Autor:  Krystyna Bręk, Zespół Szkół 

Zawodowych    im. Gen. I. Prądzyńskiego w 
Augustowie

2

0

0

0

K.B.

 

 

INFORMACJA

RZUTOWANIE

 SIŁ

SIŁA  I  JEJ 

WŁAŚCIWOŚCI

UKŁADY SIŁ

RODZAJE SIŁ

WYPADKOWA

UKŁADU SIŁ

RÓWNOWAGA 

UKŁADU SIŁ

ZADANIA

WYJŚCIE

K.B.

 

 

SIŁA I JEJ

WŁAŚCIWOŚCI

SIŁA I JEJ

WŁAŚCIWOŚCI

K.B.

 

 

Siła jako wektor

Siła 

to 

mechaniczne 
oddziaływanie 
jednego ciała na 
drugie.

Kierunek

 (linia 

działania)

zwrot

Punkt 

przyłożeni

a

Wartoś

ć 

(moduł)

Cechy siły:

Nacisk stołu na rękę.

Nacisk ręki na stół.

K.B.

 

 

Jednostka wartości siły

W układzie SI wartość siły wyrażana jest w 

niutonach

 (symbol 

N

).

2

1

1

1

s

m

kg

N





Jeden niuton to wartość siły, która masie jednego 

kilograma nadaje przyśpieszenie jednego metra na 

sekundę do kwadratu.

Pochodne jednostki:



   kiloniuton



   meganiuton

N

kN

3

10

1

1





N

MN

6

10

1

1





K.B.

 

 

Składanie sił.

Wielobok sił:

Równoległobok 

sił:

O

F

1

F

2

F

3

F

1

F

2

F

3

S

R

R

 

- wypadkowa układu sił, która zastępuje działanie 

tego układu.

 S

 

- suma układu sił

O

F

1

F

2

F

3

R

F

1

F

2

F

3

S

F

12

K.B.

 

 

Rozkład siły na składowe

...o kierunkach prostych l, m

m

l

F

F

m

F

l

F

l

, F

m

 - 

składowe siły

 

F

 

na zadanych kierunkach 
l, m.

...o kierunkach osi x, y

y

x

F

F

x

F

y

F

x

, F

y

 - 

składowe siły

 

F 

na osiach x, y.

K.B.

 

 

Rodzaje 

sił

Rodzaje 

sił

K.B.

 

 

Podział

 

sił

SIŁY MECHANICZNE

WEWNĘTRZNE

ZEWNĘTRZNE

CZYNNE

REAKCJE

MIĘDZY 
CZĄSTE 

CZKOW

E

NAPIĘCIA

K.B.

 

 

Układy sił

Układy sił

K.B.

 

 

Układ sił

Układ sił

 

to zbiór sił czynnych i biernych (reakcji) 

działających jednocześnie na ciało oswobodzone

.

Oswobodzić ciało

 tzn. 

usunąć podpory (więzy), a w ich 

miejsce wprowadzić reakcje.

Q

A

B

Ciało nieswobodne.

Q

A

B

R

A

R

B

Ciało oswobodzone.

K.B.

 

 

Podział układów sił.

UKŁADY SIŁ

PŁASKIE

PRZESTRZENNE

ZBIEŻNE

RÓWNOLEGŁE

DOWOLNE

DOWOLNE

ZBIEŻNE

RÓWNOLEGŁE

K.B.

 

 

Rzutowanie

sił

Rzutowanie

sił

K.B.

 

 

Rzut siły na oś.

m

F

F

m





  Rzutem siły na oś 

(F

m

) 

nazywamy wektor 

łączący rzut początku z 
rzutem końca wektora 
danej siły na tę oś.

  



cos



F

F

m

Wartość 

F

m

:

K.B.

 

 

Szczególne przypadki rzutów siły 

na oś.

m

F

F

m

F

F

m



m

F

F

m

F

F

m







cos



F

F

m

m

F

F

m



F

m

m



F

F

m



cos





 F

F

m

m

F

F

0



m

F

K.B.

 

 

uwzględniając znaki 
(+,-) rzutów 

F

x

 

i

 F

y

 

określa się, w stronę 
której ćwiartki układu 
x,y zwrócona jest siła

 F

.

Rzut siły na osie x, y.

O

F

F

x

X

Y

F

y



  

Wartość rzutów siły 

F 

    na osie x i y:





sin

cos









F

F

F

F

y

x

Rzuty siły F na osie x i y 
określają jednoznacznie jej:

  wartość:

  kierunek:

  zwrot:

2

2

y

x

F

F

F





2

2

cos

y

x

x

F

F

F







K.B.

 

 

Twierdzenie o sumie rzutów 

sił.

X

O

F

1

F

2

F

3

Y

F

4

S

F

1x

F

2x

F

3x

F

4x

S

x

Układ sił

F

1

F

2

F

3

F

4

S

Suma rzutów dowolnej liczby sił na oś jest równa 

rzutowi sumy tych sił na tę samą oś.

ny

y

y

y

y

nx

x

x

x

x

F

F

F

F

S

F

F

F

F

S

























3

2

1

3

2

1

!!!

 Dorysuj rzuty sił na 

oś  y.

 

Pomoc

Pomoc

K.B.

 

 

nie

tak

X

O

F

1

F

2

F

3

Y

F

4

S

F

1x

F

2x

F

3x

F

4x

S

x

F

1y

F

2y

F

3y

F

4y

S

y

Czy Twój rysunek odpowiada obrazowi na osi y?

K.B.

 

 

Wypadko

wa układu 

sił

Wypadko

wa układu 

sił

K.B.

 

 

Wypadkowa płaskiego 

zbieżnego układu sił.

    Istnieją dwie metody wyznaczania wypadkowej  

płaskiego zbieżnego układu sił:

 metoda analityczna

 metoda wykreślna

W metodzie wykreślnej można posłużyć się

 wielobokiem

 

lub

 równoległobokiem sił. 

Oba sposoby zostały 

przedstawione na slajdzie „Składanie sił” w dziale „Siła i 

jej własności”.

Pokaż

Pokaż

K.B.

 

 

Analityczna metoda

wyznaczania wypadkowej płaskiego 

zbieżnego układu sił.

X

F

1

F

2

O

Y

F

3

   Kolejność działań:



 przez punkt zbieżności O poprowadzić 

osie  

x,y


 obliczyć 

wartość rzutów wypadkowej

 na osie 

 x,y



 obliczyć 

wartość wypadkowej

 R



 określić 

kierunek wypadkowej

 R, odczytując 

z   tablic wartość kąta 



 określić 

zwrot wypadkowej

 R według znaków 

jej rzutów R

x

 i R

y.

3

2

2

1

1

2

2

1

1

sin

sin

cos

cos

F

F

F

R

F

F

R

Y

X



























2

2

Y

X

R

R

R







R

R

X





cos

R



1



2



K.B.

 

 

Równowa

ga   

układu sił

Równowa

ga   

układu sił

K.B.

 

 

Analityczne warunki 

równowagi

płaskiego zbieżnego układu sił.

 

  Płaski zbieżny układ sił jest w równowadze, jeżeli punkt 
materialny będący pod jego działaniem pozostaje w 
spoczynku tzn. wypadkowa R tego układu ma wartość 0.

R

X 

= 0   

 

R

Y 

= 0

  Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x jest równa zeru. 

  Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y jest równa zeru.

0

sin

sin

sin

0

cos

cos

cos

3

3

2

2

1

1

4

3

3

2

2

1

1









































F

F

F

F

F

F

F

Y

X

O

F

1

F

2

F

3

F

4

1



2



3



Zrównoważony 

układ sił. 

K.B.

 

 

Wykreślny warunek 

równowagi

płaskiego zbieżnego układu sił.

 

  

Płaski zbieżny układ sił jest w 

równowadze, jeżeli wielobok sił tego 
układu jest zamknięty

.

Zamknięty

 wielobok 

sił.

 

F

1

F

2

F

3

F

4

Y

X

O

F

1

F

2

F

3

F

4

1



2



3



Zrównoważony

 układ sił.

K.B.

 

 

Zadania

Zadania

K.B.

 

 

Zadanie 1

Y

X

O

F

4

F

3

F

2

F

1

2



3



4



Wskaż równania, które są 
poprawnie zapisanymi 
warunkami równowagi danego 
układu sił.

Rzuty na oś x:

0

cos

cos

cos

4

4

3

3

2

2

1





















F

F

F

F

0

sin

cos

sin

4

4

3

3

2

2

1





















F

F

F

F

tak

Rzuty na oś y:

0

sin

cos

cos

4

4

3

3

2

2



















F

F

F

0

cos

sin

cos

4

4

3

3

2

2





















F

F

F

tak

ni

e

tak

ni

e

tak

ni

e

ni

e

K.B.

 

 

Zadanie 2

Y

X

O

F

1

F

2

F

3

2



3



1.  Oceń poprawność zapisu 
rzutów wypadkowej R 
układu sił na osie :

3

3

2

2

1

cos

cos

















F

F

F

R

X

1

3

3

2

2

sin

cos

F

F

F

R

Y















2.  Narysuj wielobok sił 

(Menu podręczne pióro)

 i oceń 

czy układ sił jest w równowadze 

(Menu podręczne 

strzałka)

:

nie

tak

nie

tak

tak

nie

K.B.

 

 

Odpowiedzi do zadania 2

1.  Równania rzutów 
wypadkowej R układu na osie 
x, y:

Y

X

O

F

1

F

2

F

3

2



3



3

3

2

2

1

cos

cos

















F

F

F

R

X

3

3

2

2

sin

sin













F

F

R

Y

2.  Wielobok sił jest otwarty - 
układ sił nie jest w stanie 
równowagi. 

F

1

F

2

F

3

K.B.

 

 

Zadanie 3

Czy poprawnie przedstawiono reakcje w 
podporach?

A

B

G

R

A

R

BY

R

BX



  Podpora A:

tak



  Podpora B:

A

B

G

R

A

R

B



  Podpora A:



  Podpora B:

1.

2.

nie

tak

nie

tak

nie

tak

nie

K.B.

 

 

Zadanie 4  A

Dorysuj reakcje w podporach.   

(Memu podręczne  opcje 

wskaźnika  kolor pióra  żółty)

 

Czy tak przedstawiłeś reakcje w 
podporach?



  Podpora A:



  Podpora B:

Pokaż odpowiedź

Pokaż odpowiedź

tak

nie

tak

nie

F

1

F

2

A

B

F

1

F

2

A

B

R

AX

R

AY

R

B

K.B.

 

 

Zadanie 4  B

Dorysuj reakcje w podporach.   

(Memu podręczne  opcje 

wskaźnika  kolor pióra  żółty)

 

A

B

G

Czy tak przedstawiłeś reakcje w 
podporach?



  Podpora A:



  Podpora B:

Pokaż odpowiedź

Pokaż odpowiedź

A

B

G

R

A

R

B

tak

nie

tak

nie

K.B.

 

 

Zadanie 4  C

Dorysuj reakcje w podporach.     

(Memu podręczne  opcje 

wskaźnika  kolor pióra  żółty)

 

G

A

B

G

A

B

R

B

R

AY

R

AX

Czy tak 
przedstawiłeś 
reakcje w 
podporach?



  Podpora A:



  Podpora B:

Pokaż odpowiedź

Pokaż odpowiedź

tak

nie

tak

nie

K.B.