Metody

rozwiązywania

kratownic

KRATOWNICE

Kratownicą nazywamy układ złożony z

prętów prostych, połączonych między sobą

w węzłach przegubowo (przegubami bez

tarcia), obciążony siłami skupionymi w

przegubach; siły przekrojowe w prętach

kratownicy redukują się do stałej siły

podłużnej

.

SPRAWDZANIE STOPNIA

STATYCZNEJ

NIEWYZNACZALNOŚCI

KRATOWNICY

n

s

=r+p-2*w

GDZIE:
n

s

- stopień statycznej niewyznaczalności

r- liczba reakcji podporowych
p- liczba prętów prostych kratownicy
w- liczba węzłów kratownicy.

WARUNEK STATYCZNEJ WYZNACZALNOŚCI:

p=2*w-3

Warunek statecznej wyznaczalności

kratownic – przykłady

Kratownica ABC składa się z trzech prętów
zakończonych przegubowo. Dla utworzenia nowego
węzła potrzebne są dwa nowe pręty. Z zasady tworzenia
wynika związek p=2*w-3. Jest to związek, który musi
być spełniony, aby kratownica była niezmienna
geometrycznie, czyli inaczej, sztywna w swej
płaszczyźnie.
a) p=5, w=4 warunek sztywności spełniony
b) układ przesztywniony, ponieważ jeśli usuniemy jeden
pręt, kratownica nadal będzie układem niezmiennym
c) warunek sztywności niespełniony, ponieważ
p = 4 < 2w-3 = 5, układ może zmienić kształt
Warunek sztywności jest konieczny, ale niewystarczający
w pewnych przypadkach, jedna część kratownicy może
być przesztywniona, druga zaś niedostatecznie sztywna.

PRĘTY ZEROWE

Pręty zerowe - pręty, w których przy danym obciążeniu

zewnętrznym kratownicy nie występują ani pręty ściskające,

ani rozciągające. Wartości sił normalnych w tych prętach

wynoszą zero.



Jeśli w węźle schodzą się dwa pręty pod pewnym kątem α

i węzeł jest nieobciążony siłą zewnętrzną, to siły

przekrojowe w obu prętach są równe zeru rys. a,



jeśli w węźle schodzą się dwa pręty i węzeł jest obciążony

siłą zewnętrzną, równolegle do jednego z nich, to w

drugim pręcie siła przekrojowa jest równa zero rys. b,



jeśli w węźle schodzą się trzy pręty, z których dwa są

równoległe i węzeł jest nieobciążony siłą zewnętrzną, to

siła przekrojowa w pręcie trzecim jest równa zeru rys. c.

c)

a) b)

Rodzaje sił działających na

kratownice

Siły działające na kratownicę w jej płaszczyźnie
w węzłach powodują powstawanie sił w prętach.
Ponieważ każdy z prętów znajduje się w
równowadze, przyłożone do niego siły muszą
być równe co do wartości, przeciwne co do
kierunku i muszą działać wzdłuż osi pręta:
a) pręt rozciągany (siła skierowana zawsze “od
węzła”)
b) pręt ściskany

Pręty zerowe nie pracują w statyce, więc

zanim przystąpimy do rozwiązywania

kratownicy należy te pręty usunąć

( tzn. przerysować kratownicę bez tych

prętów).

Kolejność:
- szukamy węzłów, w których schodzą się dwa pręty i stosuje się
twierdzenie a).
- usuwamy wyszukane pręty zerowe, przerysowujemy kratownicę i
powtarzamy
szukanie
- jeśli nie ma już takich węzłów, do których stosuje się twierdzenie
a), to szukamy węzłów o trzech prętach z zastosowaniem
twierdzenia b) lub c).
- usuwamy te pręty i ponawiamy poszukiwanie aż do wyczerpania
możliwości usunięcia
prętów.

Uwaga: o tym czy pręt jest zerowy rozstrzyga twierdzenie zastosowane do jednego węzła
i to wystarczy (dla drugiego twierdzenie nie musi

się stosować).

PRZYKŁAD:

METODY

ROZWIĄZYWANIA

KRATOWNIC:

- analityczna:

metoda równoważenia węzłów,

metoda Rittera.

-wykreślne:

plan sił Cremony

metoda Culmanna

Metoda

równoważenia

węzłów

Metoda polega na wypisywaniu równań równowagi dla

każdego myślowo wyciętego węzła kratownicy.

1.

z równań równowagi wyznaczenie składowych
reakcji podporowych,

2.

w poszczególnych myślowo wyciętych węzłach
kratownicy zapisuje się dwa równania równowagi:
ΣX=0, ΣY=0. W tym celu w węźle zakłada się
odpowiednie zwroty sił w poszczególnych prętach,

3.

z zapisanych równań równowagi wyznacza się siły
we wszystkich prętach kratownicy. Rozwiązywanie
najlepiej zacząć od węzła, w którym zbiegają się
tylko dwa pręty o nieznanych siłach, a następnie
rozpatrywać kolejne węzły spełniające ten warunek.

1). ΣX=0, Vb-P=0, Vb=P, Vb=100[N]

2). ΣY=0, Va+Hb=0, Hb=-Va, Hb=400/3[N]

3). ΣMB=0, 3*Va+4*P=0, 3*Va=-4P, 3*Va=-

400,

Va=-400/3[N]

WĘZEŁ „A”
1). ΣY=0, -S2=0, S2=0
2). ΣX=0, S1-Va=0, S1=Va, S1=-400/3[N]

WĘZEŁ „D”
1). ΣY=0, -P+S4=0, S4=P, S4=100[N]
2). ΣX=0, -S5=0, S5=0

WĘZEŁ „B”
1). ΣY=0, S2+Vb+S3*sinα=0, 0+100+S3*3/5=0,
S3=-500/3[N]

Zalety metody równoważenia węzłów:

– łatwość zapisania równań– sumy rzutów

sił;

– kontrola wyników: ostatnie trzy równania

są sprawdzeniami;

Wady metody równoważenia węzłów:

– propagacja błędu;

– duży nakład pracy wymagany do

policzenia siły w wybranym pręcie.

METODA RITTERA

(metoda przekrojów)



z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji
podporowych,



przeprowadza się przekrój A-A przez trzy pręty kratownicy nie
zbiegające się w jednym punkcie, w tym pręt (lub pręty), w których
siłę chcemy wyznaczyć. Część kratownicy oddzielona przekrojem A-
A znajduje się w równowadze pod działaniem sił zewnętrznych,
składowych reakcji podpór oraz sił w prętach, przez które
poprowadzono przekrój,



w odniesieniu do wydzielonej części kratownicy zapisuje się
równania sumy momentów wszystkich sił względem trzech
punktów, w których przecinają się parami kierunki poszukiwanych
sił w prętach. Punkty te są nazywane punktami Rittera. Jeśli dwa z
prętów, przez poprowadzono przekrój, są do siebie równoległe, to
zapisuje się dwa równania sumy momentów wszystkich sił
działających na daną część kratownicy względem punktów, w
których trzeci pręt przecina się z prętami równoległymi oraz trzecie
równanie sumy rzutów wszystkich sił na oś prostopadłą do prętów
równoległych.

Zalety i wady metody

Rittera

Zalety:
– do znalezienia siły w pręcie potrzebne
jest zapisanie i rozwiązanie tylko jednego
równania;
– brak propagacji błędu;
Wady:
– konieczność zapisania równań sum
momentów;
– brak kontroli błędów (możliwa np. za
pomocą metody równoważenia węzłów).

METODA CREMONY

Zasady: Kratownica musi być kratownicą prostą. Siły

zewnętrzne przyłożone na zewnątrz węzła są uczepione tylko

w węzłach zewnętrznych konturu kratownicy. Istnieje co

najmniej jeden obciążony węzeł, w którym zbiegają się dwa

pręty (od tego zaczynamy konstrukcję). Przyjmujemy kierunek

obchodzenia prętów w węźle np. ruchu wskazówek zegara.

Kierunek obchodzenia węzłów zgodny z kierunkiem

obchodzenia prętów. Przy przechodzeniu od węzła do węzła

musi być możliwość wyodrębnienia następnego z dwoma

niewiadomymi.

Kolejność postępowania: 1. Sprawdzenie warunku

kinematycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności.

2. Przyjęcie podziałki (skali) długości i sił.

3. Wyznaczenie reakcji.

4. Wykreślenie zamkniętego wieloboku sił zewnętrznych i

wewnętrznych, zaczynając od węzła, w którym schodzą się co

najwyżej dwa pręty.

METODA CULMANNA

Jest to metoda znajdowania sił w prętach

kratownic, szczególnie dogodne w

przypadkach, gdy chodzi o określenie sił w

niektórych tylko prętach. Oparta jest na

analitycznej zasadzie. Polega na prowadzeniu

przekrojów przez kratownicę, siły w

rozciętych trzech prętach znajduje się

sposobem wykreślnym. Metoda ta stanowi

graficzną interpretacje metody Rittera.

Tok postępowania przy tym sposobie

jest następujący:

– wyznaczenie sił w więziach
podporowych dla całej kratownicy,
– dokonanie myślowo przekroju przez trzy
pręty,
– zrównoważenie wypadkowej sił
zewnętrznych oraz sił w więziach
podporowych działających na jedną z
odciętych części kratownicy przez trzy
siły w przeciętych prętach, za pomocą
zadania Culmanna

PRZYGOTOWALI:

ŁUKASZ ZAWADZKI

ŁUKASZ GAŁWIACZEK

KRZYSZTOF TURLEJSKI