Iloraz inteligencji ma w populacji rozkład
normalny =100; =15. Znaleźć

prawdopodobieństwo, że z populacji
wylosujemy osobę z IQ:

a) nie większym niż 70

b) nie większym niż 120

c) większym niż 140

d) pomiędzy 70 i 130

Wejściówka









Normalizacja

Iloraz inteligencji ma w populacji rozkład
normalny =100; =15. Znaleźć

prawdopodobieństwo, że z populacji
wylosujemy osobę z IQ:

a) nie większym niż 60

b) nie większym niż 110

c) większym niż 130

d) pomiędzy 70 i 120

Wejściówka









Normalizacja

Iloraz inteligencji ma w populacji rozkład
normalny =110; =10. Znaleźć

prawdopodobieństwo, że z populacji
wylosujemy osobę z IQ:

a) nie większym niż 50

b) nie większym niż 120

c) większym niż 125

d) pomiędzy 60 i 110

Wejściówka









Normalizacja

Wnioskowanie statystyczne i

weryfikacja hipotez statystycznych

Populacja (N=∞)

Próba losowa

(losowość nie zależy od liczby

wylosowanych elementów)

Próba (n elemntowa)

Zmienna X w populacji ma E(X) i D(X), których nie znamy!
Zakładamy, że rozkład tej zmiennej jest normalny

Wnioskowanie statystyczne

Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności:

• Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
• Ustalenie poziomu istotności  .

• Wybór statystyki do weryfikacji hipotezy H0 i ustalenie
obszaru

krytycznego (wartości krytycznych).

• Obliczenie wartości statystyki w próbie.
• Sformułowanie wniosków (weryfikacja hipotezy H0) przez
porównanie

wartości obliczonej statystyki z wartościami

krytycznymi; będzie to jeden z dwóch wniosków:

– odrzuca się hipotezę zerową i za prawdziwą uznaje się
hipotezę

alternatywną,

– nie ma podstaw do odrzucenia H0 (co nie oznacza jej
przyjęcia).

Definicje

Hipotezą statystyczną – nazywamy każdy sąd o zbiorowości generalnej, wydany bez
przeprowadzenia badania całkowitego, prawdziwość hipotezy statystycznej orzeka się na
podstawie próby losowej.

Hipoteza zerowa H

– hipoteza sprawdzana (testowana, weryfikowana).

Hipoteza alternatywna H

– hipoteza, którą można przyjąć, gdy zostanie odrzucona hipoteza

zerowa H

Sprawdzianem hipotezy – (zwanym też statystyką testową) jest taka zmienna losowa T, o
znanym rozkładzie, której wartość empiryczna t

emp.

, policzona na podstawie próby losowej,

pozwala na podjęcie decyzji, czy przyjąć, czy też odrzucić hipotezę H

Zbiór krytyczny Z – jest to zbiór tych wartości sprawdzianu hipotezy, które przemawiają za
odrzuceniem hipotezy H

. W zależności od hipotezy może być zbiorem jednostronnym

(prawostronnym lub lewostronnym) albo zbiorem dwustronnym.

Przedziałem ufności – nazywamy taki przedział, który z zadanym z góry
prawdopodobieństwem zwanym poziomem ufności lub współczynnikiem ufności, pokrywa
nieznaną wartość szacowanego parametru.
to poziom istotności







Konstruowanie przedziału ufności dla wartości

przeciętnej m

Jeżeli mamy dużą próbę (n>30) oraz cecha X ma rozkład normalny X ~ N(m, ) , wówczas
przedział ufności dla parametru m ma postać:















gdzie:

- średnia arytmetyczna

- odchylenie standardowe, założenie ( )

- liczebność próby

- wartość oczekiwana (przeciętna),

- wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu normalnego, gdzie:









 







 t

Przykład 1 krok po kroku

Przypuśćmy, że interesuje nas populacja krów i na podstawie

jakichś informacji spodziewamy się, że średnia wydajność

mleka w tej populacji jest równa



= 200 litrów mleka.

