Dyfrakcja światła
1. Ugięcie Fraunhofera i Fresnela
2. Dyfrakcja
A. Pojedyncza szczelina
B. Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch
szczelinach
3. Siatki dyfrakcyjne
Dyfrakcja światła
1. Ugięcie Fraunhofera i Fresnela
2. Dyfrakcja
A. Pojedyncza szczelina
B. Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch
szczelinach
3. Siatki dyfrakcyjne
1. Ugięcie Fraunhofera i Fresnela
Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) polega ono na uginaniu się promieni
świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny).
Dyfrakcję można wyjaśnić
w
oparciu
o
zasadę
Huyghensa – Fresnel.
Rysunek (a) pokazuje na
czym polega dyfrakcja.
Fala ze źródła S pada na
szczelinę B i przechodząc
przez otwór pada na
ekran C.
Natężenie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie
zaburzenia falowe (tj. wektory E).
Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ:
• elementarne źródła Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych
odległościach od punktu P.
• światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami.
Fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe),
gdy źródło fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz
znajdują się w skończonej odległości od ekranu ze szczeliną
(B)
- przypadek ten nosi nazwę
dyfrakcji Fresnela.
(Obliczenia
natężeń światła są w tej sytuacji trudne.)
Sytuacja upraszcza się,
gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo
duże odległości od otworu uginającego.
Ten graniczny przypadek
nazywamy
dyfrakcją Fraunhofera.
Czoła fal padających jak
i
ugiętych
są
płaszczyznami
(promienie
są
równoległe) - rysunek
(b).
2. Dyfrakcja światła
A. Pojedyncza szczelina
Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o
szerokości a.
Rozpatrzmy punkt środkowy P
0
ekranu.
Równoległe promienie przebywają do punktu P
0
te same drogi
optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość
długości fal
(soczewki cienkie).
W szczelinie promienie są zgodne w fazie, jak również po przebyciu
takich samych dróg optycznych nadal. Dlatego
w środkowym punkcie
P
0
będzie maksimum.
Rozpatrzmy teraz inny punkt P
1
na ekranie (rys.).
Promienie docierające
do P
1
wychodzą ze szczeliny pod kątem
.
Promień xP
1
przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchylany.
Jeżeli wybierzemy punkt P
1
tak, żeby różnica dróg bb’ wynosiła /2 to
promienie zgodne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P
1
fazy
przeciwne i wygaszą się.
Punkt P
1
będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum
dyfrakcyjne).
Warunek opisujący to minimum ma następującą postać
2
1
sin
2
1
a
czyli
asin
=
Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny a była równa wtedy pierwsze minimum
pojawiłoby się dla = 90 czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran.
W miarę rozszerzania szczeliny środkowe maksimum staje się węższe.
Podobne rozważania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i
otrzymamy ogólne wyrażenie dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci
Przypomnijmy, że
jest różnicą faz dla promieni wychodzących z
krańców szczeliny. Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi
asin
(a szerokość szczeliny) więc możemy posłużyć się znanym
związkiem
różnica faz/2π = różnica dróg/λ
W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego natężenia kolejnych
maksimów nie są jednakowe.
asin
= m, m = 1, 2, 3,...... (minimum)
otrzymując
sin
2 a
sin
2
a
lub
Możemy więc obliczyć
natężenie światła dla dyfrakcji na pojedynczej
szczelinie
. Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy.
Otrzymujemy więc
2
sin
m
I
I
Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla
= m, m = 1, 2, 3,....
Podstawiając otrzymujemy
asin
= m, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)
Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania jakościowe).
Obliczmy
względne natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych
.
Maksima leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w punktach, dla
których
= (m+1/2), m = 1, 2, 3,....... (maksimum)
Podstawiając to do równania (*) na natężenie otrzymujemy
I
/I
m
= 0.045, 0.016, 0.008
dla
m = 1, 2, 3.
Natężenia kolejnych maksimów bardzo szybko maleją.
