Opracował: Romuald

Redzicki

MECHANIKA

MECHANIKA

Wykład Nr 4

DYNAMIKA

Temat

Ruch harmoniczny punktu

materialnego

Dynamika punktu nieswobodnego

Drgania swobodne punktu materialnego

Drgania swobodne punktu materialnego

Rys. 1

Punkt materialny o masie m porusza się ruchem
prostoliniowym pod działaniem siły , przyciągającej ten
punkt do stałego punktu 0, zwanego środkiem drgań

.

Wielkość siły jest proporcjonalna do odległości od
poruszającego się punktu do środka drgań, czyli

F



-cx

F 

x

m

F





-cx

x

m 



0

x

ω

x

2







m

c

ω 

Drgania swobodne punktu materialnego

Drgania swobodne punktu materialnego

Przyrównując powyższe wartości otrzymujemy:

a po przekształceniu

gdzie:

t

C

t

C





sin

cos

2

1





x

Rozwiązanie ogólne ma postać:

(1)

D

D

rgania swobodne punktu materialnego

rgania swobodne punktu materialnego



sin

1

a

C 



cos

2

a

C 

)

sin(









t

a

x

Wprowadzając stałe

Otrzymujemy:

gdzie:

a – amplituda drgań,



t +



– faza drgań,



–

faza początkowa,



– częstość kątowa.

Ruch określony wzorem (1) jest ruchem okresowym o
okresie T= 2/



. Wielkość f = 1/T jest częstością. Mamy

zatem

f

T

ω

m

c

2π

2π







(2)

Drgania tłumione punktu materialnego

Drgania tłumione punktu materialnego

Rys. 2

Przyjmiemy, że

opór jest

proporcjonalny do

prędkości, czyli

x













v

R

R

F

x

m







Równanie dynamiki ma postać:

Siłę będziemy nazywać siłą tłumiącą, a
współczynnik proporcjonalności



- współczynnikiem

tłumienia.

R



Drgania tłumione punktu materialnego

Drgania tłumione punktu materialnego

czyli

x

β

-

-cx

x

m



 

a wprowadzając oznaczenia

m

c

ω 

2

m

β

n 

2

otrzymujemy postać dynamicznego równania drgań
tłumionych

0

x

ω

x

n

x







2

2 



(3)

Drgania tłumione punktu materialnego

Drgania tłumione punktu materialnego

MAŁE TŁUMIENIE

MAŁE TŁUMIENIE

Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy



>n. Rozwiązanie

ogólne równania (3) można przedstawić w postaci





t

n

ω

C

t

n

ω

C

x

2

2

2

2

2

1

nt

-









sin

cos

e

Zamiast C

1

i C

2

wprowadzimy dwie nowe stałe: a oraz



,

określone zależnościami



sin

1

a

C 



cos

2

a

C 













t

n

ω

sin

a

x

2

2

nt

-

e

otrzymamy

(4)

Drgania tłumione punktu materialnego

Drgania tłumione punktu materialnego

MAŁE TŁUMIENIE

MAŁE TŁUMIENIE

W przypadku małego tłumienia punkt wykonuje drgania,
jednak

dla

t  ∞ będzie x  0, czyli ruch nie jest okresowy.

Z równania (4) wynika, że przejścia punktu przez
położenia równowagi (x = 0) następują okresowo.
Możemy więc mówić o okresie drgań tłumionych T

t

i o ich

częstości kątowej



t

jako o okresie i częstości tych

przejść. Będzie mianowicie:

2

2

n

t









2

2

2

n

T

t









Warto zaznaczyć, że przy małym tłumieniu okres drgań
tylko nieznacznie jest większy od okresu drgań
swobodnych. Tłumienie w pierwszym rzędzie powoduje
zanikanie drgań (amplituda maleje wykładniczo).

