WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

prowadzący

prof. dr hab. inż. Kazimierz WÓJS

Wykład 8

Opracował

Andrzej Sitka

OBLICZENIA ZBIORNIKÓW

OBLICZENIA ZBIORNIKÓW

CIENKOŚCIENNYCH

CIENKOŚCIENNYCH

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Naczynia cienkościenne są to konstrukcje takie jak:

•

zbiorniki otwarte lub zamknięte,

•

naczynia ciśnieniowe,

•

kotły parowe,

•

autoklawy,

•

rurociągi, itp.

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Grubości ścian takich konstrukcji są małe w

porównaniu z innymi wymiarami takiego zbiornika (np.
w porównaniu do promieni krzywizn) i nie popełnia się
wówczas większego błędu przyjmując założenie, że
pod działaniem ciśnienia wewnętrznego p w ściankach
naczyń powstają głównie naprężenia rozciągające.

Rys. 1. Naprężenia

 w powłoce kulistej; wewnątrz

powłoki ciśnienie czynnika p

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Przeprowadźmy

analizę

naprężeń

w

naczyniu

cienkościennym o kształcie powierzchni obrotowej,
poddanym działaniu ciśnienia wewnętrznego p.

Rys. 2. Rozkład naprężeń w elemencie ABCD

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Rozpatrzmy nieskończenie mały element o

wymiarach ds

1



ds

2

. Boki tego wycinka są odpowiednio

równoległe

do

równoleżnika

i

południka,

przechodzących przez środek wycinka.

Na element ten działa od wewnątrz zbiornika

ciśnienie p skierowane prostopadle do powierzchni
wewnętrznej elementu.

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Ponieważ rozpatrywany element ma wymiary

nieskończenie małe (ds

1

, i ds

2

), to możemy z

dokładnością do nieskończenie małych wyższego
rzędu uważać łuki tego elementu w kierunku osi x i osi
z za łuki okręgów, których promienie krzywizny są
odpowiednio równe



1

oraz



2

.

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Kąty

środkowe

(d



1

i

d



2

)

obejmujące

rozpatrywany wycinek będą zależne od wymiarów
wycinka:

1

1

1





d

ds 

(1)

Warunki równowagi wycinka wyznaczymy rzutując siły
– na kierunek osi normalnej (y)(rys.2).

Działają tu przede wszystkim siły ciśnienia p, które na
nieskończenie

małym

wycinku

ABCD

możemy

traktować jako wzajemnie równoległe, i zarazem
równoległe do osi y.

2

2

2





d

ds 

(2)

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Działanie ich sprowadzi się do wpadkowej skierowanej
wzdłuż osi y, o wartości równej iloczynowi ciśnienia
przez powierzchnię elementu:

(3)

Wypadkowa ta jest równoważona naprężeniami
działającymi

na

powierzchniach

bocznych

rozpatrywanego elementu, a więc naprężenia



1

na

bokach

oraz



2

na bokach .

2

1

ds

ds

p

pA

CD

AB

BC

AD

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Wypadkowa naprężeń działających na boku będzie
równa wypadkowej na boku , osiągając przy grubości
ścianki g wartość:

(4)

i rzut na kierunek osi y wyniesie:

g

ds

A

2

1

1

1







AB

CD













2

sin

1

2

1





d

g

ds

(5)

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Uwzględniając

symetrię

wycinka:

wypadkowa

naprężeń działająca na bok będzie miała identyczną
wartość, więc suma rzutów tych dwóch sił na oś y
wyniesie:

(6)

CD













2

sin

2

1

2

1





d

g

ds

Analogicznie naprężenia



2

działające na bok o

powierzchni gds

1

dadzą wypadkową

g

ds

1

2



AD

(7)

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

a suma rzutów na oś y naprężeń działających na
bokach i wyniesie:

(8)

Równanie równowagi wycinka powłoki przedstawia się
w następującej postaci:

(9)

AD

BC













2

sin

2

2

1

2





d

g

ds

0

2

sin

2

2

sin

2

2

1

2

1

2

1

2

1











































d

g

ds

d

g

ds

ds

ds

p

F

Y

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Dla małych wartości kąta d przyjmuje się, że ,
więc równanie (9) przybierze postać:

(10)

Po podstawieniu zależności (1) i (2) otrzymamy:

(11)

2

2

sin





d

d















0

2

1

2

1

2

1

2

1















d

g

ds

d

g

ds

ds

ds

p

0

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1















ds

g

ds

ds

g

ds

ds

ds

p

Naprężenia w naczyniach

cienkościennych

Dzieląc obie strony równania przez jednomian
(gds

1

ds

2

) otrzymamy szukaną zależność między

naprężeniami



1

i



2

, ciśnieniem p grubością ścianki g i

promieniami krzywizn



1

i



2

dla dowolnego naczynia

cienkościennego

(12)

g

p





2

2

1

1









wzór Laplace’a

Naprężenia w walczakach i

powłokach kulistych

Walczak jest to zbiornik cylindryczny zaopatrzony w
dwa przyspawane lub przynitowane dna (rys.3).

Rys. 3. Naprężenia wzdłużne



2

w walczaku

Naprężenia w walczakach i

powłokach kulistych

Promień krzywizny



1

staje się promieniem walca r =

½d a promień krzywizny tworzącej



2

=



.

Równanie (12) przyjmuje postać:

(13)

g

p

r







2

1





więc naprężenia obwodowe przyjmują postać:

g

d

p

g

r

p

2

1







(14)

Naprężenia w walczakach i

powłokach kulistych

W

celu

wyznaczenia

wartości

naprężeń



2

,

przeprowadzimy w dowolnym miejscu walczaka
fikcyjny przekrój płaszczyzną AB i rozpatrzmy siły
działające na odciętą część

Rys. 4. Rozkład naprężeń w walczaku

Naprężenia w walczakach i

powłokach kulistych

Wypadkowa ciśnienia wewnętrznego, działająca na
odciętą część walczaka, wynosząca



r

2

p usiłuje

oderwać rozpatrywaną część od reszty walczaka. Jeżeli
istnieje stan równowagi, to wypadkowa ciśnień jest
zrównoważona wypadkową naprężeń 

2

działających

na całym obwodzie płaszcza walczaka:

(15)

Obie siły działają wzdłuż osi walczaka, więc
uwzględniając ich kierunki działania można napisać
warunki równowagi:

(16)

2

2





g

r

0

2

2

2











g

r

p

r

Naprężenia w walczakach i

powłokach kulistych

stąd

(17)

Porównując równania (14) i (17) otrzymujemy
zależność

(18)

g

d

p

g

r

p

4

2

2







2

1

2







czyli naprężenia obwodowe w walczaku są dwa razy
większe od naprężeń wzdłużnych.

Naprężenia w walczakach i

powłokach kulistych

Z tego powodu szwy wzdłużne powinny być
szczególnie

starannie

wykonane,

a

pęknięcia

walczaków lub przewodów rurowych spowodowane
działaniem ciśnienia wewnętrznego przebiegają wzdłuż
tworzących.

W celu wyznaczenia naprężeń występujących w
powłoce kulistej wystarczy do wzoru (12)

podstawić



1

=



2

= r. Naprężenia w dowolnym

przekroju powłoki kulistej poddanej działaniu ciśnienia
wewnętrznego są jednakowe i wynoszą:

(19)

g

p





2

2

1

1









g

d

p

g

r

p

4

2







Naprężenia w walczakach i

powłokach kulistych

OBLICZENIA ELEMENTÓW

OBLICZENIA ELEMENTÓW

OSIOWOSYMETRYCZNYCH

OSIOWOSYMETRYCZNYCH

: TARCZ I RUR

: TARCZ I RUR

GRUBOŚCIENNYCH POD

GRUBOŚCIENNYCH POD

CIŚNIENIEM

CIŚNIENIEM

Elementami osiowo-symetrycznymi w budowie maszyn
są:

•

krążki lub tarcze,

•

rury grubościenne.

