Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny - drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, również wiele rodzajów bardziej złożonych drgań może być opisane jako w przybliżeniu harmoniczne. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Ruch harmoniczny prosty. Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

gdzie

- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

albo w postaci różniczkowej:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

1. 

2. 

3. 

gdzie:

• jest częstością kołową drgań,

• stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową ω₀ wiąże z okresem drgań T związek:

,

częstotliwość drgań ν natomiast wynosi

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.

Wykres zależności energii od wychylenia

Z zasady zachowania energii, wynika zależność, z której można wyznaczyć energię kinetyczną:

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze z powyższym):

Ciało drgające ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

v₀ = x₀ω₀

prędkość chwilowa zmienia się jak

Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspieszenie jest opisywane zależnością:

Ruch harmoniczny tłumiony

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

Równanie ruchu ma wtedy postać:

Równanie to ma dwie klasy rozwiązań:

Położenie w ruchu harmonicznym nietłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny)

Ciśnienie, ciśnienie hydrostatyczne i prawo Pascala

Ciśnienie hydrostatyczne – ciśnienie, jakie panuje na pewnej głębokości w cieczy niebędącej w ruchu, która znajduje się w polu grawitacyjnym. Analogiczne ciśnienie w gazie określane jest mianem ciśnienia aerostatycznego. Jednostką ciśnienia hydrostatycznego jest (w układzie SI) paskal (Pa). Ciśnienie to oblicza się ze wzoru:

gdzie

– gęstość cieczy – w układzie SI w kg/m³

– przyspieszenie ziemskie (grawitacyjne) – w układzie SI w m/s²

– głębokość zanurzenia w cieczy (od poziomu zerowego) – w układzie SI w metrach (m).

Grawitacja w przypadku obu rodzajów ciśnień – hydrostatycznego i aerostatycznego – wywołuje zmianę ciśnienia w zależności od głębokości – im niżej tym większe ciśnienie. Jest ono skutkiem nacisku (ciężaru) ze strony słupa płynu położonego nad punktem pomiaru – im wyższy słup, typ większy nacisk. Np. na Ziemi ciśnienie w wodzie (ciśnienie hydrostatyczne) zwiększa się co 10 m o jedną atmosferę techniczną. Ciśnienie powietrza na poziomie morza jest równe atmosferze fizycznej, jest ona w przybliżeniu równa atmosferze technicznej. Wynika stąd, że ciężar słupa powietrza nad powierzchnią ziemi jest w przybliżeniu równy ciężarowi słupa wody o wysokości 10 m (10 ton wody na metr kwadratowy).

Jeżeli uwzględni się zarówno ciśnienie zewnętrzne, jak i ciśnienie hydrostatyczne, wówczas całkowite ciśnienie w płynie wyraża wzór:

gdzie:

– zewnętrzne ciśnienie wywierane na ciecz na poziomie uznanym za zerowy (h = 0). Dla zbiorników otwartych jest to ciśnienie atmosferyczne na powierzchni cieczy (w warunkach normalnych 1013 hPa).

BLAISE PASCAL - ur. 1623r., zm. 1662r. Francuski matematyk, fizyk, filozof i pisarz. Przyczynił się do rozwoju hydromechaniki, matematyki i fizyki. Sformułował między innymi prawo Pascala dotyczące ciśnienia w cieczach, a także matematyczny trójkąt Pascala.

Prawo Pascala, jest jednym z podstawowych praw hydrostatyki: Ciśnienie zewnętrzne przenoszone jest w płynie znajdującym się w zamkniętym naczyniu jednorodnie we wszystkich kierunkach. W statycznym płynie siła jest przenoszona z prędkością dźwięku i działa prostopadle na całą powierzchnię ograniczającą płyn lub wyróżnioną wewnątrz niego. Zasadę tę wykorzystuje się w podnośniku hydraulicznym, oponie pneumatycznej i podobnych urządzeniach. Prawo odkryte w 1647 r.

W gazach i cieczach ciśnienie działa jednakowo we wszystkich kierunkach. 

