Powtórka z
Fizyki 2009r.
Dr inż. Jerzy Wojtkowiak
IFD UG ul Wita Stwosza 57
608-659-072
fizjw@univ.gda.pl
fizjw@ug.edu.pl
Fizyka na Chemii
Podstawy mechaniki klasycznej i
termodynamiki fenomenologicznej. Elementy
hydromechaniki. Grawitacja. Drgania i fale w
ośrodkach sprężystych. Elektryczne i
magnetyczne właściwości materii. Fale
elektromagnetyczne. Polaryzacja,
interferencja i dyfrakcja fal. Elementy optyki
falowej i geometrycznej. Elementy akustyki,
hałas. Podstawy mechaniki kwantowej.
Budowa atomu i cząsteczki.
Promieniotwórczość naturalna i sztuczna.
Elementy fizyki jądrowej. Promieniowanie
kosmiczne.
Treści kształcenia:
Podstawy mechaniki klasycznej
Elementy hydromechaniki
Grawitacja
Drgania i fale w ośrodkach sprężystych
Elektryczne i magnetyczne własności materii
Elektryczność prąd stały i zmienny 10maja2010
Fale elektromagnetyczne
Polaryzacja interferencja i dyfrakcja fal
Elementy optyki falowej i geometrycznej
Elementy akustyki
Elementy fizyki jądrowej
Elementy kosmologii
Cząstki elementarne
Elementy fizyki kwantowej
Czeka na Was Chemia
fizyczna
Podstawowe pojęcia termodynamiki chemicznej. Związki
pomiędzy wielkościami termodynamicznymi. Fenomenologiczna
i molekularna interpretacja energii i entropii. Zasady
termodynamiki. Termochemia. Roztwory: cząstkowe wielkości
molowe, potencjał chemiczny. Termodynamiczne kryteria
równowagi, stała równowagi. Elementy termodynamiki
procesów nieodwracalnych. Równowagi fazowe w układach
jedno- i wieloskładnikowych, diagramy fazowe. Procesy
destylacji, rektyfikacji, krystalizacji i ekstrakcji. Zjawiska
powierzchniowe, związki powierzchniowo czynne. Zjawisko
osmozy. Podstawowe pojęcia kinetyki chemicznej. Kinetyka
procesów prostych i złożonych. Teoria zderzeń i kompleksu
aktywnego. Kataliza homo- i heterogeniczna, autokataliza.
Właściwości roztworów elektrolitów, przewodność. Ogniwa
elektrochemiczne i układy do elektrolizy. Rodzaje elektrod,
potencjał elektrody, termodynamika i kinetyka procesów
elektrodowych. Konwersja i akumulacja energii elektrycznej.
Korozja. Układy koloidalne. Elektryczne i magnetyczne
właściwości substancji. Podstawy spektroskopii: elektronowej,
oscylacyjnej, spektroskopii Ramana, spektrometrii mas oraz
magnetycznego rezonansu jądrowego.
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej. Równanie
Schrödingera niezależne i zależne od czasu.
Zastosowanie mechaniki kwantowej w chemii:
przybliżenie jednoelektronowe, metoda orbitali
molekularnych. Wiązania chemiczne, hybrydyzacja.
Metody obliczeniowe chemii kwantowej:
półempiryczne, ab initio i oparte na teorii
funkcjonału gęstości elektronowej. Termodynamika
statystyczna - zastosowanie w opisie zachowania
zbiorów cząsteczek. Określanie charakterystyk
energetycznych i entropowych substancji i
procesów chemicznych na gruncie teorii.
Oddziaływania międzycząsteczkowe: dyspersyjne,
elektrono-donorowo-akceptorowe, wiązania
wodorowe. Elementy mechaniki i dynamiki
molekularnej.
System oceniania w
XXIw.
- 50% samooceny
- 30% ocena kolegów
- 20% ocena nauczyciela lub
przełożonego
A gdzie życie gdzie decyduje ocena
pracodawcy ??!
Wykład opierał się
na następujących
podręcznikach
• J. O’Rear, Fizyka tom 1 i 2
• Resnick Halliday Fizyka tom 1 i 2
• Detlaf Jaworski, Fizyka tom 1 i 2
• Frisz Timoriewa, Fizyka
• Reinhard Kulessa UJ Wykłady z Fizyki
http://users.uj.edu.pl/~kulessa
• http://pl.wikipedia.org/wiki/Portal:Fizyka
• Wykłady dr Piotra Słomy
• http://mojanauka.pl/fizyka/
•
Podstawy mechaniki klasycznej. 1h
•
Układy współrzędnych-wektory w układach 2h
•
Dynamika bryły sztywnej 2h,
•
Grawitacja. Pole wektorowe i pole skalarne 2h
•
Zastosowanie rachunku całkowego w zagadnieniach fizyki 2h
•
Drgania i fale w ośrodkach sprężystych.
•
Oscylator harmoniczny, drgania cząsteczek, 2h
•
Zastosowanie rach. różniczkowego i operatorowego w zagadnieniach fizyki 2h
•
Elementy akustyki. Propagacja fal 1h
•
Elementy hydromechaniki. 0.5h
•
Elektryczność. Fale elektromagnetyczne.
•
Podstawowe pomiary elektryczne 1.5h
•
Układ RLC, pole elektryczne i magnetyczne 2h
•
Elektryczne i magnetyczne właściwości materii.
•
Propagacja, Polaryzacja, interferencja i dyfrakcja fal. 2h
•
Elementy optyki falowej i geometrycznej.2h
•
Elementy fizyki ciała stałego.1h nie było
•
Promieniotwórczość naturalna i sztuczna. 1h
•
Elementy fizyki jądrowej. 1h
•
Podstawy fizyki kwantowej 2h
•
Elementy kosmologii 1h
Na początku były jednostki i
układy jednostek a także
układy współrzędnych.
Czas był absolutny a fizyka
prosta jak równania
matematyczne
Potrzebowaliśmy
standardów miar i wag
SI EMAS ISO PN
Btu vs kJ
To też wzorzec
Jeden karat 0.2
grama
przy okazji ciekawostka: dla studentek
interesujących się brylantami (już teraz).
Ziarenka rośliny to chlebek świętojański
suchy do gryzienia owoc strączkowy słodki,
który służy do jedzenia w środku są
malutkie twarde ziarenka-fasolki z których
każda waży 0.2 grama
czyli jeden karat właśnie
Szarańczyn strąkowy, drzewo karobowe, karob, ceratonia (Ceratonia
siliqua L.)
– gatunek zimozielonego drzewa należący do rodziny bobowatych.
Występuje
dziko i w uprawie w regionie śródziemnomorskim. Strąki nazywane
są chlebem
świętojańskim. Gatunkiem typowym jest Ceratonia siliqua
Ceratonia siliqua
Karat
Karat –
jednostka masy używana w jubilerstwie do określania
wielkości kamieni i pereł. Także jednostka czystości złota
(zawartości złota w stopie).
W układzie SI nosi nazwę karat metryczny [ct] i jest to
jednostka stosowana wyłącznie do pomiaru masy kamieni
szlachetnych. 1 karat = 0,2 g = 2 · 10
-4
kg Karat [ct] jest także
określeniem zawartości złota w stopach (czystości stopu). 1 karat
to 1/24 zawartości wagowej złota w stopie. Oznacza to, że złoto
24-karatowe to złoto czyste
24-karatowe - próba 1000
22-karatowe - próba 916 pierwsza próba złota - 916
18-karatowe - próba 750 druga próba złota - 750
14-karatowe - próba 585 trzecia próba złota - 585
12-karatowe - próba 500 czwarta próba złota - 500
10-karatowe - próba 417
9-karatowe - próba 375 piąta próba złota - 375
8-karatowe - próba 333 szósta próba złota - 333
Zegar mechaniczny
Teraz
Zegar
atomowy
Pierwsze określenie
Kalendarza jako
kalendarza
kosmicznego, Stąd rok
zwrotnikowy mierziny z
dokładnością do pół
sekundy
1s =9192631770
okresów
promieniowania
przejścia
w
Cs
133
55
www.boulder.nist.gov/timefreq/cesium/fountain.htm
POMIARY CZASU
Układ SI: (MKSA)
metr [m] - jednostka długości
kilogram [kg] - jednostka masy,
sekundą [s] - jednostka czasu
Kelvin [K] - jednostka temperatury
Candela [Cd] - jednostka natężenia
światła
Amper [A] - jednostka natężenia
prądu
elektrycznego
Jednostki uzupełniające
Nazwa Jednostka Wielkość
fizyczna
radian [rad] miara kąta
płaskiego
steradian [sr] miara kąta
bryłowego
mol [mol] liczność
materii
metr
W myśl definicji zatwierdzonej przez XVII
Generalną Konferencję Miar i Wag w 1983
jest to odległość, jaką pokonuje światło w
próżni w czasie 1/299 792 458 s.
(1960 - 1983) XI Generalna Konferencja Miar
(1960) zdefiniowała metr jako długość równą
1 659 763,73 długości fali promieniowania w
próżni odpowiadającego przejściu między
poziomami 2p10 a 5d5 atomu 86Kr (kryptonu
86).
Inne jednostki długości: angstrem, cal, jard,
mikron, parsek, rok świetlny.
Grafika w wyższej rozdzielczości jest niedostępna.
Kilogram [1kg]
Masa bezwładna i masa grawitacyjna
Odważnik „wiecznie żywy” mimo, że
mamy….
wzorzec kilograma oparty na izotopie węgla
C
12
to tylko rekomendacja ale stanowcza
Bureau International des Poids et Mesures
Comité
International
des Poids
et Mesures 94th
meeting (October 2005)
Sekunda [s] [sec]
Jest to czas równy 9 192 631 770 okresów
promieniowania odpowiadającego przejściu
między dwoma poziomami F = 3 i F = 4
struktury nadsubtelnej stanu podstawowego
2S1/2 atomu cezu 133Cs (powyższa definicja
odnosi się do atomu cezu w spoczynku w
temperaturze 0 K)[1] . Definicja ta,
obowiązująca od 1967 r., została ustalona przez
XIII Generalną Konferencję Miar. Poprzednio
sekundę definiowano jako 1/31 556 925,9747
część roku zwrotnikowego 1900 (XI Generalna
Konferencja Miar z 1960 r.) lub 1/86400 część
doby (do 1960 r.).
Amper [A]
Definicja 1 A - prąd o natężeniu 1 A, jest to stały prąd
elektryczny, który płynąc w dwóch równoległych,
prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o
znikomo małym przekroju kołowym, umieszczonych w
próżni w odległości 1 m od siebie, spowodowałby
wzajemne oddziaływanie przewodów na siebie z siłą
równą
2 10
-7
[N]
na każdy metr długości przewodu.
Do definicyjnego wyznaczenia jednostki służy waga prądowa. Dokładnością ustępuje
jednak kalibratorom prądu i w praktyce jest przez nie wyparta.
Jeśli przepływający przez dany przekrój prąd ma
natężenie 1 A, oznacza to, że w ciągu 1 s przepływa 1 C
ładunku,
kelwin [K]
kelwin - jednostka temperatury w
układzie SI równa 1/273,16
temperatury termodynamicznej
punktu potrójnego wody, oznaczana
[K]
kandela (świeca)
jednostka światłości źródła światła; jednostka
podstawowa w układzie SI, oznaczana [cd].
Jest to światłość, z jaką świeci w określonym
kierunku źródło emitujące promieniowanie
monochromatyczne o częstotliwości 5,4·1014
Hz, i wydajności energetycznej w tym
kierunku równej (1/683) [W/sr].
Kandela to również światłość 1/600000 m²
ciała doskonale czarnego w temperaturze
krzepnięcia platyny pod ciśnieniem 1
atmosfery fizycznej.
mol [mol]
Mol – podstawowa w układzie SI jednostka liczności materii,
oznaczana [mol].
Jeden mol jest to liczba indywiduów chemicznych (np. atomów,
cząsteczek, jonów, elektronów itp.) równa liczbie atomów zawartych
w 12 gramach izotopu węgla C12 (przy założeniu, że węgiel jest w
stanie niezwiązanym chemicznie, w spoczynku, a jego atomy nie
znajdują się w stanie wzbudzenia). W jednym molu znajduje się
6,02214179±0,00000030 · 10
23
cząstek.
Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra[2]. Mol jest szczególnie
istotny dla pojęcia masy molowej, która ma duże znaczenie
praktyczne dla ilościowego doboru składników reakcji chemicznych.
lumen [lm]
- jednostka miary strumienia
świetlnego w układzie SI (jednostka
pochodna układu SI)
1 lm = 1 [cd·sr]
Jest to strumień świetlny wysłany w
jednostkowy kąt bryłowy (steradian)
przez izotropowe punktowe źródło
światła o światłości jednej kandeli
umieszczone w wierzchołku tego kąta
Luks [lx]
- jednostka natężenia oświetlenia E w
układzie SI (Jednostka pochodna układu
SI)
1 lx = 1 cd·sr / m
2
Luks określany jest jako oświetlenie wywołane przez
równomiernie rozłożony strumień świetlny o wartości
równej 1 lumen (lm) padający na powierzchnię 1m
2
, a
więc:
1 lx = 1 lm / m
2
.
10
0
=1
Metr
10
1
=10
Metrów
10
2
=100
Metrów
10
3
=1000
Metrów
CERN
10
4
=10 000
Metrów
Akcelerato
r LEP
10
5
=100 000
Metrów
Jezioro
Genewskie
10
6
=1000 000
Metrów
10
8
=100 000 000
Metrów
10
7
=10 000 000
Metrów
10
9
=1000 000 000
Meter
Orbita
Księżyca
10
10
=10 000 000 000
Metrów
Droga
Ziemi w 4
dniach
10
11
=100 000 000 000
Metrów
Droga
Ziemi w 6
tygodniac
h
10
12
=1000 000 000 000
Metrów
Układ
Słoneczny
10
13
=10 000 000 000 000
Metrów
Układ
Słoneczny
10
14
=100 000 000 000 000
Metrów
10
20
=100 000 000 000 000 000 000
Metrów
10
21
=1000 000 000 000 000 000
000 Metrów
nasza
Galaktyka
10
23
=100 000 000 000 000 000 000
000 Metrów
10
22
=10 000 000 000 000 000 000
000 Metrów
Nasza Galaktyka
z obłokiem
Magellana
10
26
=100 000 000 000 000 000 000
000 000 Metrów
9325
Galaktyk
Przegląd podstawowych rozmiarów
10
0
=1 Metr
10
-1
=0.1 Metra
10
-2
=0.01 Metra
10
-3
=0.001 Metra
Oko Muchy
10
-4
=0.000 1 Metra
Facetten
10
-5
=0.000 01 Metra
Włosek
10
-6
=0.000 001 Metra
10
-7
=0.000 000 1
Metra
10
-8
=0.000 000 01 Metra
Molekuła DNS
10
-14
=0.000 000 000 000 01 Metra
Jądro Atomowe
10
-15
=0.000 000 000 000 001 Metra
Proton z Kwarkami
10
-10
=0.000 000 000 1 Metra
Atom Węgla
Przegląd podstawowych rozmiarów
Świat jest zasadniczo
matematyczny
.
Liczydło egipskie 500l.p.Chr
Galileo Galilei
(1546-1642)
Transformacja
Galileusza
Włoski scholar (przyjaciel kardynałów ale
tylko niektórych) położył podwaliny pod coś
co sam nazywał filozofią naturalną a co teraz
nazywamy fizyką. Obserwował planety przez
swoją lunetę. Był gorącym zwolennikiem teorii
Kopernika. Stworzył paradygmat fizyki
nowożytnej opierając ją na modelach
matematycznych i układach współrzędnych
TEORIA WZGLĘDNOŚCI WEDŁUG
GALILEUSZA i NEWTONA
„ruchu bezwzględnego nie da się wykryć”.
Po latach szczególna teoria
względności Einsteina oprze
się na dwóch postulatach
- ruch bezwzględny nie może być
wykryty ;
- szybkość światła jest niezależna od
ruchu źródła
czego Galileusz i Newton nie
wiedzieli.