Elementy te mogą znajdować się w spoczynku pod
działaniem obciążeń (np. rury grubościenne), albo w
ruchu obrotowym (np. wirniki lub tarcze).

Podczas ruchu obrotowego przyjmuje się stałą
prędkość kątową , a więc uwzględnia się jedynie
promieniowe siły masowe (bezwładności):

r

dV

q

r

2





(1)

pomijając obciążenia obwodowe występujące w
przypadku, gdy prędkość kątowa jest zmienna.

Rozpatrzymy krążek o grubości g (

),

obciążony naprężeniami powierzchniowymi S

a

, S

b

na

wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni krążka oraz
promieniowym obciążeniem masowym q

r

.

(2)

TARCZA KOŁOWA O STAŁEJ

GRUBOŚCI

b

a

g

,



r

q

r

2





Tak obciążony krążek nazywamy

tarczą

.

Wyznaczenie rozkładu naprężeń i odkształceń

jest zadaniem statycznie niewyznaczalnym, więc
trzeba zastosować metody przemieszczeń.

Warunki geometryczne

Pod wpływem obciążenia tarczy przemieszczenie

pewnego wybranego punktu A, odległego od osi tarczy
r będzie równe

.

Rys. 1. Tarcza koła z otworem

'

AA

u 

Z powodu osiowej symetrii kształtu i obciążenia

przemieszczenia wszystkich punktów tarczy, leżących
na tym promieniu, będą takie same. Pod wpływem
obciążenia pierwotny okrąg o promieniu r zmieni się w
okrąg o promieniu r+u.

Odkształcenie obwodowe wyraża równanie:

(3)

Warunki geometryczne





r

u

r

r

u

r

t

















2

2

2

Odcinek

zmieni się pod wpływem

obciążenia w odcinek

, a odkształcenie

promieniowe przedstawia wzór:

(4)

Warunki geometryczne

dr

AB

du

dr

B

A





'

'

dr

du

dr

dr

du

dr

r











Poddajmy

analizie

element

abcd

tarczy

pokazanej na rys.2

Związki fizyczne

Rys. 2. Rozkład naprężeń w elemencie abcd

Na powierzchniach bocznych tego elementu nie
występują naprężenia styczne (z powodu symetrii),
tylko naprężenia normalne (główne).

Ze względu na to, że górna i dolna powierzchnia tarczy
są swobodne, na powierzchnie boczne elementu abcd
działają naprężenia obwodowe 

t

i promieniowe 

r

. Jest

to więc

płaski stan naprężenia.

Związki fizyczne

Dla płaskiego stanu naprężenia związki fizyczne
możemy zapisać w postaci:

Związki fizyczne















 











dr

du

r

u

E

E

r

t

t













2

2

1

1

(5)





























r

u

dr

du

E

E

t

r

r













2

2

1

1

(6)

Równania naprężenia są wyrażone jako funkcje
przemieszczenia u, które z kolei jest funkcją promienia
r.

Możemy zapisać tylko jeden warunek równowagi, a
mianowicie równanie sumy rzutów sił na kierunek
promienia tarczy:

Warunki równowagi

(7)

(8)

Dla bardzo małych kątów

otrzymamy:







0

2

sin

2































drg

rd

q

g

d

dr

r

d

d

drg

g

rd

F

r

r

r

t

r

r











































2

2

sin





d

d







0















drg

rd

q

g

d

dr

r

d

d

drg

g

rd

r

r

r

t

r

















Po wykonaniu działań, pominięciu małych wielkości
trzeciego rzędu i podzieleniu przez drd



g otrzymamy:

Warunki równowagi

(9)

(10)

Po

uwzględnieniu

związków

fizycznych

i

przekształceniach otrzymamy:





0







r

q

dr

r

d

r

t

r





0

1

1

2

2

2

2











r

q

E

r

u

dr

du

r

dr

u

d



Rozwiązaniem

równania

różniczkowego

będzie

wyrażenie:

