---

Overview

Greń 4.41 potęgowa
Greń 4.45 potęgowa
Greń 4.46 wykładnicza
Greń 4.47 logarytmiczna
Greń 4.42 hiperboliczna
Przykłady z wykładu ECW

---

Sheet 1: Greń 4.41 potęgowa

Greń 4.41.
Na pewnym stanowisku roboczym w zakładzie przemysłowym zaobserwowano następującą
wydajność pracy robotników w zależności od stażu pracy tych robotników
(x_i - staż pracy w latach, y_i - wydajność mierzona w ilości sztuk na godzinę).
Oszacować parametry potęgowej funkcji regresji wydajności pracy względem stażu pracy robotników.									y=c razy (x do potęgi alpha)
Użyto logarytmów dziesiętnych:
i	x_i	y_i	x*_i=ln(x_i)	y*_i=ln(y_i)	x*_i-x*_śr	y*_i-y*_śr	(x*_i-x*_śr) *(y*_i-y*_śr)	(x*_i-x*_śr)^2
1	1	10	0,000000	1,000000	-0,647560	-0,564134	0,365310	0,41933421694791
2	2	30	0,301030	1,477121	-0,346530	-0,087012	0,030152387538694	0,120083184831004
3	4	35	0,602060	1,544068	-0,045500	-0,020066	0,000912984601625	0,002070
4	6	55	0,778151	1,740363	0,130591	0,176229	0,023013948304297	0,017054021568325
5	10	60	1,000000	1,778151	0,352440	0,214018	0,075428356040922	0,124213810270739
6	16	70	1,204120	1,845098	0,556560	0,280964	0,15637353650982	0,309759
Razem			3,885361	9,384801	0,000000	0,000000	0,651192	0,992514
			0,647560	1,564134
			x*_śr	y*_śr				lub w zaokrągleniu			lub w zaokrągleniu
						alpha=	0,656103	0,66	alpha=	0,656103	0,66
						c*=	1,139267	1,14	c=10^c*=	13,780575	13,70
								Odp.: y=13,7*(x^0,66)
Użyto logarytmów naturalnych:
i	x_i	y_i	x*_i=ln(x_i)	y*_i=ln(y_i)	x*_i-x*_śr	y*_i-y*_śr	(x*_i-x*_śr) *(y*_i-y*_śr)	(x*_i-x*_śr)^2
1	1	10	0,000000	2,302585	-1,491062	-1,298965	1,936839	2,223267	13,70	0,42
2	2	30	0,693147	3,401197	-0,797915	-0,200353	0,159865	0,636669	21,65	0,66
3	4	35	1,386294	3,555348	-0,104768	-0,046203	0,004841	0,010976	34,20	1,04
4	6	55	1,791759	4,007333	0,300697	0,405783	0,122018	0,090419	44,70	1,36
5	10	60	2,302585	4,094345	0,811523	0,492794	0,399913	0,658569	62,62	1,91
6	16	70	2,772589	4,248495	1,281526	0,646945	0,829077	1,642310	85,40	2,61
		Razem	8,946375	21,609304	0,000000	0,000000	3,452552	5,262210
			1,491062	3,601551
			x*_śr	y*_śr				lub w zaokrągleniu
						alpha=	0,656103	0,66	alpha=	0,656103	0,66
						c*=	2,623260	2,62	c=exp(c*)=	13,780575	13,70
								Odp.: y=13,7*(x^0,66)

