Sygnały i układy
liniowe

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

•Podstawowe określenia

•Przykłady sygnałów & układów ich
przetwarzania

•Rodzaje modeli sygnałów i układów ich
przetwarzania

•Układy liniowe i stacjonarne (ULS)

•Transmitancja ULS

•Wyznaczanie odpowiedzi ULS

•Przekształcanie sygnału harmonicznego
w ULS

•Podsumowanie

Podstawowe określenia

układ

(system)

 

t

x

1

 

t

x

i

 

t

x

k

 

t

y

m

 

t

y

j

 

t

y

1

sygnały

wejściowe

sygnały

wyjściowe

Sygnał

- zmienność wielkości fizycznej w funkcji

(t;x,y,z).

Sygnały wejściowe

- wielkości oddziaływujące na

badany układ.

Sygnały wyjściowe

- wielkości opisujące zachowanie

układu.

Teoria sygnałów

zajmuje się

modelowaniem:

•

właściwości sygnałów

,

•

przetwarzania sygnałów

w układach.

Model sygnału/układu - opis
sygnału/działania układu
za pomocą funkcji lub równań
matematycznych.

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Przykłady sygnałów &
układów ich
przetwarzania

PRZENOSZENIE INFORMACJI NA
ODLEGŁOŚĆ:
• sygnały radiowe & telewizyjne,
• telefonia stacjonarna & mobilna

ZBIERANIE INFORMACJI „Z OBIEKTU”:
• ultrasonografia,
• tomografia,
• techniki radarowe,
• analizy giełdowe,
• trendy demograficzne.

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Rodzaje modeli sygnałów i
układów ich przetwarzania

m. analogowe
m. dyskretne

m. stacjonarne

m. niestacjonarne

m. liniowe

m. nieliniowe

p. skupione

p. rozproszone

m. deterministyczne
m. losowe

m. statyczne
m. dynamiczne

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Modele analogowe

Modele analogowe

cechują się tym, że sygnały

wejściowe
oraz wyjściowe zmieniają się w czasie w sposób

ciągły

.

Kompresja











300

100

,

1

0

,

1

ln

1

ln





















x

x

y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Kompresja



0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

sygnał przed kompresją

sygnał po kompresji

Celem kompresji jest „wzmocnienie” sygnałów
o niskim poziomie, tym silniejsze im słabszy jest sygnał.

Modele analogowe

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Modele dyskretne

Modele dyskretne

cechują się tym, że sygnały

wejściowe
oraz wyjściowe zmieniają się w czasie w sposób

skokowy

.

bufor

kanał

3

t

0

1

2

4

5

6

7

1

t

5

t

4

t

3

t

2

t

6

t

o

T

5

T

4

T

3

T

2

T

1

T

6

T

   

n

t

t

N 

 

t

N

Zliczanie pakietów jest formą
opisu strumienia ruchu.

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Modele statyczne

Charakterystyki systemów statycznych

nie

zależą od czasu.



 



































1

,

2

,

1

,

0

,

1

1

Pr

L

L



j

j

p

j

j

Buforowanie pakietów jest najprostszą formą
multipleksacji strumieni ruchu w kanale.

bufor

kanał





j



L

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Modele dynamiczne

Charakterystyki systemów dynamicznych

zależą

od czasu.

bufor

kanał

 

t





 

t

L

Aproksymacja dyfuzyjna



  

 

 

 

 





 

   















t

t

dt

t

dL

t

L

t

t

t

t

t

t

L

t

t

L

























0

Pr

1

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Modele stacjonarne

Modele stacjonarne

cechują się tym, że

parametry sygnałów oraz układu przetwarzania
są

stałe w czasie

.

WEJ

WYJ

ITERACJA

LOGISTYCZNA

SPRZĘŻENIE ZWROTNE





1

n

1

n

n

x

1

ax

x











„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Modele stacjonarne





1

n

1

n

n

x

1

ax

x











0

100

200

300

400

500

600

700

800

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Modele niestacjonarne

Modele niestacjonarne

cechują się tym, że

parametry sygnałów oraz układu przetwarzania
są

zmienne w czasie

.

Modulacja częstotliwości FM

Chwilowa częstotliwość sygnału jest
proporcjonalna do poziomu sygnału
modulującego.

 

 

 

 

 

t

kx

t

d

x

k

t

A

t

t

A

t

t

o

o





















0

0

FM

cos

cos

















„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Modele liniowe

W

modelach liniowych

reakcja układu na złożony

sygnał
wejściowy

jest sumą reakcji składowych

.

 

 





 





 





t

x

a

t

x

a

t

x

a

t

x

a

2

2

1

1

2

2

1

1

R

R

R







Filtr preemfazy

2

1

2

1

1

,

1

















rC

RC

R

r

R

C

r

x

1

(t

)

y

1

(t

)

x

2

(t

)

y

2

(t

)

„Teoria sygnałów” Zdzisław

Papir

Modele liniowe

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

-2

10

-1

10

0

f [dek]

H

(f

)

[d

B

]

Charakterystyka log-log a-cz

filtru preemfazy f2/f1=100

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Modele nieliniowe

W

modelach nieliniowych

reakcja układu na

złożony sygnał
wejściowy

nie jest sumą

reakcji składowych.

Prawo Webera-Fechnera

Zmiana wrażenia jest wprost proporcjonalna
do względnej zmiany bodźca.

b

w

b

b

w

b

b

w

ln

d

d











„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Modele z parametrami
skupionymi

W układach z

parametrami skupionymi

energia

jest gromadzona (tracona) w

izolowanych

punktach układu

, a sygnały z punktu do punktu

przenoszą się

bezzwłocznie

.

R

C

r

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Modele z parametrami
rozproszonymi

W układach z

parametrami rozproszonymi

energia jest gromadzona (tracona) w

każdym

punkcie układu

, a sygnały z punktu do punktu

przenoszą się

z opóźnieniem

.

• linie elektroenergetyczne

• sieć koncentryczna telewizji kablowej CATV

• sieć dostępowa DSL (Digital Subscriber Line)

• obwody drukowane PCB (> 100 MHz)

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Modele
deterministyczne

W

modelach deterministycznych

zmienność

sygnału przedstawiamy w

sposób funkcyjny

czy tabelaryczny

, co umożliwia precyzyjne

określenie przyszłych wartości sygnału.

Sygnał dwuwstęgowej
modulacji amplitudy AM

 





t

f

t

f

m

A

t

c

m

c







2

cos

2

cos

1



 





t

f

m

A

t

e

m

c



2

cos

1

AM







„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Modele losowe

W

modelach losowych

nie można przedstawić

zmienności sygnału w sposób funkcyjny czy
tabelaryczny; zmienność sygnału
charakteryzujemy w sposób

probabilistyczny

.

+

–









p

p



1

p

p

p



1

Graf przejść dla kodu Millera

 

 

0

Pr

1

,

1

Pr







p

p

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Kod Millera

+

–









p

p



1

p

p

p



1

 

 

0

Pr

1

1

Pr







p

p

1 0

0

0

1 1

0

0

0

0 1 1

1

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Kod Millera

+

–









p

p



1

p

p

p



1

 

 

0

Pr

1

1

Pr







p

p



S(



)

Widmo gęstości mocy

kod bipolarny (NRZ)

kod Millera

kod bifazowy

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Układy liniowe i stacjonarne
(ULS)

ULS

 

t

x

 

t

y

Liniowość

 

 

 

 

 

 

 

 

t

y

a

t

y

a

t

x

a

t

x

a

t

y

t

x

t

y

t

x

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1













 

 

t

y

t

x 

 

 





















t

y

t

x

t

y

t

x

Stacjonarność

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Wymuszenie
wykładnicze

Liniowość

ULS

 

st

e

e

t

x



 

?



t

y

e

 

 

?







t

y

e

t

x

e

st

e

Stacjonarność

 

 

t

y

e

e

e

t

y

e

e

s

st

s

e

st









 

























t

y

e

e

e

t

y

e

e

t

s

st

s

e

st





 





s

e

e

e

t

y

t

y





„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Wymuszenie
wykładnicze

ULS

 

st

e

e

t

x







 





s

e

e

e

t

y

t

y









 





s

e

e

e

t

y

t

y





Jedynym rozwiązaniem równania funkcyjnego:

jest sygnał wykładniczy:

 

 

st

e

e

s

H

t

y



o amplitudzie H(s) uzależnionej od stałej s 

C

.

Sygnał wykładniczy jest niezmiennikiem
liniowych
układów stacjonarnych (ULS).

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Wymuszenie
wykładnicze

ULS

 

st

e

e

t

x



 

 

st

e

e

s

H

t

y



Załóżmy, że istnieje dodatkowe, „niewykładnicze”
rozwiązanie v(t) równania funkcyjnego, a więc:



  





s

e

t

v

t

v





Odejmujemy obustronnie tożsamość:

 





 

st

s

t

s

e

s

H

e

e

s

H









 









 

 

 









 

 



















s

st

t

s

s

st

s

t

s

e

t

v

e

s

H

t

v

e

s

H

e

t

v

e

s

H

e

t

v

e

s

H





















„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Wymuszenie
wykładnicze

 









 

 

















































s

e

t

z

t

z

e

t

v

e

s

H

t

v

e

s

H

s

st

t

s







































Wnioskujemy zatem, że:

 

 

 

 











st

st

e

s

H

t

v

t

v

e

s

H

Stwierdzamy, że:

Nie otrzymujemy nowych rozwiązań (co kończy dowód):

 

 











st

e

s

H

t

v

2

1

0

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Transmitancja ULS

ULS

 

st

e

e

t

x



 

 

st

e

e

s

H

t

y



 

 

st

e

e

t

y

s

H



Transmitancja:

jest definiowana jako iloraz odpowiedzi ULS
na wymuszenie wykładnicze do tego wymuszenia;
transmitancja może być interpretowana jako
„wzmocnienie” ULS.

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Impedancja ULS  (R, L,

C)

 

 

 

 

st

e

e

e

e

t

u

t

i

t

u

s

Z





Impedancja
(transmitancja napięciowo-prądowa):

ULS

 

st

e

e

t

i



 

 

st

e

e

s

Z

t

u



R

C

L

 

 













 1

Cs

Ls

R

s

Z

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Admitancja ULS  (R, L,

C)

 

 

 

 

st

e

e

e

e

t

i

t

u

t

i

s

Y





Admitancja
(transmitancja prądowo-napięciowa):

ULS

 

st

e

e

t

u



 

 

st

e

e

s

Y

t

i



R

C

L

   

















Cs

Ls

R

s

Y

1

1

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Transmitancja ULS

ULS

 

t

x

 

t

y

 

 

 

 

 

 

 

 

t

x

b

dt

t

x

d

b

dt

t

x

d

b

dt

t

x

d

b

t

y

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

n

n

n

n

n

n

m

m

m

m

m

m

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

































Modelem matematycznym liniowych układów stacjonarnych
(o parametrach skupionych) są równania różniczkowe
(zwyczajne, liniowe, o stałych współczynnikach, niejednorodne):

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Transmitancja ULS

 

 

 

 

 

 

 

 

t

x

b

dt

t

x

d

b

dt

t

x

d

b

dt

t

x

d

b

t

y

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

n

n

n

n

n

n

m

m

m

m

m

m

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1





































Wyznaczamy transmitancję:

 

 

 

 

st

st

st

n

n

st

n

n

st

st

st

m

m

st

m

m

e

b

se

b

e

s

b

e

s

b

e

s

H

a

se

s

H

a

e

s

s

H

a

e

s

s

H

a

0

1

1

1

0

1

1

1

































 

 

 

s

V

s

W

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

H

m

n

m

m

m

m

n

n

n

n





























0

1

1

1

0

1

1

1





Transmitancja jest funkcją wymierną:

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Transmitancja ULS  (R,

L, C)

Przy wyznaczaniu transmitancji ULS 

(R, L, C)
korzystamy z szeregu twierdzeń:
• szeregowe połączenie impedancji,
• równoległe połączenie impedancji,
• prądowe prawo Kirchoffa,
• napięciowe prawo Kirchoffa,
• twierdzenie Thevenina,
• twierdzenie Nortona,
• wzajemne transformacje źródeł
prądowych
oraz źródeł napięciowych.

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Filtr preemfazy

2

1

2

1

1

,

1

















rC

RC

R

r

R

1/Cs

r

x(t)

y(t)

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Wyznaczanie odpowiedzi
ULS

 

 

 

 

 

 

 

 

t

x

b

dt

t

x

d

b

dt

t

x

d

b

dt

t

x

d

b

t

y

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

n

n

n

n

n

n

m

m

m

m

m

m

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1





































ULS

 

t

x

 

t

y

 

 

 

t

y

t

y

t

y

w

p





y

p

(t) - składowa przejściowa (swobodna),

zanikająca do zera, wynikająca z warunków
początkowych
y

w

(t) - składowa wymuszona zależna od

wymuszenia x(t)

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Składowa przejściowa

 

 

 

 

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1































a

z

a

z

a

z

a

t

y

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m





ULS

 

t

x

 

t

y

 







m

i

t

z

i

i

e

c

t

y

1

p

równanie charakterystyczne

z

1

, z

2

,...,z

m

- pojedyncze pierwiastki

rzeczywiste
równania
charakterystycznego

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Składowa wymuszona

ULS

st

e

 

 

st

e

s

H

t

y 

ULS

 





n

t

s

n

n

e

X

t

x

 

 

t

s

n

n

n

n

e

s

H

X

t

y





w

Dekompozycja dowolnego sygnału x(t)
na składowe wykładnicze X

n

exp(s

n

t)

pozwala wyznaczyć odpowiedź ULS na
dowolny sygnał wejściowy.

