Zastosowanie teorii

podobieństwa

Takie same zjawiska fizyczne w układach

podobnych geometrycznie i podobnych pod

względem warunków granicznych mogą być do siebie

podobne pod względem rozkładu

charakterystycznych parametrów fizycznych:
np. przy przepływie dwu strug płynu wewnątrz

przewodnictwo o przekroju okrągłym występuje

podobieństwo hydrodynamiczne jeżeli tzw.

zredukowany profil prędkości jest w porównywalnych

przypadkach identyczny.

Warunki podobieństwa różnych przypadków

tego samego zjawiska można zbadać analizując

równanie różniczkowe opisujące zjawisko.

Do równania tego należy wprowadzić

bezwymiarowe parametry zredukowane (stosunek

lokalnej wartości parametru do umownej wartości

charakterystycznej). Wówczas w równaniu pojawią

się bezwymiarowe zespoły zbudowane z

charakterystycznych wartości parametrów co

występujących w równaniu.

Zespoły te nazywają się liczbami

podobieństwa lub kryteriami podobieństwa.

Jeżeli kryteria podobieństwa mają tę samą

wartość, równania różniczkowe z parametrami
zredukowanymi mają identyczną postać i
prowadzą do identycznych zredukowanych
rozkładów parametrów fizycznych 
RÓŻNE PRZYPADKI ZJAWISKA FIZYCZNEGO SĄ DO
SIEBIE PODOBNE, JEŻELI CHARAKTERYZUJĄ SIĘ TĄ
SAMĄ WARTOŚCIĄ LICZB PODOBIEŃSTWA.

Analiza wymiarowa

W złożonych zjawiskach fizycznych ustalenie

liczb podobieństwa za pomocą analizy równań
różniczkowych może być bardzo trudne. Jeżeli
podstawowe prawa fizyki rządzące rozpatrywanymi
zjawiskami są nieznane, można posłużyć się tak zwaną
analizą wymiarową, która wykorzystuje warunek
zgodności jednostek miar w warunkach fizycznych.

Analiza wymiarowa wykorzystuje za

pośrednictwem jednostek miar znajomość
podstawowych praw fizycznych rządzących
rozpatrywanym zjawiskiem.

Warunkiem zastosowania analizy wymiarowej

jest poprawne ustalenie kompletnej listy parametrów
fizycznych decydujących o wartości poszukiwanej
wielkości fizycznej.

Równanie (11) przyjmuje postać:

 = Σ

i

C

i



ai

C

p

bi



bi



1-bi



-ai+bi

l

ai-1

lub po uporządkowaniu:

l)  = Σ

i

C

i

[(l]

ai

[(C

p

) / ]

bi

(13)

W równaniu (13) występują 3 bezwymiarowe liczby
kryterialne:

liczba Reynoldsa: Re = (l
liczba Prandtla Pr = (C

p

) /  = / a

gdzie: a = (współczynnik wyrównania temperatury,
m

2

/s)

Wartość Pr wynika tylko z właściwości rozpatrywanego
płynu.

Po lewej stronie występuje liczba Nussaltei Nu = l) 
Stąd:

Nu = Σ

i

C

i

Re

ai

Pr

bi

(14)

Tab. 1. Stała C i wykładniki a i b równania korelacyjnego

Lp

Przypadek

Stała C

a

b

Uwagi

1

przepływ w rurze

mała lepkość płynu

0,023

0,8

0,4

Re > 10

4

2

przepływ w rurze

duża lepkość płynu

(>2 wody)

0,027((>

s

)

0,1

4

0,8

0,33

Sieder i Tate, Re > 10

4

(

s

lep. w temp. ściany)

3

przepływ prostopadły

do rury pojedynczej

0,26

0,6

0,3

Re > 10

3

4

przepływ prostopadły

do 10 rzędów rur

ustawionych

w szachownice

0,33

0,6

0,33

Colburn, Re > 2 · 10

3

obliczone dla prędkości

między rurkami

5

przepływ prostopadły

do 10 rzędów rur

ustawionych szeregowo

0,26

0,6

0,33

obliczone dla prędkości

między rurkami

6

wnikanie ciepła do

ziaren

1,064

1,95

0,59
0,49

0,33
0,33

Nu = ad/l, d – średnia kulki o

powierzchni ziarna,

Re = wdl > 350

Re<350, Hougen i Watson

Obliczanie wymienników

ciepła

Obliczanie wymienników ciepła sprowadza się do

określenia: warunków hydrodynamicznych przepływu
poszczególnych strumieni płynów, wyznaczenia
współczynnika przenikania ciepła k oraz określenia
średniej różnicy temperatur. Na tej podstawie możemy
wyznaczyć powierzchnię wymiany ciepła.

Ze względu na kierunek przepływu płynów

względem siebie rozróżnia się:

- wymienniki współprądowe, w których kierunek i zwrot
prędkości przepływu obu czynników są zgodne;

- wymienniki przeciwprądowe, w których kierunek
prędkości przepływu obu czynników jest zgodny, a zwrot
przeciwny;

- wymienniki krzyżowe (prądu mieszanego) w których
kierunki i prędkości przepływu są prostopadłe lub inne.

W każdym przekroju wymiennika ciepła

występuje inna wartość różnicy temperatur T

między płynem cieplejszym, a zimniejszym.

Obliczenie średniej wartości T

m

jest

głównym zadaniem teorii wymienników ciepła.

Najprostsze rozkłady temperatur otrzymuje

się w parowaczu lub skraplaczu  jeden z

płynów jest kondensującą się parą lub wrzącą
cieczą i ma stałą temperaturę.

Rys. 1. Rozkład temperatur w parowaczu

Rys. 2. Rozkład temperatur w skraplaczu

Rys. 3. Rozkład temperatur przy współprądowej
wymianie ciepła

Rys. 4. Rozkład temperatur przy przeciwprądowej
wymianie ciepła

Rys. 5. Wymiennik
ciepła z przepływem
krzyżowym

Rys. 6. Rozkład różnic

temperatur dla zastępczego

układu z przepływem

krzyżowym

T

m

` = T

m

=

= [(T

2

– T

1

) /

ln(T

2

/T

1

)]

Przenikanie ciepła przez

rurę

w – wewnętrzna

z – zewnętrzna

m – średnia

Q* = 

w

A

w

(t

w

– t

1

) = /s A

m

(t

1

– t

2

) = 

z

A

z

(t

2

–

t

z

)

(t

w

– t

z

) = Q* 1/(

w

A

w

) + Q* s/( A

m

) + Q* 1/(

z

A

z

)

Q* = 1/[1/(

w

A

w

) + s/( A

m

) + 1/(

z

A

z

)] (t

w

– t

z

)

Prawą stronę równania możemy pomnożyć

przez stosunek A

z

/A

z

lub A

w

/A

w



1/k

rz

= 1/

w

A

z

/A

w

+ s/ A

z

/A

w

+ 1/

z

1/k

rw

= 1/

w

+ s/ A

w

/A

m

+ 1/

z

A

w

/A

z

Współ. k

rz

dla rury (odniesiony do A

z

) jest

mniejszy niż dla ściany płaskiej o tej samej
powierzchni.

Współ. k

rw

jest większy niż współczynnik

dla ściany płaskiej o powierzchni A

w

.

Promieniowanie ciepła odbywa się zgodnie z

prawem Stefana-Boltzmana  energia

wymieniona przez ciało doskonale czarne jest
proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury
bezwzględnej tego ciała:

Q*/A = C

0

(T/100)

4

(52)

 tzw. stała promieniowania ciała doskonale

czarnego.

Wymiana ciepła między ciałami opisana jest

równaniem:

Q*

1-2

= C

0

A

1



1-2

[(T

1

/100)

4

- (T

2

/100)

4

]

(53)

gdzie: T

1

,T

2

– temperatury bezwzględne ciał

wymieniających

ciepło

A

1

-

powierzchnia ciała o temp. T

1



1-2

- współczynnik uwzględniający

odchylenia

ciał od właściwości ciała

doskonale

czarnego oraz układ

geometryczny obu ciał.

Przenikanie ciepła

Rys. 7. Rozkład temperatury podczas

przenikania ciepła przez ściankę płaską

Q* = 

1

A (t

1

– t

ś1

) = /s A (t

ś1

– t

ś2

) = 

z

A (t

ś2

–

t

2

)

t

1

– t

ś1

= Q* / (

1

A)

t

ś1

– t

ś2

= (Q* s) / ( A)

t

ś2

– t

2

= Q* / (

z

A)

po zsumowaniu:

t

1

– t

2

= (Q*/A) (1/

1

+ s/ + 1/

z

)

(54)



Q* = [1 / (1/

1

+ s/ + 1/

z

)] A (t

1

– t

2

) = k A

t

(55)

k = 1 / (1/

1

+ s/ + 1/

z

) [W/(m

2

K)]

(56)

k –

współczynnik przenikania ciepła

(Pecleta)

(55) –

równanie Pecleta

Ze wzoru na k wynika, że spośród trzech

wielkości: 

1

, 

2

i /s decydujący wpływ na wartość

współczynnika k wywiera to wyrażenie, którego
wartość jest najmniejsza.

Dlatego często w praktyce przyjmuje się, że

k ≈ 

1

, jeżeli wartości /s oraz 

2

są znacznie

większe w porównaniu z 

1

.

Aby uwzględnić promieniowanie wprowadza

się zazwyczaj zastępczy współczynnik ruchu ciepła
przez promieniowanie 

r

, który definiujemy

równaniem:

Q*

1-2

= 

r

A

1

(t

ś1

– t) (57)

stąd:



r

= Q*

1-2

/ [A

1

(t

ś1

– t)]

ale (53):

Q*

1-2

= C

0

A

1



1-2

[(T

1

/100)

4

- (T

2

/100)

4

]

(53)

więc:



r

= {C

0



1-2

[(T

1

/100)

4

- (T

2

/100)

4

]} / (t

ś1

– t)

(58)

Sumaryczny ruch ciepła (wnikanie +
promieniowanie):

Q* = (

k

+ 

r

) A

1

t

Opory cieplne przenikania

ciepła

• opór cieplny przewodzenia dla ściany

płaskiej:

R



= t / Q* = s / ( A)

(59)

• opór cieplny wnikania:

R



= 1 / ( A)

(60)

• opór cieplny promieniowania:

R

r

= 1 / (

r

A)

(61)

• opór złożonego ruchu ciepła z wnikania i

promieniowania:

R

+r

= 1 / [(

k

+ 

r

) A] (62)

Po przekształceniach:

1/R

+r

= (

k

+ 

r

) A = 1/R



+ 1/R

r

(63)

Równanie (63) opisuje związek oporów

cieplnych wnikania i promieniowania,
odpowiada zależności obowiązującej w
obliczeniach oporów elektrycznych łączonych
równolegle.

• opór cieplny przenikania:

R

k

= 1 / (k A)

(64)

R

k

= R

1

+ R



+ R

2

(65)

Przenikanie ciepła przez

wielowarstwową ścianę płaską

Rys. 8.

Rozkład temperatury podczas przenikania

ciepła przez trójwarstwową ściankę płaską

Q* = 

1

A (t

1

– t

ś1

)

(66)

Q* = (t

1

– t

ś(n+1)

) / R



(67)

W naszym przykładzie n = 3

Q* = 

2

A (t

ś(n+1)

– t

2

) (68)

Po przekształceniu i dodaniu stronami:

t

1

– t

2

= Q* {[1/(

1

A)] + R



+ [1/(

2

A)]}

(69)

R

k

= R

1

+ R



+ R

2

(65)

Q* = (t

1

– t

2

) / R

k

(70)

Ogólnie dla n:

Q* = k A (t

1

– t

2

)

k A = 1 / R

k

= 1 / {[1/(

1

A)] + Σ

i=1

i=n

[s

i

/ (

i

A)] +

[1/(

2

A)]}

Rys. 9.

Rozkład temperatury podczas przenikania

ciepła przez trójwarstwową ściankę rurową

Woda gorąca przepływa wewnątrz rury.

Q* = 

1

A

1

(t

1

– t

ś1

)

= 

1

d

w

L (t

1

– t

ś1

)

(71)

Q* = L [(t

ś1

– t

ś(n+1)

) / R

r

]

(72)



2

A

2

(t

ś(n+1)

– t

2

) = 

2

d

z

L (t

ś(n+1)

– t

2

)

(73)

Po przekształceniach:

Q* / (

1

d

w

L) = t

1

– t

ś1

(74)

(Q* / L) R

r

= t

ś1

– t

ś(n+1)

(75)

Q* / (

2

d

z

L) = t

ś(n+1)

– t

2

(76)

dodając stronami (74) ÷ (76)

(Q* / L) [1/(

1

d

w

) + R

r

+ 1/(

2

d

z

)] = t

1

– t

2

(77)

k

r

= 1 / R

kr

= 1 / {1/(

1

d

w

) + Σ

i=1

i=n

[ln(d

i+1

/d

i

) / 2

i

]

+ 1/(

2

d

z

)}

Q* = k

r

L (t

1

– t

2

)

(78)

rury cienkościenne d

z

/d

w

≤ 1,5 (2,0)

Q* = k A t

m

(80)

Na różniczkowej powierzchni wymiennika

dA gorący płyn oddaje w jednostce czasu
różniczkową ilość ciepła.

dQ

1

= -m

1

* Cp

1

dt

A

(81)

Całkowity strumień ciepła przekazany na

całej powierzchni A:

Q

1

= -m

1

* ∫

t1p

t1k

Cp

1

dt

1

(82)

W równaniach tych mamy „-” dla

przeciwprądu i „+” dla współprądu.

Strumienie ciepła można opisać ze względu

na wymianę ciepła między czynnikami:

- w odniesieniu do elementu powierzchni dA:

dQ*

1-2

= k dA t (83)

-do całkowitej powierzchni:

Q*

1-2

= A (k t)

m

(84)

z (83):

dA = dQ*

1-2

/ (k t)

(85)

Przyjmujemy, że w adiabatycznym

wymienniku ciepła dQ*

1

= dQ*

1-2

oraz Q*

1

= Q*

1-2

,

wstawiając (81) do (85):

dA = (m

1

* Cp

1

dt

1

) / (k t)

(86)

po scałkowaniu:

A = -m

1

* ∫

t1p

t1k

[(Cp

1

dt

1

) / (k t)]

(87)

(87)  (84):

Q*

1-2

= -m

1

* ∫

t1p

t1k

[(Cp

1

dt

1

) / (k t)] (k t)

m

(88)

porównujemy (88) z (82) i przekształceniu:

(k t)

m

= [ ∫

t1p

t1k

(Cp

1

dt

1

) ] / {∫

t1p

t1k

[(Cp

1

dt

1

) /

(k t)]}

(89)

Zakładając: Cp=const i k=const mamy:

t

m

= (t

1k

– t

1p

) / [ ∫

t1p

t1k

(dt

1

/ t) ]

(90)

Podobne równania dla strumienia 2.

Do scałkowania wyrażeń na średnią różnicę

temperatury konieczna jest znajomość zależności t =

f(t

1

). Zależność ta jest najczęściej liniowa.

Jeżeli założymy prostoliniową zależność:

t = a t

1

+ b

to po przekształceniu otrzymamy:

t

m

= (t

1k

– t

1p

) / [ ∫

t1p

t1k

(dt

1

/ t) ] =

= (t

1k

– t

1p

) / { ∫

t1p

t1k

[dt

1

/ (at+b)] } = (at

1k

– at

1p

) /

ln(t

k

/t

p

) (91)

a po dodaniu w liczniku stałych b i –b mamy:

t

m

= (t

k

– t

p

) / ln(t

k

/t

p

)

(92)

Identyczny wynik otrzymamy operując temperaturą t

2

.

Wyrażenie to obowiązuje również, gdy jedna z wartości
temp. jest stała.

Jest to tzw. średnia logarytmiczna różnica temperatury
płynów.

Jeżeli więc w wymienniku ciepła obie strugi

mają stałą pojemność cieplną to średnia różnica
temperatur wyznaczona z zależności:

t

m

= (t

p

– t

k

) / ln(t

p

/t

k

)(93)

 Zwykle za początkowy przyjmuje się ten

przekrój wymiennika ciepła, w którym występują
większe różnice temperaturowe.

Jeżeli t

p

/t

k

< 2 można w obliczeniach

stosować średnią arytmetyczną:

t

m

= (t

p

+ t

k

) / 2

(94)

zamiast logarytmicznej  wynikający stąd błąd

nie przekracza 4%.

Rozkład temperatury zależy od stosunku

pojemności cieplnej obu płynów oraz od rodzaju ich
przepływu.

Pojemnością cieplną płynu (równoważnik wodny

płynu) tzw. iloczyn:

W = m* Cp

(95)

Jeśli założymy adiabatyczną wymianę ciepła, to

równanie bilansu cieplnego dla płynów wymieniających
ciepło 

Q*

1-2

= W

1

(t

1p

– t

1k

) = ± W

2

(t

2k

– t

2p

) (96)

Znak „+” dla przeciwprądu.

Znak „-” dla współprądu.

Q*

1-2

= m*

1

Cp

1

(t

1p

– t

1k

) = ± m*

2

Cp

2

(t

2k

– t

2p

)

(97)



W

1

/ W

2

= ± (t

1p

– t

1k

) / (t

2k

– t

2p

)

(98)

Określenie rozkładu temperatur płynów wzdłuż

drogi przepływu w wymienniku ciepła ma znaczenie
w obliczeniach t

m

, a tym samym powierzchni

wymiany ciepła.

Zakładając: dQ*

1

= dQ*

2

= dQ*

dQ* = - m*

1

Cp

1

dt

1

= - W

1

dt

1

dQ* = - m*

2

Cp

2

dt

2

= - W

2

dt

2



dt

1

= - dQ* / W

1

dt

2

= - dQ* / W

2

tworzymy różnicę przyrostów temperatury:

dt

1

- dt

2

= d(t)



d(t) = - dQ* (1/W

1

- 1/W

2

) (99)

Uwzględniając, że:

dQ* = k dA T

otrzymujemy:

d(t) = - k dA t (1/W

1

- 1/W

2

) (100)



d(t) / t = - k (1/W

1

- 1/W

2

) dA (101)

(101) całkujemy stronami w granicach od A

1

= 0

do A

2

oraz od t

1

do t

2

(zakładamy, że k = const)



ln(t

2

/t

1

) = - k A

2

(1/W

1

- 1/W

2

) (102)



t

2

= t

1

e

- k A2 (1/W1 - 1/W2)

(103)

t

2

= t

k

 patrz rys. rozkładów

t

1

= t

p

(103)

jest to wzór określający różnicę

temperatur płynów na

wylocie wymiennika

jako funkcję różnicy temp. na

wlocie, jego

powierzchni oraz odwrotności

pojemności

zastępczej (wzór Hudlera).

t

k

= t

p

e

- (k A2) / W2

(103a)

Jeżeli szukana wielkość będzie różnicą

temperatur płynów w dowolnym przekroju
wymiennika (w odległości x od wlotu), to możemy je
obliczyć na podstawie t

1

z równania otrzymanego w

wyniku całkowania:

t

x

= t

1

e

- (k Ax) / Wz

(104)

Jeżeli temperatura jednego z czynników nie

zmienia się (skraplanie w skraplaczu,
odparowanie w wyparce) to przyjmujemy, że jego
pojemność cieplna jest nieskończenie duża
(W=∞) i zastępczy równoważnik wodny
przepływu w wyparce:

W

z

= W

1

w skraplaczu:

W

z

= W

2

Z przedstawionych równań można obliczyć

również temperaturę przepływu płynów.

Temperatura ścianki

Ze względu na wybór materiału

konstrukcyjnego konieczne jest często obliczanie
temperatury ściany stanowiącej powierzchnie
wymiany ciepła.

Jeżeli czynnik ogrzewający 1 oddaje ciepło:

Q* = 

1

A

1

(t

1

– t

ś1

)

(105)

- temp. czynnika;

- temp. ściany od strony czynnika 1;

czynnik 2 odbiera ciepło:

Q* = 

2

A

2

(t

ś2

– t

2

)

(106)

ale:

Q* = k A t

(107)

gdzie:

t = t

1

– t

2

Zakładając A

1

≈ A

2

mamy:

t

1

– t

ś1

= (k t) / 

1

t

ś2

– t

2

= (k t) / 

2

Temp. ścianki od strony czynnika 1:

t

ś1

= t

1

– [(k t) / 

1

] (108)

od strony czynnika 2:

t

ś2

= t

2

+ [(k t) / 

2

] (109)

Jeśli spodziewamy się bardzo małego oporu

ściany w stosunku do oporów wnikania ciepła 

możemy go pominąć  (np. obliczanie wymiennika

dla gazów). Wtedy:

Q* = 

1

A

1

(t

1

– t

ś1

)

Q* = 

2

A

2

(t

ś2

– t

2

)

Zakładając A

1

≈ A

2

oraz t

ś1

≈ t

ś2

≈

t

ś



(t

1

– t

ś

) / (t

ś

– t

2

) = 

1

/ 

2

(110)

 temp. ściany ma wielkość zbliżoną do temp. tego

czynnika, po którego stronie  jest większe.
(110) 

t

ś

= (

1

t

1

+ 

2

t

2

) / (

1

+ 

2

)

(111)

(111)  temp. ściany można znacznie obniżyć

zapewniając

wysoką wartość  po stronie

czynnika (gazu) zimniejszego.

Projekt procesowy i

konstrukcyjny

Aby proces był maksymalnie ekonomiczny,

powinien przebiegać możliwie szybko we
wszystkich etapach przy maksymalnym
wykorzystaniu wszystkich surowców, minimalnym
zużyciu energii i jak największej wydajności z
jednostki objętości aparatury.

Są to zasadniczo zagadnienia

technologiczne  zasady technologiczne.

Zasada najlepszego

wykorzystania różnic

potencjału

Prowadzenie procesu przy możliwie dużej

sile napędowej i możliwie największym
wykorzystaniu w całym (aparacie) ciągu
technologicznym istniejących różnic potencjałów.

Zasada najlepszego

wykorzystania surowców

Prowadzenie procesu przy optymalnych

parametrach zapewniających maksymalną
wydajność surowcową, zmniejszenie do minimum
wszelkiego rodzaju strat produkcyjnych,
wykorzystanie odpadów, stosowanie
przeciwprądu, … .

Zasada najlepszego

wykorzystania energii

Stosowanie maksymalnego gradientu

temperatury, wyprowadzanie reagentów z
procesu przy temperaturze możliwie bliskiej
temperaturze otoczenia, odzysk ciepła
odpadowego, racjonalna gospodarka energią
mechaniczną i elektryczną … .

Zasada najlepszego

wykorzystania aparatury

Zmniejszenie oporów stawianych przez

układ zachodzącej przemianie, ciągłość pracy
(stosowanie nowoczesnych rozwiązań
konstrukcyjnych niezawodnych w działaniu i
stwarzających doskonałe warunki dla
prowadzenia procesu, stosowanie
wytrzymałych i odpornych tworzyw
gwarantujących lekkość konstrukcji i długą
żywotność)  projekt konstrukcyjny, względy

estetyczne, normalizacje, typizacja, …

Zasada umiaru

technologicznego

Łagodzenie sprzeczności, które wynikają

ze stosowania metod postępowania,
umożliwiających realizację wymienionych
zasad.

Zasada ta stanowi wprowadzenie

elementów jakościowej optymalizacji
rozpatrywanego problemu.

Powiększanie skali

Skala laboratoryjna

Badania prowadzi się najczęściej przy

użyciu sztucznie przygotowanych substratów
sposobem periodycznym na aparaturze
zestawionej z typowego szkła
laboratoryjnego.

Zdolność przerobowa odniesiona do

produktu wacha się w granicach 0,1 do 1
kg/szarżę.

Skala ćwierćtechniczna

Badania realizowane są w niedużych

aparatach modelowych wykonanych z
materiałów proponowanych do zastosowania
w skali przemysłowej.

Zdolność produkcyjna: 1-10 kg

produktu na godzinę lub szarżę.

Uściślenie parametrów

technologicznych, analiza przyczyn
ewentualnych zakłóceń … .

Skala półtechniczna

(pilotowa, doświadczalno -

produkcyjna

W przypadku całkowitej nowości aparatu

(technologii). Konieczność sprawdzenia aparatury
prototypowej, dostarczenie na rynek podobnych
partii materiału, szkolenie załogi.

Zdolność produkcyjna od 10 do 100 kg

produktu na godzinę.



KRYTERIA PODOBIEŃSTWA

Promieniowanie

Promieniowanie cieplne jest odrębnym

rodzajem ruchu ciepła mającym szczególne
znaczenie w wysokich temperaturach
(promieniowanie cieplne jest przekazywane od
wszystkich ciał stałych o temperaturze wyższej od
zera K).

Intensywność promieniowania zależy od

temperatury ciała oraz od właściwości materiału.

Promieniowanie cieplne (termiczne) jest

przekazywaniem ciepła za pośrednictwem fal
elektromagnetycznych albo fotonów.

Promieniowanie w odróżnieniu od

przewodnictwa lub konwekcji, może zachodzić
również w próżni.

Ten rodzaj ruchu ciepła polega na emisji i

absorpcji energii promienistej, którą jedno ciało
oddaje drugiemu przez warstwę
przeźroczystego środowiska lub przez próżnię.

Proces ruchu ciepła przez promieniowanie

ujmują prawa ( fizyka): Plancka, Stefana-

Boltzmana, Kirchoffa i Lamberta.

W teorii promieniowania bardzo istotne

jest pojęcie ciała doskonale czarnego. Jest to
takie hipotetyczne ciało, które pochłania całą
energię promieniowania padającą na nie, nic
nie przepuszczając ani nie odbijając.

Grubość warstwy izolacji

Q* / A = (

i

/ s

i

) (t

1

– t

im

)

i – izolacja

t

1

– temp. ośrodka grzejącego



s

i

= 1/Q* (

i

/ A) (t

1

– t

im

)

Założenie: opór cieplny ścianki przewodu jest
znikomo

mały w porównaniu z oporem

cieplnym jaki

powinna stawiać warstwa

izolacji.

d

1

– zewnętrzna średnica przewodu metalowego

(rury)

d

2

– średnica przewodu izolowanego

Opór cieplny izolacji:

R

i

= [1 / (2 

i

)] ln(d

2

/d

1

)

Strata ciepła przypadająca na jednostkę długości

przewodu w jednostce czasu:

dQ* / dL =  / {[1/(

1

d

1

)] + [1/(2

i

)] ln(d

2

/d

1

) + [1/

(

2

d

2

)]} (t

1

-t

2

)

Szukamy wartości ekstremalnej mianownika:

d {[1/(

1

d

1

)] + [1/(2

i

)] ln(d

2

/d

1

) + [1/(

2

d

2

)]} /

d(d

2

) = 0

traktując d

2

jako zmienne, a inne zmienne jako stałe

otrzymujemy:

d

2

= d

2kr

= 2 

i

/ 

2

(79)

Ustalenie odpowiedniej grubości warstwy

izolacyjnej jest związane z ustaleniem optimów
ekonomicznych.

Rys. 10. Zasady graficznej metody

wyznaczania grubości warstwy izolacji

cieplnej.

Wskazówki do projektowania

wymienników ciepła

Projektowanie wymienników ciepła powinno objąć

nie tylko obliczenia wymiany ciepła w aparacie, ale
również zagadnienia konstrukcyjne i bezpieczeństwa
ekonomicznego. Obliczenia projektowe składają się z
następujących etapów:

1. Podstawą obliczeń jest sporządzenie bilansu cieplnego
z ewentualnym uwzględnieniem strat ciepła. Możemy
wziąć pod uwagę kilka wariantów:

1.1. Bilans ciepła w przypadku ogrzewania lub
chłodzenia płynu bez zmiany stanu skupienia (w
przeciwprądzie gdy T

a1

>T

a2

i T

b1

>T

b2

) opisuje równanie:

Q* = m*

a

c

pa

(T

a1

-T

a2

) = m*

b

c

pb

(T

b1

-T

b2

)

w którym a i b dotyczą płynów, a wartość ciepła
właściwego jest przyjmowana jako średnia w danym
przedziale temperatury.

1.2. Gdy po jednej stronie wymiennika zachodzi zmiana
stanu skupienia czynnika, np. w skraplaczu pary
chłodzonym wodą (T

b1

<T

b2

) lub wyparce ogrzewanej

spalinami. bilans ciepła przyjmuje postać:

Q* = m*

a

r

a

= m*

b

c

pb

(T

b2

-T

b1

)

1.3. Jeżeli miana stanu skupienia zachodzi po obu
stronach, np. w wyparce ogrzewanej parą, to mamy:

Q* = m*

a

r

a

= m*

b

r

b

1.4. W szczególnym przypadku, gdy wymieniane jest
równocześnie ciepło gazowego czynnika i ciepło utajone
zawartej w nim pary, np. podczas ochładzania mieszanin
pary i gazu, równanie bilansowe (T

a1

>T

a2

, T

b1

<T

b2

, i

a1

>i

a2

)

przyjmuje postać:

Q* = m*

i

c

pi

(T

i1

-T

i2

) + m*

i

(x

a1

i

a1

– x

a2

i

a2

) – Ki

k

= m*

b

c

pb

(T

b2

-T

b1

)

gdzie x

a

oznacza zawartość pary w czynniku wyrażoną w

kilogramach na kg gazu suchego; K, kg/s, masowy
strumień skroplin; i, J/kg, oznacza entalpię.

2. Określamy średnią różnicę temperatury dla procesu
wymiany ciepła. Najczęściej posługujemy się średnią
logarytmiczną skrajnych różnic temperatury. Niekiedy,
gdy T

1

/T

2

< 2 stosujemy średnią arytmetyczną.

3. W przypadku szczególnym, jakim jest chłodzenie
gorącego gazu o niewielkiej zawartości pary wodnej,
stosujemy metodę obliczeń polecaną przez Kerna i
Hoblera:

a) obliczyć ciepło oddawane przez gaz i ciepło
kondensacji pary; ich sumę należy przyjąć do obliczeń
powierzchni aparatu;

b) zastosować współczynnik wnikania ciepła, obliczony
jak dla gazu;

c) użyć średniej logarytmicznej jako średniej różnicy
temperatury, biorąc pod uwagę skrajne temperatury
gazu i wody chłodzącej.

W przypadku wyparki należy z kolei sprawdzić, czy
obciążenie cieplne q, W/m

2

, jest dostatecznie małe w

porównaniu z q

kr

.

4. Wyznaczamy współczynnik przenikania ciepła ze wzoru
Pecleta. Jeżeli przebiega równocześnie kilka różnych
procesów, to dla każdego wykonujemy osobne obliczenia.
Przyjmuje się, że prędkość liniowa pary i gazów pod
niewysokim ciśnieniem mieści się w granicach od 8 do 30
m/s, cieczy natomiast nie przekracza 1,5 m/s. Im droższy
jest materiał konstrukcyjny, tym zaleca się większe
wartości prędkości przepływu. Wykonanie obliczeń
współczynników wnikania i przenikania ciepła wymaga
też założenia typu konstrukcyjnego wymiennika.

5. W ostatnim etapie obliczeń wyznacza się powierzchnię
wymiany ciepła. Należy ją powiększyć, nawet o 30%, ze
względu na małą dokładność obliczeń lub nie
uwzględnienie pewnych czynników, np. zmian oporu
cieplnego osadu. Wymiennik jest najtańszy, jeżeli w
obliczeniach uwzględni się handlową długość rurek.

Rys. 11. Zależność =f(X,Z) dla różnych

przypadków przepływu krzyżowego (wewnątrz

rurek i prostopadle do nich według schematu)

Rys. 12. Zależność =f(X,Z) dla różnych

przypadków przepływu mieszanego