Dyfrakcja światła

1. Ugięcie Fraunhofera i Fresnela

2. Dyfrakcja

A. Pojedyncza szczelina

B. Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch

szczelinach

3. Siatki dyfrakcyjne

1. Ugięcie Fraunhofera i Fresnela

Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) polega ono na uginaniu się promieni

świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny).

Dyfrakcję można wyjaśnić
w

oparciu

o

zasadę

Huyghensa – Fresnel.

Rysunek (a) pokazuje na
czym polega dyfrakcja.

Fala ze źródła S pada na
szczelinę B i przechodząc
przez otwór pada na
ekran C.

Natężenie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie
zaburzenia falowe (tj. wektory E).

Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ:
• elementarne źródła Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych

odległościach od punktu P.
• światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami.

Fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe),

gdy źródło fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz

znajdują się w skończonej odległości od ekranu ze szczeliną

(B)

- przypadek ten nosi nazwę

dyfrakcji Fresnela.

(Obliczenia

natężeń światła są w tej sytuacji trudne.)

Sytuacja upraszcza się,

gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo

duże odległości od otworu uginającego.

Ten graniczny przypadek

nazywamy

dyfrakcją Fraunhofera.

Czoła fal padających jak
i

ugiętych

są

płaszczyznami
(promienie

są

równoległe) - rysunek
(b).

2. Dyfrakcja światła

A. Pojedyncza szczelina

Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o
szerokości a.
Rozpatrzmy punkt środkowy P

0

ekranu.

Równoległe promienie przebywają do punktu P

0

te same drogi

optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość
długości fal

(soczewki cienkie).

W szczelinie promienie są zgodne w fazie, jak również po przebyciu
takich samych dróg optycznych nadal. Dlatego

w środkowym punkcie

P

0

będzie maksimum.

Rozpatrzmy teraz inny punkt P

1

na ekranie (rys.).

Promienie docierające

do P

1

wychodzą ze szczeliny pod kątem

.

Promień xP

1

przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchylany.

Jeżeli wybierzemy punkt P

1

tak, żeby różnica dróg bb’ wynosiła /2 to

promienie zgodne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P

1

fazy

przeciwne i wygaszą się.

Punkt P

1

będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum

dyfrakcyjne).

Warunek opisujący to minimum ma następującą postać





2

1

sin

2

1



a

czyli

asin

 = 

Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny a była równa  wtedy pierwsze minimum

pojawiłoby się dla  = 90 czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran.

W miarę rozszerzania szczeliny środkowe maksimum staje się węższe.
Podobne rozważania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i
otrzymamy ogólne wyrażenie dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci

Przypomnijmy, że

 jest różnicą faz dla promieni wychodzących z

krańców szczeliny. Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi
asin

 (a szerokość szczeliny) więc możemy posłużyć się znanym

związkiem

różnica faz/2π = różnica dróg/λ 

W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego natężenia kolejnych
maksimów nie są jednakowe.

asin

 = m, m = 1, 2, 3,...... (minimum)

otrzymując









sin

2 a













sin

2

a





lub

Możemy więc obliczyć

natężenie światła dla dyfrakcji na pojedynczej

szczelinie

. Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy.

Otrzymujemy więc

2

sin





















m

I

I

Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla

 = m, m = 1, 2, 3,....

Podstawiając otrzymujemy

asin

 = m, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)

Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania jakościowe).

Obliczmy

względne natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych

.

Maksima leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w punktach, dla
których

 = (m+1/2), m = 1, 2, 3,....... (maksimum)

Podstawiając to do równania (*) na natężenie otrzymujemy

I



/I

m

= 0.045, 0.016, 0.008

dla

m = 1, 2, 3.

Natężenia kolejnych maksimów bardzo szybko maleją.

(*)

Na rysunku przedstawiono krzywe I



dla różnych szerokości

szczeliny a
(w stosunku do długości fali

) w funkcji położenia na ekranie

(kąta

).

a=10

a=5

a=

10

5

10

5

w

zg

lę

d

n

e

n

at

ęż

e

n

ie

 (deg)

2

sin





















m

I

I











sin

2

a





B. Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch

szczelinach

W doświadczeniu Younga

szczeliny były wąskie (a << ), każda ze

szczelin oświetlała równomiernie ekran -

fale (spójne) interferowały

- otrzymywaliśmy prążki o jednakowym natężeniu.

Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a << , tzn.

że

pojedyncza szczelina będzie dawała obraz dyfrakcyjny i

interferencja fal spowoduje, że otrzymamy obraz, w którym
natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu
Younga), ale zależne od obrazu dyfrakcyjnego

(natomiast ich

położenia pozostają prawie nie zmienione).

Przypomnijmy, że

obraz interferencyjny dla dwóch szczelin

dany

jest równaniem





2

int

,

int

,

cos

m

I

I











sin

d



gdzie

Natomiast

natężenie fali ugiętej na szczelinie

jest dane równaniem

przy czym d jest odległością między szczelinami.

2

,

,

sin





















dyf

m

dyf

I

I









sin

a



gdzie

przy czym a jest szerokością szczeliny.

Łączny efekt - w równaniu dla
interferencji stałą amplitudę
(dla

wąskich

szczelin)

zastępujemy

realnym

natężeniem

dyfrakcyjnym,

otrzymując

2

2

sin

)

(cos























m

I

I

Wynik opisuje następujące

fakty:

1. W pewnym punkcie ekranu

natężenie światła, z każdej
szczeliny osobno, jest dane
przez obraz dyfrakcyjny tej
szczeliny.

2. Obrazy dyfrakcyjne dwóch

szczelin

rozpatrywanych

oddzielnie nakładają się
(fale interferują).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a =



w

zg

lę

dn

e

na

tę

że

ni

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 5



w

zg

lę

dn

e

na

tę

że

ni

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 10



10

10

5

5

w

zg

lę

dn

e

na

tę

że

ni

e



(deg)

Rysunek jest wykresem
równania I



=f() dla d = 50

 i

wartości stosunku a/

 =

1,5,10.

Obwiednie

prążków

interferencyjnych
pokrywają się dokładnie
z obrazem dyfrakcyjnym.

Obraz

jest

więc

iloczynem

czynnika

interferencyjnego

i

dyfrakcyjnego (rys).

Czynnik interferencyjny
(cos

2

) jest pokazany na

górnym

wykresie,

czynnik

dyfrakcyjny

(sin

/)

2

na środkowym,

a ich iloczyn na dolnym.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w

zg

lę

dn

e

na

tę

że

ni

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w

zg

lę

dn

e

na

tę

że

ni

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10

10

5

5



(deg)

a = 5



w

zg

lę

dn

e

na

tę

że

ni

e

3. Siatki dyfrakcyjne

Gdy

liczba

centrów

rozpraszania

jest

większa, tzn. jest to
przypadek rozszerzenia
doświadczenia Younga -
zwiększamy

liczbę

szczelin od dwu do N
(N>2).

Układ zawierający N

równoległych szczelin -
siatka

dyfrakcyjna

(szczelin

może

być

bardzo dużo np. 10

4

/cm).

Na rysunku pokazany

jest rozkład natężeń dla
N = 5 szczelin.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Dla

przypomnienia

poniżej pokazano wynik
w

doświadczeniu

Younga.

Z tych rysunków widać, że zwiększenie liczby szczelin:
1. nie zmienia odległości pomiędzy głównymi maksimami (przy

stałych d i )

2. nastąpiło ich zwężenie (wyostrzenie)
3. pojawiły się wtórne maksima pomiędzy maksimami bocznymi

Maksima główne wystąpią gdy spełniony jest znany warunek

dsin = m, m = 0, 1, 2, (maksima)

gdzie m - rząd widma, a d - odległość między szczelinami (

stała siatki

dyfrakcyjnej

).

Uwaga: Położenia maksimów głównych nie zależą od N.

Siatki dyfrakcyjne są często stosowane do pomiarów długości fali i do
badań struktury i natężenia linii widmowych.

Stałą siatki dyfrakcyjnej można zmierzyć dokładnie pod mikroskopem
i z warunku na występowanie głównych maksimów można wyznaczyć
.

Z tego samego warunku widać, że fale o różnych  uginają się pod

różnymi kątami jest więc szansa na ich rozseparowanie.







cos

d

d

d

m

D





Wielkość

jest nazywana

dyspersją kątową siatki

dyfrakcyjnej

i informuje o odległości kątowej (rozdzieleniu) dwóch fal o mało
różniących się długościach.