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Przekształcanie
sygnału
harmonicznego w ULS

ULS

st

e

 

st

e

s

H

ULS

t

j

e



 

t

j

e

j

H





ULS





t

j

t

j

e

e

t















2

1

cos

 









t

j

t

j

e

j

H

e

j

H















2

1

Odpowiedź ULS na wymuszenie harmoniczne:

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Wymuszenie
harmoniczne

ULS

 





t

j

t

j

e

e

t

t

x

















2

1

cos

 

 









t

j

t

j

e

j

H

e

j

H

t

y

















2

1

Transmitancja H(j) jako funkcja wymierna spełnia

warunek symetrii hermitowskiej:

 









j

H

j

H





*

a w zapisie wykładniczym:

 

 

 

 

 

 

 































j

j

j

e

A

e

A

e

A

j

H

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Wymuszenie
harmoniczne

ULS

 





t

j

t

j

e

e

t

t

x

















2

1

cos

 

 









t

j

t

j

e

j

H

e

j

H

t

y

















2

1

Odpowiedź ULS na wymuszenie harmoniczne:

 

 

 

















t

A

t

y

cos

A(



) - charakterystyka amplitudowo-

częstotliwościowa



(



) - charakterystyka fazowo-

częstotliwościowa

Cha-ka a-cz A(



) jest funkcją parzystą, A(



) = A(-



)

Cha-ka f-cz



(



) jest funkcją nieparzystą,



(



) = -



(-



)

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Filtr preemfazy

2

1

2

1

1

,

1

















rC

RC

R

r

R

1/Cs

r

x(t)

y(t)

 

 

 

 















































2

1

2

2

2

1

2

1

,

,

1

1

1

1

1

1































r

R

R

r

R

r

j

H

A

j

j

R

r

j

H

rCs

RCs

R

r

s

H

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Filtr preemfazy

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

-2

10

-1

10

0

f [dek]

H

(f

)

[d

B

]

Charakterystyka log-log a-cz

filtru preemfazy f2/f1=100

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Filtr Butterwortha

10

-2

10

0

10

2

10

4

10

6

10

-4

10

-2

10

0

10

-2

10

0

10

2

10

4

10

6

-200

-150

-100

-50

0

cha-ka a-cz

n = 2, f

g

= 1

kHz

cha-ka f-cz

n = 2, f

g

= 1

kHz

 

 





n

g

j

H

A

2

2

2

1

1















„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Filtr Butterwortha

 

 

1

2

,

,

2

,

1

0

0

2

2











n

k

d

A

d

d

A

d

k

k

k

k







 

 





n

g

j

H

A

2

2

2

1

1















Filtry Butterwortha cechują się maksymalnie
płaską
cha-ką a-cz w pasmie przewodzenia oraz
zaporowym.

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Filtr Czebyszewa

 

 





g

n

T

j

H

A











2

2

2

2

1

1







 

 

 

 

 



,

4

,

3

,

2

1

2

,

2

1

2

2

1

















n

v

T

v

vT

v

T

v

v

T

v

v

T

n

n

n

Wielomiany
Czebyszewa:









1

2

1

,

1







Poziom fluktuacji A

2

(



)

w pasmie przewodzenia:

Cha-ka a-cz filtru Czebyszewa opada szybciej
aniżeli cha-ka a-cz filtru Butterwortha (tego samego rzędu).

„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Filtr Czebyszewa

 

 





g

n

T

j

H

A











2

2

2

2

1

1











2

2

1







n = 6

g





„Teoria sygnałów” 

Zdzisław Papir

Podsumowanie

•

Sygnał wykładniczy jest niezmiennikiem liniowych

układów stacjonarnych (ULS).

• Transmitancja ULS jest definiowana jako iloraz odpowiedzi ULS
na wymuszenie wykładnicze do tego wymuszenia.

• Modelem matematycznym ULS (o parametrach skupionych)
są równania różniczkowe.
•

Transmitancja ULS zbudowanego z elementów (R, L, C)

może być wyznaczona z parametrów równania różniczkowego lub z
wykorzystaniem twierdzeń teorii obwodów.

• Odpowiedź dowolnego układu (R, L, C) na sygnał harmoniczny jest
sygnałem harmonicznym o takiej samej częstotliwości; amplitudę oraz
fazę można wyznaczyć z transmitancji układu (R, L, C).
•

Amplituda odpowiedzi układu (R, L, C) na wymuszenie harmoniczne

jest określona przez charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową.

• Faza odpowiedzi układu (R, L, C) na wymuszenie harmoniczne jest
określona przez charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową.

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir