UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
LINIOWYCH
Oznaczenia:
A  macierz współczynników układu, x  wektor niewiadomych, b  wektor wyrazów wolnych
Postać macierzowa: Ax =� b
Układ m  równań, n  niewiadomych
a11 a12 K� a1n �� x1 ł� ��b1 ł�
a11x1 +� a12x2 +� K� +� a1n xn =� b1 �� ł�
��
�� ę�a a22 K� a2n ś�
ę�x ś� ę�b ś�
a21x1 +� a22x2 +� K� +� a2n xn =� b2
��
21 2 2
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
A =� , x =� , b =�
��
.......... .......... ....... ę� ś� ę� ś�
.......... ..........
ę� ś� M� M�
K� K� K� K�
��
ę� ś� ę� ś�
ę�a am2 K� amn ś�
��am1x1 +� am2 x2 +� K� +� amn xn =� bm
��
n n
��x �� ��b ��
�� m1 ��
Metoda eliminacji Gaussa
Uwaga 1: m =� n (liczba równań = liczbie niewiadomych) Uwaga 2: działamy tylko na wierszach!!!
a1,n+�1 �� ł�
�� a1,n+�1 ł� �� ł� b1
a11 a12 K� a1n
ę�a a22 K� a2n a2,n+�1 ś� ę�a ś�
ę�b ś�
2,n+�1
21 2
ę� ś� ę� ś�
ę� ś�
Układ równań w postaci: [�A b]�, [�A b]�=� A(�0)� =� , =�
gdzie
ę� ś� ę� ś�
M� M� ę� ś�
M� M� O� M� M�
ę� ś� ę� ś�
ę� ś�
ę�a ś�
ę�a an2 K� ann an,n+�1ś� n,n+�1
��bn ��
n1 �� ��
�� ��
Metoda polega na przekształcaniu macierzy A(�0)� tak, żeby macierz współczynników układu A była macierzą
trójkątną górną (pod główną przekątną zera, aii  elementy na głównej przekątnej dla i =�1, 2,K�, n):
i =� 2,3,K�, n j =�1, 2, K�, n
1. zerowanie elementów w 1-ej kolumnie pod główną przekątną dla
(żeby wyzerować elementy w pierwszej kolumnie mnoży się
0)�
ai(�1
(� (�
pierwszy wiersz przez stałą l1 i dodaje do niego elementy i -
l1 =� -�
aij1)� =� a1 j �� l1 +� aij0)�
(�0
a11)�
ego wiersza, wi =� w1 �� l1 +� wi )
i =� 3, 4,K�, n j =� 2,3, K�, n
2. zerowanie elementów w 2 -ej kolumnie pod główną przekątną dla
(żeby wyzerować elementy w drugiej kolumnie mnoży się
ai(�1)�
2 (� (� (�
drugi wiersz przez stałą l2 i dodaje do niego elementy
l2 =� -� aij2)� =� a21j)� �� l2 +� aij1)�
(�1
a22)�
i -ego wiersza, wi =� w2 ��l2 +� wi )
dla k =� 3,K�, n -�1, i =� k +�1,K�, n , j =� k,K�, n
3. zerowanie elementów w k-ej kolumnie pod główną przekątną
(żeby wyzerować elementy w k -ej kolumnie mnoży się
(�k
aik -�1)�
(� (�k-�1)� (�
k -ty wiersz przez stałą lk i dodaje do niego elementy lk =� -�
aijk)� =� akj �� lk +� aijk-�1)�
(�k
akk -�1)�
i -ego wiersza, wi =� wk ��lk +� wi )
Postępowanie wsteczne  wyznaczenie rozwiązania układu równań Ax =� b (z postaci A(�k -�1)� ):
(�0 (�0 0
(�0 (�0 0
��
��a11)� a12)� a1(�,0n)� a1(�n)� a1(�,0n)� ł� a11)�x1 +� a12)�x2 +� K� +� a1(�,0)� xn-�1 +� a1(�n)�xn =� a1(�,0)�
n-�1 n+�1
+�1
-�1
ę� ś� ��
(�1 (� (� (�
(�1 (� (�
a22)�x2 +� K� +� a21)� xn-�1 +� a21)�xn =� a21)�
a21)�n
0 a22)� a21)�n -�1 a21)� (�, +�1 ś�
ę� �� ,n-�1 n ,n+�1
, n
��
ę� ś�
A(�n -�1)� =� M� .......... .......... .......... .........
.......... .......... ..........
M� M� O� M� M� ��
��
ę� ś�
(� (� �� (� (� (�
ann n +�1 ś�
0 0 K� ann -� 2)� ann -� 2)� (� -� 2)� ann-�,2)� xn-�1 +� ann-�,2)�xn =� ann-�,2)�
ę�
-�1,
-�1, n -�1 -�1, n -�1 n-�1 -�1 n -�1 n+�1
��
ę� (�n (� -�1)� (� -�1)�
annn +�1 ��
0 0 K� 0 ann-�1)� (�, -�1)� ś� �� annn xn =� annn+�1
, ,
�� ��
(� -�1)�
annn+�1
,
1. Wyznaczenie niewiadomej xn z ostatniego równania xn =�
(�n
ann-�1)�
(� (�
ann-�,2)� -� ann-�,2)� �� xn
-�1 n+�1 -�1 n
xn-�1 =�
2. Wyznaczenie niewiadomej xn-�1 z przedostatniego równania
(�
ann-�,2)�
-�1 n-�1
n
-�1)� (�i-�1)�
ai(�,in+�1 -� �� x
��ai, j j
3. Wyznaczenie niewiadomej xi z i -go równania ( i =� n -� 2,K�,1)
j=�i+�1
xi =�
ai(�,ii-�1)