Sygnały i układy
liniowe
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
•Podstawowe określenia
•Przykłady sygnałów & układów ich
przetwarzania
•Rodzaje modeli sygnałów i układów ich
przetwarzania
•Układy liniowe i stacjonarne (ULS)
•Transmitancja ULS
•Wyznaczanie odpowiedzi ULS
•Przekształcanie sygnału harmonicznego
w ULS
•Podsumowanie
Podstawowe określenia
układ
(system)
t
x
1
t
x
i
t
x
k
t
y
m
t
y
j
t
y
1
sygnały
wejściowe
sygnały
wyjściowe
Sygnał
- zmienność wielkości fizycznej w funkcji
(t;x,y,z).
Sygnały wejściowe
- wielkości oddziaływujące na
badany układ.
Sygnały wyjściowe
- wielkości opisujące zachowanie
układu.
Teoria sygnałów
zajmuje się
modelowaniem:
•
właściwości sygnałów
,
•
przetwarzania sygnałów
w układach.
Model sygnału/układu - opis
sygnału/działania układu
za pomocą funkcji lub równań
matematycznych.
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Przykłady sygnałów &
układów ich
przetwarzania
PRZENOSZENIE INFORMACJI NA
ODLEGŁOŚĆ:
• sygnały radiowe & telewizyjne,
• telefonia stacjonarna & mobilna
ZBIERANIE INFORMACJI „Z OBIEKTU”:
• ultrasonografia,
• tomografia,
• techniki radarowe,
• analizy giełdowe,
• trendy demograficzne.
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Rodzaje modeli sygnałów i
układów ich przetwarzania
m. analogowe
m. dyskretne
m. stacjonarne
m. niestacjonarne
m. liniowe
m. nieliniowe
p. skupione
p. rozproszone
m. deterministyczne
m. losowe
m. statyczne
m. dynamiczne
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Modele analogowe
Modele analogowe
cechują się tym, że sygnały
wejściowe
oraz wyjściowe zmieniają się w czasie w sposób
ciągły
.
Kompresja
300
100
,
1
0
,
1
ln
1
ln
x
x
y
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
y
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Kompresja
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
sygnał przed kompresją
sygnał po kompresji
Celem kompresji jest „wzmocnienie” sygnałów
o niskim poziomie, tym silniejsze im słabszy jest sygnał.
Modele analogowe
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Modele dyskretne
Modele dyskretne
cechują się tym, że sygnały
wejściowe
oraz wyjściowe zmieniają się w czasie w sposób
skokowy
.
bufor
kanał
3
t
0
1
2
4
5
6
7
1
t
5
t
4
t
3
t
2
t
6
t
o
T
5
T
4
T
3
T
2
T
1
T
6
T
n
t
t
N
t
N
Zliczanie pakietów jest formą
opisu strumienia ruchu.
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Modele statyczne
Charakterystyki systemów statycznych
nie
zależą od czasu.
1
,
2
,
1
,
0
,
1
1
Pr
L
L
j
j
p
j
j
Buforowanie pakietów jest najprostszą formą
multipleksacji strumieni ruchu w kanale.
bufor
kanał
j
L
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Modele dynamiczne
Charakterystyki systemów dynamicznych
zależą
od czasu.
bufor
kanał
t
t
L
Aproksymacja dyfuzyjna
t
t
dt
t
dL
t
L
t
t
t
t
t
t
L
t
t
L
0
Pr
1
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Modele stacjonarne
Modele stacjonarne
cechują się tym, że
parametry sygnałów oraz układu przetwarzania
są
stałe w czasie
.
WEJ
WYJ
ITERACJA
LOGISTYCZNA
SPRZĘŻENIE ZWROTNE
1
n
1
n
n
x
1
ax
x
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Modele stacjonarne
1
n
1
n
n
x
1
ax
x
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Modele niestacjonarne
Modele niestacjonarne
cechują się tym, że
parametry sygnałów oraz układu przetwarzania
są
zmienne w czasie
.
Modulacja częstotliwości FM
Chwilowa częstotliwość sygnału jest
proporcjonalna do poziomu sygnału
modulującego.
t
kx
t
d
x
k
t
A
t
t
A
t
t
o
o
0
0
FM
cos
cos
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Modele liniowe
W
modelach liniowych
reakcja układu na złożony
sygnał
wejściowy
jest sumą reakcji składowych
.
t
x
a
t
x
a
t
x
a
t
x
a
2
2
1
1
2
2
1
1
R
R
R
Filtr preemfazy
2
1
2
1
1
,
1
rC
RC
R
r
R
C
r
x
1
(t
)
y
1
(t
)
x
2
(t
)
y
2
(t
)
„Teoria sygnałów” Zdzisław
Papir
Modele liniowe
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
-2
10
-1
10
0
f [dek]
H
(f
)
[d
B
]
Charakterystyka log-log a-cz
filtru preemfazy f2/f1=100
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Modele nieliniowe
W
modelach nieliniowych
reakcja układu na
złożony sygnał
wejściowy
nie jest sumą
reakcji składowych.
Prawo Webera-Fechnera
Zmiana wrażenia jest wprost proporcjonalna
do względnej zmiany bodźca.
b
w
b
b
w
b
b
w
ln
d
d
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Modele z parametrami
skupionymi
W układach z
parametrami skupionymi
energia
jest gromadzona (tracona) w
izolowanych
punktach układu
, a sygnały z punktu do punktu
przenoszą się
bezzwłocznie
.
R
C
r
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Modele z parametrami
rozproszonymi
W układach z
parametrami rozproszonymi
energia jest gromadzona (tracona) w
każdym
punkcie układu
, a sygnały z punktu do punktu
przenoszą się
z opóźnieniem
.
• linie elektroenergetyczne
• sieć koncentryczna telewizji kablowej CATV
• sieć dostępowa DSL (Digital Subscriber Line)
• obwody drukowane PCB (> 100 MHz)
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Modele
deterministyczne
W
modelach deterministycznych
zmienność
sygnału przedstawiamy w
sposób funkcyjny
czy tabelaryczny
, co umożliwia precyzyjne
określenie przyszłych wartości sygnału.
Sygnał dwuwstęgowej
modulacji amplitudy AM
t
f
t
f
m
A
t
c
m
c
2
cos
2
cos
1
t
f
m
A
t
e
m
c
2
cos
1
AM
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Modele losowe
W
modelach losowych
nie można przedstawić
zmienności sygnału w sposób funkcyjny czy
tabelaryczny; zmienność sygnału
charakteryzujemy w sposób
probabilistyczny
.
+
–
p
p
1
p
p
p
1
Graf przejść dla kodu Millera
0
Pr
1
,
1
Pr
p
p
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Kod Millera
+
–
p
p
1
p
p
p
1
0
Pr
1
1
Pr
p
p
1 0
0
0
1 1
0
0
0
0 1 1
1
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Kod Millera
+
–
p
p
1
p
p
p
1
0
Pr
1
1
Pr
p
p
S(
)
Widmo gęstości mocy
kod bipolarny (NRZ)
kod Millera
kod bifazowy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Układy liniowe i stacjonarne
(ULS)
ULS
t
x
t
y
Liniowość
t
y
a
t
y
a
t
x
a
t
x
a
t
y
t
x
t
y
t
x
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
t
y
t
x
t
y
t
x
t
y
t
x
Stacjonarność
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Wymuszenie
wykładnicze
Liniowość
ULS
st
e
e
t
x
?
t
y
e
?
t
y
e
t
x
e
st
e
Stacjonarność
t
y
e
e
e
t
y
e
e
s
st
s
e
st
t
y
e
e
e
t
y
e
e
t
s
st
s
e
st
s
e
e
e
t
y
t
y
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Wymuszenie
wykładnicze
ULS
st
e
e
t
x
s
e
e
e
t
y
t
y
s
e
e
e
t
y
t
y
Jedynym rozwiązaniem równania funkcyjnego:
jest sygnał wykładniczy:
st
e
e
s
H
t
y
o amplitudzie H(s) uzależnionej od stałej s
C
.
Sygnał wykładniczy jest niezmiennikiem
liniowych
układów stacjonarnych (ULS).