Gdybyśmy chcieli na podstawie jakieś próby sprawdzić czy

rzeczywiście wartość średnia populacji jest równa 200,

przyjęlibyśmy hipotezę zerową H0:

 = 200.

Moglibyśmy sformułować wiele hipotez alternatywnych np.

 = 384 litrów mleka, jednak sens mają tylko trzy:

 < 200  hipoteza jednostronna  < 

 stosujemy test

jednostronny

 > 200  hipoteza jednostronna  > 

 stosujemy test

jednostronny

  200  hipoteza dwustronna  

 stosujemy test

dwustronny

Przystępując do testowania hipotezy zerowej zakładamy, że jest ona prawdziwa

Przykład 1

Przykład krok po kroku – wersja 1 – test

dwustronny

Hipoteza H0

prawdziwa

fałszywa

Decyzja

Przyjmujemy
H0

Błąd II rodzaju

Odrzucamy H0

Błąd I rodzaju





Agronom twierdzi: „średnia ilość mleka to 200 litrów”

Pastuch Kazio mówi: „a wcale bo nieprawda!”

Agronom: zatrudnijmy socjologa i niech zrobi nam badanie

Socjolog: Przeprowadzono badanie na n=324 krowach i

uzyskano następujące wyniki: E(X)=198 litrów D(X)=20

Agronom: „to kto qrde… ma rację i o co w tym chodzi?”

Socjolog: Przeprowadzono badanie na n=324 krowach i

uzyskano następujące wyniki: E(X)=198 litrów, D(X)=20

- Ustalamy poziom



















Obszar akceptacji

hipotezy zerowej



 



 



196

198





200

198









200

;

196





Przykład krok po kroku – wersja 1 – test

dwustronny

Przykład krok po kroku – wersja 2 – test

lewostronny

Hipoteza H0

prawdziwa

fałszywa

Decyzja

Przyjmujemy
H0

Błąd II rodzaju

Odrzucamy H0

Błąd I rodzaju





Agronom twierdzi: „średnia ilość mleka to 200 litrów”

Pastuch Kazio mówi: „jak doiłem ostatnio to wyszło mi mniej”

Agronom: zatrudnijmy socjologa i niech zrobi nam badanie

Socjolog: Przeprowadzono badanie na n=324 krowach i

uzyskano następujące wyniki: E(X)=198 litrów D(X)=20

Agronom: „to kto qrde… ma rację i o co w tym chodzi?”















E(X)

 



196

198





Obszar akceptacji

hipotezy zerowej

Hipoteza „zerowa, testowana” h

Hipoteza „alternatywna, konkurencyjna” h

200





200





Wynik w próbie n=324
E(X)=198
D(X)=20





;

196









Przykład krok po kroku – wersja 2 – test

lewostronny

Przykład krok po kroku – wersja 3 – test

prawostronny

Hipoteza H0

prawdziwa

fałszywa

Decyzja

Przyjmujemy
H0

Błąd II rodzaju

Odrzucamy H0

Błąd I rodzaju





Agronom twierdzi: „średnia ilość mleka to 200 litrów”

Pastuch Kazio mówi: „jak doiłem ostatnio to wyszło mi

więcej”

Agronom: zatrudnijmy socjologa i niech zrobi nam badanie

Socjolog: Przeprowadzono badanie na n=324 krowach i

uzyskano następujące wyniki: E(X)=198 litrów D(X)=20

Agronom: „to kto qrde… ma rację i o co w tym chodzi?”













E(X)

 



200

198





Obszar akceptacji

hipotezy zerowej

Hipoteza „zerowa, testowana” h

Hipoteza „alternatywna, konkurencyjna” h

200





200





Wynik w próbie n=324
E(X)=198
D(X)=20





200

;











Przykład krok po kroku – wersja 3 – test

prawostronny

Przykład 2

Amerykanie chcą ulokować bazę F16 w Krzesinach. Uzależnione jest to od poziomu hałasu,

który przeszkadza mieszkańcom. Jeśli przekroczy on ustaloną normę, inwestycja nie będzie

mogła mieć miejsca. Przeprowadzone w przeszłości szczegółowe badania poziomu hałasu na

lotnisku doprowadziły do wartości średniej 63 dB z odchyleniem standardowym 8 dB, co mieści

się normach UE. Jednak mieszkańcy postanowili sami zmierzyć poziom hałasu emitowany

przez odrzutowce. Po pewnym czasie 24‐krotne pomiary kontrolne dały wartość średniej 68 dB.