Często w ramach postulatów szczególnej teorii względności
mówimy także o zasadzie kosmologicznej która mówi, że nie
ma wyróżnionego punktu w przestrzeni co jest innym
sformułowaniem zasady (1)
Kryształ
Atom
Jądro
atom
Cząstki elem
y
y
ny
Bariony
Kwarki
Cząstka
Z jakimi obiektami mamy do czynienia
w fizyce?
Reinhard Kulessa UJ Wykłady z Fizyki
http://users.uj.edu.pl/~kulessa
Oddziaływania
fundamentalne
są odpowiedzialne za siły działające pomiędzy
cząstkami.
Elektromagnetyczne
Słabe
Silne jądrowe
Silne kolorowe
Elektryczne
magnetyczne
Podstawowe oddziaływania:
1. Grawitacyjne
2. Elektrosłabe
3
.
Silne
Dla opisu zjawisk fizycznych byłoby najlepiej,
gdyby istniało tylko jedno oddziaływanie,
zawierające w sobie wszystkie do tej pory
wymienione.
Jesteśmy blisko Teorii Wszystkiego - unifikacji
oddziaływań słabych, elektromagnetycznych i
silnych.
• Podstawy mechaniki klasycznej.
• Układy współrzędnych-wektory w
układach
• Dynamika Newtona
• Dynamika bryły sztywnej ,
ZASADY
DYNAMIKI
KINEMATYKA -dział mechaniki, który podaje opis
przestrzenno-czasowych właściwości ruchu
DYNAMIKA - badanie ruchu z uwzględnieniem jego
przyczyn, zajmuje się zobacz: R. Kulessa UJ
Wykłady z Fizyki
http://users.uj.edu.pl/~kulessa
Układy
odniesienia
Jakieś zdarzenie fizyczne w określonym miejscu
definiujemy przez podanie dokładnej
informacji o miejscu i czasie, w którym to
nastąpiło podając jednocześnie układ
odniesienia.
Z
A
B
1
r
2
r
Ażeby opisać dwa zdarzenia obserwator musi
zarejestrować miejsce i czas każdego z nich w
danym układzie.
i
f
r
i
t
i
r
f
t
f
Jeśli obserwator
zarejestruje
miejsce zdarzeń i i f,
oraz ich czasy t
i
i t
f
, to
równania
i
f
i
f
t
t
t
r
r
r
określają wektor przesunięcia dla tych
zdarzeń, oraz przedział czasowy pomiędzy
nimi.
Wektor r określa odległość między
zdarzeniami i i f, oraz kierunek od i do f.
Okazuje się, że wektor przesunięcia może
być taki sam dla kilku różnych
obserwatorów umiejscowionych w
różnych miejscach
Jeśli mamy trzech obserwatorów, których
względna pozycja się nie zmienia, każdy z nich
określi zdarzenie
i
i
f
przez inne wektory to
przesunięcie
od punktu i do f będzie dla
wszystkich obserwatorów takie same.
Również
czas jaki upłynie od zdarzenia i do f
będzie dla
wszystkich obserwatorów taki sam
.
A
B
C
r
iA
r
fA
r
iB
r
fB
i
f
Układ odniesienia nazywamy inercjalnym,
jeżeli porusza się on ruchem jednostajnym po
linii prostej albo pozostaje w spoczynku
względem innego układu inercyjnego.
Układ taki jest de facto definiowany przez
podanie transformacji Galileusza a także w I
Zasadzie dynamiki Newtona. Takie
definiowanie jest zaledwie wewnętrznie spójne
i fizycy długo poszukiwali absolutnego układu
odniesienia aby w końcu stwierdzić, że go nie
ma! : )
Ruch punktu (i nie tylko) może być opisany w
różnych układach
współrzędnych, np. Kartezjańskim, walcowym,
biegunowym, sferycznym.
Obserwator jest (zwykle) umieszczony w początku
układu współrzędnych.
Układy współrzędnych
Jeżeli chcemy podać położenie punktu to
możemy to uczynić definiując tzw.
wektor
położenia
(wektor wodzący)
, w różnych
układach współrzędnych
z
x
y
r
P
y
x
z
Promień
wodzący
r możemy
podać w
różny sposób:
z
y
x
r
k
z
z
j
y
y
i
x
x
ˆ
,ˆ
,ˆ
k
z
j
y
i
x
r
ˆ
ˆ
ˆ
k
j
i
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
oznaczają
wektory jednostkowe
poszczególnych osi.
ˆk
ˆi
ˆj
Współrz
ę
dne biegunowe
Je
ż
eli poło
ż
enie punktu zmienia
się w czasie to w układzie
współrz
ę
dnych prostok
ą
tnych
mo
ż
emy to opisa
ć
w nast
ę
puj
ą
cy
sposób
)
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
t
z
k
t
y
j
t
x
i
t
r
ˆk
ˆi
ˆj
Zakładamy, że układ jest prawoskrętny
ale może nie być : )
tor ruchu
x
y
r(t)
P(x(t),y(t),z(t))
Wersory możemy również zapisywać na różne
sposoby. W trakcie tego wykładu używać
będziemy wersji drugiej, czyli i z daszkiem.
x, y i z są współrzędnymi kartezjańskimi.
Współrzędne punktu P możemy również
zapisać we współrzędnych sferycznych.
k
k
i
z
j
j
i
y
i
i
i
x
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
0
0
cos
sin
sin
cos
sin
r
z
r
y
r
x
W zależności od tego, czy tor jest linią krzywą
czy prostą, mówimy o
ruchu krzywoliniowym
lub
prostoliniowym.
P(x(t),y(t),z(t))
z
tor
x
y
r(t)
.
Przykładem ruchu dla którego celowe jest
określenie prędkości średniej jest ruch
samochodu w mieście. Nie zawsze „zielona
fala” umożliwia ruch samochodu ze stałą
prędkością.
Powyższa animacja pokazuje taką sytuację.
Prędkość i przyśpieszenie
jako pochodna
wektora położenia
Interesuje nas prędkość jakiegoś ciała w
konkretnym punkcie P. W jaki sposób możemy ją
obliczyć?
r
1
r
2
r
3
P
1
P
2
P
3
P
x
y
z
r
r
1
r
3
r
2
t
1
Zacznijmy skracać odstępy
czasu w których określamy
położenie ciała.
Każdorazowo konstruujemy
wektor prędkości średniej
Gdy skracamy
nieograniczenie
odstęp czasu t 0, wartość bezwzględna wektora
r / t dąży do
pewnej wartości granicznej.
n
n
n
t
r
v
Wektor, do którego dąży wektor prędkości
średniej gdy
t
n
0 nazywamy prędkością v ciała w punkcie
P.
Ponieważ wektor r ma trzy składowe możemy
napisać
Wektor prędkości został rozłożony na trzy
składowe:
Kierunek tego wektora dąży do kierunku stycznej do toru w punkcie P.
i
dt
t
dz
i
dt
t
dy
i
dt
t
dx
dt
r
d
y
x
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
v
z
z
y
y
x
x
i
i
i
ˆ
v
ˆ
v
ˆ
v
v
dt
r
d
t
r
t
0
lim
v
z
v
1
x
y
tor
P
1
P
2
v
2
v
r
1
Z rysunku widzimy, że w stosunku do
punktu P
1
w punkcie P
2
nastąpiła zmiana
prędkości
w czasie t.
Średnie
przyśpieszenie definiujemy jako
:
v
t
a
śr
v
Transformacja
Galileusza
Jeżeli przyjmiemy, że zdarzenie w układzie inercjalnym A opisane
jest współrzędnymi czasoprzestrzennymi (x,y,z,t), a w układzie
inercjalnym B przemieszczającym się z prędkością v w kierunku
osi x, są to odpowiednio (x',y',z',t'), to transformacja
współrzędnych będzie opisana układem równań:
I Zasada dynamiki
Newtona
Lex I. Corpus omne
perseverare in statu su
quiescendi vel movendi
uniformiter in directum,
nisi quatenus illud a viribus
impressis cogitur statum
suum mutare.
– Ka
ż
de ciało trwa w swym
stanie spoczynku lub ruchu
prostoliniowego jednostajnego,
je
ż
eli siły przyło
ż
one nie
zmusz
ą
ciała do zmiany tego
stanu.
Winda jako układ inercyjny i
nieinercyjny
Winda jest układem
nieinercyjnym
a nawet inercyjnym
Klasyk
II Zasada Dynamiki
Newtona
• Lex II. Mutationem motus
proportionalem esse vi motrici
impressae, et fieri secundum lineam
rectam qua vis illa imprimitur.
’’Zmiana ruchu jest proporcjonalna do
przyłożonej siły poruszającej i odbywa
się w kierunku prostej, wzdłuż której
siła jest przyłożona.’’
• W wersji zwanej uogólnioną (uogólniona druga zasada dynamiki),
Jeśli na spoczywające
ciało nie działa żadna
siła to pozostaje ono w
spoczynku. Jeśli ciało
porusza się ruchem
jednostajnym, ze stałą
prędkością, to w tym
stanie ruchu będzie
pozostawać dopóki nie
zacznie na nie działać
siła zewnętrzna.
a
m
F
m
F
a
F
AB
= - F
BA
II Zasada dynamiki
Newtona
Stąd
a
m
F
m
F
a
F
F
a
m
F
F
Stąd
III Zasada Dynamiki
Lex III. Actioni contrariam semper et aequalem esse
reactionem; sive corporum duorum actiones in se mutuo
semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.
F
AB
= - F
BA
Względem każdego działania istnieje przeciwdziałanie zwrócone
przeciwnie i równe, to jest wzajemne działania dwóch ciał są
zawsze równe i zwrócone przeciwnie.
III Zasada dynamiki, słuszna tylko w mechanice nierelatywistycznej, zwana jest
zasadą akcji i reakcji. Zasada ta zakłada, że oddziaływania rozchodzą się w
przestrzeni z nieskończoną prędkością. Doświadczenia wskazują, że wszystkie
oddziaływania rozchodzą się ze skończoną prędkością nieprzewyższającą
prędkości światła. Zgodnie ze współczesnymi poglądami w zasadach dynamiki
należy rozumieć: ciało – punkt materialny, ruch – ruch względem układu
odniesienia będącego układem inercjalnym. Zasady dynamiki mają swoje
wersje także dla ruchu obrotowego (punktu i bryły) oraz mogą być stosowane
w układach nieinercjalnych po uwzględnieniu sił bezwładności
.
Prawo powszechnego
ciążenia
Siła grawitacji
Według Newtona prawo powszechnego ciążenia
w układzie inercjalnym można podać w postaci;
gdzie G jest stałą grawitacji i
G=6.67·10
-11
Nm
2
/kg
2
.
m
1
i m
2
są masami dwóch ciał oddziałujących, ich masy
grawitacyjne. Są one źródłem
pola
grawitacyjnego.
W fizyce mówimy o polu wówczas, gdy
każdemu punktowi danej przestrzeni
możemy przyporządkować pewną wartość
jakiejś wielkości fizycznej – skalar, wektor
lub tensor.
Przykłady pól skalarnych i wektorowych wielkości podane są na następnej
stronie
r
r
r
m
m
G
F
2
2
1
Siłę, która nadaje ciału przyśpieszenie
ziemskie g, nazywamy ciężarem. F = m g
Z drugiej strony przyspieszenie
to stosunek siły do masy
Tylko wtedy, gdy masa grawitacyjna jest równa
bezwładnej wszystkie ciała w polu ziemskim mają
to samo przyśpieszenie.
I tak właśnie jest nie tylko na Ziemi
Masa grawitacyjna i masa bezwładna
B
C
B
m
m
g
m
F
g
Zasady zachowania w Fizyce
Zasady zachowania występujące w fizyce są to prawa określające
stałość pewnych parametrów charakteryzujących układ fizyczny.
Do najważniejszych należą zasady zachowania:
energii,
pędu,
krętu,
ładunku elektrycznego,
liczby barionowej,
liczb leptonowych,
parzystości kombinowanej CPT.
Zasady zachowania wynikają (
twierdzenie
Noether
) z
niezmienniczości równań opisujących stan układu względem
pewnych transformacji.
istnieją różne rodzaje energii:
-grawitacyjna,
-kinetyczna,
-elektryczna,
-magnetyczna,
-potencjalna,
-chemiczna,
-jądrowa,
-energia promieniowania, i inne.
energię kinetyczną istniejącą zawsze przy
ruchu ciał, oraz o energię potencjalną ściśle
związanej z działaniem sił.
Zasada zachowania energii
W mechanice klasycznej obowiązują zasady
zachowania;
energii, pędu i momentu pędu
.
Te trzy zasady można traktować jako
konsekwencje pewnych symetrii.
Zasada zachowania energii
wynika więc z
niezmienniczości
względem przesunięcia w czasie. Inaczej
mówiąc, jeżeli w każdej chwili czasu
zasada
wariacyjna najmniejszego działania,
oraz
równania ruchu opisujące układ nie zmieniają
się , to energia układu w tych chwilach jest
taka sama.
Zasada najmniejszego działania
jest w mechanice teoretycznej
podstawową zasadą wariacyjną. Zgodnie z nią rzeczywiste
ruchy ciał charakteryzują się najmniejszymi wartościami
działania
.
Działanie
, wielkość fizyczna mająca wymiar iloczynu
energii i
czasu
lub
pędu i położenia
(jak kręt). Charakteryzuje ruch
układu mechanicznego, ale pojęcie to wykorzystuje się również
w elektrodynamice, termodynamice i mechanice kwantowej.
Najmniejszy kwant działania to stała Plancka h
0
0
( )
( )
r
p
p
p
r
E
E r
E r
F ds
r r
Moc
Pracę i energią mierzy się w tych samych
jednostkach. Bardzo często interesuje nas
zdolność wykonywania pracy przez pewne
urządzenia w ciągu określonego czasu.
Definiujemy wtedy
moc,
jako pracę wykonaną
w jednostce czasu.
dW d
P
F dr
F v
dt
dt
r
r
r
r
Jednostką mocy jest jeden wat.
1W = 1J/s = [kg·m
2
·s
-3
Zasada zachowania pędu
korzystając z 3 zasady dynamiki Newtona
znajdziemy dodatkową regułę dotyczącą
oddziaływania pomiędzy ciałami, która
podobnie jak zasada zachowania energii jest
ważna dla wszystkich sił niezależnie od tego,
czy siły te szczegółowo znamy czy nie.
zasada akcji i reakcji
F
2
1
F
12
Wiemy, że,
12
21
12
21
0
F
F
F
F
r
r
r
r
Zasadę akcji i reakcji da się uogólnić
na wiele ciał.
Suma wszystkich sił działających pomiędzy
tymi ciałami jest równa zero.
Siły takie nazywamy
siłami wewnętrznymi
i ich
suma jest równa 0, gdyż siły te się znoszą
parami.
F
2
1
F
32
F
13
F
31
F
23
F
12
1
0
N
ik
i k
i k
F
r
Z zasady tej ważnej tylko
dla sił wewnętrznych
znajdziemy ważną
regułę.
1 1
2 2
12
21
(
)
(
)
0
d mv
d mv
F
F
dt
dt
r
r
Przez całkowanie tego równania otrzymujemy;
1 1
2 2
mv mv
p const
r
r
r
Całkowity pęd p układu dwóch ciał nie
zmienia się pod wpływem działania sił
wewnętrznych
.
Równanie to możemy uogólnić dla układu
N
ciał oddziaływujących tylko przez siły
wewnętrzne.
1
N
i i
i
mv
p const
r
r
Równanie
to
stanowi zapis
zasady
zachowania pędu
dla układu N izolowanych ciał.
W czasie zderzenia działają przez krótki okres
czasu pomiędzy partnerami zderzenia siły. Siły
wewnętrzne w czasie zderzenia są zdecydowanie
silniejsze od sił zewnętrznych.
Zasada
zachowania pędu i energii zastosowana
do
sytuacji przed i po zderzeniu, często pozwala
nam przewidzieć efekt końcowy zderzenia
.
Obserwując wynik zderzenia, możemy dowiedzieć
się istotnych rzeczy na temat oddziaływania
pomiędzy zderzającymi się cząstkami.
