UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
LINIOWYCH
Oznaczenia:
A  macierz współczynników układu, x  wektor niewiadomych, b  wektor wyrazów wolnych
Postać macierzowa: Ax =ð b
Układ m  równań, n  niewiadomych
a11 a12 Kð a1n éð x1 Å‚ð éðb1 Å‚ð
a11x1 +ð a12x2 +ð Kð +ð a1n xn =ð b1 éð Å‚ð
ìð
ïð Ä™ða a22 Kð a2n Å›ð
Ä™ðx Å›ð Ä™ðb Å›ð
a21x1 +ð a22x2 +ð Kð +ð a2n xn =ð b2
ïð
21 2 2
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
A =ð , x =ð , b =ð
íð
.......... .......... ....... Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
.......... ..........
Ä™ð Å›ð Mð Mð
Kð Kð Kð Kð
ïð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ða am2 Kð amn Å›ð
ïðam1x1 +ð am2 x2 +ð Kð +ð amn xn =ð bm
îð
n n
ëðx ûð ëðb ûð
ëð m1 ûð
Metoda eliminacji Gaussa
Uwaga 1: m =ð n (liczba równaÅ„ = liczbie niewiadomych) Uwaga 2: dziaÅ‚amy tylko na wierszach!!!
a1,n+ð1 éð Å‚ð
éð a1,n+ð1 Å‚ð éð Å‚ð b1
a11 a12 Kð a1n
Ä™ða a22 Kð a2n a2,n+ð1 Å›ð Ä™ða Å›ð
Ä™ðb Å›ð
2,n+ð1
21 2
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
UkÅ‚ad równaÅ„ w postaci: [ðA b]ð, [ðA b]ð=ð A(ð0)ð =ð , =ð
gdzie
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Mð Mð Ä™ð Å›ð
Mð Mð Oð Mð Mð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ða Å›ð
Ä™ða an2 Kð ann an,n+ð1Å›ð n,n+ð1
ëðbn ûð
n1 ëð ûð
ëð ûð
Metoda polega na przeksztaÅ‚caniu macierzy A(ð0)ð tak, żeby macierz współczynników ukÅ‚adu A byÅ‚a macierzÄ…
trójkÄ…tnÄ… górnÄ… (pod głównÄ… przekÄ…tnÄ… zera, aii  elementy na głównej przekÄ…tnej dla i =ð1, 2,Kð, n):
i =ð 2,3,Kð, n j =ð1, 2, Kð, n
1. zerowanie elementów w 1-ej kolumnie pod główną przekątną dla
(żeby wyzerować elementy w pierwszej kolumnie mnoży się
0)ð
ai(ð1
(ð (ð
pierwszy wiersz przez stałą l1 i dodaje do niego elementy i -
l1 =ð -ð
aij1)ð =ð a1 j ×ð l1 +ð aij0)ð
(ð0
a11)ð
ego wiersza, wi =ð w1 ×ð l1 +ð wi )
i =ð 3, 4,Kð, n j =ð 2,3, Kð, n
2. zerowanie elementów w 2 -ej kolumnie pod główną przekątną dla
(żeby wyzerować elementy w drugiej kolumnie mnoży się
ai(ð1)ð
2 (ð (ð (ð
drugi wiersz przez stałą l2 i dodaje do niego elementy
l2 =ð -ð aij2)ð =ð a21j)ð ×ð l2 +ð aij1)ð
(ð1
a22)ð
i -ego wiersza, wi =ð w2 ×ðl2 +ð wi )
dla k =ð 3,Kð, n -ð1, i =ð k +ð1,Kð, n , j =ð k,Kð, n
3. zerowanie elementów w k-ej kolumnie pod główną przekątną
(żeby wyzerować elementy w k -ej kolumnie mnoży się
(ðk
aik -ð1)ð
(ð (ðk-ð1)ð (ð
k -ty wiersz przez staÅ‚Ä… lk i dodaje do niego elementy lk =ð -ð
aijk)ð =ð akj ×ð lk +ð aijk-ð1)ð
(ðk
akk -ð1)ð
i -ego wiersza, wi =ð wk ×ðlk +ð wi )
PostÄ™powanie wsteczne  wyznaczenie rozwiÄ…zania ukÅ‚adu równaÅ„ Ax =ð b (z postaci A(ðk -ð1)ð ):
(ð0 (ð0 0
(ð0 (ð0 0
ìð
éða11)ð a12)ð a1(ð,0n)ð a1(ðn)ð a1(ð,0n)ð Å‚ð a11)ðx1 +ð a12)ðx2 +ð Kð +ð a1(ð,0)ð xn-ð1 +ð a1(ðn)ðxn =ð a1(ð,0)ð
n-ð1 n+ð1
+ð1
-ð1
Ä™ð Å›ð ïð
(ð1 (ð (ð (ð
(ð1 (ð (ð
a22)ðx2 +ð Kð +ð a21)ð xn-ð1 +ð a21)ðxn =ð a21)ð
a21)ðn
0 a22)ð a21)ðn -ð1 a21)ð (ð, +ð1 Å›ð
Ä™ð ïð ,n-ð1 n ,n+ð1
, n
ïð
Ä™ð Å›ð
A(ðn -ð1)ð =ð Mð .......... .......... .......... .........
.......... .......... ..........
Mð Mð Oð Mð Mð Þð
íð
Ä™ð Å›ð
(ð (ð ïð (ð (ð (ð
ann n +ð1 Å›ð
0 0 Kð ann -ð 2)ð ann -ð 2)ð (ð -ð 2)ð ann-ð,2)ð xn-ð1 +ð ann-ð,2)ðxn =ð ann-ð,2)ð
Ä™ð
-ð1,
-ð1, n -ð1 -ð1, n -ð1 n-ð1 -ð1 n -ð1 n+ð1
ïð
Ä™ð (ðn (ð -ð1)ð (ð -ð1)ð
annn +ð1 ûð
0 0 Kð 0 ann-ð1)ð (ð, -ð1)ð Å›ð ïð annn xn =ð annn+ð1
, ,
ëð îð
(ð -ð1)ð
annn+ð1
,
1. Wyznaczenie niewiadomej xn z ostatniego równania xn =ð
(ðn
ann-ð1)ð
(ð (ð
ann-ð,2)ð -ð ann-ð,2)ð ×ð xn
-ð1 n+ð1 -ð1 n
xn-ð1 =ð
2. Wyznaczenie niewiadomej xn-ð1 z przedostatniego równania
(ð
ann-ð,2)ð
-ð1 n-ð1
n
-ð1)ð (ði-ð1)ð
ai(ð,in+ð1 -ð ×ð x
åðai, j j
3. Wyznaczenie niewiadomej xi z i -go równania ( i =ð n -ð 2,Kð,1)
j=ði+ð1
xi =ð
ai(ð,ii-ð1)ð