Pytamy, czy upoważnia nas to do rewizji wyznaczonej uprzednio wartości?

1. Hipoteza zerowa

 = 63dB

Hipoteza alternatywna

  63dB

2. Jako sprawdzian hipotezy zerowej wybieramy statystykę

Która ma rozkład normalny standaryzowany, jeśli słuszna jest hipoteza















3. Przyjmujemy poziom istotności, np.





4. Określamy zbiór krytyczny:

(test

dwustronny)

z tablic odczytujemy: .













))

(

)

((

5. Obliczamy wartość statystyki testowej: .







Ponieważ z> ,tj. należy do zbioru krytycznego, zatem na wybranym poziomie istotności
hipotezę zerową należy odrzucić

025





975



975

Przykład2

ZADANIA

Zadanie1

Zbadano w 81 wylosowanych polmosach produkujących wino

koszty butelek przy produkcji 100 skrzynek i otrzymano średnią

zł oraz zł. Na poziomie istotności zweryfikować

hipotezę, że średnie koszty produkcji butelek wynoszą 600 zł.

540



150





Postępowanie:

1. Wypisujemy dane które mamy

2. Formułujemy hipotezę zerową i hipotezę alternatywną

3. Ustalamy poziom istotności

4. Ustalamy zbiór krytyczny

5. Podstawiamy dane do wzoru

6. Interpretujemy wynik

emp









Zadanie2

Średnia życia mężczyzn w Polsce wynosi 67,5 lat. Interesuje nas

obszar zagłębia legnicko-głogowskiego. Podejrzewamy, że z uwagi

na duże zagrożenie ekologiczne, średnia życia jest tutaj niższa niż

średnia krajowa. Wybrano losowo 238 mężczyzn i obliczono, że

oraz S=12,9. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować

powyższą hipotezę.
Postępowanie:

1. Wypisujemy dane które mamy

2. Formułujemy hipotezę zerową i hipotezę alternatywną

3. Ustalamy poziom istotności

4. Ustalamy zbiór krytyczny

5. Podstawiamy dane do wzoru

6. Interpretujemy wynik

emp











Zadanie3

Na losowo dobranej próbie 150 samochodów marki X zbadano zużycie
benzyny po przejechaniu trasy 100 km. Średnie zużycie benzyny dla tej
próby wyniosło 7,5 litra przy odchyleniu standardowym 0,9 litra. Norma
fabryczna wynosi 7,01 litra na 100 km. Czy rzeczywiste zużycie benzyny
różni sie istotnie od normy fabrycznej na poziomie istotności 0,03 (zużycie
benzyny ma rozkład normalny)?

Postępowanie:

1. Wypisujemy dane które mamy

2. Formułujemy hipotezę zerową i hipotezę alternatywną

3. Ustalamy poziom istotności

4. Ustalamy zbiór krytyczny

5. Podstawiamy dane do wzoru

6. Interpretujemy wynik

emp









Zadanie3

W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu

pacjentów po zastosowaniu pewnego leku. Zmierzono czas snu (w

minutach) u 17 losowo wybranych pacjentów i otrzymano: 435,

533, 393, 458, 525, 481, 324, 433, 515, 348, 503, 383, 395, 416,

555, 500, 488. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić hipotezę, że

średni czas snu pacjentów wynosi 7 godz.
Postępowanie:

1. Wypisujemy dane które mamy

2. Formułujemy hipotezę zerową i hipotezę alternatywną

3. Ustalamy poziom istotności

4. Ustalamy zbiór krytyczny

5. Podstawiamy dane do wzoru

6. Interpretujemy wynik

E(X)

 



 



 





Document Outline

Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23

Ćwiczenia 7 weryfikacja hipotez statystycznych

Document Outline