X: Ω→R















x

X

R

x

)

(

:





F : R → [0,1]

)

(

)

(

0

0

0

x

X

P

x

F

R

x









1

,

0

)

(







x

F

R

x

1

)

(

lim

oraz

0

)

(

lim













x

F

x

F

x

x

)

F(x

)

F(x

x

x

2

1

2

1

x

2

1









x

)

(

)

(

lim

0

0

0

x

F

x

F

x

x

R

x











P(a≤x<b)=F(b)-F(a)

)

(

)

(

lim

)

(

0

0

0

x

F

x

F

x

x

P

x

x























i

i

1

p

N,

i

0

)

(

i

i

p

x

X

P











0

)

(

)

(

0

0

x

x

i

i

p

x

X

P

x

F















0

0

)

(

)

F(x

0

0

x

x

R

dx

x

f

f

f jest ciągła w punkcie x →f(x)=F(x)









1

)

( dx

x

f











0

)

(

)

(

0

x

dx

x

f

x

X

P





























ciaglej

dla

)

(

skokowej

dla

)

(

dx

x

f

x

p

x

X

E

i

i

i

E(a)=a
E(a ∙ X)=a ∙ E(X)
E(X+a)=E(X)+a
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(X ∙ Y)=E(X)∙E(Y)

X,Y zmienne losowe

niezależne







i

i

r

i

r

r

p

x

X

E

)

(













dx

x

f

x

r

r

)

(













i

i

r

i

r

r

p

X

E

x

X

E

X

E

))

(

(

))

(

(















dx

x

f

X

E

x

r

r

)

(

)

)

(

(



V(a)=0
V(aX)=a

2

V(X)

V(X+a)=V(X)
V(X±Y)=V(X) ±V(Y)
V(X)=E(X

2

)-E

2

(X)

Rozkład równomierny

n

x

P

i

1

)

(









n

i

i

x

n

X

E

1

1

)

(













n

i

i

X

E

x

n

X

V

1

2

)

(

1

)

(

Rozkład zero-jedynkowy

E(X)=p

V(X)=p∙q

Rozkład dwumianowy (Bernoullego)

p

q

n

k

q

p

k

n

p

n

k

P

k

n

k























1

,...,

2

,

1

)

,

,

(

npq

K

V

np

K

E





)

(

)

(

Rozkład Poissona























)

(

)

(

,....

2

,

1

,

0

!

)

,

(

K

V

K

E

np

k

k

e

n

k

P

k