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Wymuszenie
wykładnicze
ULS
st
e
e
t
x
st
e
e
s
H
t
y
Załóżmy, że istnieje dodatkowe, „niewykładnicze”
rozwiązanie v(t) równania funkcyjnego, a więc:
s
e
t
v
t
v
Odejmujemy obustronnie tożsamość:
st
s
t
s
e
s
H
e
e
s
H
s
st
t
s
s
st
s
t
s
e
t
v
e
s
H
t
v
e
s
H
e
t
v
e
s
H
e
t
v
e
s
H
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Wymuszenie
wykładnicze
s
e
t
z
t
z
e
t
v
e
s
H
t
v
e
s
H
s
st
t
s
Wnioskujemy zatem, że:
st
st
e
s
H
t
v
t
v
e
s
H
Stwierdzamy, że:
Nie otrzymujemy nowych rozwiązań (co kończy dowód):
st
e
s
H
t
v
2
1
0
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Transmitancja ULS
ULS
st
e
e
t
x
st
e
e
s
H
t
y
st
e
e
t
y
s
H
Transmitancja:
jest definiowana jako iloraz odpowiedzi ULS
na wymuszenie wykładnicze do tego wymuszenia;
transmitancja może być interpretowana jako
„wzmocnienie” ULS.
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Impedancja ULS (R, L,
C)
st
e
e
e
e
t
u
t
i
t
u
s
Z
Impedancja
(transmitancja napięciowo-prądowa):
ULS
st
e
e
t
i
st
e
e
s
Z
t
u
R
C
L
1
Cs
Ls
R
s
Z
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Admitancja ULS (R, L,
C)
st
e
e
e
e
t
i
t
u
t
i
s
Y
Admitancja
(transmitancja prądowo-napięciowa):
ULS
st
e
e
t
u
st
e
e
s
Y
t
i
R
C
L
Cs
Ls
R
s
Y
1
1
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Transmitancja ULS
ULS
t
x
t
y
t
x
b
dt
t
x
d
b
dt
t
x
d
b
dt
t
x
d
b
t
y
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Modelem matematycznym liniowych układów stacjonarnych
(o parametrach skupionych) są równania różniczkowe
(zwyczajne, liniowe, o stałych współczynnikach, niejednorodne):
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Transmitancja ULS
t
x
b
dt
t
x
d
b
dt
t
x
d
b
dt
t
x
d
b
t
y
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Wyznaczamy transmitancję:
st
st
st
n
n
st
n
n
st
st
st
m
m
st
m
m
e
b
se
b
e
s
b
e
s
b
e
s
H
a
se
s
H
a
e
s
s
H
a
e
s
s
H
a
0
1
1
1
0
1
1
1
s
V
s
W
a
s
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
b
s
H
m
n
m
m
m
m
n
n
n
n
0
1
1
1
0
1
1
1
Transmitancja jest funkcją wymierną:
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Transmitancja ULS (R,
L, C)
Przy wyznaczaniu transmitancji ULS
(R, L, C)
korzystamy z szeregu twierdzeń:
• szeregowe połączenie impedancji,
• równoległe połączenie impedancji,
• prądowe prawo Kirchoffa,
• napięciowe prawo Kirchoffa,
• twierdzenie Thevenina,
• twierdzenie Nortona,
• wzajemne transformacje źródeł
prądowych
oraz źródeł napięciowych.
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Filtr preemfazy
2
1
2
1
1
,
1
rC
RC
R
r
R
1/Cs
r
x(t)
y(t)
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Wyznaczanie odpowiedzi
ULS
t
x
b
dt
t
x
d
b
dt
t
x
d
b
dt
t
x
d
b
t
y
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
ULS
t
x
t
y
t
y
t
y
t
y
w
p
y
p
(t) - składowa przejściowa (swobodna),
zanikająca do zera, wynikająca z warunków
początkowych
y
w
(t) - składowa wymuszona zależna od
wymuszenia x(t)
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Składowa przejściowa
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
a
z
a
z
a
z
a
t
y
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
ULS
t
x
t
y
m
i
t
z
i
i
e
c
t
y
1
p
równanie charakterystyczne
z
1
, z
2
,...,z
m
- pojedyncze pierwiastki
rzeczywiste
równania
charakterystycznego
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Składowa wymuszona
ULS
st
e
st
e
s
H
t
y
ULS
n
t
s
n
n
e
X
t
x
t
s
n
n
n
n
e
s
H
X
t
y
w
Dekompozycja dowolnego sygnału x(t)
na składowe wykładnicze X
n
exp(s
n
t)
pozwala wyznaczyć odpowiedź ULS na
dowolny sygnał wejściowy.
