i = $\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{1 - d}}$ d = $\frac{\mathbf{i}}{\mathbf{1 + i}}$ δ=ln(1 + i) i=e^δ-1

$\left( \mathbf{1 + i} \right)\mathbf{= (1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{m}}$ (1 − d)=(1 + i)⁻¹

(1 + i)=(1 − d)⁻¹ $\left( \mathbf{1 - d} \right)\mathbf{= (}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}$

$\left( \mathbf{1 + i} \right)\mathbf{= (}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 - d}}\mathbf{)}$ $\left( \mathbf{1 - d} \right)\mathbf{= (1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{- 1}}$

$\left( \mathbf{1 + i} \right)\mathbf{= (1 +}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{- m}}$ $\left( \mathbf{1 - d} \right)\mathbf{= (1 -}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{m}}$

(1 + i)=e^δ (1 − d)=e^−δ

V = 1 − d $\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}$ $\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}\mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}$

PLATNOSCI

Obecne PV

% prosty $\mathbf{PV = FV(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + it}}\mathbf{)}$ PV = FV(1 + it)⁻¹ PV = FV(1 − dt)

% złożony $\mathbf{PV = FV(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}^{\mathbf{t}}$ PV = FV(1 + i)^−t PV = FV(1 − d)^t

% ciągły $\mathbf{PV = FV \bullet}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{e}^{\mathbf{\text{δt}}}}$ PV = FV • (e^−δt)

Przyszłe FV

% prosty FV = PV(1 + it) $\mathbf{FV = PV(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 - dt}}\mathbf{)}$ FV = PV(1 − dt)⁻¹

% złożony FV = PV(1 + i)^t $\mathbf{FV = PV(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 - d}}\mathbf{)}^{\mathbf{t}}$ FV = PV(1 − d)^−t

% ciągły FV = PV•e^δ FV = PV•e^δt

KAPITALIZACJA ODSETEK

FV=(1+i)^t → (1−d)⁻¹ → e^δt → (1+it)

PV=(1+it)⁻¹→ (1+i)^−t→(1−d)^t→e^−δt

RENTY

$\mathbf{S = R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{i}}$ renta przyszła z dołu $\ddot{\mathbf{S =}}\mathbf{R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{d}}$ renta przyszła z góry

$\mathbf{A = R}\frac{\mathbf{1 - (}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{i}}$ renta obecna z dołu $\ddot{\mathbf{A}}$=$\mathbf{\text{\ R}}\frac{\mathbf{1 - (}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{d}}$ renta obecna z góry

$\mathbf{A}_{\mathbf{\infty =}\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{i}}\mathbf{\ renta\ nieskonczona\ z\ dolu}}$ $\ddot{\mathbf{A}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{=}}\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{d}}\mathbf{\ renta\ nieskonczona\ z\ gory}\mathbf{\backslash n}$

Renty płatne częściej niż raz w roku

$\mathbf{S = R}\frac{\mathbf{(1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{- 1}}{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}\ \ renta\ przyszla\ \ z\ dolu$ $\ddot{\mathbf{S}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{(1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{- 1}}{\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}\mathbf{= R\ }\frac{\mathbf{(1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{- 1}}{\frac{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}}\ renta\ przyszla\ z\ gory$

$\mathbf{A = R}\frac{\mathbf{1 - (\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{m \bullet n}}}{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}\ \ renta\ obecna\ \ z\ dolu$ $\ddot{A}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 - (\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{m \bullet n}}}{\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}\mathbf{=}\ddot{\mathbf{A}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 - (\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{m \bullet n}}}{\frac{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}}\ \ renta\ obecna\ \ z\ gory\text{\ \ }$

${\ddot{\mathbf{A}}}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}}{\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ }}$=$\mathbf{\text{\ \ \ \ }}\frac{\mathbf{R}}{\frac{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}}\text{renta}\ \text{niesko}n\text{czona}\ z\ go\text{ry}$ $\mathbf{A}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}}{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}{\mathbf{m}}}$ renta nieskończona z dołu

Renta płatna rzadziej niż oprocentowanie składane

N – ogólne lata

K- czas remontu

$\mathbf{A = R}\frac{\mathbf{1 - (\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{k}}\mathbf{- 1}}\ \ renta\ obecna\ \ z\ dolu$ $\ddot{A}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 - (\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 +}\mathbf{i}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{1 - (\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{k}}}renta\ obecna\ z\ gory$

$\mathbf{S = R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{k}}\mathbf{- 1}}\ renta\ przyszla\ z\ dolu$ $\ddot{S}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{1 -}\mathbf{(\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{k}}}\ renta\ przyszla\ z\ gory$

$\mathbf{A}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{i}}$ renta nieskończona z dołu ${\ddot{\mathbf{A}}}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 -}\mathbf{(\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{k}}}\text{\ \ \ \ }\text{renta}\ \text{niesko}n\text{czona}\ z\ go\text{ry}$

Renta płatna częściej niż oprocentowanie składane

$\mathbf{A = R}\frac{\mathbf{1 - (\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}\ \ renta\ obecna\ \ z\ dolu$ $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\ddot{A}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 - (\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{d}^{\mathbf{m}}}\ \ renta\ obecna\ \ z\ gory$

$\mathbf{S = R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{i}^{\mathbf{m}}}\ renta\ przyszla\ z\ dolu$ $\ddot{S}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{d}^{\mathbf{m}}}\ renta\ przyszla\ z\ gory$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{\text{ani}}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 - (\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{\ }\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{\delta}}\ \ renta\ obecna\ \ ciagla\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{R}_{\mathbf{\text{anδ}}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 -}\mathbf{e}^{\mathbf{- \delta n}}}{\mathbf{\delta}}\ \ renta\ obecna\ \ ciagla$$

$\mathbf{R}_{\mathbf{\text{sni}}}\mathbf{= R}\frac{\left\lbrack \mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1} \right\rbrack}{\mathbf{\delta}}$ renta przyszła ciągła $\mathbf{R}_{\mathbf{\text{snδ}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{e}^{\mathbf{\text{δt\ \ }}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{\delta}}$ renta przyszła ciągła

$\mathbf{R}_{\mathbf{a\infty i}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{ln}\mathbf{(1 + i)}}\ renta\ nieskonczona\ \ \mathbf{\text{\ \ \ }}\mathbf{R}_{\mathbf{a\infty\delta}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{\delta}}$ renta nieskończona

Renty rosnące w postępie arytmetycznym

S^art= P$\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{i}}\mathbf{+ Q}\frac{\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{i}}\mathbf{\ - n}}{\mathbf{i}}\ przyszla\ z\ dolu$

$${\ddot{\mathbf{S}}}^{\mathbf{\text{art}}}\mathbf{= P}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{d}}\mathbf{+ Q}\frac{\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{i}}\mathbf{\ - n}}{\mathbf{d}}\ przyszla\ z\ gory$$

$$\mathbf{A}^{\mathbf{\text{art}}}\mathbf{= \ P}\frac{\mathbf{1 - (}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{i}}\mathbf{+ Q}\frac{\mathbf{1 -}\frac{\mathbf{(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{\ }}{\mathbf{i}}\mathbf{- \ n\ \ (}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{i}}\ obecna\ z\ dolu$$

$${\ddot{\mathbf{A}}}^{\mathbf{\text{art}}}\mathbf{= \ P}\frac{\mathbf{1 - (}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{d}}\mathbf{+ Q}\frac{\mathbf{1 -}\frac{\mathbf{(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{\ }}{\mathbf{i}}\mathbf{- \ n\ \ (}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{d}}\ obecna\ z\ gory$$