Ruch harmoniczny

Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch tłoka w silniku spalinowym, praca ludzkiego serca, ruch huśtawki, ruch strun gitary czy zmiany napięcia na zaciskach pracującej prądnicy. Cechą charakterystyczną tych ruchów jest ich okresowa powtarzalność co oznacza, że po upływie określonego czasu zwanego okresem, ciało drgające powtarza ten sam ruch od nowa.

Wśród wielu mechanicznych ruchów drgających znajduje się ruch harmoniczny. Jest to taki ruch, w którym położenie ciała zmienia się w zależności od czasu sinusoidalnie.

Ruch harmoniczny punktu materialnego opisuje równanie x = Asinωt

Zatem:

• jest to ruch okresowy, innymi słowy periodyczny

• równaniami ruchu są funkcje harmoniczne (prędkość i przyśpieszenie w tym ruchu nie są stałe)
  

• jest to ruch po tej samej drodze

• charakteryzują go wielkości:

• okres jest to czas trwania jednego pełnego drgnienia T

T=

• częstość ruchu to liczba pełnych drgań dokoła położenia równowagi, wykonywanych w jednostce czasu
  stąd pulsacja wynosi
  

• amplituda czyli maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi oznaczane symbolem A

• prędkość w ruchu harmonicznym jest pochodną drogi względem czasu

v =

• przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu lub druga pochodną drogi po czasie

a =

Prędkość jest wielkością zmienną okresową. W punktach odpowiadających największym wychyleniom ciało ma prędkość równą zeru tzn. na chwilę się zatrzymuje. W chwili mijania położenia równowagi prędkość jest największa.

Przyspieszenie w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne do wychylenia od położenia równowagi. Znak minus oznacza ze jest ono przeciwnie skierowane do wychylenia od położenia równowagi. Punkt drgający ma największe przyspieszenie wtedy, gdy jego wychylenie od położeń równowagi jest maksymalne, a prędkość równa zeru. We wzorze na przyśpieszenie iloczyn Asinωt wyraża wychylenie x od położenia równowagi, czyli

a = -
lub a =
.

W ruchu harmonicznym oscylacjami harmonicznymi nazywamy drgania dokoła położenia równowagi odbywające się zgodnie z równaniami x = Asinωt lub x = Asin
, z kolei ciało wykonujące takie drgania oscylatorem harmonicznym.

Siły w ruchu harmonicznym:

W drganiach mechanicznych siła sprężysta nie jest jedyną występującą siłą. Towarzyszy jej zawsze siła utrudniająca ten ruch, zwana siłą tłumiącą, drgania zaś nazywamy drganiami harmonicznymi tłumionymi.

Częstym przypadkiem sił tłumiących są siły których wartość jest wprost proporcjonalna do prędkości ruchu v np. siła oporu jakiego doznaje kula poruszająca się w ośrodku lepkim, określona przez Stokesa : F_t = - bv lub F_t = - b
, gdzie b- wspł oporu, który we wzorze Stokesa wynosi
,
-wspł lepkości, r- promień kuli. Znak minus oznacza że siła oporu ma zawsze przeciwny zwrot do wektora prędkości.

Obie siły tzn. siła sprężystości F i siła tłumiąca działają w każdej chwili wzdłuż tej samej prostej, dlatego wypadkową można znaleźć poprzez algebraiczne dodanie.
. Druga zasada dynamiki ma wówczas postać ma= F_w lub po rozpisaniu
,
. Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę i podzieleniu równania przez masę m otrzymamy
,
. Dodatkowo wprowadzamy oznaczenie
i ostatecznie otrzymujemy
. Jest to równanie różniczkowe (dynamiki) ruchu harmonicznego tłumionego.

Rozwiązanie tego równania ma postać
Amplituda drgań tłumionych zmienia się wykładniczo z biegiem czasu przyjmując wartość zerową teoretycznie po czasie nieskończenie długim

Pulsacje drgań tłumionych i nietłumionych (a zatem i okresy) są różne
, a więc pulsacja drgań tłumionych jest mniejsza od pulsacji drgań nietłumionych, a tym samym okres jest dłuższy T >T_o. W związku z tym
to T
podczas gdy
. Wartość okresu T w danym ruchu jest stała (podobnie T₀). Podczas określania warunku rezonansu należy uwzględnić wzór
. Ponadto z tego wzoru wynika że ω ma wartość rzeczywistą tylko gdy
czyli gdy
. Innymi słowy tylko spełnienie tego warunku zapewnia powstawanie drgań tłumionych periodycznych. W ośrodkach o dużym współczynniku oporu b, a tym samym dużej stałej tłumienia δ może wystąpić relacja przeciwna tzn.
.ω nie ma wówczas wartości rzeczywistej i mówimy wtedy o ruchu aperiodycznym.

We wzorze
sin (ωt+φ) wskazuje, że jest to ruch okresowo zmienny, tak jak funkcja sinus, a więc jest to ruch drgający harmoniczny. Czynnik
jest wyrażeniem określającym amplitudę tego ruchu, możemy więc napisać A=
Ze wzoru wynika że amplituda ruchu tłumionego maleje z upływem czasu w sposób wykładniczy do zera, tym szybciej, im większa jest wartość δ.

Energia w ruchu harmonicznym:

Ciało wykonujące ruch harmoniczny ma energię kinetyczną E_k. Wiemy że E_k = ½ mv² a E_p = ½ kx² po podstawieniu
oraz
wtedy wzory przyjmują następującą wartość
oraz
. Energia kinetyczna podczas ruchu jest zmienna. Energia potencjalna równa się pracy, którą ciało drgające może wykonywać wracając od wychylenia x do położenia równowagi. Wówczas

. Energia potencjalna ciała wykonującego ruch harmoniczny zmienia się w czasie wykonywania ruchu. Energia ta jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy Gdy ruch odbywa się bez żadnych strat energii na pokonywanie oporów, całkowita energia wyraża się wzorem
. W przypadku drgań o określonej pulsacji całkowita energia mechaniczna jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Wartość energi kinetycznej i potencjalnej waha się między zerem, a wartością maksymalną, lecz całkowita energia mechaniczna ciała wykonującego drganie harmoniczne jest stała i równa

Charakterystyka logarytmicznego dekrementu tłumienia:

Do charakteryzowania przebiegu drgań tłumionych często stosuje się tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia oznaczany symbolem χ Dekrement logarytmiczny tłumienia jest logarytmem naturalnym stosunku dwóch amplitud, z których druga następuje po pierwszej w odstępie czasu równym okresowi T.

Pojęcie dekrementu jest stosowane do określenia szybkości zanikania dowolnych wielkości okresowo zmiennych, a więc również np. w drganiach elektromagnetycznych

w odniesieniu do wyżej rozpatrywanych drgań
. Amplituda maleje tym szybciej, im większy jest dekrement tłumienia oraz im mniejszy jest okres drgań T. O ile stała tłumienia δ, zwana wykładnikiem tłumienia, określa zmniejszenie się amplitudy w czasie jednej sekundy, o tyle dekrement tłumienia określa zmniejszenie się amplitudy w czasie jednego okresu T, co jest i ogólniejsze i bardziej precyzyjne, gdyż jedna sekunda w wielu przypadkach jest odstępstwem czasowym tak długim, że mieszczą się w nim tysiące, a nawet miliony drgań, a ściślej miliony okresów.

Jeżeli można dwie kolejne amplitudy A₁ i A₂ zmierzyć bezpośrednio, to na podstawie definicji można obliczyć dekrement tłumienia
. Jeżeli potrafimy zmierzyć okres drgań to ze wzoru
możemy wyliczyć stałą tłumienia oraz ze związku
współczynik oporu b.

Opis doświadczenia:

Dla niewiel­kich wychyleń układ przedstawiony na rysunku spełnia warunki ruchu harmonicznego. To, iż okres drgań oraz tłumienie są w tym układzie duże, można je zmierzyć najprostszymi metodami (przy użyciu stopera i miarki).

Wykonanie pomiaru odbywa się według schematu:

1. Płytkę P wychylamy o pewien kąt, puszczamy swobodnie i obserwujemy wahania
   układu. Gdy zgasną dodatkowe drgania poprzeczne, a jednocześnie kąt
   wychyleń układu zmaleje do wartości ok. 20°, mierzymy stoperem czas
   kilkunastu drgań („wahnięć") t.

2. Obliczmy okres drgań
   ; n- liczba drgań.

3. Uruchamiamy układ ponownie i odczytujemy na przymiarze milimetrowym
   kolejne wartości amplitud: A₁, A₂, A₃, .... z jednej strony
   od położenia równowagi S.

4. Czynności 1, 2, 3, powtarzamy kilka razy, zawsze przy takim samym wy­
   chyleniu początkowym A₀, i obliczmy wartości średnie t_n, T oraz warto­ści średnie poszczególnych amplitud A₁, A₂, A₃,...

5. Sporządzamy na papierze milimetrowym wykres A od t, odkładając na osi
   rzędnych wartości kolejnych amplitud A₀, A₁, A₂, ...,A_n, a na osi odcię­tych czas, przyjmując za jednostkę czasu obliczony średni okres wahań
   T.

6. Obliczamy dekrement tłumienia χ, biorąc wartości [A_n, A_n+1] ze sporzą­dzonego wykresu w kilku dowolnych miejscach odpowiadających odstę­powi czasu T, np. dla punktów c₁ i c₂.

7. Ze wzoru
   obliczamy χ dla kilku „sąsiednich" amplitud średnich, np.:

,
,
, …,

Obliczyć średnią wartość:

i porównać z wartością χ otrzymaną w pkt 6.

8. Ze wzoru
   obliczyć stałą tłumienia δ (biorąc χ ).

9. Ze wzoru
   obliczyć współczynnik oporu b (masa jest podana w zestawie ćwiczenia).

10. Wyniki umieszczamy w tabelkach.

11. Obliczamy niepewność wyników

---