Zjawiska dyfrakcji

Propagacja dowolnych fal w 
przestrzeni

 

W przestrzeni mogą się znajdować różne 

elementy

siatki dyfrakcyjne

układy optyczne

przysłony   filtry   i  inne

Analizy dyfrakcyjne należą 

do 

najważniejszych

 i 

najtrudniejszych

 

problemów

optyki, a więc i fotoniki

 

 

Zjawiska dyfrakcji

Zasada Huygensa-
Fresnela

D

 

– diafragma 

półpłaszczyzna

 

Fala płaska  z 

czołami fal

  



  

i

  

’

Z punktów  

Q  

czoła  

’

  wychodzą wtórne fale 

sferyczne interferujące w różnych punktach  

P

  

płaszczyzny  

’

W obszarze światła

 mamy oscylacje intensywności 

w obszarze cienia

 - asymptotyczny spadek jej 

wartości

 

P

C

P

Q

1

Q

2

Q

3

’

D

’



granic

a 

cienia

cień

światło

granic

a 

cienia

 

 

Dla punktów 

P

 różnych od 

P

0

 powstają 

różnice faz 

– spadek intensywności

 

Obraz punktu w postaci plamki 
dyfrakcyjnej

P

0

P

1

Obraz punktu

poglądowe 
wyjaśnienie

Z punktów

 

Q

 

do punktu

 

P

0

 

docierają wtórne fale 

w fazie

 

max

V

V

'

Q

0

P









maksimum 

intensywności

f’

’



D

Q

1

Q

2

’

’

 – 

sferyczne czoło fali dla 

układu bezaberracyjnego

Układ o ogniskowej 

f’

 z 

diafragmą  

D



 - czoło fali generowanej przez

nieskończenie odległy 
punkt

 

 

Przesunięcie fazowe fali w 

przestrzeni rozważania 

jednowymiarowe

Def.: czoło fali - powierzchnia stałej fazy

Czoło 

fali 



x

 

 

 

0

x

x

i

exp

V

V













Rozkład pola na 
czole

cons
t

propagacja



x



Czoło 

fali ’

 

   













ik

exp

V

'

V

x

x

Rozkład pola na 
czole





 /

2

k

 

 

Obraz 
punktu

wynik analityczny dla jednego 
wymiaru

P



p



x



x

P

0

’

f’

a

x



Q

Na czole

 



 

dany rozkład amplitud 

V

Q

(

x

)

 

W  

P

0

  środku krzywizny czoła  



 

 wynik sumowania po punktach

 

 

Q

 

 

max

ρ

V

0

V

x

Q

0

P









W punkcie

  

P

  

sumujemy 

rozkłady

 

z powierzchni

  



p

 

 

x

p

p

x

P

ρ

V

a

V











Ale

 

  











ik

exp

ρ

V

ρ

V

x

Q

x

p

x

x

x

x

x

x

a

u

'

f

a

ρ

ρ











 

  



x

x

x

ρ

Q

x

P

a

iku

exp

u

V

a

V

x







więc

  



 

max

a

V

x

P



 

  



x

ρ

x

x

x

Q

x

P

du

a

iku

exp

ρ

V

'

f

a

V

x









Całkowanie 
w miejsce 
sumy

u

x

 

 

Przysłona prostokątna

rozkład pola w obrazie 
punktu

 

Formalnie można całkować w 

obszarze nieograniczonym

Rozkład pola w obrazie 

punktu jest transformatą 

Fouriera rozkładu pola za 

układem

 

  



x

ρ

x

x

x

Q

x

P

du

a

iku

exp

ρ

V

'

f

a

V

x









 









x

x

0

0

P

ρ

ρ

-

x

x

x

0

x

P

a

ku

c

sin

V

du

a

iku

exp

V

'

f

a

V

0x

0x











P

0

’

f’

a

x



x



2

0x

u

0x

Rozkład 
intensywności

 

 





x

x

0

2

0

P

x

2

P

x

P

a

ku

c

sin

I

a

V

a

I





Pierwsze zero intensywności 
w płaszczyźnie obrazu a

0x

x

0

x

0

0

x

x

0

u

2

a

a

ku









a

0x

 

 

x

0



-

2

-2

 

 

1

0

c

sin

x

x

sin

x

c

sin





zerowe 
miejsca

1



,

3

,

2

,

1

m

m

x











Funkcje sinc i sinc

2

x

0



2

-

-2

1

 

x

c

sin

2

 

 

Obraz punktu   

diafragma prostokątna  

cd

0x

0y

0x

0y

a

a

ρ

ρ





f’

a

x

I

P

(a

x

,0)

I

P0

0



x



y

f’

a

x

a

y

P

0

2

0x

2

0y

u

0y

u

0x

x

0

u

2



 

 

Obraz punktu   

diafragma 

kołowa

a

f’

u

0

2

0



P

 





0

2

0

P

P

kau

Bs

I

a

I



 

 

x

x

J

2

x

Bs

1



gdzie

Rozkład intensywności w 

obrazie punktu

x

Bs(x)

1

0

3.83..

7.02.
.

 

1

0

Bs 

Pierwsze zero rozkładu 

intensywności w obrazie punktu

83

.

3

a

u

2

a

ku

0

0

0

0









0

0

u

61

.

0

a





 

 

Obraz punktu

   

diafragma 

kołowa

 





0

2

0

P

P

kau

Bs

I

a

I



0

0

u

61

.

0

a





Obraz punktu  w 
przekroju

a

I

P

(a)

I

P0

a

0

0

f
’

 

 

Obraz punktu

diafragma kołowa

Ob

’

0

Wpływ 
przeogniskowania



’

Układ 

zogniskowany

Układ 
przeogniskowany

 

 

Zdolność 
rozdzielcza

nierozdzielane

Obrazy 2 oddalonych 
punktów

rozdzielane

26.5
%

g

a



a

graniczny przypadek

0

g

u

sin

n

61

.

0

A

61

.

0

a











Kryterium 

Rayleigha

J.W. Strutt  Lord Rayleigh (1842-

1919)

 

 

Zdolność rozdzielcza  

- granice 

poznania

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

0

g

u

61

.

0

a







a

g

 

– graniczna 

odległość dwóch 

rozróżnianych 

punktów

 

Jeżeli kąt  

u

0

  

jest duży i współczynnik załamania przestrzeni 

przedmiotowej wynosi 

n

 (

dotyczy to przykładowo mikroskopu

), 

wówczas

A

61

.

0

a

g







, gdzie apertura obiektywu 
mikroskopowego

0

u

sin

n

A 

P

1

P

2



a

u

0

n

P

1

’

P

2

’

O
b

O
k

n = 
1

Im krótsza długość fali  

 

i im większa apertura  

A = 

n sinu

0 

tym wyższa zdolność rozdzielcza 

mikroskopu

Uwaga: 

tym mniejsza wartość  

a

g

Dla 

  

 = 0.55 m

   i   

A

max 

= 

1.4

m

24

.

0

a

min

g







granica możliwości 
poznania

Około połowy 

długości fali

 

 

Zdolność rozdzielcza  

- granice 

poznania  cd

0003

.

0

'

4

G

A

250

61

.

0

'

w

0003

.

0

'

2

u















Ponieważ  

A

max

 = 1.4

, 

 

maksymalne 

powiększenie mikroskopu

x

1400

Dla  

 = 0.5510

-3 

mm

powiększenie 
użyteczne

A

1000

G

A

500

u





K !
!

gdzie 

w

 jest kątem pod jaki widzimy  

a

g

 z odległości dobrego widzenia  - 

250

 

mm

,

 

a 

G

 – powiększenie wizualne 

mikroskopu 

250

a

w







G

w

'

w









Ale

Poprawna interpretacja obrazu przez 
obserwatora

 

'

4

'

w

'

2







gdzie  

w’

  jest kątem pod jaki 

widzimy

A

61

.

0

a

g







przez mikroskop

Po 
podstawieniu

 

 

A

1000

G

A

500

u





A

500

G

u



A

1000

G

u



 

 

Obiektyw  40

x   

bez immersji n = 

1

Konsekwencje obserwacji przez mikroskop 

przedmiotów pod dużymi powiększeniami

Przyjmując 
średnio

ok

ob

u

G

A

750

G







powiększenie 
obiektywu

powiększenie 
okulara

W mikroskopach

 

 

x

x

ok

15

do

5

od

G 

Niech  

G

ok

 = 

10

x

G

u

 = 500

x

A = 
0.666..

0

0

0

42

u

666

.

0

u

sin

n

A







2u

0

 = 

84

0

Dla  G

u max

 = 

1400

x

   

4

.

1

u

sin

n

A

max

0

im

max





0

max

0

max

0

134

u

2

921

.

0

u

sin





n

im

 = 1.52

odległość   

rzędu 0.1 

mm

Mała odległość od oprawy obiektywu do przedmiotu   

rzędu 0.2 mm

 

 

Konsekwencje dla układów z przedmiotem nieskończenie 
odległym

Zdolność rozdzielcza  

- 

granice poznania  cd

D

22

.

1

w

g







Kątowa zdolność rozdzielcza 
lunety, teleskopu i obiektywu 
zdjęciowego

Im większa 

średnica  

 D  

źrenicy wejściowej

i 

krótsza długość fali  



,

 

tym mniejszy kąt 

graniczny  

w

g

 

tym wyższa zdolność rozdzielcza 
układu

Z – 

źrenica wejściowa

w

g

Przedmiot 

nieskończenie 

odległy

luneta

w

g

Klisza 

fotograficzn

a

obiekty
w

 

 

Zdolność rozdzielcza

  

- 

Konsekwencje dla lunety

D

22

.

1

w

g







w

g

  –  graniczny  kąt  rozróżniania  2 

punktów

 w przestrzeni przedmiotowej lunety

 

Przykład

Dla  

 = 0.5510

-3 

mm

 chcemy rozróżnić 

2 punkty

 

odległe od siebie o  

20 cm

 na ziemi z satelity na 

wysokości  

50 km

w

g

 = 0.2/50000 = 

410

-6

   

wówczas     

D

min

  170 mm

 

 

Kolokwium I

3 tematy

1. Wyprowadzenie z komentarzami 

!!! 

(10 punktów). 

Brak komentarza 

(tylko rysunek i wzory)

 = zero punktów

bieg promienia przez pryzmat, bieg promienia przez układ 
elementarny i przejście do przestrzeni przyosiowej, promień w 
ośrodku gradientowym, prawo załamania na bazie hipotezy 
Huygensa, widmo promieniowania atomu (

K!!

), obraz punktu dla 

przysłony prostokątnej, powiększenie użyteczne mikroskopu (

K!!

)

2.    Tematy opisowe po 5 punktów

Razem z jednego kolokwium można uzyskać maksymalnie 20 punktów

Punktacja zaliczenia wykładu na podstawie wyniku dwóch 
kolokwiów

Punkty

Stopień

0 - 22.5

        nie 

zaliczone
23.0 - 26.5

 3.0

27.0 - 29.5

 3.5

30.0 - 32.5

 4.0

33.0 - 36.0

 4.5

36.5 - 40.0

 5.0

 

 

Zjawiska dyfrakcji  
 

cd

Jak można przedstawić problem granic poznania dla 

przedmiotów o złożonej (rozciągłej) strukturze ?

Dla prostoty problem przedstawiony zostanie w sposób 

poglądowy na podstawie analizy obrazu siatki dyfrakcyjnej

Dotychczas granice poznania były definiowane przez 

obserwację dwupunktowego przedmiotu

Przypadek obserwacji gwiazd przez teleskop lub 

lunetę

 

 

Siatka 
dyfrakcyjna

x



m = 
0

m = 1

m = 2

m = 
-1

m = -2



z

.

.

.

,

2

,

1

,

0

m

m

d

sin

z















Kierunki propagacji fal płaskich przez 

siatkę dyfrakcyjną

Mówi się o 

rzędach dyfrakcyjnych

 

Periodyczny zbiór jednakowych 
elementów

d

 

– okres

 (stała) 

siatki

Element 
siatki

Szczególny przypadek 

siatki dyfrakcyjnej 

jako zbiór

 szczelin



 

 

Odwzorowanie siatki przez układ optyczny



m = 
0

f’

Propagacja rzędu  m 
= 0

Ob

Ok

płaszczyzna 
obrazu

Pole jednorodne 

jak bez siatki



m = 
1

f’

Propagacja rzędu  m 
= 1

Ob

Ok

płaszczyzna 
obrazu

Pole jednorodne 

jak bez siatki

 

 



f’

Ob

Ok

płaszczyzna 
obrazu

m = -2 ÷ 
2

propagacja rzędów m = -2 
÷ 2



f’

Ob

Ok

płaszczyzna 
obrazu

diafragm
a

obraz siatki niewidoczny   

transmisja tylko rzędu m 
= 0

Płaszczyzn

a widma 

siatki

 

 



f’

Ob

Ok

płaszczyzna 
obrazu

diafragm
a

Wynik transmisji rzędów m = 1, 
0, -1

W wyniku interferencji 

promieniowania generowanego 

przez 3 źródła punktowe powstaje 

obraz prążkowy

Obraz jest periodyczny, ale czy widzimy szczegóły 
siatki ?

 

 

Granice

 

poznania  

szczególne przypadki

 

m

0 1 2 3

-1

-2

-3

widmo siatki

siatka 

dyfrakcyjn

a

obrazy siatki dla 

różnego obcięcia 

widma

m = - 5  

5

m

0 1 2 3

-1

-2

-3

Przesłonięcie rzędów 

–1

 i 

1

 powoduje zwiększenie częstości 

obrazu. Słynne doświadczenie Abbego

 

 

Siatka szczelinowa   

Przybliżenia

x

Przeniesione rzędy  

m = -1,  0  i  

1

Obraz siatki 
dyfrakcyjnej

 

 

Test prostokątny cd   

Przybliżenia

x

Przeniesione rzędy  

m = -3   

 3

Obraz siatki dyfrakcyjnej

 

 

Test prostokątny cd   

Przybliżenia

x

Przeniesione rzędy  

m = -15    

15

Obraz siatki 
dyfrakcyjnej

 

 

Granice

 

poznania

Obiektyw nie przenosi całego widma siatki 

(przedmiotu)

Obraz jest periodyczny o częstości 

odpowiadającej obrazowi siatki, ale nie jest 

podobny do przedmiotu

Obraz dany przez układ optyczny 

nigdy nie jest podobny do 

przedmiotu

 

 

Siatka dyfrakcyjna ze stałą  

d

  rzędu długości fali

x



m = 
0

m = 1

m = -1



z

.

.

.

,

2

,

1

,

0

m

m

d

sin

z















1

sin

1

m

dla

z







x



m = 
0



z

1

sin

0

m

i

d

dla

z













Sama siatka dyfrakcyjna nie przenosi 

informacji o swojej strukturze

Czy to 
prawda ?

 

 

Czy to prawda 
?

Rozważania dotyczące interferencji, 

dyfrakcji, 

i dalej polaryzacji

, były, 

i 

będą

, prowadzone z dokładnością 

optyki falowej

Problemy optyki podfalowej 

muszą być rozwiązywane 

narzędziami elektrodynamiki 

optycznej

Rozwiązywanie równań 

Maxwella metodą elementów 

skończonych

Zagadnienia wykraczają poza 

obszar wiedzy tu 

prezentowany

 

 

Literatura 
uzupełniająca

W.T. Cathey, Optyczne przetwarzanie informacji i holografia, 
PWN, Warszawa, 1978

K. Gniadek, Optyka fourierowska, WPW, Warszawa, 1987

R.Jóźwicki: Podstawy inżynierii fotonicznej. Ofic,Wyd. PW, 
Warszawa 2006

R. Jóźwicki, Teoria odwzorowania optycznego, PWN, Warszawa, 
1988

B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & 
Sons, New York, 1991, paragraf 4.3 i 4.4

Literatura   

podstawowa

  

   

poziom wyższy  

  

naukowa