(*)
Na rysunku przedstawiono krzywe I
dla różnych szerokości
szczeliny a
(w stosunku do długości fali
) w funkcji położenia na ekranie
(kąta
).
a=10
a=5
a=
10
5
10
5
w
zg
lę
d
n
e
n
at
ęż
e
n
ie
(deg)
2
sin
m
I
I
sin
2
a
B. Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch
szczelinach
W doświadczeniu Younga
szczeliny były wąskie (a << ), każda ze
szczelin oświetlała równomiernie ekran -
fale (spójne) interferowały
- otrzymywaliśmy prążki o jednakowym natężeniu.
Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a << , tzn.
że
pojedyncza szczelina będzie dawała obraz dyfrakcyjny i
interferencja fal spowoduje, że otrzymamy obraz, w którym
natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu
Younga), ale zależne od obrazu dyfrakcyjnego
(natomiast ich
położenia pozostają prawie nie zmienione).
Przypomnijmy, że
obraz interferencyjny dla dwóch szczelin
dany
jest równaniem
2
int
,
int
,
cos
m
I
I
sin
d
gdzie
Natomiast
natężenie fali ugiętej na szczelinie
jest dane równaniem
przy czym d jest odległością między szczelinami.
2
,
,
sin
dyf
m
dyf
I
I
sin
a
gdzie
przy czym a jest szerokością szczeliny.
Łączny efekt - w równaniu dla
interferencji stałą amplitudę
(dla
wąskich
szczelin)
zastępujemy
realnym
natężeniem
dyfrakcyjnym,
otrzymując
2
2
sin
)
(cos
m
I
I
Wynik opisuje następujące
fakty:
1. W pewnym punkcie ekranu
natężenie światła, z każdej
szczeliny osobno, jest dane
przez obraz dyfrakcyjny tej
szczeliny.
2. Obrazy dyfrakcyjne dwóch
szczelin
rozpatrywanych
oddzielnie nakładają się
(fale interferują).
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a =
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 10
10
10
5
5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
(deg)
Rysunek jest wykresem
równania I
=f() dla d = 50
i
wartości stosunku a/
=
1,5,10.
Obwiednie
prążków
interferencyjnych
pokrywają się dokładnie
z obrazem dyfrakcyjnym.
Obraz
jest
więc
iloczynem
czynnika
interferencyjnego
i
dyfrakcyjnego (rys).
Czynnik interferencyjny
(cos
2
) jest pokazany na
górnym
wykresie,
czynnik
dyfrakcyjny
(sin
/)
2
na środkowym,
a ich iloczyn na dolnym.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10
10
5
5
(deg)
a = 5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
3. Siatki dyfrakcyjne
Gdy
liczba
centrów
rozpraszania
jest
większa, tzn. jest to
przypadek rozszerzenia
doświadczenia Younga -
zwiększamy
liczbę
szczelin od dwu do N
(N>2).
Układ zawierający N
równoległych szczelin -
siatka
dyfrakcyjna
(szczelin
może
być
bardzo dużo np. 10
4
/cm).
Na rysunku pokazany
jest rozkład natężeń dla
N = 5 szczelin.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Dla
przypomnienia
poniżej pokazano wynik
w
doświadczeniu
Younga.
Z tych rysunków widać, że zwiększenie liczby szczelin:
1. nie zmienia odległości pomiędzy głównymi maksimami (przy
stałych d i )
2. nastąpiło ich zwężenie (wyostrzenie)
3. pojawiły się wtórne maksima pomiędzy maksimami bocznymi
Maksima główne wystąpią gdy spełniony jest znany warunek
dsin = m, m = 0, 1, 2, (maksima)
gdzie m - rząd widma, a d - odległość między szczelinami (
stała siatki
dyfrakcyjnej
).
Uwaga: Położenia maksimów głównych nie zależą od N.
Siatki dyfrakcyjne są często stosowane do pomiarów długości fali i do
badań struktury i natężenia linii widmowych.
Stałą siatki dyfrakcyjnej można zmierzyć dokładnie pod mikroskopem
i z warunku na występowanie głównych maksimów można wyznaczyć
.
Z tego samego warunku widać, że fale o różnych uginają się pod
różnymi kątami jest więc szansa na ich rozseparowanie.
cos
d
d
d
m
D
Wielkość
jest nazywana
dyspersją kątową siatki
dyfrakcyjnej
i informuje o odległości kątowej (rozdzieleniu) dwóch fal o mało
różniących się długościach.