-nt

ae

Drgania tłumione punktu materialnego

Drgania tłumione punktu materialnego

MAŁE TŁUMIENIE

MAŁE TŁUMIENIE

Obliczymy dwie sąsiednie amplitudy występujące dla
i

t











 

2

T

t













t

n

ω

a

x

2

2

nt

-

sin

e

1













t

n

ω

a

x

2

2

2

T

n

-

nt

-

2

sin

e

e

Rys.
3

Drgania tłumione punktu materialnego

Drgania tłumione punktu materialnego

MAŁE TŁUMIENIE

MAŁE TŁUMIENIE

Logarytm naturalny tego stosunku nazywamy
dekrementem

logarytmicznym drgań:



2

ln

1

2

T

n

x

x







Stosunek bezwzględnych wartości tych amplitud jest
stały i wynosi

2

1

2

e

T

n

–

x

x



Stosunek ten nazywa się dekrementem drgań.

Znajomość dekrementu tłumienia i okresu drgań pozwala
na określenie współczynnika tłumienia.

Drgania tłumione punktu materialnego

Drgania tłumione punktu materialnego

DUŻE TŁUMIENIE

DUŻE TŁUMIENIE

Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy .
Rozwiązanie równania
(3) można przedstawić w postaci

n









t

t

C

C

x

2

2

2

2

n

2

n

1

nt

–

1

e

e

e













2

–

,

2

2

1

2

2

1

1

B

B

C

B

B

C











t

n

B

t

n

B

x

2

2

2

2

2

1

nt

–

sinh

cosh

e













Otrzymujemy

Drgania tłumione punktu materialnego

Drgania tłumione punktu materialnego

DUŻE TŁUMIENIE

DUŻE TŁUMIENIE

Zmienimy jeszcze raz stałe i założymy





cosh

,

sinh

2

1

a

B

a

B



















t

n

a

x

2

2

nt

–

sinh

e

wtedy

Ruch określony tym równaniem nie jest ruchem
okresowym. Tak więc w przypadku dużego tłumienia, gdy
, punkt materialny nie wykonuje drgań.

n





(5)

Drgania tłumione punktu materialnego

Drgania tłumione punktu materialnego

KRYTYCZNE TŁUMIENIE

KRYTYCZNE TŁUMIENIE

Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy .

Rozwiązanie równania (3) ma w tym przypadku postać





n





t

C

C

x

2

1

–nt

e





W przypadku tłumienia krytycznego ruch punktu jest

ruchem nieokresowym.

(6)

Drgania wymuszone punktu materialnego

Drgania wymuszone punktu materialnego

Rys. 4

pt

H

S

sin



Siłę nazywamy silą wymuszającą. Kąt nazywamy
fazą siły wymuszającej, zaś przedstawia częstość
kątową siły wymuszającej.

S



pt

p

przedstawia największą wartość, którą może

osiągnąć siła wymuszająca, czyli jest to amplituda siły
wymuszającej

.

H

S

F

x

m







Drgania wymuszone punktu materialnego

Drgania wymuszone punktu materialnego

Okres siły wymuszającej ma wartość

p

T

w

π

2



pt

H

cx

x

m

sin

–







Wprowadzają oznaczenia

częstość kątowa drgań swobodnych,
amplituda siły wymuszającej odniesiona do
jednostki masy drgającegu punktu

m

c /









m

H

h

/

pt

h

x

x

m

sin

2









Równanie różniczkowe drgań wymuszonych przyjmuje
postać

(7)

Drgania wymuszone punktu materialnego

Drgania wymuszone punktu materialnego

Całka ogólna równania (7) ma postać





pt

p

h

t

a

x

sin

–

sin

2

2













(8)

w którym amplituda drgań wymuszonych:

B

p

h





2

2



Drgania wymuszone są sumą dwu drgań harmonicznych:
drgań o częstości równej częstości drgań swobodnych i
drgań o częstości równej częstości siły wymuszającej.
Występowanie siły wymuszającej wywołuje drgania
harmoniczne, które nakładają się na drgania swobodne.

Amplituda drgań wymuszonych wynosi

Drgania wymuszone punktu materialnego

Drgania wymuszone punktu materialnego

2

2

p

h

B











p

2

2







p

h

B





p

oraz

dla

dla

Widzimy, że amplituda ta zależy od częstości drgań
swobodnych, od częstości zmiany siły wymuszającej oraz
amplitudy siły wymuszającej.