Warunki równowagi

(11)

(12)

Wstawiając wzór (11) do związków fizycznych
otrzymamy równania:

 

3

2

2

2

2

1

8

1

r

E

r

a

C

r

C

r

u













2

2

2

2

2

1

8

3

1

r

r

a

B

B

t















2

2

2

2

2

1

8

3

r

r

a

B

B

r















(13)

gdzie:

Warunki równowagi

(14)

(15)

Stałe B

1

i B

2

wyznaczymy z następujących warunków

brzegowych:



r

=S

a

dla r=a oraz



r

=S

b

dla r=b.

(13)







1

1

1

EC

B







1

2

2

EC

B

Otrzymamy więc:

Warunki równowagi

(16)

(17)

W równaniach tych

(18)

b

a

S

a

b

b

S

a

b

a

S

b

a

B

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

8

3































b

a

S

a

b

b

S

a

b

b

S

B

2

2

2

2

2

2

2

8

3

















 

2

b

S









Jest to naprężenie obwodowe w wirującym cienkim
pierścieniu o promieniu b równym promieniowi
zewnętrznemu tarczy.

Stałe C

1

i C

2

wyznaczymy porównując wzór (14) z (15)

oraz wzór (15) ze wzorem (17). Otrzymamy stąd:

Warunki równowagi

(19)

(20)













































b

a

S

a

b

b

S

a

b

a

S

b

a

E

B

E

C

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

8

3

1

1







































b

a

S

a

b

b

S

a

b

b

S

E

B

E

C

2

2

2

2

2

2

2

2

8

3

1

1









Przemieszczenia na wewnętrznym i zewnętrznym
promieniu tarczy wyznaczamy podstawiając do wzoru
(11) kolejno r=a oraz r=b. Otrzymamy stąd:

Warunki równowagi

(21)

(22)









































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

1

1

4

3

a

b

b

E

a

S

a

b

a

b

E

a

S

b

a

E

a

S

u

b

a

a

r





















































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

1

4

3

a

b

a

b

E

b

S

a

b

a

E

b

S

b

a

E

b

S

u

b

a

b

r

Naprężenia wyznaczymy z następujących zależności:

Warunki równowagi

(23)

(24)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

8

3

1

8

3

1

8

3

r

r

a

S

a

b

b

S

a

b

b

S

S

a

b

b

S

a

b

a

S

b

a

b

a

b

a

t





































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

8

3

8

3

1

8

3

r

r

a

S

a

b

b

S

a

b

b

S

S

a

b

b

S

a

b

a

S

b

a

b

a

b

a

r





































































które otrzymamy podstawiając wzory (16) i (17) do
wzorów (12) i (13).

Stan bezpieczeństwa tarczy ocenia się na podstawie

naprężeń redukowanych. Przyjmując



1

=



t

,



2

=



r

,



3

=0, naprężenie redukowane obliczamy z zależności:

Warunki równowagi

(25)

2

2

r

r

t

t

red

















Przypadek 1

 S



0, S

a

, S

b



 Podstawiając te wartości do równań (23) i (24)
otrzymamy:

Analiza naprężeń

wywołanych obciążeniami

składowymi

(26)

(27)











S

b

r

r

a

b

a

t







































2

2

2

2

2

2

3

3

1

1

8

3







S

b

r

r

a

b

a

r























2

2

2

2

2

2

1

8

3

Wykres naprężeń (odniesionych do S



) obwodowych



t

S



oraz promieniowych 

r

S



, jako funkcji promienia

tarczy r (dla =0,3) pokazano na rys. 3.

