PRÓBKOWANIE
SYGNAŁU
PRÓBKOWANIE
SYGNAŁU
2
Próbkowanie równomierne
• Definicja: Proces reprezentowania sygnału
o czasie ciągłym za pomocą ciągu próbek
pobieranych w dyskretnych chwilach czasu.
• W praktyce próbkowanie przeprowadza się
poprzez podanie sygnału ciągłego na
wejście przetwornika analogowo-cyfrowego
(A/C), którego sygnał wyjściowy jest
ciągiem wartości cyfrowych.
3
• Aliasing: Niejednoznaczność postaci sygnału w dziedzinie
częstotliwości
W dziedzinie częstotliwości istnieje niejednoznaczność
związana z próbkami sygnału o czasie dyskretnym, która nie
istnieje w świecie sygnałów ciągłych.
• Przykładowo dla danego ciągu próbek:
X(0) = 0; X(1) = 0,866; X(2) = 0,866; X(3) = 0; X(4) = -0,866; X(5) = -0,866;
X(6) = 0
Daje się wykreślić nieskończenie wiele przebiegów
sinusoidalnych.
Sprowadza się to do stwierdzenia, iż same wartości próbek nie
określają jednoznacznie częstotliwości próbkowanego sygnału.
Próbkowanie równomierne
4
Próbkowanie równomierne
Rys. 1
(a) Wykres ciągu wartości o czasie dyskretnym,
(b) Wykres dwóch różnych sinusoid, które przechodzą przez punkty tego
ciągu.
5
Próbkowanie równomierne
•
Analiza matematyczna tej niejednoznaczności pozwala
nam skutecznie poradzić sobie z nią.
Próbkując z częstotliwością f
p
próbek / s
(tj. w równomiernych odstępach czasu t
p
) ciągły w
czasie
sygnał sinusoidalny
otrzymujemy wartości:
0. próbka:
1. próbka:
2. próbka:
…
…
n-ta próbka:
)
2
sin(
)
(
0
t
f
t
x
)
0
2
sin(
)
(
0
p
t
f
t
x
)
1
2
sin(
)
(
0
p
t
f
t
x
)
2
2
sin(
)
(
0
p
t
f
t
x
)
2
sin(
)
(
0
p
nt
f
t
x
6
Próbkowanie równomierne
2
)
2
sin(
)
sin(
m
)
)
(
2
sin(
)
2
2
sin(
)
2
sin(
)
(
0
0
0
p
p
p
p
nt
nt
m
f
m
nt
f
nt
f
n
x
)
)
(
2
sin(
)
(
0
p
p
nt
t
k
f
n
x
)
)
(
2
sin(
)
2
sin(
)
(
0
0
p
p
p
nt
kf
f
nt
f
n
x
• Wartości funkcji sinus powtarzają się co
radianów
( ), gdzie m to dowolna
liczba całkowita, możemy zapisać:
Przyjmując m jako wielokrotność n, tj. m = kn
możemy zapisać:
• Porównując zależności na x(n) dostajemy:
7
Próbkowanie równomierne
• Wynika z tego, że czynniki f
0
oraz f
0
+ kf
p
są równe.
Oznacza to że ciąg próbek x(n) reprezentuje
zarówno przebieg sinusoidalny o częstotliwości f
0
Hz
jak i przebiegi o innych częstotliwościach, tj. f
0
+ kf
p
.
• Innymi słowy:
Podczas próbkowania z szybkością f
p
próbek/s,
jeśli k jest dowolną liczbą całkowitą, nie
jesteśmy w stanie rozróżnić spróbkowanych
wartości przebiegu sinusoidalnego o
częstotliwości f
0
Hz oraz przebiegu
sinusoidalnego o częstotliwości f
0
+ kf
p
Hz.
8
Próbkowanie równomierne
)
)
(
2
sin(
)
2
sin(
)
(
0
0
p
p
p
nt
kf
f
nt
f
n
x
Rys. Efekt niejednoznaczności częstotliwości, próbkowanie z szybkością 6 kHz przebiegu o częstotliwości 7 kHz.
• W celu zilustrowania zależności
rozważmy próbkowanie sygnał sinusoidalny o częstotliwości 7 kHz
z szybkością 6 kHz. Przedstawione jest to na poniższym rysunku.
9
Próbkowanie równomierne
,
7
0
kHz
f
,
6kHz
f
p
,
1
k
kHz
kf
f
p
1
)]
6
1
(
7
[
0
• Widać również, że wartości próbek nie zmieniałyby
się, gdybyśmy próbkowali przebieg o częstotliwości 1
kHz. Dla tego przykładu:
• Problemem jest to, że żaden schemat przetwarzania
nie jest w stanie określić, czy wartości próbek
reprezentują przebieg sinusoidalny o częstotliwości 7
kHz, czy 1 kHz.
10
Próbkowanie równomierne
,
4
0
kHz
f
,
6kHz
f
p
,
1
k
kHz
kf
f
p
2
)]
6
1
(
4
[
0
Rys.2 Efekt niejednoznaczności częstotliwości, próbkowanie z szybkością 6 kHz przebiegu o częstotliwości 4 kHz.
• Kolejny przykład dwuznaczności częstotliwości, który
nazywamy aliasingiem, pokazano dla przebiegu
sinusoidalnego o częstotliwości 4 kHz. Może on być
pomylony z sygnałem o częstotliwości 2 kHz.
11
Próbkowanie równomierne
Hz
f
p
2
2
p
f
• Gdy nasze zainteresowanie ograniczymy pasmem
częstotliwości do zakresu
częstotliwości , nasze dwa powyższe
przykłady nabierają specjalnego znaczenia.
Częstotliwość to bardzo ważna wielkość w
teorii próbkowania I nosi ona w literaturze różne
nazwy, jak krytyczna częstotliwość Nyquista,
połowa częstotliwości Nyquista oraz częstotliwość
zagięcia.
12
Próbkowanie równomierne
Rys.3 Zależności widmowe pokazujące aliasing przebiegów sinusoidalnych o częstotliwościach 7 i 4 kHz.
• Poniższy rysunek stanowi graficzne przedstawienie dwóch
przykładów aliasingu.
Zainteresowani jesteśmy składowymi częstotliwości, które
są przenoszone w przedziale częstotliwości od do
.
Zauważamy, że poziome usytuowanie kropek wskazuje
jakie częstotliwości są ze sobą związane poprzez aliasing.
2
p
f
2
p
f
13
Próbkowanie równomierne
Rys.4 Aliasing przy wielokrotnościach szybkości próbkowania.
• Na poniższym rysunku zobrazowana została ogólna zasada
aliasingu za pomocą wzorca piłozębnego. Widać, z niego, że
wartości szczytowe wzorca są położone przy całkowitych
wielokrotnościach częstotliwości f
p
.
14
Próbkowanie równomierne
•Dla przytoczonego przykładu przebieg ten wygląda następująco:
Rys.5 Aliasing przebiegu sinusoidalnego o częstotliwości 7 kHz do 1 kHz, 13 i
19 kHz
Możemy więc ponownie stwierdzić, że reprezentacje sygnału ciągłego
w postaci ciągów dyskretnych mają nieuniknione niejednoznaczności w
ich dziedzinach częstotliwości i muszą one być brane pod uwagę we
wszystkich praktycznych algorytmach cyfrowego przetwarzania sygnałów.
15
Próbkowanie sygnałów
dolnopasmowych
• Przeanalizujmy próbkowanie sygnału
rzeczywistego ciągłego, którego widma są równe
zeru powyżej +B Hz oraz poniżej częstotliwości –
B, tj. sygnał ten ma ograniczone pasmo.
16
Próbkowanie sygnałów
dolnopasmowych
2
p
f
B
f
p
2
• Zakładając, że sygnał próbkujemy z częstotliwością f
p
,
możemy ocenić skutki próbkowania, czyli powielenie widma.
Ukazuje to widmo oryginalne wraz z nieskończoną ilością jego
powieleń. Okres powtarzania wynosi f
p
.
Aby odseparować powielenia widma przy częstotliwościach
, w praktyce podczas konwersji A/C stosuje się
częstotliwość próbkowania f
p
większą niż 2B. Związek
mówiący, że
znany jest jako kryterium Nyquista.
17
Próbkowanie sygnałów
dolnopasmowych
B
f
p
5
,
1
Rys.6 Nakładanie się częstotliwości i aliasing, kiedy szybkość próbkowania jest zbyt mała.
• Przykład:
Dla zobrazowania przyczyn nie spełnienia kryterium
Nyquista przyjmijmy, że . W rezultacie powielenia
widmowe zachodzą na widmo oryginalne w paśmie
podstawowym, powstają błędy aliasingu (rysunek poniżej).
18
Próbkowanie sygnałów
dolnopasmowych
• Informacja widmowa w pasmach od –B do –B/2 i
od B/2 do B została zniekształcona i nie wiemy
naprawdę, jakie będą wartości w tych obszarach
jeśli pojawił się aliasnig.
• W praktyce sygnał ciągły o szerokości pasma B
jest wraz z towarzyszącym mu szumem.
19
Próbkowanie sygnałów
dolnopasmowych
2
p
f
2
p
f
• Próbkowanie tego sygnały z częstotliwością większą niż 2B
zapobiega nakładaniu się na siebie powtórzeń widma
sygnału, lecz nadal pojawia się energia szumu w
interesującym nas paśmie w przedziale od do .
W praktyce rozwiązuje się ten problem stosując analogowy
dolnoprzepustowy filtr antyaliasingowy przed
przetwornikiem A/C, aby stłumić niepożądaną energię
sygnału o częstotliwościach spoza przedziału –B do B.