---

Overview

Modele linearyzowane
Funkcja hiperboliczna
Funkcja paraboli
Funkcja potęgowa
Funkcja wykładnicza
Funkcja T I
Funkcja T II
Funkcja T III
Funkcja logistyczna
Przykład
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
MNK
KMNK

---

Sheet 1: Modele linearyzowane

Modele nieliniowe
W wielu zagadnieniach praktycznych relacje pomiędzy zmiennymi rzadko kiedy mają ściśle
liniowy charakter (tzn. liniowy względem zmiennych, jak i względem parametrów). Jeśli model
regresji liniowej nie wydaje się dobrze przedstawiać zależności między zmiennymi, wówczas
sięgamy po regresję nieliniową.
Modele linearyzowane
O tym, że badany związek dwóch zmiennych ma charakter krzywoliniowy, informuje nas
wykres rozrzutu. Od niego więc trzeba rozpocząć analizę regresji. Chmura punktów pomaga
dobrać typ funkcji krzywoliniowej.
Przykład 1
W wyniku pomiaru dwóch parametrów otrzymano następujące wyniki:
X	11,2	11,3	12,4	13,0	14,3	15,7	16,7	17,6	17,6	18,0
Y	45	61	39	25	24	26	38	52	63	59
Wykres rozrzutu tych wartości przedstawia rysunek.
Punkty układają się w kształt zbliżony do
paraboli. Taki kształt chmury punktów
podpowiada nam, że powinniśmy jako
funkcję regresji rozważać wielomian
stopnia 2, czyli związek następującej
postaci:
Y = a0 + a1 * X + a2 * X2,
gdzie a2 > 0.
Dokonując elementarnych podstawień:
X1 = X, X2 = X2 - otrzymamy równanie
regresji wielorakiej
Y = a0 + a1 * X1 + a2 * X2,
Jak widać, w niektórych przypadkach po dokonaniu odpowiedniej transformacji zmiennych
możemy modele regresji krzywoliniowej sprowadzić do prostszych i poznanych już bliżej
modeli liniowych. Parametry modelu możemy więc wyznaczyć metodą najmniejszych kwadratów.
Omawiana metoda może być także uogólniona na modele z wieloma zmiennymi niezależnymi.
W tym wypadku sporządza się n wykresów prezentujących związki łączące zmienną zależną Y
z każdą ze zmiennych niezależnych Xi.
Dla ułatwienia doboru właściwego modelu i związanej z nim transformacji poniżej podano
najczęściej spotykane typy związków nieliniowych. Dla każdego typu związku podano też
odpowiednie transformacje.															a =	2	c =	1
Model		Wykres rozrzutu				Transformacja		Model po transformacji					X	Y	b =	0,5		X	Y
													0,097415082247383	0,046906949064608	0,045278908324898	0,704941375215067		-2,4	7,17186946136075
Y = a * Xb													0,193823053682058	0,094576860866115	0,033794879098179	0,858017194651177		-2,2	5,83741667505006
						logarytmowanie		logY = loga + b * log X					0,228797265541551	0,103701895199438	0,099997120361126	1,00292840436661		-2,0	5,1657462575466
funkcja													0,297555467390973	0,127109591967528	0,119694708327411	1,12999381352169		-1,8	4,95942747552023
potęgowa													0,335856196783349	0,203436384166997	0,097667853613183	1,26731043773274		-1,6	4,43821322332676
													0,347575304422132	0,242866298409986	0,086330308405011	1,30903475630026		-1,4	3,77819108855011
													0,348063600573748	0,281319620349742	0,131096475234326	1,28924774565845		-1,2	3,49434533636095
Y = a * bX													0,380077517014069	0,355235450300607	0,156797022170236	1,436131300688		-1,0	3,40413625400941
						logarytmowanie		logY = loga + X * logb					0,426953947569201	0,383098849452193	0,179916516555098	1,66269826477279		-0,8	3,13737305348109
funkcja													0,474135563219092	0,510971404156621	0,216008085457058	1,81513945926907		-0,6	2,99078338135329
wykładnicza													0,533310953093051	0,540665913876766	0,346924021154468	2,15630599175964		-0,4	2,68705886214919
													0,578997161778619	0,555467390972625	0,407369843174117	2,42879489644153		-0,2	2,93233507689275
													0,582079531235694	0,662099063081759	0,423373759424725	2,47767712374964		0,0	2,80886643669445
Y = a + b*X +						X1 = X							0,602221747489853	0,664723654896695	0,48940907389376	2,58731104913863		0,2	2,75690242732399
+ c * X2								Y = a + b*X1 + c*X2					0,667683950315867	0,738914151432844	0,597177148656058	3,06681070749335		0,4	3,29313053664024
funkcja						X2 = X2		regresja wieloraka					0,75792718283639	0,786492507705924	0,91847950853798	3,92087702741931		0,6	3,43328140970778
kwadratowa													0,836298715170751	0,809533982360301	1,2606282407573	4,84141344017631		0,8	3,20752756300616
													0,908566545609912	0,816003906369213	1,57842531857329	5,93436984980074		1,0	3,70239508069793
													0,963255714590899	0,817835016937773	1,83402604730226	6,82530499009108		1,2	4,99930959687853
		Po wybraniu właściwego modelu szacujemy jego parametry, a następnie											0,994903408917508	0,847407452620014	1,9884947901962	7,46189488192612		1,4	5,64718441092892
		wykorzystując różnorodne miary, sprawdzamy dopasowanie modelu do danych																1,6	6,03105481446001
		empirycznych.																1,8	6,59843748660324
																		2,0	7,70360932964682
																		2,2	8,88685382555803
																		2,4	9,20494182664223

---

Sheet 2: Funkcja hiperboliczna

Funkcja hiperboliczna									a0 =	5	5	5	8
Postać ogólna:									a1 =	20	30	40	40
Typowe zastosowania:									x	y
szacowanie całkowitego kosztu jednostkowego jako funkcji wielkości produkcji									0,0001	200005	300005	400005	400008
(w przypadku kosztu całkowitego liniowo zależnego od wielkości produkcji)									1	25	35	45	48
									2	15	20	25	28
Sposób linearyzacji:									3	12	15	18	21
Podstawiamy									4	10	13	15	18
									5	9	11	13	16
									6	8	10	12	15
									7	8	9	11	14
i otrzymujemy równoważne równanie liniowe:									8	8	9	10	13
									9	7	8	9	12
									10	7	8	9	12
									11	7	8	9	12
Cechy szczególne:									12	7	8	8	11
(a) asymptota pozioma y = a0									13	7	7	8	11
(b) asymptota pionowa x = 0									14	6	7	8	11
									15	6	7	8	11
									16	6	7	8	11
									17	6	7	7	10
									18	6	7	7	10
									19	6	7	7	10
									20	6	7	7	10

---

Sheet 3: Funkcja paraboli

Funkcja paraboli (wielomianowa)									a0 =	5	5	5	5
Postać ogólna:									a1 =	1	2	1	2
									a2 =	0,1	0,1	0,01	0,01
									x	y
Typowe zastosowania:									0	5	18	26	63
(a) funkcja kosztów jednostkowych w przypadku występowania efektów skali,									1	6	21	30	75
(b) przychód jako funkcja ceny sprzedaży (w niektórych przypadkach, np. w przypadku									2	7	25	37	92
popytu będącego liniową funkcją ceny),									3	9	31	45	116
									4	11	37	56	150
Sposób linearyzacji:									5	13	46	71	199
Podstawiamy									6	15	56	91	271
									7	17	67	118	379
									8	19	81	153	544
Otrzymujemy:									9	22	98	199	800
									10	25	118	261	1205
W analogiczny sposób linearyzujemy wielomiany dowolnego stopnia.									11	28	140	342	1855
									12	31	166	448	2911
Cechy szczególne:									13	35	197	588	4640
(a) minimum/maksimum w punkcie o współrzędnych									14	39	231	771	7486
									15	43	271	1008	12182
									16	47	315	1315	19923
									17	51	366	1710	32650
									18	55	423	2215	53479
									19	60	486	2857	87359
									20	65	558	3671	142076

---

Sheet 4: Funkcja potęgowa

Funkcja potęgowa									a0 =	2	2	2	2
Postać ogólna:									a1 =	-0,25	0,25	-0,5	0,5
									x1	y
Typowe zastosowania:									0
(a) Funkcja produkcji Cobba-Douglasa									1	2,00	2,00	2,00	2,00
									2	1,68	2,38	1,41	2,83
Sposób linearyzacji:									3	1,52	2,63	1,15	3,46
									4	1,41	2,83	1,00	4,00
									5	1,34	2,99	0,89	4,47
									6	1,28	3,13	0,82	4,90
									7	1,23	3,25	0,76	5,29
									8	1,19	3,36	0,71	5,66
Podstawiamy:									9	1,15	3,46	0,67	6,00
									10	1,12	3,56	0,63	6,32
									11	1,10	3,64	0,60	6,63
i otrzymujemy									12	1,07	3,72	0,58	6,93
									13	1,05	3,80	0,55	7,21
									14	1,03	3,87	0,53	7,48
Cechy szczególne:									15	1,02	3,94	0,52	7,75
(a) stała elastyczność zmiennej objaśnianej względem poszczególnych zmiennych									16	1,00	4,00	0,50	8,00
objaśniających									17	0,98	4,06	0,49	8,25
									18	0,97	4,12	0,47	8,49
									19	0,96	4,18	0,46	8,72
					20	0,95	4,23	0,45	8,94
													a0 =
													a1 =

---

Sheet 5: Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza									a0 =	1,2	-1,2	1,2	-1,2
Postać ogólna:									a1 =	0,1	0,05	-0,1	-0,05
									x	y
									0	1,20	-1,20	1,20	-1,20
									1	1,33	-1,26	1,09	-1,14
Typowe zastosowania:									2	1,47	-1,33	0,98	-1,09
(a) opisywanie zjawisk zmieniających się w czasie ze stałą względną tendencją									3	1,62	-1,39	0,89	-1,03
									4	1,79	-1,47	0,80	-0,98
Sposób linearyzacji:									5	1,98	-1,54	0,73	-0,93
									6	2,19	-1,62	0,66	-0,89
									7	2,42	-1,70	0,60	-0,85
									8	2,67	-1,79	0,54	-0,80
									9	2,95	-1,88	0,49	-0,77
									10	3,26	-1,98	0,44	-0,73
Podstawiamy									11	3,60	-2,08	0,40	-0,69
									12	3,98	-2,19	0,36	-0,66
									13	4,40	-2,30	0,33	-0,63
i otrzymujemy:									14	4,87	-2,42	0,30	-0,60
									15	5,38	-2,54	0,27	-0,57
									16	5,94	-2,67	0,24	-0,54
									17	6,57	-2,81	0,22	-0,51
Cechy szczególne:									18	7,26	-2,95	0,20	-0,49
(a) stała stopa wzrostu zmiennej objaśnianej względem poszczególnych zmiennych									19	8,02	-3,10	0,18	-0,46
objaśniających									20	8,87	-3,26	0,16	-0,44

---

Sheet 6: Funkcja T I

Funkcja Törnquista I-go rodzaju									a0 =	5	-5	5	-5
Postać ogólna:									a1 =	0,5	0,5	-0,5	-0,5
									x	y
									1	3,3	-3,3	10,0	-10,0
Typowe zastosowania ekonomiczne:									2	4,0	-4,0	6,7	-6,7
(a) Opisywanie zależności pomiędzy dochodami osobistymi, a wydatkami na dobra									3	4,3	-4,3	6,0	-6,0
podstawowe.									4	4,4	-4,4	5,7	-5,7
									5	4,5	-4,5	5,6	-5,6
Sposób linearyzacji:									6	4,6	-4,6	5,5	-5,5
									7	4,7	-4,7	5,4	-5,4
									8	4,7	-4,7	5,3	-5,3
									9	4,7	-4,7	5,3	-5,3
									10	4,8	-4,8	5,3	-5,3
									11	4,8	-4,8	5,2	-5,2
									12	4,8	-4,8	5,2	-5,2
									13	4,8	-4,8	5,2	-5,2
									14	4,8	-4,8	5,2	-5,2
									15	4,8	-4,8	5,2	-5,2
									16	4,8	-4,8	5,2	-5,2
									17	4,9	-4,9	5,2	-5,2
									18	4,9	-4,9	5,1	-5,1
Podstawiamy:									19	4,9	-4,9	5,1	-5,1
									20	4,9	-4,9	5,1	-5,1
Otrzymujemy:
Cechy szczególne:
(a) asymptota pozioma y = a0
(b) funkcja rosnąca, o przyrostach malejących.

---

Sheet 7: Funkcja T II

Funkcja Törnquista II-go rodzaju									a0 =	15	15	-15	-15
Postać ogólna:									a1 =	1	1	-1	-1
									a2 =	5	4	5	4
									x	y
									0	-75	-60	-75	-60
Typowe zastosowania:									1	-30	-22,5
(a) opisywanie zależności pomiędzy dochodami osobistymi, a wydatkami na dobra wyższego									2	-15	-10	45	30
rzędu									3	-7,5	-3,75	15	7,5
									4	-3	0	5	0
Sposób linearyzacji:									5	0	2,5	0	-3,75
									6	2,14285714285714	4,28571428571429	-3	-6
									7	3,75	5,625	-5	-7,5
									8	5	6,66666666666667	-6,42857142857143	-8,57142857142857
									9	6	7,5	-7,5	-9,375
									10	6,81818181818182	8,18181818181818	-8,33333333333333	-10
									11	7,5	8,75	-9	-10,5
									12	8,07692307692308	9,23076923076923	-9,54545454545455	-10,9090909090909
									13	8,57142857142857	9,64285714285714	-10	-11,25
									14	9	10	-10,3846153846154	-11,5384615384615
									15	9,375	10,3125	-10,7142857142857	-11,7857142857143
Podstawiamy:									16	9,70588235294118	10,5882352941176	-11	-12
									17	10	10,8333333333333	-11,25	-12,1875
									18	10,2631578947368	11,0526315789474	-11,4705882352941	-12,3529411764706
									19	10,5	11,25	-11,6666666666667	-12,5
i otrzymujemy:									20	10,7142857142857	11,4285714285714	-11,8421052631579	-12,6315789473684
									21	10,9090909090909	11,5909090909091	-12	-12,75
									22	11,0869565217391	11,7391304347826	-12,1428571428571	-12,8571428571429
Cechy szczególne:									23	11,25	11,875	-12,2727272727273	-12,9545454545455
(a) asymptota pozioma y = a0									24	11,4	12	-12,3913043478261	-13,0434782608696
(b) funkcja rosnąca, o przyrostach malejących,									25	11,5384615384615	12,1153846153846	-12,5	-13,125
(c) funkcja dodatnia dopiero dla x > a2									26	11,6666666666667	12,2222222222222	-12,6	-13,2
									27	11,7857142857143	12,3214285714286	-12,6923076923077	-13,2692307692308
									28	11,8965517241379	12,4137931034483	-12,7777777777778	-13,3333333333333
									29	12	12,5	-12,8571428571429	-13,3928571428571
									30	12,0967741935484	12,5806451612903	-12,9310344827586	-13,448275862069
									31	12,1875	12,65625	-13	-13,5
									32	12,2727272727273	12,7272727272727	-13,0645161290323	-13,5483870967742
									33	12,3529411764706	12,7941176470588	-13,125	-13,59375
									34	12,4285714285714	12,8571428571429	-13,1818181818182	-13,6363636363636
									35	12,5	12,9166666666667	-13,2352941176471	-13,6764705882353
									36	12,5675675675676	12,972972972973	-13,2857142857143	-13,7142857142857
									37	12,6315789473684	13,0263157894737	-13,3333333333333	-13,75
									38	12,6923076923077	13,0769230769231	-13,3783783783784	-13,7837837837838
									39	12,75	13,125	-13,4210526315789	-13,8157894736842
									40	12,8048780487805	13,1707317073171	-13,4615384615385	-13,8461538461538
									41	12,8571428571429	13,2142857142857	-13,5	-13,875
									42	12,906976744186	13,2558139534884	-13,5365853658537	-13,9024390243902
									43	12,9545454545455	13,2954545454545	-13,5714285714286	-13,9285714285714
									44	13	13,3333333333333	-13,6046511627907	-13,953488372093
									45	13,0434782608696	13,3695652173913	-13,6363636363636	-13,9772727272727
									46	13,0851063829787	13,4042553191489	-13,6666666666667	-14
									47	13,125	13,4375	-13,695652173913	-14,0217391304348
									48	13,1632653061225	13,469387755102	-13,7234042553192	-14,0425531914894
									49	13,2	13,5	-13,75	-14,0625
									50	13,2352941176471	13,5294117647059	-13,7755102040816	-14,0816326530612

---

Sheet 8: Funkcja T III

Funkcja Törnquista III-go rodzaju									a0 =	2	2	-2	-2
Postać ogólna:									a1 =	200	-200	200	-200
									a2 =	4	4	4	4
									x	y
Typowe zastosowania ekonomiczne:
1) opisywanie zależności pomiędzy dochodami osobistymi, a wydatkami na dobra luksusowe
Sposób linearyzacji:									4	0	0	0	0
									5	0,048780487804878	-0,051282051282051	-0,048780487804878	0,051282051282051
									6	0,116504854368932	-0,123711340206186	-0,116504854368932	0,123711340206186
									7	0,202898550724638	-0,217616580310881	-0,202898550724638	0,217616580310881
									8	0,307692307692308	-0,333333333333333	-0,307692307692308	0,333333333333333
									9	0,430622009569378	-0,471204188481675	-0,430622009569378	0,471204188481675
									10	0,571428571428571	-0,631578947368421	-0,571428571428571	0,631578947368421
									11	0,729857819905213	-0,814814814814815	-0,729857819905213	0,814814814814815
									12	0,905660377358491	-1,02127659574468	-0,905660377358491	1,02127659574468
									13	1,09859154929577	-1,25133689839572	-1,09859154929577	1,25133689839572
									14	1,30841121495327	-1,50537634408602	-1,30841121495327	1,50537634408602
Podstawiamy:									15	1,53488372093023	-1,78378378378378	-1,53488372093023	1,78378378378378
									16	1,77777777777778	-2,08695652173913	-1,77777777777778	2,08695652173913
									17	2,036866359447	-2,41530054644809	-2,036866359447	2,41530054644809
i otrzymujemy:									18	2,31192660550459	-2,76923076923077	-2,31192660550459	2,76923076923077
									19	2,6027397260274	-3,14917127071823	-2,6027397260274	3,14917127071823
									20	2,90909090909091	-3,55555555555556	-2,90909090909091	3,55555555555556
									21	3,23076923076923	-3,98882681564246	-3,23076923076923	3,98882681564246
Cechy szczególne:									22	3,56756756756757	-4,44943820224719	-3,56756756756757	4,44943820224719
1) asymptota ukośna (przy x --> ∞ ) o równaniu									23	3,91928251121076	-4,93785310734463	-3,91928251121076	4,93785310734463
									24	4,28571428571429	-5,45454545454545	-4,28571428571429	5,45454545454545
									25	4,66666666666667	-6	-4,66666666666667	6
2) funkcja rosnąca, o przyrostach rosnących (asymptotycznie zbiegających się do a0),									26	5,06194690265487	-6,57471264367816	-5,06194690265487	6,57471264367816
3) wartości dodatnie dla x > a2									27	5,47136563876652	-7,17919075144509	-5,47136563876652	7,17919075144509
									28	5,89473684210526	-7,81395348837209	-5,89473684210526	7,81395348837209
									29	6,33187772925764	-8,47953216374269	-6,33187772925764	8,47953216374269
									30	6,78260869565217	-9,17647058823529	-6,78260869565217	9,17647058823529
									31	7,24675324675325	-9,90532544378698	-7,24675324675325	9,90532544378698
									32	7,72413793103448	-10,6666666666667	-7,72413793103448	10,6666666666667
									33	8,21459227467811	-11,4610778443114	-8,21459227467811	11,4610778443114
									34	8,71794871794872	-12,289156626506	-8,71794871794872	12,289156626506
									35	9,23404255319149	-13,1515151515152	-9,23404255319149	13,1515151515152
									36	9,76271186440678	-14,0487804878049	-9,76271186440678	14,0487804878049
									37	10,3037974683544	-14,9815950920245	-10,3037974683544	14,9815950920245
									38	10,8571428571429	-15,9506172839506	-10,8571428571429	15,9506172839506
									39	11,4225941422594	-16,9565217391304	-11,4225941422594	16,9565217391304
									40	12	-18	-12	18
									41	12,5892116182573	-19,0817610062893	-12,5892116182573	19,0817610062893
									42	13,1900826446281	-20,2025316455696	-13,1900826446281	20,2025316455696
									43	13,8024691358025	-21,3630573248408	-13,8024691358025	21,3630573248408
									44	14,4262295081967	-22,5641025641026	-14,4262295081967	22,5641025641026
									45	15,0612244897959	-23,8064516129032	-15,0612244897959	23,8064516129032
									46	15,7073170731707	-25,0909090909091	-15,7073170731707	25,0909090909091
									47	16,3643724696356	-26,4183006535948	-16,3643724696356	26,4183006535948
									48	17,0322580645161	-27,7894736842105	-17,0322580645161	27,7894736842105
									49	17,710843373494	-29,205298013245	-17,710843373494	29,205298013245
									50	18,4	-30,6666666666667	-18,4	30,6666666666667

---

Sheet 9: Funkcja logistyczna

Funkcja logistyczna									a0 =	40	45	50	60
Postać ogólna:									a1 =	200	100	50	150
									a2 =	1	0,5	1,5	1
									x	y
									0	0,199004975124378	0,445544554455446	0,980392156862745	0,397350993377483
									1	0,536366390626626	0,729890708451946	4,11302324396737	1,06795930228407
Typowe zastosowania ekonomiczne:									2	1,42515834498149	1,19085600054076	14,3293023104046	2,8168627280995
1) opisywanie rozmiaru rynku na poszczególnych etapach cyklu życia produktu									3	3,65049647586752	1,93025218064232	32,1450419903676	7,08544792927049
									4	8,57793350439295	3,09628873304894	44,4864551261894	16,0113324654107
Cechy szczególne:									5	17,0387547341611	4,88678945240503	48,6544978841445	29,8404720922299
1)									6	26,7424291212641	7,52671124851271	49,6933675622369	43,7377452965534
									7	33,8301747506626	11,1947585063497	49,9312535283124	52,7805546169286
2) funkcja rosnąca o przyrostach rosnących dla									8	37,4850343724785	15,8922778245713	49,9846441865856	57,1254804321077
oraz przyrostach malejących dla									9	39,0365025730462	21,317924761831	49,996572837209	58,9094985487875
									10	39,6400687327506	26,8850176204159	49,9992352558956	59,5941643685123
									11	39,8668312226927	31,9448641561168	49,999829360498	59,8500603300135
3) punkt przegięcia w punkcie o współrzędnych									12	39,9509066291924	36,0612979270028	49,9999619250796	59,9447530062093
									13	39,9819255355928	39,1187359233149	49,9999915043319	59,9796639302696
									14	39,9933488763672	41,2394490171826	49,99999810436	59,9925171748557
									15	39,9975529311488	42,6415618615675	49,9999995770255	59,9972470054376
									16	39,9990997388645	43,5394153315538	49,9999999056216	59,9989872005239
Sposób szacowania parametrów: Metoda Hotellinga.									17	39,9996688077247	44,1026505621081	49,9999999789413	59,9996274079191
Wykorzystujemy wzór Robinsona:									18	39,9998781605332	44,4514258247593	49,9999999953012	59,9998629304954
									19	39,9999551776787	44,6656692920332	49,9999999989516	59,9999495748744
									20	39,9999835107778	44,7966236432998	49,9999999997661	59,9999814496231
									21	39,9999939339526	44,87642625614	49,9999999999478	59,9999931756964
Stąd stopa wzrostu funkcji logistycznej:									22	39,9999977684257	44,9249676632078	49,9999999999884	59,9999974894788
									23	39,9999991790496	44,9544607105326	49,9999999999974	59,9999990764309
					(*)				24	39,9999996979892	44,972368022084	49,9999999999994	59,9999996602379
									25	39,9999998888964	44,9832363079723	49,9999999999999	59,9999998750085
									26	39,9999999591273	44,9898308162391	50	59,9999999540182
Mając dane T obserwacji, obliczamy dla t = 1, 2,...,T-1 empiryczne wartości stopy wzrostu:									27	39,9999999849638	44,9938315297833	50	59,9999999830842
									28	39,9999999944685	44,9962584318862	50	59,9999999937771
									29	39,9999999979651	44,9977305499776	50	59,9999999977107
									30	39,9999999992514	44,9986234816658	50	59,9999999991578
									31	39,9999999997246	44,9991650893777	50	59,9999999996902
Następnie, na podstawie otrzymanych wartości szacujemy parametry poniższego równania									32	39,9999999998987	44,9994935974126	50	59,999999999886
regresji liniowej zależności stopy wzrostu od y:									33	39,9999999999627	44,9996928499446	50	59,9999999999581
									34	39,9999999999863	44,9998137035739	50	59,9999999999846
									35	39,999999999995	44,9998870053217	50	59,9999999999943
Otrzymane parametry równania porównujemy z wyznaczonym wcześniej równaniem									36	39,9999999999981	44,9999314651955	50	59,9999999999979
opisującym stopę wzrostu funkcji logistycznej (*). Wtedy:									37	39,9999999999993	44,9999584315149	50	59,9999999999992
									38	39,9999999999998	44,9999747874302	50	59,9999999999997
									39	39,9999999999999	44,9999847078	50	59,9999999999999
									40	40	44,9999907248106	50	60
Wartość parametru a1 funkcji oryginalnej uzyskujemy jako średnią spośród wartości tego									41	40	44,9999943743128	50	60
parametru, odpowiadających poszczególnym obserwacjom:									42	40	44,9999965878481	50	60
									43	40	44,9999979304252	50	60
									44	40	44,9999987447394	50	60
									45	40	44,9999992386459	50	60
									46	40	44,9999995382154	50	60
									47	40	44,9999997199135	50	60
									48	40	44,9999998301189	50	60
									49	40	44,9999998969619	50	60
									50	40	44,9999999375043	50	60

---

Sheet 10: Przykład

Przykład 1
Należy dokonać doboru postaci analitycznej modelu opisującego zależność pomiędzy
wartością produkcji globalnej w tys. zł (y) a wartością nakładów materialnych w tys. zł (x)
w przedsiębiorstwach produkcyjnych.
	x	y
	2100	2801
	5940	14690
	2796	4724
	3440	5153
	8804	17500
	4942	13600
	2575	14000
	2769	15600
	13314	18700
	4057	8400
	4450	13400
	2032	2701
	1525	2245
	10650	19520
	2528	7340
	138	2379
	7222	19800
	1887	2671
	5680	11200
	4260	16700
	3940	3066
	1867	2552
	3110	4703
	3865	5456
	8060	15130
	2803	14600
	3290	9000
	2224	5558
	5400	17200
	12827	20770
	7464	9672
	2919	6242
	8260	20510
	3302	7400
	6496	18000
	2690	3061
	2082	8100
	4370	6782
	1805	6500
	2300	5640
	4390	10200
	6840	13160
	3611	6001
	2622	11100
	7188	11092
	7440	16400
	3250	13400
	2342	7880
	970	3593
	9290	19070
	9992	15116
	1850	3351
	10260	20330
	10900	18630
	3312	3696
	800	3116
	3851	7790
	2900	8300
	9350	21040
	9420	17000
	3433	10570
	1790	1070
	9680	16300
	9870	15580
	11160	21500
	11940	17910
	4800	8870
	1700	4120
	11350	19880
	8004	12800
	11600	22840
	10400	22600
	7940	14150
	1020	1683
	8970	12720
	4197	14800
	7940	12090
	3810	9700
	5350	11200
	6432	13400
	3518	11800
	8520	13070
	10190	22570
	6629	16400
	10800	14960
	4524	12000
	1494	2311
	6032	17900
	1172	1856
	9810	13880
	10710	21580
Doboru typu funkcji opisującej zależność pomiędzy badanymi zmiennymi dokonano metodą
graficzną.
Rozrzut punktów empirycznych na rysunku wskazuje, że do badania zależności pomiędzy
wartością produkcji globalnej a nakładami materialnymi można zastosować model liniowy,
potęgowy, logarytmiczny lub wielomian drugiego stopnia.
Na podstawie wykresu korelacyjnego nie zawsze możemy stwierdzić jednoznacznie, który
typ funkcji jest odpowiedni do opisu kształtowania się zależności. W tej sytuacji przy wyborze
postaci analitycznej modelu z proponowanych typów wybierzemy tę funkcję, która
charakteryzuje się najlepszym dopasowaniem do danych, przy równoczesnym zachowaniu
istotności parametrów strukturalnych modelu, i właściwym rozkładem reszt. Dla wybranych
rodzajów relacji parametry modeli możemy oszacować dwiema metodami: poprzez
linearyzację (przekształcenie do postaci liniowej) oraz bezpośrednio metodami numerycznymi.
Estymacja parametrów modeli nieliniowych poprzez ich linearyzację
Model da się zlinearyzować, jeśli istnieje jednoznaczne jego przekształcenie, w wyniku
którego otrzymujemy model liniowy. Oceny parametrów tak przekształconego modelu
szacowane są klasyczną metodą najmniejszych kwadratów.
Model potęgowy produkcji globalnej o postaci: yi = b0 * xib1, gdzie b0 i b1 to oceny
parametrów modelu, można przekształcić do postaci liniowej poprzez obustronne jego
zlogarytmowanie. Tak przekształcony model jest modelem liniowym o postaci:
ln yi = ln b0 + b1 * ln xi (do linearyzacji użyto logarytmów naturalnych).
i	x	y	Y = ln yi	X = ln xi	(Xi-mX) [1]	(Yi-mY) [2]	[1] * [2]	[1]2
1	2100	2801	7,94	7,65	-0,73	-1,20	0,877	0,54
2	5940	14690	9,59	8,69	0,31	0,46	0,141	0,09
3	2796	4724	8,46	7,94	-0,45	-0,67	0,301	0,20
4	3440	5153	8,55	8,14	-0,24	-0,59	0,140	0,06
5	8804	17500	9,77	9,08	0,70	0,63	0,445	0,49
6	4942	13600	9,52	8,51	0,12	0,38	0,047	0,02
7	2575	14000	9,55	7,85	-0,53	0,41	-0,218	0,28
8	2769	15600	9,66	7,93	-0,46	0,52	-0,237	0,21
9	13314	18700	9,84	9,50	1,11	0,70	0,781	1,24
10	4057	8400	9,04	8,31	-0,07	-0,10	0,007	0,01
11	4450	13400	9,50	8,40	0,02	0,37	0,007	0,00
12	2032	2701	7,90	7,62	-0,77	-1,23	0,944	0,59
13	1525	2245	7,72	7,33	-1,05	-1,42	1,493	1,11
14	10650	19520	9,88	9,27	0,89	0,74	0,663	0,79
15	2528	7340	8,90	7,84	-0,55	-0,23	0,128	0,30
16	138	2379	7,77	4,93	-3,45	-1,36	4,701	11,94
17	7222	19800	9,89	8,88	0,50	0,76	0,381	0,25
18	1887	2671	7,89	7,54	-0,84	-1,24	1,045	0,70
19	5680	11200	9,32	8,64	0,26	0,19	0,049	0,07
20	4260	16700	9,72	8,36	-0,03	0,59	-0,015	0,00
21	3940	3066	8,03	8,28	-0,10	-1,11	0,114	0,01
22	1867	2552	7,84	7,53	-0,85	-1,29	1,097	0,72
23	3110	4703	8,46	8,04	-0,34	-0,68	0,231	0,12
24	3865	5456	8,60	8,26	-0,12	-0,53	0,065	0,01
25	8060	15130	9,62	8,99	0,61	0,49	0,300	0,38
26	2803	14600	9,59	7,94	-0,44	0,45	-0,201	0,20
27	3290	9000	9,10	8,10	-0,28	-0,03	0,009	0,08
28	2224	5558	8,62	7,71	-0,68	-0,51	0,346	0,46
29	5400	17200	9,75	8,59	0,21	0,62	0,131	0,04
30	12827	20770	9,94	9,46	1,08	0,81	0,868	1,16
31	7464	9672	9,18	8,92	0,54	0,04	0,022	0,29
32	2919	6242	8,74	7,98	-0,40	-0,40	0,160	0,16
33	8260	20510	9,93	9,02	0,64	0,79	0,506	0,41
34	3302	7400	8,91	8,10	-0,28	-0,23	0,063	0,08
35	6496	18000	9,80	8,78	0,40	0,66	0,263	0,16
36	2690	3061	8,03	7,90	-0,48	-1,11	0,537	0,24
37	2082	8100	9,00	7,64	-0,74	-0,14	0,100	0,55
38	4370	6782	8,82	8,38	0,00	-0,31	0,000	0,00
39	1805	6500	8,78	7,50	-0,88	-0,36	0,314	0,78
40	2300	5640	8,64	7,74	-0,64	-0,50	0,319	0,41
41	4390	10200	9,23	8,39	0,01	0,09	0,000	0,00
42	6840	13160	9,48	8,83	0,45	0,35	0,157	0,20
43	3611	6001	8,70	8,19	-0,19	-0,44	0,083	0,04
44	2622	11100	9,31	7,87	-0,51	0,18	-0,092	0,26
45	7188	11092	9,31	8,88	0,50	0,18	0,089	0,25
46	7440	16400	9,71	8,91	0,53	0,57	0,303	0,28
47	3250	13400	9,50	8,09	-0,30	0,37	-0,109	0,09
48	2342	7880	8,97	7,76	-0,62	-0,16	0,102	0,39
49	970	3593	8,19	6,88	-1,50	-0,95	1,427	2,26
50	9290	19070	9,86	9,14	0,75	0,72	0,544	0,57
51	9992	15116	9,62	9,21	0,83	0,49	0,404	0,68
52	1850	3351	8,12	7,52	-0,86	-1,02	0,875	0,74
53	10260	20330	9,92	9,24	0,85	0,78	0,670	0,73
54	10900	18630	9,83	9,30	0,91	0,70	0,638	0,84
55	3312	3696	8,22	8,11	-0,28	-0,92	0,255	0,08
56	800	3116	8,04	6,68	-1,70	-1,09	1,852	2,88
57	3851	7790	8,96	8,26	-0,13	-0,17	0,022	0,02
58	2900	8300	9,02	7,97	-0,41	-0,11	0,046	0,17
59	9350	21040	9,95	9,14	0,76	0,82	0,623	0,58
60	9420	17000	9,74	9,15	0,77	0,61	0,466	0,59
61	3433	10570	9,27	8,14	-0,24	0,13	-0,031	0,06
62	1790	1070	6,98	7,49	-0,89	-2,16	1,927	0,80
63	9680	16300	9,70	9,18	0,80	0,56	0,449	0,63
64	9870	15580	9,65	9,20	0,82	0,52	0,423	0,66
65	11160	21500	9,98	9,32	0,94	0,84	0,789	0,88
66	11940	17910	9,79	9,39	1,01	0,66	0,662	1,01
67	4800	8870	9,09	8,48	0,09	-0,04	-0,004	0,01
68	1700	4120	8,32	7,44	-0,94	-0,81	0,766	0,89
69	11350	19880	9,90	9,34	0,95	0,76	0,728	0,91
70	8004	12800	9,46	8,99	0,61	0,32	0,195	0,37
71	11600	22840	10,04	9,36	0,98	0,90	0,880	0,95
72	10400	22600	10,03	9,25	0,87	0,89	0,773	0,75
73	7940	14150	9,56	8,98	0,60	0,42	0,252	0,36
74	1020	1683	7,43	6,93	-1,45	-1,71	2,483	2,12
75	8970	12720	9,45	9,10	0,72	0,32	0,227	0,52
76	4197	14800	9,60	8,34	-0,04	0,47	-0,019	0,00
77	7940	12090	9,40	8,98	0,60	0,26	0,158	0,36
78	3810	9700	9,18	8,25	-0,14	0,04	-0,006	0,02
79	5350	11200	9,32	8,58	0,20	0,19	0,038	0,04
80	6432	13400	9,50	8,77	0,39	0,37	0,142	0,15
81	3518	11800	9,38	8,17	-0,22	0,24	-0,052	0,05
82	8520	13070	9,48	9,05	0,67	0,34	0,229	0,45
83	10190	22570	10,02	9,23	0,85	0,89	0,753	0,72
84	6629	16400	9,71	8,80	0,42	0,57	0,238	0,17
85	10800	14960	9,61	9,29	0,91	0,48	0,433	0,82
86	4524	12000	9,39	8,42	0,04	0,26	0,009	0,00
87	1494	2311	7,75	7,31	-1,07	-1,39	1,491	1,15
88	6032	17900	9,79	8,70	0,32	0,66	0,212	0,10
89	1172	1856	7,53	7,07	-1,32	-1,61	2,117	1,73
90	9810	13880	9,54	9,19	0,81	0,40	0,326	0,65
91	10710	21580	9,98	9,28	0,90	0,84	0,757	0,80
		m =	9,14	8,38			42,62	54,90
							0,776
							2,63
	a = ln b0 =	2,63
	b = b1 * ln xi =	0,776
Dla danych z przykładu 1 oszacowany model ma postać:
Współczynnik determinacji oblicza się z wzoru:
gdzie:
i	Yi = ln yi	yi	ei	ei2	(yi-my)2
1	7,94	8,57	-0,63	0,40	1,43
2	9,59	9,37	0,22	0,05	0,21
3	8,46	8,79	-0,33	0,11	0,46
4	8,55	8,95	-0,40	0,16	0,35
5	9,77	9,68	0,09	0,01	0,40
6	9,52	9,23	0,29	0,08	0,15
7	9,55	8,72	0,82	0,68	0,17
8	9,66	8,78	0,87	0,76	0,27
9	9,84	10,00	-0,16	0,03	0,49
10	9,04	9,08	-0,04	0,00	0,01
11	9,50	9,15	0,35	0,12	0,14
12	7,90	8,54	-0,64	0,41	1,52
13	7,72	8,32	-0,60	0,36	2,01
14	9,88	9,83	0,05	0,00	0,55
15	8,90	8,71	0,19	0,04	0,05
16	7,77	6,45	1,32	1,75	1,85
17	9,89	9,53	0,37	0,14	0,57
18	7,89	8,48	-0,59	0,35	1,55
19	9,32	9,34	-0,02	0,00	0,04
20	9,72	9,12	0,61	0,37	0,35
21	8,03	9,06	-1,03	1,05	1,23
22	7,84	8,48	-0,63	0,40	1,67
23	8,46	8,87	-0,42	0,17	0,46
24	8,60	9,04	-0,44	0,19	0,28
25	9,62	9,61	0,01	0,00	0,24
26	9,59	8,79	0,80	0,64	0,21
27	9,10	8,92	0,19	0,04	0,00
28	8,62	8,61	0,01	0,00	0,26
29	9,75	9,30	0,45	0,21	0,38
30	9,94	9,97	-0,03	0,00	0,65
31	9,18	9,55	-0,37	0,14	0,00
32	8,74	8,82	-0,08	0,01	0,16
33	9,93	9,63	0,30	0,09	0,63
34	8,91	8,92	-0,01	0,00	0,05
35	9,80	9,44	0,35	0,13	0,44
36	8,03	8,76	-0,73	0,54	1,23
37	9,00	8,56	0,44	0,19	0,02
38	8,82	9,14	-0,31	0,10	0,10
39	8,78	8,45	0,33	0,11	0,13
40	8,64	8,64	0,00	0,00	0,25
41	9,23	9,14	0,09	0,01	0,01
42	9,48	9,48	0,00	0,00	0,12
43	8,70	8,99	-0,29	0,08	0,19
44	9,31	8,74	0,58	0,33	0,03
45	9,31	9,52	-0,21	0,04	0,03
46	9,71	9,55	0,16	0,02	0,32
47	9,50	8,91	0,60	0,36	0,14
48	8,97	8,65	0,32	0,10	0,03
49	8,19	7,97	0,22	0,05	0,90
50	9,86	9,72	0,13	0,02	0,52
51	9,62	9,78	-0,15	0,02	0,24
52	8,12	8,47	-0,35	0,12	1,04
53	9,92	9,80	0,12	0,01	0,62
54	9,83	9,85	-0,01	0,00	0,49
55	8,22	8,92	-0,71	0,50	0,85
56	8,04	7,82	0,23	0,05	1,19
57	8,96	9,04	-0,08	0,01	0,03
58	9,02	8,82	0,21	0,04	0,01
59	9,95	9,73	0,23	0,05	0,67
60	9,74	9,73	0,01	0,00	0,37
61	9,27	8,95	0,32	0,10	0,02
62	6,98	8,44	-1,47	2,15	4,66
63	9,70	9,75	-0,05	0,00	0,32
64	9,65	9,77	-0,11	0,01	0,27
65	9,98	9,86	0,11	0,01	0,71
66	9,79	9,92	-0,12	0,02	0,43
67	9,09	9,21	-0,12	0,01	0,00
68	8,32	8,40	-0,08	0,01	0,66
69	9,90	9,88	0,02	0,00	0,58
70	9,46	9,61	-0,15	0,02	0,10
71	10,04	9,89	0,14	0,02	0,81
72	10,03	9,81	0,22	0,05	0,79
73	9,56	9,60	-0,04	0,00	0,18
74	7,43	8,01	-0,58	0,33	2,91
75	9,45	9,69	-0,24	0,06	0,10
76	9,60	9,10	0,50	0,25	0,22
77	9,40	9,60	-0,20	0,04	0,07
78	9,18	9,03	0,15	0,02	0,00
79	9,32	9,29	0,03	0,00	0,04
80	9,50	9,44	0,07	0,00	0,14
81	9,38	8,97	0,41	0,17	0,06
82	9,48	9,65	-0,18	0,03	0,12
83	10,02	9,79	0,23	0,05	0,79
84	9,71	9,46	0,25	0,06	0,32
85	9,61	9,84	-0,22	0,05	0,23
86	9,39	9,16	0,23	0,05	0,07
87	7,75	8,30	-0,56	0,31	1,93
88	9,79	9,39	0,41	0,17	0,43
89	7,53	8,11	-0,59	0,35	2,59
90	9,54	9,76	-0,23	0,05	0,16
91	9,98	9,83	0,15	0,02	0,71
				16,06	49,15
				0,673
	0,425
		k - liczba zmiennych objaśniających
Przed bezpośrednią interpretacją oceny parametrów zlinearyzowanego modelu potęgowego
musimy przekształcić: b0 = e2,63 =				13,832
wobec tego model potęgowy ma postać: yi = 13,832 * x0,776, co oznacza, że produkcja
globalna wzrastała średnio o około 0,8% na 1% przyrostu nakładów materialnych.

---

Sheet 11: Zadanie 1

Zadanie 1															y = a/(1 + b*exp(-c*x))
Dla wyników pomiaru zamieszczonych w tabeli skonstruować model matematyczny															funkcja logistyczna
opisujący związek przyrostu temperatury z czasem trwania procesu.
	t [min]	DT [°C]
	0,2	0,12
	1,2	0,15
	2,6	0,58
	3,0	0,99
	3,5	1,50
	3,6	1,65
	4,2	2,43
	4,5	3,03
	4,9	3,62
	5,0	3,65
	5,4	4,15
	6,1	4,62
	6,2	4,66
	7,3	4,96
	7,4	4,98
	8,0	5,02
	8,1	5,05
	8,6	5,02
	9,2	5,04
	9,3	4,99

---

Sheet 12: Zadanie 2

Zadanie 2
Należy dokonać doboru postaci analitycznej modelu opisującego zależność pomiędzy
wartością sprzedaży produkcji roślinnej (w tys. zł) a wartością nakładów na tę produkcję
(w tys. zł).
	Nakłady	Sprzedaż
	12	72
	19	142
	18	131
	25	235
	5	21
	4	14
	15	101
	8	39
	11	59
	24	216
	15	103
	19	146
	10	53
	5	19
	7	30

---

Sheet 13: Zadanie 3

Zadanie 3
Przeprowadzono badanie zależności między dochodami a popytem na pieczywo.
Obserwacje dla zmiennej "miesięczne dochody" (X), mierzonej w tys. zł, i zmiennej Y,
prezentującej popyt na pieczywo w kg, przeprowadzono wśród 12 osób.
Należy oszacować model popytu względem dochodów.
Lp.	Dochody (x)	Wydatki (y)
1	1,04	11,05
2	1,06	7,90
3	1,09	5,90
4	1,12	3,90
5	1,22	3,71
6	1,25	2,63
7	1,36	2,17
8	1,54	2,00
9	1,64	1,92
10	1,69	1,54
11	1,96	1,35
12	2,18	1,23

---

Sheet 14: Zadanie 4

Zadanie 4
W pewnym przedsiębiorstwie zużycie surowców A i B (w tonach) w ciągu 5 miesięcy
przedstawiono w tabeli. Oszacować parametry linii regresji opisującej zależność zużycia
surowca A od zużycia surowca B.
Miesiąc	A	B
1	21,1	6,0
2	22,9	4,8
3	25,0	4,0
4	26,4	3,1
5	29,6	2,1

---

Sheet 15: MNK

Estymacja parametrów modelu z jedną zmienną objaśniającą
metodą najmniejszych kwadratów
W jednorównaniowym modelu matematycznym z jedną zmienną objaśniającą parametry
strukturalne b0 i b1 na ogół nie są znane. Ich wartości mogą być oszacowane (estymowane)
na podstawie n-elementowej próby (xi, yi), i = 1, 2, ..., n.
Estymatorami parametrów strukturalnych modelu b0 i b1 są pewne funkcje obserwacji
dokonanych na zmiennych objaśniającej i objaśnianej. Konkretne wartości tych funkcji nazywa
się ocenami parametrów b0 i b1 i oznacza się odpowiednio przez b0 i b1.
Wartości zmiennej objaśnianej otrzymane z modelu przy ocenach b0 i b1 nazywane są
wartościami teoretycznymi zmiennej objaśnianej. Oznacza się je przez yi i oblicza jako:
Różnicę pomiędzy wartością empiryczną zmiennej objaśnianej yi a wartością teoretyczną
nazywa się i-tą resztą:
Najczęściej stosowaną metodą estymacji nieznanych parametrów strukturalnych b0 i b1 jest
metoda najmniejszych kwadratów. Idea tej metody polega na wyznaczeniu takich oszacowań
b0 i b1 parametrów strukturalnych b0 i b1, przy których suma kwadratów reszt Sei2 osiąga
minimum. Innymi słowy, metoda najmniejszych kwadratów opiera się na koncepcji poszukiwania
takich ocen b0 i b1 parametrów strukturalnych b0 i b1, by suma kwadratów odchyleń wielkości
empirycznych zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych tej zmiennej była jak najmniejsza:
Stąd:

---

Sheet 16: KMNK

Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów
Określenia "klasyczna metoda najmniejszych kwadratów", w skrócie KMNK, będziemy używali
w odniesieniu do metody szacowania parametrów strukturalnych modelu liniowego:
w którym spełnione są następujące założenia:
1. Zmienne objaśniające są nielosowe, ich wartości są traktowane jako wielkości stałe w powtarzających
się próbach.
2. Wartości oczekiwane składników losowych są równe zeru, tzn. E(ei) = 0 dla i = 1, 2, ..., n.
3. Wariancje składników losowych ei są stałe, tzn. D2(ei) = s2 dla i = 1, 2, ..., n (jest to tzw. własność
homoskedastyczności).