Analiza naprężeń

wywołanych obciążeniami

składowymi

Rys. 3. Wykres naprężeń obwodowych i promieniowych

odniesionych do S



(dla =0,3)

Analiza naprężeń

wywołanych obciążeniami

składowymi

Niebezpiecznym miejscem tarczy jest jej brzeg
wewnętrzny (promień r=a), dla którego maksymalne
naprężenie redukowane będzie:













S

b

a

a

r

t

red







































2

2

)

(

3

1

1

4

3

(28)

Przypadek 2

S



0, S

a

, S

b



 Podstawiając te wartości do równań (23) i (24)
otrzymamy:

Analiza naprężeń

wywołanych obciążeniami

składowymi

(29)

(30)





















2

2

2

2

2

1

r

b

a

b

a

S

a

t























2

2

2

2

2

1

r

b

a

b

a

S

a

r



Wykres naprężeń (odniesionych do S

a

) obwodowych



t

S

a

oraz promieniowych 

r

S

a

, jako funkcji promienia

tarczy r (dla =0,3) pokazano na rys. 4.

Analiza naprężeń

wywołanych obciążeniami

składowymi

Rys. 4. Wykres naprężeń obwodowych i promieniowych

odniesionych do S

a

(dla =0,3)

Analiza naprężeń

wywołanych obciążeniami

składowymi

a

t

S

a

b

a

b

ekstr

2

2

2

2











a

r

S

ekstr





(31)

(32)

Maksymalne naprężenie zredukowane obliczymy:

a

red

a

a

a

a

red

S

a

b

a

b

S

S

S

a

b

a

b

S

a

b

a

b

2

2

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3





















































(33)

Przypadek 3

S



0, S

a

, S

b



 Podstawiając te wartości do równań (23) i (24)
otrzymamy:

Analiza naprężeń

wywołanych obciążeniami

składowymi

(34)

(35)





















2

2

2

2

2

1

r

a

a

b

b

S

b

t





















2

2

2

2

2

1

r

a

a

b

b

S

b

r



Wykres naprężeń (odniesionych do S

b

) obwodowych



t

S

b

oraz promieniowych 

r

S

b

, jako funkcji promienia

tarczy r (dla =0,3) pokazano na rys. 5.

Analiza naprężeń

wywołanych obciążeniami

składowymi

Rys. 5. Wykres naprężeń obwodowych i promieniowych

odniesionych do S

b

(dla =0,3)

Analiza naprężeń

wywołanych obciążeniami

składowymi

Niebezpiecznym miejscem tarczy jest jej brzeg
wewnętrzny (promień r=a), dla którego maksymalne
naprężenie redukowane będzie:

(36)





2

2

2

2

a

b

b

S

b

a

r

t

red













RURY GRUBOŚCIENNE POD

DZIAŁANIEM CIŚNIENIA

Obliczenia rur grubościennych pod działaniem

ciśnienia wewnętrznego i zewnętrznego (zadanie
Lame’go) można wykonać wykorzystując równania dla
tarczy o stałej grubości, jeżeli przyjmie się =0.

Przeanalizujmy wycięty w myśli element rury o

grubości jednostkowej.

RURY GRUBOŚCIENNE POD

DZIAŁANIEM CIŚNIENIA

Przyjmując, że S

a

  p

a

, S

b

  p

b

, i wykorzystując wzory

(12), (13), (16) i (17) otrzymamy zależności (=0):





































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

r

a

a

b

b

p

r

b

a

b

a

p

b

a

t







































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

r

a

a

b

b

p

r

b

a

b

a

p

b

a

r



(38)

(37)

Rozpatrzmy

oddzielne

działanie

obciążeń

na

powierzchni wewnętrznej i zewnętrznej.

RURY GRUBOŚCIENNE POD

DZIAŁANIEM CIŚNIENIA

Przypadek 1

p

a



0

, p

b





 dla r = a

(40)

(39)

dla r = b

2

2

2

2

a

b

a

b

p

a

t









a

r

p







2

2

2

2

a

b

a

p

a

t







0



r



(42)

(41)

RURY GRUBOŚCIENNE POD

DZIAŁANIEM CIŚNIENIA

Przypadek 2

p

a



0

, p

b





 dla r = a

(44)

(43)

dla r = b

(46)

(45)

