Zasady zachowania w
Mechanice Ośrodków
Ciągłych

Zasada zachowania masy, pędu i
momentu pędu. Związki energetyczne

Mechanika ośrodków

ciągłych



Mechanika ośrodków ciągłych – dział mechaniki opisujący
odkształcenia, ruch i powstawanie sił wewnętrznych w
ośrodkach ciągłych pod wpływem działania sił zewnętrznych.



W mechanice ośrodków ciągłych stosuje się makroskopowy
opis zjawisk fizycznych, czyli pomija się mikroskopową
budowę materii. Do opisu ciał stosuje się pojęcie ośrodka
ciągłego. Definiuje się pola parametrów fizycznych w każdym
punkcie badanego obszaru przestrzeni wypełnionego
materią. Pola parametrów mogą być skalarne (np. ciśnienie),
wektorowe (np. prędkość) lub tensorowe (np. tensor
naprężeń). Do opisu zjawisk używane są pojęcia i twierdzenia
z teorii pola. Podstawowe prawa fizyczne takie jak np. prawo
zachowania masy,

energii

, pędu i momentu pędu definiuje się

za pomocą równań różniczkowych lub całkowych.



Definicja – www.wikipedia.pl

Wstęp



W tym rozdziale wprowadzimy klasyczne zasady
równowagi i przedyskutujemy kilka ich ważnych
konsekwencji. Fundamentalne zasady równowagi czyli
zasady zachowania masy, zasady zachowania pędu i
równowagi energetycznej, są ważne we wszystkich
dziedzinach mechaniki ośrodków ciągłych. Mają one
zastosowanie do każdego konkretnego materiału i
muszą być spełnione za każdym razem.



Omawiamy również inny podstawowy zestaw praw,
które są wyrażone jako nierówności, takich jak drugie
prawo

termodynamiki.

Dział

poświęcony

termodynamice ośrodków ciągłych w szczególny
sposób odnosi się do bilansu energii i entropii zasady
nierówności. Wreszcie, struktura zasad przedstawioną
jako zasada nierówności nazwaną MASTER BALANCED).

Ogólna budowa zasady

zachowania



Lokalną zasadę zachowania pewnej wielkości φ(x,t)
można wyrazić przy użyciu pochodnej materialnej



Globalną zasadę zachowania wielkości dla ciała w
konfiguracji aktualnej zapiszemy przy użyciu pochodnej
materialnej z całki po objętości

t

B

Zasada zachowania masy



Każdy ciągłe ciało β posiada masę, oznaczanego przez m. Jest to
podstawowa właściwość fizyczna powszechnie i określa się miarą ilości
materiału zawartego w ciele β. W celu przeprowadzenia badania
makroskopowego zakładamy, że masa jest w sposób ciągły (lub co
najmniej odcinkowo ciągły) rozłożona dowolnie w regionu Ω (z
przestrzeni fizycznej) przy granicy powierzchni ∂ Ω i w czasie t. Masa
jest miarą skalarną (liczba dodatnia), która jest niezmienna w czasie
ruchu. My nie obejmujemy skoncentrowanych mas takich jak te
wykorzystywane w klasycznej mechanice Newtona.



Otwarte i zamknięte układy.



Definiujemy układ jako ilość masy lub określonego zbioru materii w
kosmosie. Dopełnieniem układu, tj. masę lub region poza jego otoczenia
nazywamy granicą lub ścianą układu (patrz rys. 4.1).



Zamknięty układ (lub masa kontrolna) składa się z określonej ilości
masy w odpowiednio wybranym regionie Ω w przestrzeni z granicznej
powierzchni ∂ Ω, który zależy od czasu t (patrz rys. 4.1). Masa nie może
przekraczać (wejście lub wyjście) swojej granicy, ale energia w formie
pracy lub ciepła, może przekroczyć granicę. Objętość zamkniętego
systemu nie musi być stała.

Zasada zachowania masy



Jeśli nawet energia nie wchodzi w interakcje między układem a jego
otoczeniem, wówczas mówimy, że granica jest izolowana. Taki układ
nazywa się mechanicznie i termicznie izolowany, co jest idealizacją
układu fizycznego. Zawsze istnieją elektromagnetyczne i inne rodzaje
sił, które przenikają przestrzeń. Pamiętaj, że żaden układ fizyczny nie
jest

naprawdę

odosobniony.

Układ otwarty (lub objętość kontrolna) składa się z ustalonej
wielkości objętości z odpowiednio dobranego regionu Ωc, który jest
niezależny od czasu t .Załączając granicę objętości kontrolnej, którą
zarówno masa i energia mogą przekraczać (wejście lub wyjście),
nazywa się powierzchnią sterową, którą oznaczamy przez ∂Ωc.



Zachowanie masy.



W nierelatywistycznej fizyce masa nie może być produkowana lub
zniszczona. Zakłada się, że podczas ruchu nie istnieją źródła masy
(zbiorniki zasilające masę), ani zlewy(sinks) masowe (zbiorniki, które
wchłaniają masę), tak aby masa m ciała miała zachowaną ilość ilość.
Stąd, jeśli cząstka ma pewną masę w układzie odniesienia, to musi ona
pozostać taka sama podczas ruchu. Biorąc pod uwagę, zamknięty
układ, odnosi się to też do całkowitej masy. Możemy napisać:

Zasada zachowania masy



M (Ω

0

) = m (Ω) > 0



Co jest zachowane dla wszystkich czasów t.
Relacja jest stwierdzeniem fundamentalnego
mechanicznego prawa znanego jako Zasada
zachowania masy. Powierzchnie graniczne
w odniesieniu i konfiguracjach i przy
objętości V i v, są oznaczane odpowiednio
przez Ω

0

i Ω. Należy pamiętać, że masa m

jest niezależna od ruchu i regionu
zajmowanego przez ciało. Stąd pochodna
masy m po czasie t daje



m

t

(Ω

0

) = m

t

(Ω)

= 0

Zasada zachowania masy



Globalną zasadę zachowania masy

najkrócej możemy zapisać jako



Ponieważ powyższy związek jest prawdziwy dla dowolnej
objętości to musi także obowiązywać dla objętości
elementarnej



To równanie wyraża lokalną zasadę zachowania masy lub
warunek ciągłości. Wektor v jest tensorem rozciągnięcia.

Zasada zachowania masy



Alternatywną formę zasady zachowania masy można
uzyskać wychodząc od nierówności mas ciała w konfiguracji
początkowej i w konfiguracji aktualnej, czego konsekwencją
jest zapisanie globalnego i lokalnego równania zachowania
masy w opisie materialnym, gdzie det F to iloraz gęstości
początkowej do gęstości aktualnej tzw. Gradient deformacji:

Zasada zachowania pędu



Przyrost pędu ciała wypełniającego aktualnie obszar

t

B

jest równy wypadkowej obciążeń powierzchniowych i sił
masowych działających na ciało



Wektor v to wektor rozciągnięcia, t

(n)

to pole sił powierzchniowych, f to wektor

sił masowych



Stosując twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego i przekształcając to równanie po
prawej i lewej stronie otrzymujemy globalną zasadę zachowania pędu w
postaci w opisie przestrzennym

Zasada zachowania pędu



Ponieważ związek ten jest prawdziwy dla dowolnej
objętości to musi także obowiązywać dla objętości
elementarnej. W ten sposób lokalna zasada
zachowania pędu w postaci tzw. pierwszego prawa
ruchu Cauchy’go wygląda następująco:

Równanie to obejmuje także dynamikę. Można zauważyć,
że z tego równania wynika iż, przy braku ruchu lub gdy
ruch odbywa się ze stałym wektorem prędkości, siły są w
równowadze (tak jak dla punktu materialnego w prawie
bezwładności Galileusza)

Zasada zachowania pędu



Globalną zasadę zachowania pędu można też
wyrazić w opisie materialnym:



Lokalna zasada zachowania pędu w opisie
materialnym wyrażona jest przez wzór:

Zasada zachowania momentu

pędu



Przyrost momentu pędu ciała względem dowolnego
punktu jest równy wypadkowemu momentowi
względem

tego

samego

punktu

obciążeń

powierzchniowych i sił masowych działających na
ciało



Zgodnie z równaniem ciągłości oraz równań z

rozdziału IV otrzymujemy postać

Zasada zachowania momentu

pędu



W tym równaniu zgodnie z zasadą zachowania
pędu składnik w okrągłych nawiasach jest
równy zeru. Pozostaje więc warunek



Które to odpowiada warunkowi symetrii

tensora naprężeń Cauchy’ego

Zasada zachowania momentu

pędu



W opisie materialnym lokalna zasada zachowania
momentu pędu wyraża się warunkiem



Warunki symetrii (czyli dwa powyższe równania) można
uzupełnić następującymi relacjami dla pozostałych tensorów
naprężeń:

Zasada zachowania energii –

pierwsze prawo termodynamiki



to zmiana energii wewnętrznej

układu równa jest sumie ciepła
dostarczonego do układu i pracy
wykonanej nad układem. Zasada
ta,

równoważna

zasadzie

zachowania energii, w zarysach
sformułowana została w 1842
przez J.R. Mayera, uściślona zaś w
1847 przez H.L.F. de Helmholtza.

Zasada zachowania energii –

pierwsze prawo termodynamiki



Przyrost energii ciała w jednostce czasu jest równy
strumieniowi energii dostarczonej z zewnątrz oraz
generowanej w źródłach wewnętrznych:



Wykorzystując poznaną wcześniej zasadę

zachowania masy lewą stronę równania
można przekształcić na

Zasada zachowania energii –

pierwsze prawo termodynamiki



Przekształcając to równanie dzięki twierdzeniu
Gaussa-Ostrowskiego i wykorzystując zasadę
zachowania pędu otrzymujemy lokalną zasadę
zachowania energii:



Lub alternatywnie spotykane w wielu książkach

Zasada zachowania energii –

pierwsze prawo termodynamiki



Strumień ciepła opisuje prawo przewodnictwa
cieplnego Fouriera dla materiału izotropowego



Gdzie p jest ciśnieniem hydrostatycznym



Kolejnym pojęciem jest entalpia, która definiowana jest
przez odniesienie do gęstości energii wewnętrznej ε

Zasada zachowania energii –

pierwsze prawo termodynamiki



Na podstawie równania entalpii możemy
napisać, że zmiana entalpii w czasie jest
funkcją ciepła właściwego, c

p’

oraz pochodnej

materialnej temperatury



Czym jest entalpia?



Entalpia (h) (zawartość ciepła) — w termodynamice
wielkość fizyczna będąca funkcją stanu mająca wymiar
energii, będąca też potencjałem termodynamicznym

Zasada zachowania energii –

pierwsze prawo termodynamiki



Podstawiając powyższe równania do lokalnej
zasady zachowania energii otrzymujemy lokalną
zasadę zachowania energii termo-mechanicznej,
a

w

przypadku

pominięcia

czynników

mechanicznych – równanie transportu ciepła

Zasada zachowania energii –

pierwsze prawo termodynamiki



Jeżeli lokalną zasadę zachowania energii podstawimy
do równania drugiego równania przytoczonego w tym
rozdziale otrzymamy



Porównując prawą stronę tego równania z równaniem
pierwszym z tego rozdziału i po eliminacji składników
termicznych przybiera postać zasady zachowania
energii mechanicznej (kinetycznej)



„Pochodna materialna energii kinetycznej jest równa mocy pracy sił
zewnętrznych pomniejszonej o moc sił wewnętrznych”

Zasada zachowania energii –

drugie prawo termodynamiki

Istnieje entropia będąca funkcją stanu układu, stałą w

odwracalnych procesach adiabatycznych i rosnącą we
wszystkich innych. Zasadę tę, zgodnie z którą kierunek
wzrostu entropii może służyć do formalnego wyróżnienia
kierunku upływu czasu (wszystkie inne prawa fizyki
klasycznej nie ulegają zmianie przy zamianie przyszłości z
przeszłością), podał w 1850 R.J.E. Clausius, a uściślił w 1851
Kelvin lord of Largs.

Entropia - termodynamiczna funkcja stanu, określająca

kierunek przebiegu procesów spontanicznych (samorzutnych)
w odosobnionym układzie termodynamicznym. Entropia jest
miarą stopnia nieuporządkowania układu. Jest wielkością
ekstensywną. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki, jeżeli
układ termodynamiczny przechodzi od jednego stanu
równowagi do drugiego, bez udziału czynników zewnętrznych
(a więc spontanicznie), to jego entropia zawsze rośnie.
Pojęcie entropii wprowadził niemiecki uczony Rudolf Clausius.

Zasada zachowania energii –

drugie prawo termodynamiki



Zgodnie z drugim prawem termodynamiki
możliwe są tylko takie procesy, dla których
przyrost entropii jest nieujemny. Warunek ten
określa nierówność Clausiusa-Duhema



Gdzie η występuje jako gęstość entropii (lub

entropia prawdziwa)

Zasada zachowania energii –

drugie prawo termodynamiki



Wprowadzając do tego równania właściwą
energię swobodną φ oraz wewnętrzną dysypację
δ i wstawiając do równania lokalnej zasady
zachowania energii otrzymamy kolejną jej postać

Zasada zachowania energii –

drugie prawo termodynamiki



Pamiętając, że θ jest temperaturą
bezwzględną (>=0) wyrażenie możemy
przekształcić do następującej postaci



Wystarczy teraz podstawić powyższe

równanie do poprzedniego aby otrzymać tzw.
Zredukowaną nierówność dysypacyjną

Zasada zachowania energii –

drugie prawo termodynamiki



Ciekawostki



Z II zasady termodynamiki wynika też hipoteza tzw. śmierci
cieplnej Wszechświata. Miałaby ona polegać na tym, iż po
jakimś czasie Wszechświat, jako całość, dojdzie do stanu
równowagi termodynamicznej, czyli będzie miał jednakową
temperaturę w każdym punkcie i wymiana energii termicznej
całkowicie zaniknie, a co za tym idzie zanikną wszelkie inne
rodzaje wymiany energii, które w ten czy inny sposób są
zawsze związane ze zmianą temperatury. Teoria śmierci
cieplnej

jest

jednak

nadinterpretacją,

wynikającą

z

przeniesienia

rozumowania

pochodzącego

z

fizyki

fenomenologicznej w dziedzinę przekraczającą zakres jej
stosowalności – do kosmologii. II zasada termodynamiki
odnosi się do układów w stanie równowagi pełnej lub
niepełnej i nie ma zastosowania do rozszerzającego się
Wszechświata, w którym zmianom ulega np. pole
grawitacyjne.

Zasada zachowania energii –

drugie prawo termodynamiki



Z interpretacją II zasady termodynamiki jest też związany swoisty paradoks.
Z jednej strony wynika z niej, że wiele zjawisk, obserwowanych w skali
makroskopowej może być nieodwracalne. Z drugiej strony termodynamika
statystyczna, z której ta zasada się wywodzi, zakłada, że każde jednostkowe
zjawisko w skali mikroskopowej, czyli w skali pojedynczych cząstek jest
odwracalne. Mimo że wszystkie zjawiska makroskopowe są sumą
odwracalnych zjawisk mikroskopowych, przyjmuje się jednak - wbrew
zdrowemu rozsądkowi - możliwość ich nieodwracalności. Paradoks ten
przyczynił się do początkowego odrzucenia równania Boltzmanna,
opisującego procesy nierównowagowe.



Ten paradoks wskazuje na ścisły związek między teorią a pomiarem w fizyce.
Interpretacja pomiaru układów wielocząstkowych jest oparta na teoriach
tworzonych dla układów makroskopowych. Można powiedzieć, że pomiary te
dotyczą sum uśrednionych zjawisk mikroskopowych. Dla takich pomiarów
koncepcja entropii jest niezbędna teoretycznie. Gdyby jednak dało się w jakiś
sposób przejść do pomiaru tych zjawisk na poziomie pojedynczych cząstek,
koncepcja entropii przestałaby być potrzebna. Liczba cząstek w
rzeczywistych, makroskopowych układach doświadczalnych jest jednak
bardzo duża (rzędu stałej Avogadra) i dlatego pomiar większości zjawisk
fizycznych na poziomie mikroskopowym jeszcze długo pozostanie poza
zasięgiem nauki.

Zasada prac wirtualnych



Zasada

prac

wirtualnych

(zasada

prac

przygotowanych)

nie

jest

właściwie

zasadą

zachowania, ale włączamy ją do tego działu gdyż
odgrywa ważną rolę w mechanice. Zakładamy, że w
konfiguracji

aktualnej

istnieje

wektorowe

pole

wirtualnych

przemieszczeń,

któremu

odpowiada

tensorowe pole wirtualnych odkształceń

Zasada prac wirtualnych



Zasadę prac wirtualnych w konfiguracji aktualnej dla
ciała pozostającego w równowadze (przy pominięciu
składników bezwładnościowych) zapisujemy następująco



Przy uwzględnieniu sił bezwładności zasada prac
wirtualnych przekształca się w zasadę Lagrange’a-
D’Alemberta:

Zasada prac wirtualnych



Zauważmy, że zasadę zachowania energii mechanicznej
można przekształcić do postaci analogicznej, dzięki czemu
widoczne stają się relacje korespondujących ze sobą
wielkości

Twierdzenie transportu

Reynoldsa



Załóżmy, że mamy funkcję przestrzenną pola Φ
=Φ(x,t),która opisuje pewne wielkości fizyczne (np.
masa, energia wewnętrzna, entropia, ciepło lub
entropia źródła) cząstki w przestrzeni na jednostkę
objętości w czasie t.



Załóżmy, że Φ jest funkcją gładką, taką że jest
ciągle różniczkowalna. Dlatego obecny stan ciała
ciągłego w jakimś trójwymiarowym regionie Ω o
objętości

ν

i

podanym

czasie

t

można

scharakteryzować poprzez skalarne wartości funkcji

Twierdzenie transportu

Reynoldsa



Naszym celem jest teraz obliczyć pochodną
czasową całki objętości I(t). Ponieważ region
integracji Ω zależy od czasu t, całkowanie i
różniczkowanie czasu nie łączą się. Dlatego w
pierwszym

etapie

I(t)

musi

zostać

przekształcone do układu odniesienia. Poprzez
zmianę zmiennych za pomocą ruchu x = χ(X,t)
oraz relacji dν = J(X, t)dV znajdziemy szybkość
zmian prądu I(t) i jest to

Twiedzenie transportu Reynoldsa



Ponieważ obszarem integracji jest teraz czas –
który, jest niezależny, całkowanie i różniczkowanie
łączą się. Zatem, w drugim etapie, z (4.23)

2

otrzymujemy, stosując zasadę różniczkowania

Twiedzenie transportu Reynoldsa



Gdzie Φ oznacza pochodną czasu przestrzennego pola
skalarnego Φ według relacji (2.25). W ostatnim kroku
możemy cofnąć zmianę zmiennych i skonwertować
całkę objętości z powrotem do aktualnej konfiguracji.
Za pomocą równania (2.175)

6

, dν = J(X,t)dV i

równania ruchu x = χ(X, t), stwierdzamy wreszcie, że

Twiedzenie transportu Reynoldsa



Idąc dalej argumenty tensora ilościowego są
wyrzucane w celu uproszczenia notacji.
Jednakże w przypadkach, gdzie potrzebne są
dodatkowe informacje, zostaną one włączone.
Stąd relacja (4.25)

3

wygląda tak

Gdzie założyliśmy, gładkość przestrzennego pola
prędkości v.

Twiedzenie transportu Reynoldsa



Inne formy szybkości zmiany całki (4.22) wynikają z
(4.26) poprzez pochodną czasową przestrzennego
pola skalarnego Φ , i z zasady z działu pierwszego, tj.

Twierdzenie transportu

Reynoldsa



I wreszcie, korzystając z twierdzenia dywergencji zgodnie z
(1.297)



Pierwszy element na prawej stronie równania (4.28) charakteryzuje
szybkość transportu (lub strumień normalny) Φv na powierzchni ∂Ω z
regionu Ω, które zakłada się, że jest stałe. Wkład ten wynika z
poruszającego się regionu. Drugi termin oznacza lokalną szybkość zmian
przestrzennego pola skalarnego Φ w regionie Ω. W (4.28) n oznacza
zewnętrzną jednostkę normalnego pola działających wzdłuż ∂ Ω. Relacja
(4.28) jest określana jako twierdzenia transportu Reynoldsa.

Twierdzenie transportu

Reynoldsa



Inny bardzo użyteczny związek uzyskuje się
przez uwzględnienie skalarnej funkcji w postaci

Która jest wyprowadzona z równania (4.22) przez zmianę Φ w ρΨ,
gdzie Ψ oznacza płynne przestrzenne pole skalarne opisujące pewne
wielkości fizyczne cząstki w przestrzeni na jednostkę masy w czasie t.
W nawiązaniu do równania (4.26) szybkość zmian w (t) jest podane
jako

Twierdzenie transportu

Reynoldsa



Teraz stosujemy zasadę różniczkowania i formy (4.12)
równania

ciągłości

masy

do

pierwszej

kadencji

podcałkowej w (4.30) znajdujemy .
Konsekwencją, z równania ciągłości masy, jest

Załóżmy, że Ψ = 1 tak, aby objętość integralną I(t) w (4.29)
przedstawiała masę w regionie Ω. W tym przypadku, równanie
(4.31) redukuje się do (4.8)

2

, ponieważ .

BIBLIOGRAFIA



Gerhard A. Holzapfel, „Nonlinear

Solid Mechanics – a Continuum
Approach for Engineering” –
rozdział IV



Ireneusz Kreja, „Mechanika

Ośrodków Ciągłych” – rozdział V



www.wikipedia.pl - ciekawostki