Zasadę zachowania pędu dla dwóch
zderzających się cząstek o masach
m
1
i
m
2
,
możemy zapisać następująco:
'
'
1 1
2 2
1 1
2 2
mv mv
mv mv
r
r
r
r
W układzie kartezjańskim otrzymujemy trzy
równania;
Zderzenia ciał Zasada
zachowania pędu
W czasie zderzenia działają przez krótki okres czasu pomiędzy
partnerami zderzenia siły. Siły wewnętrzne w czasie zderzenia są
zdecydowanie silniejsze od sił zewnętrznych.
Zasada zachowania pędu i
energii zastosowana
do sytuacji przed i po zderzeniu, często pozwala
nam przewidzieć efekt końcowy zderzenia
.
'
'
1 1
2 2
1 1
2 2
mv mv
mv mv
r
r
r
r
m
1
m
2
m
1
+
m
2
v
1
v
1
’
przed
zderzeniem
po
zderzeniu
Zderzenie niesprężyste gdy kulki
po zderzeniu są razem
2
'
1 1
1
1
0 (
)
mv
m m v
r
r
Ruch prostoliniowy
Jeżeli tor ruchu ciała jest linią prostą, to
zawsze możemy tak dobrać układ
współrzędnych, aby jedna z jego osi
pokrywała się z torem. Zwykle wybiera się oś
x.
x
r
x
i
t
x
t
x
t
r
ˆ
)
(
)
(
)
(
Energia kinetyczna i potencjalna
Rozważmy ciało o masie m znajdujące się pod
działaniem siły F(r). Zadajmy sobie pytanie,
czy istnieje jakaś wielkość fizyczna, która się
w trakcie ruchu nie zmienia
x
y
z
A
B
dr
r(t)
r(t
0
)
F
m
Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym
prędkość jest stała, v=const.
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
t
t
v
x
x
t
t
v
dt
v
dt
v
x
x
t
t
t
t
.
x jest przebytą przez ciało drogą, którą zwykle
oznaczaliśmy przez s.
Wykres drogi od czasu
ma więc postać:
s
t
x=x
0
+
v(t
-t
0
)
t
0
x
0
t
s=x
x
0
v
0
t
1/2at
2
Narysujmy drogę
którą ciało przebywa w czasie t
przy założeniu, że t
o
= 0.
x
y
g = -g i
y
v
0
h
W polu ciężkości na wysokości h
wyrzucamy pod kątem do poziomu z
prędkością
v
0
jakieś ciało.
Możemy tu rozróżnić następujące przypadki:
Rozważmy
następujący ruch.
Rzut poziomy
Rzut ten jest przypadkiem 2 w Tabeli 1.
Zajmijmy się następującym problemem. Kula
armatnia została wystrzelona poziomo ze stałą
prędkością v
0x
=100 m/s. Kula spadła na ziemię
w odległości 1200 m od miejsca wystrzelenia .
Pytamy się o długość drogi pionowej jaką
przebyła kula przy zaniedbaniu oporu
powietrza.
x
y
x = 1200 m
y = ?
Zasada superpozycji
ruchów
Zauważmy, że rozważaliśmy ruch
poziomy
niezależnie od ruchu
pionowego
aby wyznaczyć
czas lotu kamienia.
Ruch pionowy jest spadkiem swobodnym, dla którego
mamy:
v
0y
= 0
oraz
a
y
=-g =-9.81 m/s
2
.
Z równania (2.9a) dla ruchu w kierunku osi y mamy
y = -1/2 g t
2
= -1/2 · 9.81 m/s · (12m)
2
= 706.32 m
Zauważmy, że rozważaliśmy ruch
pionowy
niezależnie od ruchu
poziomego
aby wyznaczyć
wysokość spadku kamienia.
Niezależność tych dwóch ruchów implikuje, że pocisk
przy
v
0x
= 0
w czasie
12 s
spadnie o
706.32 m
.
Prędkość
początko
wa
Wysokoś
ć
początko
wa
Ta sama prędkość
początkowa z
różnych wysokości
Ta sama wysokość,
różne prędkości
początkowe
Rzut
ukośny
Jest to przypadek, dla którego:
h = 0 lub h 0, 0 < < 90
0
, v
0
0.
y
x
v
0
Składowe prędkości
początkowej
wynoszą:
sin
v
v
cos
v
v
0
0
0
0
y
x
Rzut ukośny charakteryzują
następujące wielkości:
1. Zasięg rzutu,
2. Maksymalna wysokość
Zasięg rzutu otrzymamy
licząc odległość
poziomą x dla y=0.
Równanie to ma dwa
rozwiązania:
2
0
0
2
1
v
)
(
v
)
(
t
g
t
t
y
t
t
x
y
x
0
cos
v
2
2
2
2
0
x
g
tg
x
2
sin
v
cos
v
2
0
2
0
2
2
0
2
max
1
g
g
tg
x
x
x
Maksymalną wysokość rzutu otrzymamy
licząc maksimum funkcji przedstawiającej
równanie toru, czyli dla dy/dx=0.
0
cos
2
2
2
2
0
x
v
g
tg
Otrzymujemy
więc:
max
2
0
2
1
2
sin
2
x
g
v
x
.
Podstawiając wyrażenie na x do równania
(2.13), otrzymujemy na maksymalną
wysokość poruszającego się rzutem ukośnym
wartość:
2
2
0
max
sin
2g
v
y
.
Widzimy z podanych wzorów, że zarówno
maksymalny zasięg rzutu jak i maksymalna
wysokość rzutu zależą od wartości i kierunku
prędkości początkowej.
Wysokość rz.:
g
v
y
2
sin
2
2
0
max
Zasięg rz.:
g
v
x
2
sin
2
0
max
Tor ruchu
przedstawia
przesunięta parabola
g
y
2
sin
v
2
2
0
max
Należy jeszcze wspomnieć o szczególnym
przypadku rzutu ukośnego, a mianowicie
rzutu pod kątem = 90
0
z prędkością
początkową v
0
. Taki przypadek nazywamy
rzutem pionowym
.
v
0
v = g
t
Przebywana w czasie t
droga wynosi:
2
0
2
1
gt
t
v
s
Maksymalną wysokość
uzyskamy z warunku
0
0
gt
v
dt
ds
.
Czas ruchu ciała do maksymalnej wysokości h
wynosi więc:
, a uzyskana maksymalna wysokość
.
g
v
t
0
g
v
h
2
2
0
Ruch jednostajny po
okregu
Początek układu współrzędnych wybieramy w środku
koła, po którym odbywa się ruch. Położenie punktu
na na kole możemy podać jednoznacznie przez
podanie kąta biegunowego i odległości r od
początku układu.
y
x
r
s
Ruch ciała określony jest
przez funkcję
= (t),
definiująca tzw. drogę
kątową.
Jeśli przez s oznaczymy
drogę, którą ciało przebyło
po okręgu w czasie gdy
przebyło ono drogę kątową
, to
r
s
(2.15)
Różniczkując to równanie obustronnie,
otrzymujemy;
.
Pod wpływem działania siły F ciało zmienia w czasie dt swój pęd,
dp F dt
r
r
oraz położenie
dr v dt
r r
Eliminując z tych równań dt otrzymujemy;
0
v dp F dr
r
r r
r
To ostatnie równanie możemy napisać jako:
0
p dp
F dr
m
r
r
r
r
Wykorzystując fakt, że
(
)
2
d p p
dp p p dp
p dp
r r
r r
r r
r
Możemy równanie (4.4) zapisać jako;
B
A
W
F dr
r
r
.
Z równania tego widzimy również, że praca
może być wykonana tylko przez składową siły
styczną do drogi.
Policzmy dla przykładu jaką pracę musimy
wykonać wydłużając sprężynę z położenia
równowagi o x. Zgodnie z prawem Hooke’a
sprężyna sprzeciwia się rozciąganiu z siłą
F=-cx. Wobec tego
2
0
0
2
x
x
c
W
Fdx
c xdx
x
Praca ta jest ujemna, gdyż sprężyna nie
wykonuje pracy, tylko ją podejmuje.
energia
x
E
k
=E-E
p
E
kmax
=E
E
p
=c/2x
1
2
E
p
=c/2x
2
E
pmax
E
k
=0
-x
1
x
1
Praca i energia potencjalna
przy podnoszeniu ciężaru
Jeśli podniesiemy masę
m
wbrew sile
grawitacji na wysokość
h
(niewielkiej
względem promienia Ziemi), wymaga to
wykonania pracy zwiększającą energię
potencjalną masy m ;
p
E
mgh
Jeśli pozwolimy masie
m
spaść z wysokości
h
,
wzrasta jej prędkość, a tym samym energia
kinetyczna, równocześnie spada energia
potencjalna masy m. Jednak sumaryczna
energia pozostaje niezmieniona.
Energia
h
E
k
E
p
E=mg
h
E
pmax
=E
kin
2
2
2
m
v
mgh
v
gh
Siły zachowawcze i niezachowawcze
Ogólnie dzielimy siły na dwie klasy, siły
zachowawcze i siły niezachowawcze.
Rozróżnienie pomiędzy nimi jest oparte na
wielkości pracy jaką siła wykonuje na drodze
zamkniętej.
Siły zachowawcze są to takie siły dla których
praca po drodze zamkniętej jest równa zero.
0
F ds
r r
�
Siły tarcia są siłami niezachowawczymi.
Ogólnie biorąc siłami niezachowawczymi są
siły zależne od czasu i siły zależne od
prędkości.
Należy podkreślić, że suma energii
potencjalnej i kinetycznej jest stała tylko dla
sił zachowawczych.
Zależy od drogi. Możemy więc podać inną
definicję siły zachowawczej
B
A
F ds const
r r
niezależnie od drogi pomiędzy A i B.
B
A
Siły są zachowawcze,
jeśli w czasie ruchu
pod wpływem tych sił
spełniona jest
zasada
zachowania energii
mechanicznej.
Możemy również
stwierdzić, że
Tak jest w polu sił zachowawczych
Czyli polu potencjalnym
Przykłady energii potencjalnych sił
zachowawczych
1. Energia potencjalna sprężyny
2
1
2
p
E
cx
E
p
x
2. Energia Potencjalna stałej siły
ˆ
x
F
mgi
r
0
ˆ ˆ
(
)
x
p
x
x
E
mgi i dx
mgx
( )
p
E x
mgx
E
p
x
3 Energia potencjalna uniwersalnej siły
grawitacji
1 2
2
mm
F G
r
r jest odległością masy m
1
od
masy m
2
.
0
r
p
r
E
F ds
r
r
Załóżmy, że liczymy zmianę energii
przy przesunięciu masy m
2
z
nieskończoności do r.
1 2
1 2
2
1 2
( )
( )
1
1 1
p
p
p
r
r
E
E r
E
mm
G
dr Gmm
r
r
Gmm
r
( ) 0
p
E
1 2
( )
p
Gmm
E r
r
r
E
p
Praca i energia potencjalna dla sił
elektrostatycznych
Pomiędzy dwoma ładunkami q
1
i q
2
umieszczonymi w odległości r od siebie działa
wzdłuż wektora r siła elektrostatyczna zgodnie z
prawem Coulomba,
1
2
2
q q r
F k
r
r
r
r
Jaką pracę wykona ta siła, jeśli ładunek q
2
przesuniemy z punktu P
1
do punktu P
2
.
2
2
1
1
1
2
1 2
2
2
1
1 1
r
r
r
r
q q
W
Fdr
k
dr
kqq
r
r
r
q
1
q
2
P
2
P
1
r
1
r
2
.
Oznacza to, że energia potencjalna E
p
= -W
zależy tylko od r
1
i r
2
. Często interesuje nas
pytanie jaką prace należy wykonać, aby
ładunek z nieskończoności przesunąć do
punktu P
2.
2
2
1 2
2
1
P
r
E
W
F dr kqq
r
r
E
p
q
1
·q
2
> 0
q
1
·q
2
< 0
przyciąganie
odpychanie
Kształt energii
potencjalnej
oddziaływania
elektrostatycznego
jest opisany taką samą
funkcją f(r) jak dla
oddziaływania
grawitacyjnego. Może
ona jednak być
również dodatnia, czyli
odpychająca.
2. Potencjał wykładniczy
0
0
( )
exp( / )
p
E r
V
r r
3. Potencjał Gaussa
2
2
0
0
( )
exp(
/ )
p
E r
V
r r
0
0
0
( )
( )exp( / )
p
r
E r
V
r r
r
4. Potencjał Yukawy
5. Potencjał
oscylatora
harmonicznego
2
2
0
0
2
0
0
( )
(
)
(
1)
p
V r
E r
r r
r r
E
p
(r)/V
0
r/r
0
p. Yukawy
p. Gaussa
p. jamy prostokątnej
p. wykładniczy
Jak wyglądają te potencjały?
1
p
E
k
const
r
,
są powierzchniami kul.
W jaki sposób można
policzyć
wielkość siły
działającej na elektron
w dowolnym miejscu.
Jeśli przesuniemy
elektron o dr, to
energia potencjalna
zmieni się o
p
dE
F dr
r r
Jeśli przesuniemy elektron po powierzchni
ekwipotencjalnej,
dE
p
= 0, czyli nie została wykonana praca.
Dynamika bryły sztywnej
x
’
y
’
P
a
C
v
’
x
’
y
’
P
’
x r
’
a
d
Reinhard Kulessa
96
Moment pędu bryły sztywnej
- Moment bezwładności
Rotujące ciało sztywne charakteryzuje się tym,
że wszystkie jego części poruszają się ze stałą
prędkością kątową wokół osi obrotu.
Weźmy płytę płaskorównoległą i rozważmy jej
obrót dookoła osi prostopadłej.
r
j
m
j
Pamiętamy, że
v
r
r
r r
.
Pamiętamy, że dla każdego układu cząstek
definicja momentu pędu jest następująca:
1
(
)
N
i
i
i
i
L
m r v
r
r r
Reinhard Kulessa
97
Twierdzenie Steinera
W ogólnym przypadku ciągłego rozkładu masy,
moment bezwładności musimy liczyć
przechodząc od sumowania do całkowania.
2
2
I
r dm
r dV
5.15)
.
Obliczmy dla przykładu moment bezwładności
pełnego walca względem jego osi.
r
0
l
dr
2
dm
const dm
dV
l
r dr
dV
0
4
2
2
0
0
0
2
2
4
2
r
r
M
I
r l
rdr
l
I
r
Masa walca jest równa
M =
r
0
2
l.
Reinhard Kulessa
98
Moment bezwładności bryły względem osi
przechodzącej przez środek masy ciała jest
związany z momentem bezwładności względem
dowolnej osi.
O
S
h
R
i
R
iS
2
S
I I
Mh
.
Zależność podaje
twierdzenie Steinera.
Dynamika ruchu bryły sztywnej – druga
zasada
Pamiętamy z wzoru (5.3), że moment pędu
może zostać zmieniony tylko przez działanie
zewnętrznego momentu siły.
( )
z
dL d I
d
M
I
I
dt
dt
dt
r
r
r
r
r
W przypadku braku sił zewnętrznych
L
i
= L
f
i
wtedy
i
i
f
I
I
Rozważmy sobie jako przykład
wahadło fizyczne
.
Reinhard Kulessa
100
r
Mg
O
S
rsin
sin
O
M
Mgr
L I
I
r
&
& &&
Mamy więc równanie
sin
0
Mgr
I
&&
.
Dla małych wychyleń sin
, wtedy
otrzymujemy równanie
oscylatora harmonicznego z
2
=Mgr/I, z rozwiązaniem
2
1
2
I
T
Mr g
.
Reinhard Kulessa
101
Energia kinetyczna bryły
sztywnej
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
i
i i
i i
i
E
mv
mr
I
Sumując po wszystkich punktach otrzymujemy;
2
2
2
1
1
1
1
2
2
N
N
kin
i
i i
i
i
E
E
mr
I
.
Reinhard Kulessa
102
Tylko w przypadku rotacji względem osi
głównych momentu bezwładności
L .
r
o
ś
Rozważmy ogólny przypadek.
P
r
r
r
Pamiętamy, że
L I
r
r
.
Zachodzi więc;
||
|| ||
L
I
L
I
w
w
^
^ ^
=
=
r
r
r
,
||
|| ||
L L L
I
I
w
w
^
^ ^
= +
=
+
r
r
r
r
r
.
Reinhard Kulessa
103
Moment bezwładności względem osi
równoległej do osi do
dysku jest równy , gdzie r jest
promieniem
dysku, a względem osi do niej prostopadłej,
czyli leżącej
wzdłuż średnicy dysku .
2
||
1
2
I
mr
=
2
1
4
I
mr
I
I
L
Widzimy, że przy
obrocie względem
dowolnej osi
moment pędu nie jest
równoległy do
prędkości kątowej.
Jak staczać się po równi
pochyłej
2
cm
R
m
5
2
I
sinθ
g
7
5
a
cm
Przy tej samej wadze
decyduje rozkład masy
2
h
M
cm
I
I
Twierdzenie Steinera
Drgania i fale w ośrodkach
sprężystych.
Drgania i fale w ośrodkach
sprężystych.
Oscylator harmoniczny, drgania
cząsteczek, 2h
Zastosowanie rach. różniczkowego i
operatorowego w zagadnieniach fizyki
2h
Elementy akustyki. Propagacja fal 1h
Amplitu
da
Amplitu
da
Minimu
m
Ruch drgający - Oscylatory
x
y
z
l
mg
p
lsin
y
y
l
L
C
I
U
0
Opis matematyczny ruchu
harmonicznego.
)
cos(
)
(
0
t
A
t
x
Prędkość wynosi:
)
sin(
)
(
0
t
A
dt
t
dx
Przyśpieszenie wynosi:
x
t
A
dt
t
x
d
2
0
2
2
2
)
cos(
)
(
Oscylator harmoniczny
tłumiony
Jeżeli uwzględnimy oprócz siły napędzającej
oscylator harmoniczny również siły oporu np.
proporcjonalne do prędkości, to równanie
oscylatora przyjmuje postać;
2
2
0
d x
dx
m
Cx
dt
dt
Po wprowadzeniu oznaczeń
otrzymujemy równanie;
2
0
1
C
m
m
2
2
0
2
1
0
d x
dx
x
dt
dt
Rozwiązaniem jest funkcja
0
( )
sin
t
x t
x e
t
15.12.2008
Reinhard Kulessa
113
t
x(t)
Czas relaksacji jest to czas po którym
amplituda drgań maleje do 1/e wartości
początkowej.
Czas relaksacji jest to czas po którym
amplituda drgań maleje do 1/e wartości
początkowej.
2
2
0
d x
dx
m
Cx
dt
dt
15.12.2008
Reinhard Kulessa
114
Drgania wymuszone oscylatora
2
2
( )
d x
dx
m
Cx F t
dt
dt
2
2
0
2
1
( )
d x
dx
F t
x
dt
dt
m
0
0
sin
( )
sin
F
t
F t
t
m
m
.
0
sin(
)
x x
t
F(t)
x(t)
ω
t
Jeśli siła zmienia się
sinusoidalnie
To rozwiązaniem będzie przebieg
Sinusoidalny. (zazwyczaj
przesuniety w fazie
Zjawisko
rezonansu
Amplituda i częstość drgań wymuszonych
zależy od częstości siły wymuszającej.
Zależność tą pokazuje poniższy rysunek.
0
/
0
2
0
x
0
()
x
max
0
/
0
0
>>1
Dla częstości =
0
amplituda jest
maksymalna.
Zobaczmy w jaki sposób zmienia się krzywa
rezonansowa dla różnych parametrów
tłumienia
2
1
2
0
x
0
()
r
1
2
3
1
<
2
<
3
Fale –równanie
falowe
=
0
=
- A
2
2
2
2
2
v
t
x
r
1
r
2
13-01-2009
Reinhard Kulessa
118
Wróćmy do problemu rozchodzenia się fal
kulistych.
r
1
r
2
Rozpatrzmy falę:
( , )
sin (
)
A
r
r t
t
r
v
Średnia gęstość
strumienia mocy
fali
P
1
przechodzącej
przez
powierzchnię
S
1
jest w ośrodku bez
absorbcji równa
średniej gęstości
strumienia mocy
fali
P
2
przechodzącej
przez
powierzchnię
S
2
.
Czyli
1
2
P
P
.
Natężenie fali spada więc z rosnącą
odległością r.
Elektryczność. Fale
Elektryczność.
Podstawowe pomiary
elektryczne
Układ RLC,
http://www.mojaenergia.pl/strony/1/i/1.php
http://elektronika.gery.pl/podstawy.php
http://www.edw.com.pl/ea/wstep.ht
ml
podstawowe definicje:
1.Amper, Wolt
2.Opór, pojemnośc, indukcyjnośc
3.Prawo Ohma, Prawa Kirhoffa
4.Prawa Nortona i Thevenina
Sygnał sinusoidalny U(t) = Umsin( ω t),
gdzie:
Um - amplituda,
ω=2πf,
f - częstotliwość wyrażona w hercach (Hz),
t - czas w sekundach.
Falę sinusoidalną opisują dwa parametry amplituda
i częstotliwość (dotyczy to również innych sygnałów).
Czasami zamiast amplitudy używa się pojęcia wartości
skutecznej Usk czy też wartości międzyszczytowej Upp.
Wartość skuteczna jest równa Usk=0,707*Um,
wartość międzyszczytowa jest równa Upp=2Um.
Przykładem wartości skutecznej sygnału sinusoidalnego
może być znana wszystkim wartość 230V napięcia
o częstotliwości 50Hz w gnieździe sieciowym, jakie
znajduje się w każdym mieszkaniu. Amplituda tego
napięcia wynosi 325V, a wartość międzyszczytowa 650V.
Przebieg napięcia w
sieci
+325V
-
325
V
10ms
10ms
10ms
10
ms
---------------20ms
--------------
230V
(220V)
Oporność
Indukcyjność
i(t) = u(t) : jωL
i(t) =
I
cos(ωt – φ)
Napięcie wyprzedza prąd o ¼ T
czyli o π/2
POJEMNOŚĆ
i(t) = u(t) jωC i(t) = I cos(ωt + φ)
Prąd wyprzedza napięcie o ¼ T czyli o π/2
WSKAZY i wskazy
wiruj
ą
ce
Napięcie na indukcyjności wyprzedza napięcie
na pojemności o π/2.
Wskaz napięcia jest przesunięty o kąt θ w
stosunku do fazy prądu, którą zazwyczaj przyj-
mujemy za zerową
Można tak kombinować jeżeli pominiemy
zmiany czasowe, (sinusoidalne) co jest
Interpretowane jako wiowanie wskazów.
Aby nie dostać oczopląsu wirowanie pomujamy
To dla Orłów
ELEMENTY AKTYWNE i
PASYWNE my uczymy si
ę
RLC
CZWÓRNIK DWÓNIK
CZARNA SKRZYNKA
K(jω)
U
1
(t
)
U
2
(
t)
To pojęcie z cybernetyki dotyczy nie tylko układów elektronicznych. Jeżeli np. „na wejściu”
wzrośnie akcyza na paliwo to na wyjściu spadną obroty firm i dochody z podatków a potem
upadnie Rząd.
CZWÓRNIK DWÓNIK
CZARNA SKRZYNKA
K(jω)
U
1
(t)
U
2
(t)
DWÓJNIK
i(t)
u(t)
Pomiar Napięcia
Pomiar prądu
Zastosowanie „bocznika” zwieksza
Zakres amperomierza
Wstawienie amperomierza zwiększ
opór
w obwodzie i miernik wskazuje
mniejszy prąd
Prąd, opór, Prawo
Ohma
Prąd wyraża szybkość przepływu ładunku elektrycznego obok
pewnego punktu. Jednostką miary jest 1A (amper). Można więc
powiedzieć, że prąd jednego ampera jest równy przepływowi ładunku
jednego kulomba na sekundę
Nie do końca wiadomo czy napięcie
zależy od prądu czy prąd od napięcia
ale zakładamy zależność liniową
Prawo Ohma mówi, że napięcie U na końcach przewodnika, przez
który płynie prąd o natężeniu I jest iloczynem natężenia prądu
i rezystancji R tego przewodnika, czyli U = I
*
R Jest to prawo,
z którego będziesz wielokrotnie korzystał, gdy będziesz musiał
obliczyć prąd lub napięcie czy też wyliczyć właściwą dla danego
układu wartość rezystora.