---

Sheet 2: Greń 4.45 potęgowa

Greń 4.45.
W pewnym doświadczeniu chemicznym dokonano 8 pomiarów szybkości rozpuszczania się
powłoki srebrnej w różnych temperaturach roztworu. Otrzymano następujące wyniki:
(x_i - temperatura w stopniach, y_i - szybkość rozpuszczania się powłoki w mikrometrach na sekundę).
Oszacować parametry potęgowej funkcji regresji szybkości rozpuszczania się powłoki								względem temperatury roztworu
Użyto logarytmów dziesiętnych:
i	x_i	y_i	x*_i=log(x_i)	y*_i=log(y_i)	x*_i-x*_śr	y*_i-y*_śr	(x*_i-x*_śr) *(y*_i-y*_śr)	(x*_i-x*_śr)^2
1	14	0,31	1,146128	-0,508638	-0,119809	-0,094267	0,011294	0,014354
2	15	0,35	1,176091	-0,455932	-0,089846	-0,041560	0,003734	0,008072
3	16	0,36	1,204120	-0,443697	-0,061817	-0,029326	0,001813	0,003821
4	18	0,39	1,255273	-0,408935	-0,010664	0,005436	-0,000058	0,000114
5	20	0,40	1,301030	-0,397940	0,035093	0,016432	0,000577	0,001232
6	21	0,42	1,322219	-0,376751	0,056282	0,037621	0,002117	0,003168
7	22	0,43	1,342423	-0,366532	0,076486	0,047840	0,003659	0,005850
8	24	0,44	1,380211	-0,356547	0,114274	0,057824	0,006608	0,013059
Razem			10,127495	-3,314973	0,000000	0,000000	0,029744	0,049669
			1,265937	-0,414372
			x*_śr	y*_śr				lub w zaokrągleniu			lub w zaokrągleniu
						alpha=	0,598836	0,599	alpha=	0,598836	0,5990
						c*=	-1,172460	-1,173	c=10^c*=	0,067226	0,0672
Użyto logarytmów naturalnych:									Odp.:	y=0,0672*(x^0,599)
i	x_i	y_i	x*_i=ln(x_i)	y*_i=ln(y_i)	x*_i-x*_śr	y*_i-y*_śr	(x*_i-x*_śr) *(y*_i-y*_śr)	(x*_i-x*_śr)^2
1	14	0,31	2,639057	-1,171183	-0,275870	-0,217057	0,059880	0,076104	0,32534
2	15	0,35	2,708050	-1,049822	-0,206877	-0,095696	0,019797	0,042798	0,33937
3	16	0,36	2,772589	-1,021651	-0,142339	-0,067525	0,009611	0,020260	0,35304
4	18	0,39	2,890372	-0,941609	-0,024556	0,012517	-0,000307	0,000603	0,37943
5	20	0,40	2,995732	-0,916291	0,080805	0,037835	0,003057	0,006529	0,40470
6	21	0,42	3,044522	-0,867501	0,129595	0,086625	0,011226	0,016795	0,41697
7	22	0,43	3,091042	-0,843970	0,176115	0,110156	0,019400	0,031017	0,42901
8	24	0,44	3,178054	-0,820981	0,263126	0,133145	0,035034	0,069236	0,45247
		Razem	23,319419	-7,633007	0,000000	0,000000	0,157699	0,263342
			2,914927	-0,954126
			x*_śr	y*_śr				lub w zaokrągleniu			lub w zaokrągleniu
						alpha=	0,598836	0,599	alpha=	0,598836	0,5990
						c*=	-2,699689	-2,700	c=exp(c*)=	0,067226	0,0672
									Odp.:	y=0,0672*(x^0,599)

---

Sheet 3: Greń 4.46 wykładnicza

Greń 4.46.	W pewnej grupie zwierząt doświadczalnych obserwowano wzrost procentu
zarażonych pewną chorobą zwierząt na przestrzeni tygodnia. Otrzymano nast.. dane								(x_i - dzień obserwacji, y_i - procent zwierząt zarażonych).
Oszacować parametry wykładniczej funkcji regresji procentu zarażonych zwierząt
względem czasu (dnia obserwacji).				(y=c*a^x)
Użyto logarytmów dziesiętnych:
i	x_i	y_i	x*_i=x_i	y*_i=log(y_i)	x*_i-x*_śr	y*_i-y*_śr	(x*_i-x*_śr) *(y*_i-y*_śr)	(x*_i-x*_śr)^2
1	1	2	1	0,301030	-3	-0,539444	1,618333	9
2	2	3	2	0,477121	-2	-0,363353	0,726706	4
3	3	5	3	0,698970	-1	-0,141504	0,141504	1
4	4	7	4	0,845098	0	0,004624	0,000000	0
5	5	10	5	1,000000	1	0,159526	0,159526	1
6	6	14	6	1,146128	2	0,305654	0,611307	4
7	7	26	7	1,414973	3	0,574499	1,723497	9
Razem			28,000000	5,883321	0	0,000000	4,980874	28
			4,000000	0,840474
			x*_śr	y*_śr				lub w zaokrągleniu			lub w zaokrągleniu
						a*=	0,177888	0,178	a=10^a*=	1,506220	1,51
						c*=	0,128921	0,128	c=10^c*=	1,345616	1,34
									Odp.:	y=1,34*1,51^x
Użyto logarytmów naturalnych:
i	x_i	y_i	x*_i	y*_i=ln(y_i)	x*_i-x*_śr	y*_i-y*_śr	(x*_i-x*_śr) *(y*_i-y*_śr)	(x*_i-x*_śr)^2
1	1	2	1	0,693147	-3	-1,242117	3,726350	9
2	2	3	2	1,098612	-2	-0,836651	1,673303	4
3	3	5	3	1,609438	-1	-0,325826	0,325826	1
4	4	7	4	1,945910	0	0,010646	0,000000	0
5	5	10	5	2,302585	1	0,367321	0,367321	1
6	6	14	6	2,639057	2	0,703794	1,407587	4
7	7	26	7	3,258097	3	1,322833	3,968498	9
		Razem	28,000000	13,546846	0	0,000000	11,468885	28
			4,000000	1,935264
			x*_śr	y*_śr				lub w zaokrągleniu			lub w zaokrągleniu
						a*=	0,409603	0,410	a=exp(a*)=	1,506220	1,51
						c*=	0,296852	0,295	c=exp(c*)=	1,345616	1,34
									Odp.:	y=1,34*1,51^x

---

Sheet 4: Greń 4.47 logarytmiczna

Greń 4.47.
W pewnym doświadczeniu farmakologicznym badano wpływ pewnego preparatu podawanego kogutom
na wzrost powierzchni grzebiania kogutów po pewnym czasie od podania preparatu.
(x_i - wielkość dawki w mg, y_i - wzrost powierzchni grzebienia w mm^2).
Oszacować parametry logarytmicznej funkcji regresji wzrostu powierzchni grzebiania
względem wielkości dawki podawanego preparatu.					(y=a log x+b)
Użyto logarytmów dziesiętnych:
i	x_i	y_i	x*_i=ln(x_i)	y*_i=y_i	x*_i-x*_śr	y*_i-y*_śr	(x*_i-x*_śr) *(y*_i-y*_śr)	(x*_i-x*_śr)^2
1	0,5	2	-0,301030	2	-0,602060	-8	4,816480	0,362476
2	1	6	0,000000	6	-0,301030	-4	1,204120	0,090619
3	2	10	0,301030	10	0,000000	0	0,000000	0,000000
4	4	15	0,602060	15	0,301030	5	1,505150	0,090619
5	8	17	0,903090	17	0,602060	7	4,214420	0,362476
Razem			1,505150	50	0,000000	0	11,740170	0,906191
			0,301030	10,00
			x*_śr	y*_śr				lub w zaokrągleniu
						a=	12,955520	13,0
						b=	6,100000	6,1
					Odp.:	y=13,0 log x+6,1
Użyto logarytmów naturalnych:				(y=a' ln x + b)
i	x_i	y_i	x*_i=ln(x_i)	y*_i=y_i	x*_i-x*_śr	y*_i-y*_śr	(x*_i-x*_śr) *(y*_i-y*_śr)	(x*_i-x*_śr)^2
1	0,5	2	-0,693147	2	-1,386294	-8	11,090355	1,921812
2	1	6	0,000000	6	-0,693147	-4	2,772589	0,480453
3	2	10	0,693147	10	0,000000	0	0,000000	0,000000
4	4	15	1,386294	15	0,693147	5	3,465736	0,480453
5	8	17	2,079442	17	1,386294	7	9,704061	1,921812
		Razem	3,465736	50	0,000000	0	27,032740	4,804530
			0,693147	10,00
			x*_śr	y*_śr				lub w zaokrągleniu
						a'=	5,626511	5,6		a' razy ln(10)=	12,9555	=a
						b=	6,100000	6,1
					Odp.:	y=5,6 ln x+6,1

---

Sheet 5: Greń 4.42 hiperboliczna

Greń 4.42.
W pewnym doświadczeniu fizycznym bada się kąt obrotu wektora namagnesowania
w zależności od wielkości ziaren tej próbki. Otrzymano wyniki:
(x_i - wielkość ziaren w mikrometrach,y_i - kąt w stopniach).
Oszacować parametry hiperbolicznej funkcji regresji kąta obrotu wektora namagnesowania
względem wielkości ziaren namagnesowanej próbki.					(y=a/x+b)
i	x_i	y_i	x*_i=1/x_i	y*_i=y_i	x*_i-x*_śr	y*_i-y*_śr	(x*_i-x*_śr) *(y*_i-y*_śr)	(x*_i-x*_śr)^2
1	10	8,0	0,1000	8,0	0,066027	4,5	0,295470	0,004360
2	20	5,5	0,0500	5,5	0,016027	2,0	0,031653	0,000257
3	30	3,5	0,0333	3,5	-0,000640	0,0	0,000016	0,000000
4	40	3,3	0,0250	3,3	-0,008973	-0,2	0,002019	0,000081
5	50	2,5	0,0200	2,5	-0,013973	-1,0	0,014323	0,000195
6	60	2,2	0,0167	2,2	-0,017307	-1,3	0,022931	0,000300
7	70	1,7	0,0143	1,7	-0,019688	-1,8	0,035930	0,000388
8	80	1,5	0,0125	1,5	-0,021473	-2,0	0,043483	0,000461
Razem			0,2718	28	0,000000	0,0	0,445824	0,006041
			0,0340	3,53
			x*_śr	y*_śr				lub w zaokrągleniu
						a=	73,802381	73,8
						b=	1,017696	1,02
								y=73,8/x+1,02

---

Sheet 6: Przykłady z wykładu ECW

Przykład 2 z wykładu ECW Teoria regresji i korelacji
i	x_i	y_i	x_i-x_śr	y_i-y_śr	(x_i-x_śr) *(y_i-y_śr)	(x_i-x_śr)^2
1	1	8	-3	-8	24	9
2	2	13	-2	-3	6	4
3	3	14	-1	-2	2	1
4	4	17	0	1	0	0
5	5	18	1	2	2	1
6	6	20	2	4	8	4
7	7	22	3	6	18	9
Razem	28	112	0	0	60	28,00
	4	16
	x_śr	y_śr				lub w zaokrągleniu
				a=	2,14285714285714	2,14
				b=	7,42857142857143	7,44
Przykład 3 j.w.
i	x_i	y_i	x_i-x_śr	y_i-y_śr	(x_i-x_śr) *(y_i-y_śr)	(x_i-x_śr)^2
1	1	8	-4,5	-9,0	40,5	20,25
2	2	15	-3,5	-2,0	7,0	12,25
3	3	8	-2,5	-9,0	22,5	6,25
4	4	10	-1,5	-7,0	10,5	2,25
5	5	22	-0,5	5,0	-2,5	0,25
6	6	14	0,5	-3,0	-1,5	0,25
7	7	17	1,5	0,0	0,0	2,25
8	8	28	2,5	11,0	27,5	6,25
9	9	22	3,5	5,0	17,5	12,25
10	10	26	4,5	9,0	40,5	20,25
Razem	55	170	0	0	162	82,50
	5,5	17
	x_śr	y_śr				lub w zaokrągleniu
				a=	1,96363636363636	1,96
				b=	6,20	6,22
Przykład (zadanie domowe)
Dla 8 urządzeń zestawiono dane o ich wieku (x, w latach)
oraz o czasie przeznaczonym na ich remont i konserwację (y, w godzinach)
i	x_i	y_i	x_i-x_śr	y_i-y_śr	(x_i-x_śr) *(y_i-y_śr)	(x_i-x_śr)^2
1	1	5	-4,1	-1,4	5,672	17,016
2	3	4	-2,1	-2,4	5,047	4,516
3	3	6	-2,1	-0,4	0,797	4,516
4	4	5	-1,1	-1,4	1,547	1,266
5	5	8	-0,1	1,6	-0,203	0,016
6	7	6	1,9	-0,4	-0,703	3,516
7	9	7	3,9	0,6	2,422	15,016
8	9	10	3,9	3,6	14,047	15,016
Razem	41	51	0	0	28,625	60,875
	5,125	6,375
	x_śr	y_śr
						lub w zaokrągleniu
				a=	0,470225872689938	0,47
				b=	3,9651	3,97