i energii można mu przypisać
masę relatywistyczną. Masa relatywistyczna
oddziałuje grawitacyjnie tak jak „zwykła” masa.

Przykład 3.

Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości
fotonu wysłanego z Ziemi, który znalazł się na
wysokości H =100 m nad Ziemią.
Energia kwantu E = h

(38)

,

porównujemy ją z równoważną energią
relatywistyczną.

h

mc





2

m

h

c





2

(39
)

(40)

Różnica potencjałów -  Vg
Różnica energii potencjalnej mV

g

= mgH =

h gH

c



2

h gH

c

h

hv h







2







'



Wyrażenie to dzielimy
przez h

 - częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi,
’ - częstotliwość na wysokości H

Względna zmiana
częstotliwości i
energii kwantu





( )

h

h

gH

c













2

Dla różnicy odległości 100 m

Jest to efekt mierzalny (Paund, Rebke -1960).

Wykorzystano promieniowanie , emitowane przez

Fe 57.

Efekt ten, jak również ugięcie promienia

świetlnego w pobliżu Słońca o 1.75’’ potwierdzają
ogólną teorię względności.











10

14

stała Plancka h = 6.626 • 10

-34

J

• s