Prawa Kirchoffa
Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi, że suma prądów wpływających
do węzła jest równa sumie prądów wypływających z niego lub
inaczej, że suma wszystkich prądów w węźle jest równa zeru
Prądy wpływające do węzła mają znak dodatni, a wypływające
znak ujemny.
Przykładem węzła jest punkt A na rysunku. Prądy I1, I2 są
dodatnie, a I3 ujemny.
Drugie prawo Kirchhoffa mówi, że w obwodzie zamkniętym
(oczku) suma wszystkich napięć jest równa zeru
Napięcia, których zwrot strzałki jest zgodny z obiegiem oczka są
dodatnie, a te, których zwrot jest przeciwny są ujemne. Obieg oczka
przyjmuje się zgodnie z zaznaczoną okrągłą strzałką wewnątrz
obwodu.
Zgodnie z tymi założeniami napięcia U1 i U4 są dodatnie, a U2
i U3 ujemne.
Mierniki
magnetyczne
zawsze mierzą tak
na prawdę prąd
A mierniki cyfrowe ????
Pomiar rezystancji - R - tą wielkość mierzymy omomierzem.
Pomiaru dokonujemy bezpośrednio na elemencie (rezystorze) -
pamiętać należy, że pomiar rezystora wlutowanego w płytkę razem z
innymi elementami może dawać wskazania odbiegające od
faktycznej wartości (rys. 5).
Pomiar pojemności - C - tą wielkość mierzymy miernikiem
pojemności. Pomiaru dokonujemy bezpośrednio na elemencie -
kondensatorze (rys. 6)
Pomiar pojemności
Pomiar napięcia -
Woltomierz
Rd - oporność
opornika
dodatkowego;
U1 - napięcie
mierzone;
Um - spadek napięcia
na
ustroju;
I - prąd
amperomierza
OPORNOŚĆ i
OPORNIKI
•
Szeregowe i równoległe łączenie rezystorów.
Z prawa Ohma, które można zapisać R=U/I,
wynikają następujące właściwości rezystorów:
- rezystancja zastępcza dwóch rezystorów
połączonych szeregowo (rys. 2.3) wynosi:
• R=R1+R2
•
czyli przez szeregowe połączenie rezystorów
zawsze otrzymuje się większą rezystancję,
rys. 2.3 - rezystancja zastępcza dwóch rezystorów
połączonych równolegle (rys 2.4) wynosi:
Połączenie szeregowe i
równoległe
2
.
3
Dzielniki napięcia
Dzielniki -
potencjometry
rys. 2.7
rys. 2.8
Pojemność -
kondensator
Kondensator jest
elementem nieco
bardziej
skomplikowanym niż
rezystor, gdyż prąd
płynący przez niego
nie jest wprost
proporcjonalny do
napięcia lecz do
szybkości jego zmian
i dlatego można
napisać:
I = dQ/dt Q = C U
I = C dU/dt
Z tego wzoru (jeśli
czegośnie rozumiesz
to zajrzyj do działu
trochę matematyki)
Zdjęcia przedstawiają
kondensatory:
a) elektrolityczny,
b) tantalowy,
c) poliestrowy,
d) ceramiczny,
e) styrofleksowy
Łączenie
pojemności
szeregowe
równole
głe
Rozładowanie
kondensatora
Ładowanie
kondensatora
Ładowanie kondensatora w układzie
RC. Na rys. 2.15 pokazany jest układ,
w którym po zamknięciu wyłącznika
w w chwili
t=0,
rozpocznie
się
ładowanie kondensatora C poprzez
rezystor R. Kondensator C będzie
ładowany prądem I z baterii o napięciu
U
we
. Można to zapisać w postaci
równań:
Zniekształcenia
sygnału
Zniekształcenie sygnału prostokątnego jest spowodowane istnieniem pojemności
(tutaj szkodliwej) a pojemność lubi się ładować co trwa. Czas ładowania τ = RC
Indukcyjność
(cewka)
r
y
s
.
2
.
1
8
Transformator
BEZPIECZNIKI
przeciążeniowe - przerywają obwód
elektryczny po przekroczeniu w
przewodzie określonego natężenia
prądu.
przeciwprzepięciowe - chonią
urządzenia przed przepięciami
występujacymi w sieci.
przeciw asymetrii - chroniące
urządzenia wielofazowe przed
zanikiem jednej z faz prądu
trójfazowego.
przeciwporażeniowe - chroniące
obsługę urządzeń przed porażeniem
prądem elektrycznym; coraz częściej
stosuje się bezpieczniki
różnicowo-prądowe
Wyłącznik różnicowo-prądowy (RCD) jest
to urządzenie służące do ochrony przed
porażeniem przez dotyk pośredni jak i
bezpośredni.
Indukowane pole
elektryczne
154
Zmianom pola
magnetycznego
towarzyszy zawsze
powstawanie pola
elektrycznego.
Jeżeli w obszarze zmieniającego się pola
magnetycznego nie znajdzie się przewodnik to nie
będziemy obserwować przepływu prądu, ale
indukowane pole elektryczne nadal istnieje.
Indukowane pole
elektryczne
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
155
Linie sił pola
elektrycznego
indukowanego przez
zmienne pole
magnetyczne mają
kształt koncentrycznych
okręgów czyli w
odróżnieniu od linii sił
pola pochodzącego od
ładunków elektrycznych
są liniami zamkniętymi!
Indukowane pola elektryczne są związane ze
zmianą strumienia magnetycznego a nie z
ładunkami elektrycznymi.
Indukowane pole
elektryczne
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
156
Indukowane pole
elektryczne nazywamy w
takim przypadku
wirowym polem
elektrycznym.
Stąd uogólnione prawo
indukcji Faradaya:
dt
d
Edl
B
Indukowane pole
magnetyczne
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
157
Zmieniające się pole
elektryczne wytwarza
zmienne pole
magnetyczne.
Stąd uogólnione prawo
Ampera:
I
dt
d
Bdl
E
0
0
0
Pole magnetyczne może być wytwarzane zarówno
przez przepływ prądu (prawo Ampera) jak i przez
zmienne pole elektryczne.
Fale elektromagnetyczne
158
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego
Ładunek wytwarza pole elektryczne o indukcji odwrotnie
proporcjonalnej do kwadratu odległości. Źródłem pola
elektrostatycznego są ładunki elektryczne – zaczynają się w nich i
kończą linie sił tego pola.
q
S
d
D
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego
W przyrodzie nie istnieją magnetyczne odpowiedniki
ładunków elektrycznych. Linie sił pola magnetycznego są
krzywymi zamkniętymi.
0
S
d
B
Fale elektromagnetyczne
159
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Fale elektromagnetyczne
160
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Równania Maxwella opisują cały kompleks zjawisk elektromagnetycznych
w skali makroskopowej (teoria Maxwella nie obejmuje mikropól
atomowych i cząsteczkowych – poprawnie opisuje je dopiero tzw.
elektrodynamika kwantowa) ujmując w postaci jednolitej teorii
wszelkie prawidłowości zaobserwowane wcześniej i wszelkie równania,
którymi opisywano zjawiska elektryczne i magnetyczne.
Na podstawie tych równań można wykazać zarówno istnienie fal
elektromagnetycznych, jak i określić ich prędkość, która równa jest
prędkości światła. W ten sposób Maxwell pierwszy pokazał, że światło
ma naturę fali elektromagnetycznej. Istnienie fal
elektromagnetycznych zostało eksperymentalnie potwierdzone przez
Hertza w 1890 roku.
Fale elektromagnetyczne
Fala elektromagnetyczna polega na rozchodzeniu się w
przestrzeni zaburzenia w postaci drgań wektorów natężenia
pola elektrycznego i magnetycznego.
Oba wektory są prostopadłe zarówno do siebie wzajemnie jak i
do kierunku rozchodzenia się fali (fala poprzeczna), są
ponadto przesunięte w fazie o /2.
161
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/
Fale elektromagnetyczne -
właściwości
162
Piotr Słoma CMF http://cmf.p.lodz.pl/psloma/