Pascal udowodnił także, że ciśnienie atmosferyczne zależy od wysokości nad powierzchnią ziemi, ponieważ z wysokością maleje ciężar słupa powietrza równoważącego ciężar cieczy w rurce Torricellego. We wrześniu 1648 obmyślone przez niego doświadczenie wykonał jego szwagier, Florin Périer, wspinając się z rurką na Puy-de-Dôme, szczyt o wysokości ponad 1000 m.

Ciśnienie wywierane przez atmosferę nazywamy ciśnieniem atmosferycznym, jest to ciężar warstwy powietrza znajdującego się nad jednostkową powierzchnią. Zależy ono od szerokości geograficznej, wysokości nad poziomem morza (spadek ciśnienia atmosferycznego, na każde 10.5 m. w górę przypada spadek ciśnienia atmosferycznego ok. 1.3 hPa.) oraz temperatury. W przekroju pionowym największą wartość ciśnienia notuje się przy powierzchni ziemi i obniża się ono wraz z wysokością. Dawniej ciśnienie atmosferyczne mierzono w milimetrach słupa rtęci (mm Hg). Ciśnienie normalne na poziomie morza, w temperaturze 0 stopni C, na 45 stopniach szerokości geograficznej północnej równoważy słup rtęci przekroju 1 cm kwadratowy i wysokości 760 mm. W obecnie obowiązującym układzie SI jednostkę ciśnienia atmosferycznego stanowi

Pascal (Pa). Ponieważ wartości podawane w Pascalach byłyby bardzo duże, to wartości ciśnienia atmosferycznego podaje się hektopaskalach (1 hPa= 100Pa). Zależność pomiędzy starsza a nowszą jednostką jest następująca: 750mm Hg= 1000 hPa. A zatem ciśnienie normalne na poziomie morza wynosi 1013,25 hPa.

W Polsce dominuje nieregularna zmienność ciśnienia atmosferycznego, co jest związane z wędrującymi ze wschodu na zachód układami niskiego ciśnienia ( wahania te mogą wynosić ok. 15hPa, w stosunkowo krótkim czasie.

OBNIŻONE CIŚNIENIE

Oddziaływanie obniżonego ciśnienia na organizm człowieka zależy od:

• - wysokości wzniesienia ponad poziom morza

• - szybkości, z jaką następuje spadek ciśnienia

• - czasu pobytu w obniżonym ciśnieniu

PODWYŻSZONE CIŚNIENIE

Podwyższone ciśnienie atmosferyczne oddziaływuje na ludzi nurkujących w wodzie, pracujących kesonach. W miarę wzrostu ciśnienia wdychanego powietrza zwiększa się rozpuszczalność gazów w płynach ustrojowych i tkankach ( zwłaszcza tłuszczowej)

W płynach ciśnienie statyczne (hydrostatyczne) spowodowane przez siłę ciężkości jest równe ciężarowi słupa płynu na podstawie 1cm².

Wielkość ciśnienia hydrostatycznego zależy od głębokości, wzrasta o 1 at na każde dziesięć metrów głębokości, (czyli 1at = 981hPa)

Jednostki ciśnienia:

• Pascal: 

Pa = N / m²[SI] 

• Atmosfera - odpowiada ciśnieniu atmosferycznemu na poziomie morza: 

at = kG / cm² = 9,81N/0,0001m²981*10²Pa=981 hektopaskali 

- metr słupa wody - czyli ciśnienie hydrostatyczne panujące w wodzie na głębokości 1m: 

msw = 0,1at = 98,1 hektopaskala

Do mierzenia ciśnienia atmosferycznego używane są barometry. Najczęściej używane są barometry rtęciowe, hydrostatyczne, obciążnikowo- tłokowe, aneroidalne(sprężynowe) i inne. W barometrze aneroidalnym płaskie cylindryczne metalowe pudełko z próżnią w środku zwiększa lub zmniejsza wymiary przy zmianie ciśnienia. W barometrze rtęciowym ciśnienie słupa rtęci w szklanej rurce o wys. 75cm(zamkniętej z jednej strony i wygiętej z drugiej strony) jest zrównoważone przez ciśnienie atmosferyczne ze strony otwartej-zmianę ciśnienia odzwierciedla zmiana wysokości słupa rtęci. Barometr wyposażony w urządzenie rejestrujące jest zwane barografem. Pisak, sterowany ruchem barometru rysuje linię ciągłą na papierowej taśmie nawiniętej na obracający się cylinder. Zebrane dane służą do opracowywania prognoz pogody.

Prawo Coulomba

Prawo Coulomba głosi, że siła wzajemnego oddziaływania dwóch punktowych ładunków elektrycznych jest wprost proporcjonalna do iloczynu tych ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. Jest to podstawowe prawo elektrostatyki. Zostało ono opublikowane w 1785 roku przez francuskiego fizyka Charles'a Coulomba. Prawo to można przedstawić za pomocą wzoru:

w którym:

F - siła wzajemnego oddziaływania dwóch punktowych ładunków elektrycznych,

q₁ , q₂ - punktowe ładunki elektryczne,

r - odległość między ładunkami,

k - współczynnik proporcjonalności:

gdzie:

- przenikalność elektryczna ośrodka;

- względna przenikalność elektryczna ośrodka;

• - przenikalność elektryczna próżni.

Kierunek działania siły oddziaływania ładunków wyznaczony jest przez prostą łączącą oba te ładunki, natomiast o zwrocie decydują znaki ładunków. Jeżeli są one jednoimienne, oddziaływanie jest odpychaniem. W przypadku ładunków różnoimiennych ładunki przyciągają się. Siłę oddziaływania ładunku B na ładunek A można przedstawić wzorem wektorowym:

Jednostka ładunku elektrycznego - kulomb, została nazwana również od nazwiska Charles'a Coulomba, jest ona równa ładunkowi 6,24 x 10¹⁸ protonów (lub elektronów).

Prawo Coulomba umożliwia obliczenie siły oddziaływania nie tylko dla ładunków punktowych, ale również dla dowolnego rozkładu ładunków elektrycznych. W szczególności dla układu skończonej ilości ładunków, siła wypadkowa działająca na pewien ładunek będzie wektorową sumą sił oddziaływania z poszczególnymi ładunkami. Siłę tych jednostkowych oddziaływań można obliczać niezależnie od siebie (zasada superpozycji oddziaływań).

Oddziaływanie ciał o ciągłym rozkładzie ładunków wymaga wycałkowania po oddziaływaniach cząstkowych

W szczególnych przypadkach, dla symetrycznego rozkładu ładunku, wzór na siłę oddziaływania naładowanych elektrycznie ciał staje się prostszy. W szczególności, dla symetrii sferycznej (np. kula, sfera, centralnie wydrążona kula, kula o gęstości ładunku zmieniającym się radialnie) wzór ten jest taki sam jak dla dwóch ładunków punktowych.

Gdyby istniały pojedyncze ładunki magnetyczne, podobne prawo można by sformułować również dla oddziaływań magnetostatycznych dla biegunów (monopoli) magnetycznych. Miałoby ono brzmienie: siła wzajemnego oddziaływania dwóch biegunów magnetycznych jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich ilości magnetyzmu i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. Prawo to można przedstawić za pomocą wzoru

w którym:

F - siła wzajemnego oddziaływania dwóch biegunów magnetycznych,

m₁ , m₂ - ilości magnetyzmu , inaczej masy (albo ładunki) magnetyczne [ Wb = V·s ]

r - oddalenie między ładunkami,

k - współczynnik proporcjonalności:

przy czym:

gdzie:

• μ - przenikalność magnetyczna ośrodka,

• μ_r - przenikalność magnetyczna względna ośrodka ,

- przenikalność magnetyczna próżni.

Drugie prawo nie jest zupełnie analogiczne do pierwszego, gdyż nie są znane samodzielne bieguny magnetyczne tzw. monopole magnetyczne - każdy magnes ma zawsze 2 bieguny, jest dipolem. Wzór na siłę oddziaływania dipoli magnetycznych, podobnie jak wzór na siłę oddziaływania dipoli elektrycznych można wyprowadzić z prawa Coulomba.

Źródła:

• wielka ilustrowana encyklopedia powszechna wydawnictwa Gutenberga, KRAKÓW

• encyklopedia multimedialna na CD

• czasopismo „Świat Wiedzy”

• J. Zambrzycki „Podstawy teorii z zadaniami”, Elan, Białystok 1996

• E. Wnuczak „Fizyka – działy wybrane”, Wrocław 1995

• Z. Kamiński, W Kamiński „Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne, WNT 2009