Specjalnie ważny jest przypadek, kiedy . Wtedy
amplituda
. Znaczy to, że kiedy częstość siły wymuszającej
zbliża się do częstości drgań swobodnych, amplituda
drgań wymuszonych zdąża do nieskończoności. Mówimy,
że zachodzi zjawisko rezonansu.





p





B

W przypadku rezonansu szczególne rozwiązanie
równania (7) przyjmiemy w postaci

Drgania wymuszone punktu materialnego

Drgania wymuszone punktu materialnego

pt

Bt

x

cos



Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego drgań
wymuszonych dla przypadku rezonansu przyjmuje postać





t

t

h

t

a

x









cos

2

sin







(9)

Wpływ tłumienia na drgania wymuszone

Wpływ tłumienia na drgania wymuszone

Rys. 5

Równanie dynamiczne tego ruchu

pt

H

x

cx

x

m

sin















pt

h

x

x

n

x

m

sin

2

2













lub

(10)

Wpływ tłumienia na drgania wymuszone

Wpływ tłumienia na drgania wymuszone

Ostatecznie, pełne rozwiązanie równania (10) będzie:

1)   dla małego tłumienia, gdy ,

(11)

2)   dla dużego tłumienia, gdy ,

(12)

3)   dla tłumienia krytycznego, gdy ,

(13)

n































pt

B

t

n

e

a

x

nt

sin

sin

2

2

n































pt

B

t

n

e

a

x

nt

sin

sinh

2

2

n

























pt

B

t

C

C

e

x

nt

sin

2

1

Wpływ tłumienia na drgania wymuszone

Wpływ tłumienia na drgania wymuszone

Częstość siły wymuszającej osiągnie wartość , zwaną
częstością równą

p

2

2

2n

p

r







przy założeniu, że . W przeciwnym
przypadku nie istnieje częstość rezonansowa. Badając
drugą pochodną łatwo stwierdzimy, że dla ,
występuje maksimum amplitudy.





0

2

2

2



 n



r

p

p 

DYNAMTKA PUNKTU NIESWOBODNEGO

DYNAMTKA PUNKTU NIESWOBODNEGO

Punkt, którego ruch ograniczony jest jakimiś więzami,

nazywamy punktem nieswobodnym.

Więzy oddziaływają na poruszający się punkt pewnymi

siłami, które nazywamy reakcjami więzów. Istnienie

więzów powoduje więc pojawienie się w równaniach

rucha dodatkowych sił – reakcji więzów.

R

F

a













i

m

(14)

Równanie ruchu przyjmie postać

DYNAMIKA PUNKTU NIESWOBODNEGO

DYNAMIKA PUNKTU NIESWOBODNEGO

Rys.
6



sin

mg

x

m 





cos

0

mg

R 



Zsuwanie się punktu po gładkiej równi pochyłej

Równania ruchu dla tego

przypadku:

Z rozwiązania powyższych równań otrzymujemy:

reakcję więzów

przyspieszenie



sin

g

a

x









cos

mg

R 

DYNAMTKA PUNKTU NIESWOBODNEGO

DYNAMTKA PUNKTU NIESWOBODNEGO

Ruch wahadła matematycznego

Rys.
7



sin

mg

ma

t





Równania ruchu

R

mg

ma

n









cos

s

a

t





l

2

v

a

n



R

mg

v

m









cos

2

l



sin

g

s 





gdzie:

Rozwiązanie równań:

reakcje więzów

przyspieszenie

Uwzględniając, że (gdyż ), możemy
napisać





 l



s



l



s

DYNAMTKA PUNKTU NIESWOBODNEGO

DYNAMTKA PUNKTU NIESWOBODNEGO





sin

g







l

0

sin 







l

g



lub

(15)

Jest to różniczkowe równanie wahadła matematycznego.
Przy małych wychyleniach możemy przyjąć, że
, wtedy powyższe równanie przyjmie postać







sin

0









l

g



(16)

Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego.