ROZKŁADY 

PRAWDOPODOBIEŃSTW

A

 

 

ROZKŁAD NORMALNY

 

 

Rozkład normalny

    

Rozkład normalny (o charakterystycznej krzywej 

dzwonowej) wiąże się z nazwiskiem matematyka K.F. 
Gaussa (1777-1855) i jest znany jako rozkład Gaussa, 
choć pierwsze matematyczne wyprowadzenie tego 
rozkładu przedstawił De Moivre w 1733 roku. Rozkład 
ten spełnia ważną rolę w statystyce matematycznej. 
Obserwacje wielu zjawisk przyrodniczych pozwoliły 
stwierdzić, że podlegają one prawu rozkładu 
normalnego lub bardzo doń zbliżonego. Powtarzając 
wielokrotnie jakiś eksperyment, otrzymamy zawszę 
trochę inny wynik, ale wszystkie wyniki będą się 
rozkładać w sposób normalny. 

 

 

Funkcja gęstości
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego z 
wartością oczekiwaną μ i odchyleniem standardowym σ 
(równoważnie: wariancją σ

2

) jest  funkcją Gaussa.

Jeśli zmienna losowa X ma  rozkład normalny zapisujemy to 
następująco X ~ N(μ, σ). W praktyce ze zmiennymi losowymi o 
rozkładzie normalnym spotykamy się w przypadkach gdy na zmienną 
losową ma wpływ duża ilość niezależnie działających czynników z 
których każdy ma znikomy wpływ np..przy błędach pomiarów.
Jeśli μ = 0 i σ = 1, rozkład nazywamy standardowym rozkładem 
normalnym, którego funkcja gęstości opisana jest wzorem:

 

 

Rozkład normalny

Kształt tej funkcji zależy od dwóch parametrów:mi i 
sigma . Parametr mi to wartość średnia w 
populacji, względem której rozkład jest 
symetryczny. Parametr sigma to odchylenie 
standardowe stanowiące miarę rozrzutu wokół 
średniej mi. Najczęściej nie znamy prawdziwych 
wartości tych parametrów, lecz oceniamy je na 
podstawie obliczeń średniej i odchylenia 
standardowego z próby. Parametr mi decyduje o 
położeniu krzywej względem osi poziomej (0-x), 
natomiast od parametru sigma zależy 
"wysmukłość" krzywej.

 

 

We wszystkich rozkładach normalnych funkcja gęstości jest 
symetryczna względem wartości średniej rozkładu. Około 68% pola 
pod wykresem krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia 
standardowego od średniej, około 95,5% w odległości dwóch 
odchyleń standardowych i około 99,7% w odległości trzech (reguła 
trzech sigm). Punkt przegięcia krzywej znajduje się w odległości 
jednego odchylenia standardowego od średniej.

 

 

Standaryzowanie zmiennych 

losowych o rozkładzie 

normalnym

Jeśli X ma rozkład normalny ze średnią μ i 
wariancją σ

2

, wtedy:

  

 

                         

 

Z jest zmienną losową o standardowym 
rozkładzie normalnym N(0, 1). 

Standardowy rozkład normalny został 
stablicowany i inne rozkłady normalne są 
prostymi transformacjami rozkładu 
standardowego. W ten sposób możemy używać 
tablic dystrybuanty rozkładu normalnego do 
wyznaczenia wartości dystrybuanty rozkładu 
normalnego o dowolnych parametrach.

 

 

Dystrybuanta

Dystrybuanta jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że 
zmienna X ma wartości mniejsze bądź równe "x"i w kategoriach 
funkcji gęstości wyrażana jest (dla rozkładu normalnego) wzorem:

Aby uzyskać wzór na dystrybuantę standardowego rozkładu 
normalnego, tradycyjnie oznaczaną jako Φ, wystarczy podstawić pod 
ogólny wzór wartości μ = 0 i σ = 1,

 

 

 

 

Rozkłady wywodzące się z 

rozkładu normalnego 

standardowego

Bardzo  ważną  rolę  w  statystyce  odgrywają  trzy 
rozkłady  zmiennych  losowych  bazujące  na 
zmiennych 

o 

rozkładach 

normalnych 

standardowych. Są to następujące rozkłady:

1. 

2

 - (Chi-kwadrat)

2. t-Studenta
3. F-Fishera-Snedecora.

Ze  statystykami  opartymi  na  tych  rozkładach 
związane  są  takie  działy  statystyki  jak: 
przedziały  ufności,  weryfikacja  hipotez,  analiza 
wariancji i regresji.

 

 

Rozkład t-Studenta 

Drugi bardzo ważny rozkład zmiennej losowej 
ciągłej to rozkład t-Studenta (pseudonim 
angielskiego statystyka W. Gosseta). Stosowany 
jest głównie do testowania małych prób. Pozwala 
zaoszczędzić czas, który w przypadku próby o dużej 
liczebności byłby długi. Rozkład ten zależy tylko od 
jednego parametru (v), zwanego liczbą stopni 
swobody, i jest związany z liczbą niezależnych 
obserwacji. Krzywa gęstości rozkładu t-Studenta 
jest podobna do krzywej standardowego rozkładu 
normalnego N(0, 1). Jest ona symetryczna (z osią 
symetrii t = 0) i tylko bardziej spłaszczona. Dla 
dużej liczby stopni swobody (v > 120) rozkład t jest 
praktycznie nieodróżnialny od standardowego 
rozkładu normalnego.

 

 

Rozkład Studenta

Rozkład t-Studenta stosowany jest często w statystyce 
w procedurach testowania hipotez statystycznych i 
przy ocenie błędów pomiaru. Przy opracowaniu 
wyników pomiarów często powstaje zagadnienie 
oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym 
prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, 
jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla 
których możemy wyznaczyć takie parametry, jak 
średnia       i  odchylenie standardowe   s   lub 
wariancja   s^2  („z próby”), nie znamy natomiast 
odchylenia standardowego  w populacji. Zagadnienie to 
rozwiązał (w 1908r.) W.S.Gosset (pseudonim Student) 
podając funkcję zależną od wyników pomiarów X

i

, a 

niezależną od        .

 

 

Rozkład t-Studenta 

Zmienna losowa t posiada rozkład Studenta jeżeli jej 
funkcja gęstości prawdopodobieństwa opisaną jest

 

wzorem:

gdzie: Γ(x) to funkcja gamma.
Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów 
prawdopodobieństwa zależną od parametru v – liczby 
stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są 
symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości v 
zmierzają do standardowego rozkładu normalnego 
N(0,1). Można przyjąć że dla v >30 rozkład Studenta 
pokrywa się ze standardowym rozkładem normalnym.

 

 

Rozkład t-Studenta 

Poniżej podane są przykładowe wykresy funkcji 
gęstości rozkładu t-Studenta dla trzech 
wybranych stopni swobody

.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-3

-2

-1

0

1

2

3

v=1

v=4

v=30

 

 

Wykres przedstawia gęstości rozkładu Studenta dla kilku 
wartości liczby stopni swobody v w zestawieniu z 
gęstością standardowego rozkładu normalnego N(0,1).

 

 

Rozkład t-Studenta 

Można udowodnić, że jeżeli zmienna X posiada 

posiada rozkład t-Studenta z liczbą stopni swobody 
równą    n-1.
Rozkład t-Studenta posiada liczne zastosowania 
wynikające z faktu, że funkcje gęstości tego rozkładu nie 
zależą od wariancji.

 rozkład normalny

to zmienna

n

S

x

t







 

 

Rozkład t-Studenta

Duże znaczenie posiadają wartości 
prawdopodobieństwa :











t

t

P

Wartości     są  stablicowane dla różnych wartości alfa 
(podawanych w procentach) i różnych wartości stopni 
swobody.

 



t

Tablica rozkładu t-Studenta jest skonstruowana w ten sposób, 
że przy danej liczbie stopni swobody k i dla ustalonej wartości 



 (dla 0<



<1) odczytana wartość           spełnia relację 

Tablice  rozkładu  t-Studenta  są  na  ogół  budowane  dla  k<=30. 
Jeżeli liczba stopni swobody jest większa od 30, korzystamy z 
rozkładu N(0;1).

k

t

,















k

t

t

P

,

 

 

 

 

Rozkład chi-kwadrat 

Rozkład chi-kwadrat został opracowany przez 
statystyków A. Abbego (1863), H. Helmerta 
(1875) i K. Pearsona (1900). Jest jednym z 
najczęściej wykorzystywanych rozkładów. Rozkład 
ten i postać funkcji gęstości zależy od parametru 
- tzw. liczby stopni swobody. Zmienna losowa o 
rozkładzie  chi-kwadrat  przyjmuje wartości 
dodatnie. Dla małych wartości parametru jest to 
rozkład silnie asymetryczny, jednak w miarę 
wzrostu staje się coraz bardziej symetryczny i 
podobny do rozkładu normalnego.

 

 

Rozkład Chi-kwadrat

 























0

2

0

0

)

,

(

dla

dla

2

2

2

1

2

1

x

e

x

x

x

f

x

v

v

v



v

x

D

v

x

E

2

)

(

)

(

2





Zmienna losowa X ma rozkład  Chi-kwadrat 
Pearsona, jeżeli jej funkcja gęstości 
prawdopodobieństwa dana jest wzorem:

Wielkość v występująca w podanym wyżej 
wzorze jest jednocześnie wartością 
oczekiwaną tej zmiennej, a jej podwojona 
wartość jest wariancją zmiennej:

 

 

Rozkład Chi-kwadrat (c.d.)



v

i

i

v

x

i

v

2

2

1

1 2









dla

, ,...,



v

2

Jeżeli zmienne x

i

 mają wszystkie rozkład 

normalny standardowy N(0; 1) i są 
niezależne, to zmienna:

ma rozkład chi-kwadrat.

Liczbę v nazywamy liczbą stopni 
swobody, wskazuje ona liczbę 
niezależnych składników zmiennej       , jest 
jednocześnie wartością oczekiwaną tej 
zmiennej losowej. Wariancja tej zmiennej 
jest równa 2v.

 

 

Rozkład Chi-kwadrat (c.d.)

Poniżej podane są wykresy funkcji gęstości  
prawdopodo-bieństwa zmiennej  dla trzech 
wybranych stopni swobody

.

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

v = 2

v = 6

v = 10

 

 

Rozkład Chi-kwadrat (c.d.)

Można udowodnić, że jeżeli zmienna losowa ma rozkład 
normalny  

                       to  statystyka :

 

ma rozkład 

2

 z liczbą stopni swobody v =  n - 1.





2

2

2

1





(

)

n

s

X N m

~ ( , )



 

 

Rozkład Fishera i 

Snedecora 

Rozkład ten często spotykamy w analizie 
wariancji. Zmienna z nim związana została 
sformułowana przez Fishera, a jej rozkład opisał 
Snedecor. Rozkład ten ma dwa parametry: v1 , 
v2, zwane stopniami swobody.

 

  

 

                                        

                        

 

 

Rozkład F-Fishera-Snedecora

Zmienna losowa X ma rozkład F-Fishera-Snedecora, 
jeżeli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa dana 
jest wzorem:

gdzie u i v są parametrami rozkładu zwanymi 
liczbami stopni swobody.Parametrami zmiennej 
losowej F-Fishera-Snedecora są odpowiednio:

 

   

f

x

x

u v

x

ux v

x

u v

u v

u

v

u

v

u

u v

,

( )

(

)
























0

0

0

2

2

2

2

2

2

2

1

dla

dla



 

EF

v

v

v







2

2

dla

D F

v u v

u v

v

v

2

2

2

2

2

2

4

4



 







(

)

(

) (

)

dla

 

 

Rozkład F-Fishera-Snedecora 

(c.d.)

Jeżeli zmienne losowe                               i            
                 są niezależnymi zmiennymi losowymi 
o rozkładzie norma-lnym standardowym, to 
zmienna:

ma rozkład F-Fishera-Snedecora z liczbami 
stopni swobody
 u i v.

X X

X

u

1

2

,

,...,

Y Y

Y

v

1

2

, ,...,

1

2

1

1

2

1

u

i

i

u

v

i

i

v

X

Y









 

 

Rozkład F-Fishera-Snedecora 

(c.d.)

Poniżej podane są przykładowe wykresy funkcji 
gęstości rozkładu F-Fischera-Snedecora dla 
trzech wybranych par stopni swobody