Statystyka

Ćwiczenia 4

(Nie)zależność

zmiennych, Własności

wariancji i Wartości

oczekiwanej

Rachunek prawdopodobieństwa-

podstawowe pojęcia

• Zdarzenie – obserwowalny wynik
• Doświadczenie losowe- powtarzalny

proces, który daje tylko jeden wynik

• Prawdopodobieństwo zdarzenia –

względna częstość, z jaką zdarzenie A pojawi
się

w nieskończonej

liczbie takich samych

doświadczeń losowych

• Model prawdopodobieństwa dla zdarzeń

możliwych w takim samym stopniu:

� ( �)=

𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏�𝑤𝑦𝑛𝑖� ó 𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑧𝑦𝑗�𝑗 ą𝑐𝑦𝑐h

𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏�𝑤𝑠𝑧𝑦𝑠𝑡�𝑖𝑐h 𝑚� ż 𝑙𝑖𝑤𝑦𝑐h𝑤𝑦𝑛𝑖� ó𝑤

 

Prawa w probabilistyce

• Prawo dodawania prawdopodobieństw
• prawdopodobieństwo wylosowania asa

kier wynosi 1/52. Taka sama jest szansa
wyciągnięcia asów pozostałych kolorów.

• Prawdopodobieństwo wylosowania

któregokolwiek z nich (ALBO, ALBO) to:

1/52 + 1/52 +1/52 +1/52 = 4/52

(Zdarzenia te wzajemnie się wykluczają!)

P(A B) = P(A) + P (B)

 

Prawa w probabilistyce

• Prawo mnożenia prawdopodobieństw
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła

wynosi ½.

• Jeśli 2 razy rzucimy monetą lub kiedy

rzucamy 2 monetami na raz…

• Prawdopodobieństwo tego że za

pierwszym I za drugim razem wypadnie
orzeł (lub na pierwszej I na drugiej
monecie) wynosi :

1/2*1/2 = 1/4

P(A B) = P(A) * P (B)

 

(zdarzenia te muszą być niezależne)

Niezależność pomiaru –

niezależność zmiennych

Zdarzenia niezależne – na wynik jednego z
doświadczeń losowych nie może mieć wpływu
wynik żadnego z pozostałych i te doświadczenia
nie mogą być ze sobą w żaden sposób
powiązane

Własności wariancji i wartości

oczekiwanej

Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana (przeciętna) – jest to
wartość, wokół której skupiają się realizacje
zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku
wielokrotnego powtarzania eksperymentu.

Można o niej myśleć także:
- typowa wartość dla jakiegoś rozkładu
zmiennej losowej
- średnia z możliwych do uzyskania wartości
tej zmiennej
Np. dla rzutu kostką: (1+2+3+4+5+6)/6 =
3,5

Ćwiczenie 1

•

Rozpatrujemy doświadczenie rzutu kostką (K)
i monetą (M) Oblicz wartość oczekiwaną (µ) i
wariancję (σ

2

) zmiennych:

a)

K+M

b)

K-M

c)

M

1

+M

2

+M

3

+M

4

d)

2M

e)

K+2

Ćwiczenie 1 (2)

k

i

1

2

3

4

5

6

p

i

Rozkład rzutu kostką

Wszystkie możliwe

wartości w zbiorze

wyników rzutu

kostką

Ćwiczenie 1 (2)

k

i

1

2

3

4

5

6

p

i

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

k

i

2

1

4

9

16

25

36

µ

σ

2

= (∑ x

i

2

* pi) - µ

2

i=1

n

1. Wartość oczekiwana

2. Wariancja

Ćwiczenie 1 (3)

m

j

0

1

p

j

Rozkład rzutu monetą

Ćwiczenie 1 (3)

µ

σ

2

= (∑ x

i

2

* pi) - µ

2

i=1

n

1. Wartość oczekiwana

2. Wariancja

m

j

0

1

p

j

1/2

½

m

j

2

0

1

Ćwiczenie 1 (4)

(k+m)

j

1

2

3

4

5

6

7

p

j

1/12 1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/12

(k+m)

j

2

1

4

9

16

25

36

49

Własności wariancji i wartości

oczekiwanej I

• wartość oczekiwana sumy

dwóch zmiennych losowych X
i Y równa się sumie wartości
oczekiwanych tych
zmiennych:

• μ(X+Y) = μ(X) + μ(Y)

• jeżeli dwie zmienne X i Y są

niezależne, to wariancja sumy
tych zmiennych jest równa:

• σ

2

(X + Y) = σ

2

(X) + σ

2

(Y).

Ćwiczenie 1 (4)

(k-m)

j

0

1

2

3

4

5

6

p

j

1/1

2

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/12

(k-m)

j

2

0

1

4

9

16

25

36

Własności wariancji i wartości

oczekiwanej II

• wartość oczekiwana różnicy dwóch

zmiennych losowych X i Y równa się
różnicy wartości oczekiwanych tych
zmiennych:

• μ(X-Y) = μ(X) - μ(Y)

• jeżeli dwie zmienne X i Y są

niezależne, to wariancja różnicy
tych zmiennych jest równa:

• σ

2

(X - Y) = σ

2

(X) + σ

2

(Y)

Ćwiczenie 1 (5)

m

1

+m

2

+m

3

+m

4

0

1

2

3

4

p

j

(m

1

+m

2

+m

3

+m

4

)

2

Ile jest możliwych wyników?

2

n

= 16

A może drzewko?

Ćwiczenie 1 (5)

m

1

+m

2

+m

3

+m

4

0

1

2

3

4

p

j

1/16 1/4

3/8

1/4

1/16

(m

1

+m

2

+m

3

+m

4

)

2

0

1

4

9

16

Ćwiczenie 1 (5)

2m

0

2

p

j

Rzucamy monetą i
wynik mnożymy razy 2

Ćwiczenie 1 (5)

2m

0

2

p

j

½

½

(2m)

2

0

4

Własności wariancji i wartości

oczekiwanej III

• jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne,

to wartość oczekiwana iloczynu
zmiennych jest równa iloczynowi wartości
oczekiwanych tych zmiennych:

• μ(XY) = μ(X)*μ(Y)

• wynika stąd również zależność:

• μ(CX) = μ(C)*μ(X) = Cμ(X)

• wariancja iloczynu stałej i zmiennej

losowej:

• σ

2

(CX) = C

2

σ

2

(X);

Ćwiczenie 1 (6)

k

i

+2

3

4

5

6

7

8

p

i

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

(k

i

+ 2)

2

9

16

25

36

49

64

Własności wariancji i wartości

oczekiwanej III

• wartość oczekiwana stałej równa się tej

stałej:

• μ(C) = C;

• wariancja stałej równa się zeru:

• σ

2

(C) = 0;

σ

2

(X  Y) = σ

2

(X) + σ

2

(Y).

μ(X+Y) = μ(X) + μ(Y);

Własności wariancji

•

wariancja stałej równa się zeru:

•

σ

2

(C) = 0;

•

wariancja iloczynu stałej i zmiennej
losowej:

•

σ

2

(CX) = C

2

σ

2

(X);

•

jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne,
to wariancja sumy (różnicy) tych
zmiennych jest równa:

•

σ

2

(X  Y) = σ

2

(X) + σ

2

(Y).

Wartość oczekiwana -

własności

wartość oczekiwana stałej równa się tej stałej:

• μ(C) = C;
• wartość oczekiwana dwóch zmiennych losowych

X i Y równa się sumie wartości oczekiwanych tych
zmiennych:

• μ(X+Y) = μ(X) + μ(Y);
• jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to

wartość oczekiwana iloczynu zmiennych jest
równa iloczynowi wartości oczekiwanych tych
zmiennych:

• μ(XY) = μ(X)*μ(Y)
• wynika stąd również zależność:
• μ(CX) = μ(C)*μ(X) = Cμ(X)

Praca domowa

• Rozpatrujemy doświadczenie rzutu

kostką (K) i monetą (M) Oblicz
wartość oczekiwaną (µ) i wariancję
(σ

2

) zmiennych:

a) 3K
b)4M
c) K+2
d)M+4