Zjawiska dyfrakcji

Propagacja dowolnych fal w
przestrzeni

W przestrzeni mogą się znajdować różne

elementy

siatki dyfrakcyjne

układy optyczne

przysłony filtry i inne

Analizy dyfrakcyjne należą

do

najważniejszych

i

najtrudniejszych

problemów

optyki, a więc i fotoniki

Zjawiska dyfrakcji

Zasada Huygensa-
Fresnela

D

– diafragma

półpłaszczyzna

Fala płaska z

czołami fal



i

’

Z punktów

Q

czoła

’

wychodzą wtórne fale

sferyczne interferujące w różnych punktach

P

płaszczyzny

’

W obszarze światła

mamy oscylacje intensywności

w obszarze cienia

- asymptotyczny spadek jej

wartości

P

C

P

Q

1

Q

2

Q

3

’

D

’



granic

a

cienia

cień

światło

granic

a

cienia

Dla punktów

P

różnych od

P

0

powstają

różnice faz

– spadek intensywności

Obraz punktu w postaci plamki
dyfrakcyjnej

P

0

P

1

Obraz punktu

poglądowe
wyjaśnienie

Z punktów

Q

do punktu

P

0

docierają wtórne fale

w fazie

max

V

V

'

Q

0

P









maksimum

intensywności

f’

’



D

Q

1

Q

2

’

’

–

sferyczne czoło fali dla

układu bezaberracyjnego

Układ o ogniskowej

f’

z

diafragmą

D



- czoło fali generowanej przez

nieskończenie odległy
punkt

Przesunięcie fazowe fali w

przestrzeni rozważania

jednowymiarowe

Def.: czoło fali - powierzchnia stałej fazy

Czoło

fali 



x

 

 

 

0

x

x

i

exp

V

V













Rozkład pola na
czole

cons
t

propagacja



x



Czoło

fali ’

 

   













ik

exp

V

'

V

x

x

Rozkład pola na
czole





 /

2

k

Obraz
punktu

wynik analityczny dla jednego
wymiaru

P



p



x



x

P

0

’

f’

a

x



Q

Na czole



dany rozkład amplitud

V

Q

(

x

)

W

P

0

środku krzywizny czoła



wynik sumowania po punktach

Q

 

 

max

ρ

V

0

V

x

Q

0

P









W punkcie

P

sumujemy

rozkłady

z powierzchni



p

 

 

x

p

p

x

P

ρ

V

a

V











Ale

 

  











ik

exp

ρ

V

ρ

V

x

Q

x

p

x

x

x

x

x

x

a

u

'

f

a

ρ

ρ











 

  



x

x

x

ρ

Q

x

P

a

iku

exp

u

V

a

V

x







więc



 

max

a

V

x

P



 

  



x

ρ

x

x

x

Q

x

P

du

a

iku

exp

ρ

V

'

f

a

V

x









Całkowanie
w miejsce
sumy

u

x

Przysłona prostokątna

rozkład pola w obrazie
punktu

Formalnie można całkować w

obszarze nieograniczonym

Rozkład pola w obrazie

punktu jest transformatą

Fouriera rozkładu pola za

układem

 

  



x

ρ

x

x

x

Q

x

P

du

a

iku

exp

ρ

V

'

f

a

V

x









 









x

x

0

0

P

ρ

ρ

-

x

x

x

0

x

P

a

ku

c

sin

V

du

a

iku

exp

V

'

f

a

V

0x

0x











P

0

’

f’

a

x



x



2

0x

u

0x

Rozkład
intensywności

 

 





x

x

0

2

0

P

x

2

P

x

P

a

ku

c

sin

I

a

V

a

I





Pierwsze zero intensywności
w płaszczyźnie obrazu a

0x

x

0

x

0

0

x

x

0

u

2

a

a

ku









a

0x

x

0



-

2

-2

 

 

1

0

c

sin

x

x

sin

x

c

sin





zerowe
miejsca

1



,

3

,

2

,

1

m

m

x











Funkcje sinc i sinc

2

x

0



2

-

-2

1

 

x

c

sin

2

Obraz punktu

diafragma prostokątna

cd

0x

0y

0x

0y

a

a

ρ

ρ





f’

a

x

I

P

(a

x

,0)

I

P0

0



x



y

f’

a

x

a

y

P

0

2

0x

2

0y

u

0y

u

0x

x

0

u

2



Obraz punktu

diafragma

kołowa

a

f’

u

0

2

0



P

 





0

2

0

P

P

kau

Bs

I

a

I



 

 

x

x

J

2

x

Bs

1



gdzie

Rozkład intensywności w

obrazie punktu

x

Bs(x)

1

0

3.83..

7.02.
.

 

1

0

Bs 

Pierwsze zero rozkładu

intensywności w obrazie punktu

83

.

3

a

u

2

a

ku

0

0

0

0









0

0

u

61

.

0

a





Obraz punktu

diafragma

kołowa

 





0

2

0

P

P

kau

Bs

I

a

I



0

0

u

61

.

0

a





Obraz punktu w
przekroju

a

I

P

(a)

I

P0

a

0

0

f
’

Obraz punktu

diafragma kołowa

Ob

’

0

Wpływ
przeogniskowania



’

Układ

zogniskowany

Układ
przeogniskowany

Zdolność
rozdzielcza

nierozdzielane

Obrazy 2 oddalonych
punktów

rozdzielane

26.5
%

g

a



a

graniczny przypadek

0

g

u

sin

n

61

.

0

A

61

.

0

a











Kryterium

Rayleigha

J.W. Strutt  Lord Rayleigh (1842-

1919)

Zdolność rozdzielcza

- granice

poznania

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

0

g

u

61

.

0

a







a

g

– graniczna

odległość dwóch

rozróżnianych

punktów

Jeżeli kąt

u

0

jest duży i współczynnik załamania przestrzeni

przedmiotowej wynosi

n

(

dotyczy to przykładowo mikroskopu

),

wówczas

A

61

.

0

a

g







, gdzie apertura obiektywu
mikroskopowego

0

u

sin

n

A 

P

1

P

2



a

u

0

n

P

1

’

P

2

’

O
b

O
k

n =
1

Im krótsza długość fali



i im większa apertura

A =

n sinu

0

tym wyższa zdolność rozdzielcza

mikroskopu

Uwaga:

tym mniejsza wartość

a

g

Dla

 = 0.55 m

i

A

max

=

1.4

m

24

.

0

a

min

g







granica możliwości
poznania

Około połowy

długości fali

Zdolność rozdzielcza

- granice

poznania cd

0003

.

0

'

4

G

A

250

61

.

0

'

w

0003

.

0

'

2

u















Ponieważ

A

max

= 1.4

,

maksymalne

powiększenie mikroskopu

x

1400

Dla

 = 0.5510

-3

mm

powiększenie
użyteczne

A

1000

G

A

500

u





K !
!

gdzie

w

jest kątem pod jaki widzimy

a

g

z odległości dobrego widzenia -

250

mm

,

a

G

– powiększenie wizualne

mikroskopu

250

a

w







G

w

'

w









Ale

Poprawna interpretacja obrazu przez
obserwatora

'

4

'

w

'

2







gdzie

w’

jest kątem pod jaki

widzimy

A

61

.

0

a

g







przez mikroskop

Po
podstawieniu

A

1000

G

A

500

u





A

500

G

u



A

1000

G

u



Obiektyw 40

x

bez immersji n =

1

Konsekwencje obserwacji przez mikroskop

przedmiotów pod dużymi powiększeniami

Przyjmując
średnio

ok

ob

u

G

A

750

G







powiększenie
obiektywu

powiększenie
okulara

W mikroskopach

x

x

ok

15

do

5

od

G 

Niech

G

ok

=

10

x

G

u

= 500

x

A =
0.666..

0

0

0

42

u

666

.

0

u

sin

n

A







2u

0

=

84

0

Dla G

u max

=

1400

x

4

.

1

u

sin

n

A

max

0

im

max





0

max

0

max

0

134

u

2

921

.

0

u

sin





n

im

= 1.52

odległość

rzędu 0.1

mm

Mała odległość od oprawy obiektywu do przedmiotu

rzędu 0.2 mm

Konsekwencje dla układów z przedmiotem nieskończenie
odległym

Zdolność rozdzielcza

-

granice poznania cd

D

22

.

1

w

g







Kątowa zdolność rozdzielcza
lunety, teleskopu i obiektywu
zdjęciowego

Im większa

średnica

D

źrenicy wejściowej

i

krótsza długość fali



,

tym mniejszy kąt

graniczny

w

g

tym wyższa zdolność rozdzielcza
układu

Z –

źrenica wejściowa

w

g

Przedmiot

nieskończenie

odległy

luneta

w

g

Klisza

fotograficzn

a

obiekty
w

Zdolność rozdzielcza

-

Konsekwencje dla lunety

D

22

.

1

w

g







w

g

– graniczny kąt rozróżniania 2

punktów

w przestrzeni przedmiotowej lunety

Przykład

Dla

 = 0.5510

-3

mm

chcemy rozróżnić

2 punkty

odległe od siebie o

20 cm

na ziemi z satelity na

wysokości

50 km

w

g

= 0.2/50000 =

410

-6

wówczas

D

min

 170 mm

Kolokwium I

3 tematy

1. Wyprowadzenie z komentarzami

!!!

(10 punktów).

Brak komentarza

(tylko rysunek i wzory)

= zero punktów

bieg promienia przez pryzmat, bieg promienia przez układ
elementarny i przejście do przestrzeni przyosiowej, promień w
ośrodku gradientowym, prawo załamania na bazie hipotezy
Huygensa, widmo promieniowania atomu (

K!!

), obraz punktu dla

przysłony prostokątnej, powiększenie użyteczne mikroskopu (

K!!

)

2. Tematy opisowe po 5 punktów

Razem z jednego kolokwium można uzyskać maksymalnie 20 punktów

Punktacja zaliczenia wykładu na podstawie wyniku dwóch
kolokwiów

Punkty

Stopień

0 - 22.5

nie

zaliczone
23.0 - 26.5

3.0

27.0 - 29.5

3.5

30.0 - 32.5

4.0

33.0 - 36.0

4.5

36.5 - 40.0

5.0

Zjawiska dyfrakcji

cd

Jak można przedstawić problem granic poznania dla

przedmiotów o złożonej (rozciągłej) strukturze ?

Dla prostoty problem przedstawiony zostanie w sposób

poglądowy na podstawie analizy obrazu siatki dyfrakcyjnej

Dotychczas granice poznania były definiowane przez

obserwację dwupunktowego przedmiotu

Przypadek obserwacji gwiazd przez teleskop lub

lunetę

Siatka
dyfrakcyjna

x



m =
0

m = 1

m = 2

m =
-1

m = -2



z

.

.

.

,

2

,

1

,

0

m

m

d

sin

z















Kierunki propagacji fal płaskich przez

siatkę dyfrakcyjną

Mówi się o

rzędach dyfrakcyjnych

Periodyczny zbiór jednakowych
elementów

d

– okres

(stała)

siatki

Element
siatki

Szczególny przypadek

siatki dyfrakcyjnej

jako zbiór

szczelin



Odwzorowanie siatki przez układ optyczny



m =
0

f’

Propagacja rzędu m
= 0

Ob

Ok

płaszczyzna
obrazu

Pole jednorodne

jak bez siatki



m =
1

f’

Propagacja rzędu m
= 1

Ob

Ok

płaszczyzna
obrazu

Pole jednorodne

jak bez siatki



f’

Ob

Ok

płaszczyzna
obrazu

m = -2 ÷
2

propagacja rzędów m = -2
÷ 2



f’

Ob

Ok

płaszczyzna
obrazu

diafragm
a

obraz siatki niewidoczny

transmisja tylko rzędu m
= 0

Płaszczyzn

a widma

siatki



f’

Ob

Ok

płaszczyzna
obrazu

diafragm
a

Wynik transmisji rzędów m = 1,
0, -1

W wyniku interferencji

promieniowania generowanego

przez 3 źródła punktowe powstaje

obraz prążkowy

Obraz jest periodyczny, ale czy widzimy szczegóły
siatki ?

Granice

poznania

szczególne przypadki

m

0 1 2 3

-1

-2

-3

widmo siatki

siatka

dyfrakcyjn

a

obrazy siatki dla

różnego obcięcia

widma

m = - 5 

5

m

0 1 2 3

-1

-2

-3

Przesłonięcie rzędów

–1

i

1

powoduje zwiększenie częstości

obrazu. Słynne doświadczenie Abbego

Siatka szczelinowa

Przybliżenia

x

Przeniesione rzędy

m = -1, 0 i

1

Obraz siatki
dyfrakcyjnej

Test prostokątny cd

Przybliżenia

x

Przeniesione rzędy

m = -3 

3

Obraz siatki dyfrakcyjnej

Test prostokątny cd

Przybliżenia

x

Przeniesione rzędy

m = -15 

15

Obraz siatki
dyfrakcyjnej

Granice

poznania

Obiektyw nie przenosi całego widma siatki

(przedmiotu)

Obraz jest periodyczny o częstości

odpowiadającej obrazowi siatki, ale nie jest

podobny do przedmiotu

Obraz dany przez układ optyczny

nigdy nie jest podobny do

przedmiotu

Siatka dyfrakcyjna ze stałą

d

rzędu długości fali

x



m =
0

m = 1

m = -1



z

.

.

.

,

2

,

1

,

0

m

m

d

sin

z















1

sin

1

m

dla

z







x



m =
0



z

1

sin

0

m

i

d

dla

z













Sama siatka dyfrakcyjna nie przenosi

informacji o swojej strukturze

Czy to
prawda ?

Czy to prawda
?

Rozważania dotyczące interferencji,

dyfrakcji,

i dalej polaryzacji

, były,

i

będą

, prowadzone z dokładnością

optyki falowej

Problemy optyki podfalowej

muszą być rozwiązywane

narzędziami elektrodynamiki

optycznej

Rozwiązywanie równań

Maxwella metodą elementów

skończonych

Zagadnienia wykraczają poza

obszar wiedzy tu

prezentowany

Literatura
uzupełniająca

W.T. Cathey, Optyczne przetwarzanie informacji i holografia,
PWN, Warszawa, 1978

K. Gniadek, Optyka fourierowska, WPW, Warszawa, 1987

R.Jóźwicki: Podstawy inżynierii fotonicznej. Ofic,Wyd. PW,
Warszawa 2006

R. Jóźwicki, Teoria odwzorowania optycznego, PWN, Warszawa,
1988

B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley &
Sons, New York, 1991, paragraf 4.3 i 4.4

Literatura

podstawowa

poziom wyższy

naukowa