2

2

2

2

a

b

b

p

b

t









0



r



2

2

2

2

a

b

a

b

p

b

t











b

r

p







RURY GRUBOŚCIENNE POD

DZIAŁANIEM CIŚNIENIA

Rys. 6. Rozkład naprężeń



t

i



r

w rurze wywołanych

działaniem ciśnienia p

a

oraz p

b

(dla b=2a)

Zmianę grubości wyciętego w myśli elementu

rury spowodowanego przez te naprężenia określimy z
następującej zależności:

RURY GRUBOŚCIENNE POD

DZIAŁANIEM CIŚNIENIA

Zmianę grubości wyciętego w myśli elementu

rury spowodowanego przez te naprężenia określimy z
następującej zależności:





























2

2

2

2

3

a

b

a

p

b

p

E

E

a

b

r

t











(47)

Z równania tego wynika, że





const, bo wszystkie

wielkości są stałe. Element ten pozostaje po
odkształceniu płaski, a więc ciągłość rury zostaje
zachowana.

RURY GRUBOŚCIENNE POD

DZIAŁANIEM CIŚNIENIA

Naprężenia redukowane obliczymy podobnie jak

dla tarczy (hipoteza Hubera) przy obciążeniu tylko
ciśnieniem wewnętrznym p

a

.

Maksymalne naprężenie redukowane występuje na
wewnętrznej powierzchni rury (r = a):

(48)





2

2

4

4

max

3

a

b

a

b

p

a

red









Rury o bardzo dużej grubości

Rozpatrzmy rurę o dużej grubości (b),

obciążoną tylko ciśnieniem wewnętrznym p

a

.

Naprężenia dla takiego przypadku można obliczyć:

(49)

2

2

r

a

p

a

t





2

2

r

a

p

a

r







(50)

Niebezpiecznym miejscem w takiej rurze jest jej

powierzchnia wewnętrzny (promień r = a) i naprężenie
redukowane będzie wynosiło:

3

a

red

p





(51)

Rury wielowarstwowe

Bezpieczeństwo rury można zwiększyć stosując

rury wielowarstwowe (łączone z wciskiem).

Rozpatrzmy rurę dwuwarstwową, której promienie w
stanie wyjściowym są następujące:

•

a – promień wewnętrzny rury wewnętrznej,

•

c+



– promień zewnętrzny rury wewnętrznej,

•

c – promień wewnętrzny rury zewnętrznej,

•

b – promień zewnętrzny rury zewnętrznej.

Rury wielowarstwowe

Nałożenie rozgrzanej rury zewnętrznej na

wewnętrzną spowoduje po ochłodzeniu ciśnienie
(wcisk) p

c

.

Ciśnienie p

c

działające na obydwie rury w miejscu

styku określimy z równania ciągłości przemieszczeń na
promieniu c.

 

Dla rury wewnętrznej, (p

wewn

= p

a

= 0, p

zewn

= p

c

):





































2

2

2

2

a

c

a

c

E

c

p

c

u

c

c

c

r

(52)

Rury wielowarstwowe

Dla rury zewnętrznej, (p

wewn

= p

c

, p

zewn

= p

b

= 0):

(53)





























2

2

2

2

c

b

c

b

E

c

p

c

u

c

c

c

r

Z porównania powyższych równań otrzymamy:









































2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

c

b

c

b

a

b

c

a

c

c

b

E

p

c

(54)

Zbiorniki grubościenne

Jeśli rura zostanie zamknięta (powstaje zbiornik

grubościenny), to w przypadku, gdy długość

,

rozkład naprężeń na grubości rury można uznać za

równomierny i naprężenie osiowe



0

(w kierunku osi

rury) wyznaczymy z zależności:

(55)

b

l 

2

2

2

2

2

2

2

2

0

a

b

b

p

a

p

a

b

p

b

p

a

b

a

b

a























Niebezpiecznym miejscem jest w tym przypadku

powierzchnia wewnętrzna zbiornika, a naprężenie

redukowane dla r = a wyznaczymy z zależności:

(56)

2

2

3

3

a

b

b

p

p

b

a

red









Zbiorniki grubościenne