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Przekształcanie
sygnału
harmonicznego w ULS
ULS
st
e
st
e
s
H
ULS
t
j
e
t
j
e
j
H
ULS
t
j
t
j
e
e
t
2
1
cos
t
j
t
j
e
j
H
e
j
H
2
1
Odpowiedź ULS na wymuszenie harmoniczne:
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Wymuszenie
harmoniczne
ULS
t
j
t
j
e
e
t
t
x
2
1
cos
t
j
t
j
e
j
H
e
j
H
t
y
2
1
Transmitancja H(j) jako funkcja wymierna spełnia
warunek symetrii hermitowskiej:
j
H
j
H
*
a w zapisie wykładniczym:
j
j
j
e
A
e
A
e
A
j
H
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Wymuszenie
harmoniczne
ULS
t
j
t
j
e
e
t
t
x
2
1
cos
t
j
t
j
e
j
H
e
j
H
t
y
2
1
Odpowiedź ULS na wymuszenie harmoniczne:
t
A
t
y
cos
A(
) - charakterystyka amplitudowo-
częstotliwościowa
(
) - charakterystyka fazowo-
częstotliwościowa
Cha-ka a-cz A(
) jest funkcją parzystą, A(
) = A(-
)
Cha-ka f-cz
(
) jest funkcją nieparzystą,
(
) = -
(-
)
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Filtr preemfazy
2
1
2
1
1
,
1
rC
RC
R
r
R
1/Cs
r
x(t)
y(t)
2
1
2
2
2
1
2
1
,
,
1
1
1
1
1
1
r
R
R
r
R
r
j
H
A
j
j
R
r
j
H
rCs
RCs
R
r
s
H
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Filtr preemfazy
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
-2
10
-1
10
0
f [dek]
H
(f
)
[d
B
]
Charakterystyka log-log a-cz
filtru preemfazy f2/f1=100
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Filtr Butterwortha
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
-4
10
-2
10
0
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
-200
-150
-100
-50
0
cha-ka a-cz
n = 2, f
g
= 1
kHz
cha-ka f-cz
n = 2, f
g
= 1
kHz
n
g
j
H
A
2
2
2
1
1
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Filtr Butterwortha
1
2
,
,
2
,
1
0
0
2
2
n
k
d
A
d
d
A
d
k
k
k
k
n
g
j
H
A
2
2
2
1
1
Filtry Butterwortha cechują się maksymalnie
płaską
cha-ką a-cz w pasmie przewodzenia oraz
zaporowym.
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Filtr Czebyszewa
g
n
T
j
H
A
2
2
2
2
1
1
,
4
,
3
,
2
1
2
,
2
1
2
2
1
n
v
T
v
vT
v
T
v
v
T
v
v
T
n
n
n
Wielomiany
Czebyszewa:
1
2
1
,
1
Poziom fluktuacji A
2
(
)
w pasmie przewodzenia:
Cha-ka a-cz filtru Czebyszewa opada szybciej
aniżeli cha-ka a-cz filtru Butterwortha (tego samego rzędu).
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Filtr Czebyszewa
g
n
T
j
H
A
2
2
2
2
1
1
2
2
1
n = 6
g
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Podsumowanie
•
Sygnał wykładniczy jest niezmiennikiem liniowych
układów stacjonarnych (ULS).
• Transmitancja ULS jest definiowana jako iloraz odpowiedzi ULS
na wymuszenie wykładnicze do tego wymuszenia.
• Modelem matematycznym ULS (o parametrach skupionych)
są równania różniczkowe.
•
Transmitancja ULS zbudowanego z elementów (R, L, C)
może być wyznaczona z parametrów równania różniczkowego lub z
wykorzystaniem twierdzeń teorii obwodów.
• Odpowiedź dowolnego układu (R, L, C) na sygnał harmoniczny jest
sygnałem harmonicznym o takiej samej częstotliwości; amplitudę oraz
fazę można wyznaczyć z transmitancji układu (R, L, C).
•
Amplituda odpowiedzi układu (R, L, C) na wymuszenie harmoniczne
jest określona przez charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową.
• Faza odpowiedzi układu (R, L, C) na wymuszenie harmoniczne jest
określona przez charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową.
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir