UKA
ADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAC
LINIOWYCH
Oznaczenia:
A  macierz współczynników układu, x  wektor niewiadomych, b  wektor wyrazów wolnych
Postać macierzowa: Ax = b
Układ m  równań, n  niewiadomych
a11 a12 K a1n îÅ‚ x1 Å‚Å‚ îÅ‚b1 Å‚Å‚
a11x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1 îÅ‚ Å‚Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ ïÅ‚a a22 K a2n śł
ïÅ‚x śł ïÅ‚b śł
a21x1 + a22 x2 + K + a2n xn = b2
ôÅ‚
21 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = , x = , b =
òÅ‚
............................................... ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł M M
K K K K
ôÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ôÅ‚am1x1 + am2 x2 + K + amn xn = bm
ół am2 K amn ûÅ‚ ðÅ‚xn ûÅ‚ ðÅ‚bn ûÅ‚
ðÅ‚am1
Metoda eliminacji Gaussa
Uwaga 1: m = n (liczba równań = liczbie niewiadomych) Uwaga 2: działamy tylko na wierszach!!!
a1,n+1 a1,n+1 îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚a11 a12 K a1n Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ b1
ïÅ‚ śł ïÅ‚a śł ïÅ‚b śł
2,n+1 2
ïÅ‚a21 a22 K a2n a2,n+1 śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Układ równań w postaci: [A b], [A b]= A(0) = , =
gdzie
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
M
M M O M M M ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚a śł
ïÅ‚a an2 K ann an,n+1 śł n,n+1
n1 ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚bn ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Metoda polega na przekształcaniu macierzy A(0) tak, żeby macierz współczynników układu A była macierzą
trójkątną górną (pod główną przekątną zera, aii  elementy na głównej przekątnej dla i =1, 2,K, n ):
i = 2,3,K, n j = 1, 2, K, n
1. zerowanie elementów w 1-ej kolumnie pod główną przekątną dla
(żeby wyzerować elementy w pierwszej kolumnie mnoży się
ai(0)
1
pierwszy wiersz przez stałą l1 i dodaje do niego elementy i - l1 = -
ai(1) = a1 j Å" l1 + ai(0)
j j
(0
a11)
ego wiersza, wi = w1 Å" l1 + wi )
i = 3, 4,K, n j = 2, 3, K, n
2. zerowanie elementów w 2 -ej kolumnie pod główną przekątną dla
(żeby wyzerować elementy w drugiej kolumnie mnoży się
ai(1)
2 (
drugi wiersz przez stałą l2 i dodaje do niego elementy l2 = -
ai(2) = a21) Å" l2 + ai(1)
j j j
(1
a22)
i -ego wiersza, wi = w2 Å"l2 + wi )
dla k = 3,K, n -1, i = k +1,K, n , j = k,K, n
3. zerowanie elementów w k-ej kolumnie pod główną przekątną
(żeby wyzerować elementy w k -ej kolumnie mnoży się
(k
aik -1)
(k
k -ty wiersz przez staÅ‚Ä… lk i dodaje do niego elementy lk = - ai(k ) = akj -1) Å" lk + ai(k -1)
j j
(k
akk -1)
i -ego wiersza, wi = wk Å"lk + wi )
Postępowanie wsteczne  wyznaczenie rozwiązania układu równań Ax = b (z postaci A(k -1) ):
(0 (0
(0 (0
Å„Å‚
îÅ‚a11) a12) a1(0) a1(0) a1(0) Å‚Å‚ a11)x1 + a12)x2 + K + a1(0) xn-1 + a1(0)xn = a1(0)
,n-1 n ,n+1
, n -1 n , n +1
ôÅ‚
ïÅ‚ śł
(1 ( ( (
(1 ( (
a22)x2 + K + a21) xn-1 + a21)xn = a21)
a21)
0 a22) a21) a21) ( śł
ïÅ‚ , n +1 ôÅ‚ ,n-1 n ,n+1
, n -1 n
ôÅ‚
ïÅ‚ śł
A(n -1) = M .....................................................................
M M O M M Ò! òÅ‚
ïÅ‚ śł
( ( ôÅ‚ ( ( (
ann śł
ïÅ‚ 0 0 K ann - 2) ann - 2) ( - 2) ann-2) xn-1 + ann-2)xn = ann-2)
-1, n -1 -1, n -1, n +1 -1,n-1 -1,n -1,n+1
ôÅ‚
ïÅ‚ (n ( (
ann ûÅ‚
0 0 K 0 ann-1) ( -1) śł ôÅ‚ ann-1)xn = ann-1)
, n +1
,n ,n+1
ðÅ‚ ół
(
ann-1)
,n+1
1. Wyznaczenie niewiadomej xn z ostatniego równania xn =
(n
ann-1)
( (
ann-2) - ann-2) Å" xn
-1,n+1 -1,n
2. Wyznaczenie niewiadomej xn-1 z przedostatniego równania xn-1 =
(
ann-2)
-1,n-1
n
(i-1)
ai(i-1) - Å" x
,n+1 "ai, j j
3. Wyznaczenie niewiadomej xi z i -go równania ( i = n - 2,K,1)
j=i+1
xi =
ai(i-1)
,i