Metoda eliminacji


id3117125 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
Dany jest uk r niewiadomych , ,K,
1 2
+ + K + =

11 1 12 2 1 1
+ + K + =

21 1 22 2 2 2
(*)

K K K K

1 1 + 2 2 + K + =

gdzie a s .
Oznaczmy:
K 1
ł ł ł
11 12 1 1
ę K ś ę ś ę ś
21 22 2 2 2
ę ś, = ę ś, = ę ś
=
ę ś ę ś ę ś
M M M M M M
ę ś ę ś ę ś
K
1 2
Wtedy uk r (*) mo w postaci macierzowej = .
Je macierzy rozszerzonej = [ ] b
podane ni , to otrzymamy macierz rozszerzon
r .
operacje
elementarne
Mno wiersza macierzy rozszerzonej przez liczb .
Dodawanie do dowolnego wiersza macierzy rozszerzonej innego wiersza tej
macierzy pomno
Przestawienie dw wierszy macierzy rozszerzonej.
.
Mo
( Patrz Przyk
..........................................................................................
3 + 4 - 2 = 7


Dla uk u r 5 - + 3 =1 napisa

2 + 3 - 6 = -3

3 4 - 2| 7
ł
ę5 ś
Macierz rozszerzona tego uk = -1 3 | 1
ę ś
ę ś
2 3 - 6|- 3
Do drugiego wiersza tej macierzy dodajmy trzeci wiersz pomno rzez 4.
Otrzymujemy now
3 4 - 2 | 7 3 4 - 2 | 7
ł ł
ę5 + 4 2 -1+ 43 3 + 4(-6)|1+ 4(-3)ś = ę13 11 - 21|-11ś
ę ś ę ś
ę ś ę ś
2 3 - 6 | - 3 2 3 - 6 | - 3

Uk
3 + 4 - 2 = 7

13 -11 - 21 = -11 i jest on r .


2 + 3 - 6 = -3

..........................................................................................
Wr = .
Rozwi
przekszta = [ ] do postaci =[ ],
macierz bazowa
gdzie jest tzw.
ł
( - )
=
ę ś
0(
ę0 ś
( - ) - )( - )

Na bloki macierzy sk
macierz jednostkowa
dowolna macierz
( - )
0( - ) , 0( - )( - ) macierze zerowe
przy czym w postaci bazowej tylko macierz jednostkowa musi si
natomiast pozosta nie musz
Z postaci = [ ], gdzie jest macierz
rozwi
Operacje elementarne nale
element no pogrubion
zera dzi
W przyk przebieg
21
jak na poni + (- ) w tym
2 1
11
schemacie nale
21
pierwszy pomno (- ) .
11
metoda Gaussa
Metoda rozwi
Jordana
.
ł ł
11 12 13 14 15 1 11 12 13 14 15 1
21 31
ę ś + (- ) ę ś + (- )
21 22 23 24 25 2 22 23 24 25 26
2 1 3 1
ę ś ę ś
11 11
ę ś ę ś
31 32 33 34 35 3 31 32 33 34 35 3
ę ś ę ś
41 42 43 44 45 4 41 42 43 44 45 4
ł ł
11 12 13 14 15 1 11 12 13 14 15 1
ś ś
41 12
0 0
ę + (- ) ę + (- )
22 23 24 25 26 22 23 24 25 26
4 1 1 2
ę ś ę ś
11 22
ę ś ę ś
0 32 33 36
32 33 34 35 36 34 35
ę ś ę ś
41 42 43 44 45 4 42 43 44 45 46
0
ł ł
11 13 14 15 16 11 13 14 15 16
ś
32
0 0 22 23 25 26ś 4 42 2
ę + (- ) ę + (- )
22 23 24 25 26 24
3 2
ę ś ę ś
22 22
ę ś ę ś
0 32 33 34 35 36 0 33 34 35 36
ę ś ę ś
0 0
42 43 44 45 46 42 43 44 45 46
0 0
ł ł
11 13 14 15 16 11 14 15 16
ś ś
13 23
0 0
ę + (- ) ę + (- )
22 23 24 25 26 22 23 24 25 26
1 3 2 3
ę ś ę ś
33 33
ę ś ę ś
0 0 0 0 33 34 36
33 34 35 36 35
ę ś ę ś
0 0 0
43 44 45 46 43 44 45 46
0 0 0 0
ł ł
11 14 15 16 11 14 15 16
ś ś
43 14
0 0 22 0
ę + (- ) ę + (- )
22 24 25 26 24 25 26
4 3 1 4
ę ś ę ś
33 44
ę ś ę ś
0 0 33 34 35 36 0 0 33 34 35 36
ę ś ę ś
0 0 0 0
43 44 45 46 44 45 46
0 0 15 16 0 0 0 15 16
ł ł
11 11
ś
24
0 22 0 0 22 0 25 26ś 3 34 4
ę + (- ) ę + (- )
24 25 26
2 4
ę ś ę ś
44 44
ę ś ę ś
0 0 33 34 35 36 0 0 33 34 35 36
ę ś ę ś
0 0 0 0 0 0
44 45 46 44 45 46
0 0 0 15 16 1 0 0 0 15 16
ł ł
11
0 0 0 25 26ś 1 1 1 2 1 3 1 4 ę0 1 0 0 25 26ś
ę , , ,
22
ę ś ę ś
ę 0 0 33 35 36 11 22 33 33 0 0 1 0 35 36
ś ę ś
ę ś ę0 0 0 1 ś
0 0 0
44 45 46 45 46
*
W praktyce cz do postaci podobnej do gdzie
zamiast macierzy jednostkowej jest macierz tr D ale tak , w kt ej
.
*

D ( - ) ł
*
*
=
ę
ś
0(
ę0( - ) - )( - )

*
Macierz jest to dowolna macierz.
( - )
*
Po uzyskaniu macierzy nie mo ozwi
stwierdzi
trzeba jeszcze wykona
Spos oni
schemacie. Metoda rozwi
metoda Gaussa
ł ł
11 12 13 14 15 1 11 12 13 14 15 1
ś ś
21 31
ę + (- ) ę + (- )
2 1 3 1
ę 21 22 23 24 25 2ś ę 22 23 24 25 26ś
11 11
ę ś ę ś
31 32 33 34 35 3 31 32 33 34 35 3
ę ś ę ś
41 42 43 44 45 4 41 42 43 44 45 4
ł ł
11 12 13 14 15 1 11 22 13 14 15 1
ś
32
0 22 23 26ś 4 41 1 ę 0
ę + (- ) ę + (- )
24 25 22 23 24 25 26
3 2
ę ś ś
11 22
ę ś ę ś
0 32 33 34 35 36
32 33 34 35 36
ę ś ę ś
41 42 43 44 45 4 42 43 44 45 46
ł ł
11 12 13 14 15 1 11 12 13 14 15 1
ś ś
42 43
0 0
ę + (- ) ę + (- )
22 23 24 25 26 22 23 24 25 26
4 2 4 3
ę ś ę ś
22 33
ę ś ę ś
0 33 34 35 36 0 0 33 34 35 36
ę ś ę ś
0 0
42 43 44 45 46 43 44 45 46
ł
11 12 13 14 15 1
0 22 23 24 25 26ś
ę
ę ś
ę ś
0 0 33 34 35 36
ę ś
0 0
44 45 46
..........................................................................................
+ - 3 + = 2

-
Rozwi 2 - 3 + 3 - 2 = 0 .


+ 2 + + 3 = 2

Rozwi
1 1 - 3 1 2
ł
ę-
Macierz rozszerzona tego uk = 2 - 3 3 - 2 0ś .
ę ś
ę ś
1 2 1 3 2

W pierwszym przyk
jedn liminowania wsp
niewiadomej x znajduj do drugiego wiersza
tej macierzy dodamy wiersz pierwszy pomno
operacji: + 2 ).
2 1
1 1 - 3 1 1 1 1 - 3 1 2
ł ł
ę- + - 3 + 21 3 + 2(-3) - 2 + 21 0 + 2 2ś = ę -1 - 3 0 4ś
ę ś ę ś
ę ś ę ś
1 2 1 3 2
1 2 1 3 2
Wsp znajduj
macierzy zostanie wyeliminowany gdy do trzeciego wiersza tej macierzy dodamy
wiersz pierwszy pomno 1 (symbolicznie: + (-1) ).
3 1
1 1 - 3 1 2
ł
ę ś
0 -1 - 3 0 4 =
ę ś
ę ś
+ - 2 + (-1) 1 1+ (-1) (-3) 3 + (-1)1 2 + (-1) 2
1 1 - 3 1 2
ł
ę0
= -1 - 3 0 4ś
ę ś
ę ś
1 4 2 0
Wsp
pierwszego wiersza dodamy drugi (symbolicznie: + ).
1 2
1+ 0 + - - 3 + (-3) 1 2 + 4 1 - 6 1 6
ł ł
ę ś ę0
0 -1 - 3 0 4 = -1 - 3 0 4ś
ę ś ę ś
ę ś ę ś
0 1 4 2 0
0 1 4 2 0
Eliminujemy teraz wsp nik przy niewiadomej y w trzecim wierszu.
W tym celu do trzeciego wiersza uzyskanej macierzy dodamy wiersz drugi
(symbolicznie: + ).
3 2
1 0 - 6 1 6 1 0 - 6 1 6
ł ł
ę ś ę0
0 -1 - 3 0 4 = -1 - 3 0 4ś
ę ś ę ś
ę ś ś
0 + 0 + - 4 + (-3) 2 0 + 4 ę 1 2 4
0
Wsp eliminujemy gdy do
pierwszego r
(symbolicznie: + 6 ).
1 3
1+ 60 0 + 60 - + 1+ 62 6 + 6 4 1 0 13 30
ł ł
ę ś ę0 ś
0 -1 - 3 0 4 = -1 - 3 0 4
ę ś ę ś
ę ś ę
0 0 1 2 4
0 0 1 2 4 ś

Wyeliminujemy wsp
Do drugiego wiersza dodamy wiersz trzeci pomno
(symbolicznie: + 3 ).
2 3
1 0 0 13 30 1 0 0 13 30
ł ł
ę0 + 30 -1+ 30 - + 0 + 3 2 4 + 3 4ś = ę0 -1 6 16ś
ę ś ę ś
ę ś ę
0 0 1 2 4
0 0 1 2 4 ś

Wiersz drugi pomno 1(symbolicznie: (-1) )
1
1 0 0 13 30 1 0 0 13 30
ł ł
ę0(-1) -1(-1) 0 6(-1) 16(-1)ś = ę0 1 0 - 6 -16ś
ę ś ę ś
ę ś ę
0 0 1 2 4
0 0 1 2 4 ś

W otrzymanej macierzy nie wyst
ma ona posta
Macierz
1 0 0 13 30 ł
Macierz
ę0 1 0 - 6 -16ś
Macierz
jednostkowa
ę ś
ę0 0 1 2 4 ś

Uk
1 + 0 + 0 +13 = 30

0 +1 + 0 - 6 = -16


0 + 0 +1 + 2 = 4

Uk r
= -13 + 30


Otrzymujemy rozwi = 6 -16 , .


= -2 + 4

Widzimy,
parametru (w otrzymanym rozwi ). Rozwi
by o Kolumna wsp
niewiadomej znalaz w
rozwi
uk
..........................................................................................
+ 2 - + = 1


Rozwi 3 + 5 - + = 3 .

- - 4 + 5 - 5 = -1

Rozwi
1 2 -1 1 1
ł
ę ś
Macierz rozszerzona U tego uk = 3 5 -1 1 3 .
ę ś
ę ś
-1 - 4 5 - 5 -1
W dalszych obliczeniach opis operacji elementarnych podany b dzie symbolicznie.
Np. pierwsz + (-3) nale
2 1
drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomno 3, druga operacja +
3 1
oznacza: do wiersza trzeciego dodajemy wiersz pierwszy.
Wykonujemy kolejno podane operacje:
+ (-3)
2 1
+
3 1
1 2 -1 1 1
ł
ę + - 5 + (-3) 2 -1+ (-3)(-1) 1+ (-3) 1 3 + (-3)1ś =
ę ś
ę ś
- + - 4 + 2 5 + (-1) - 5 +1 -1+1

1 2 -1 1 1
ł
ę
= -1 2 - 2 0ś
ę ś
ę ś
- 2 4 - 4 0
+ 2
1 2
+ (-2)
3 2
1 + - -1+ 22 1+ 2(-2) 1 1 3 - 3 1
ł ł
ę0 ę0
-1 2 - 2 0ś = -1 2 - 2 0ś
ę ś ę ś
ę ś ś
0 - + - - 4 + (-2) 2 - 4 + (-2) (-2) 0 ę 0 0 0
0
Wiersz drugi pomno 1 co zapisujemy w skr (-1)
2
1 0 3 - 3 1 1 0 3 - 3 1
ł ł
ę0 -1(-1) -12 -1(-2) 0ś = ę0 1 - 2 2 0ś
ę ś ę ś
ę ś ś
0 0 0 0 0 ę 0 0 0 0
0
Otrzymana macierz z podzia
Macierz
Macierz
1 0 3 - 3 1ł
jednostkowa
ę ś
Macierz
ę0 1 - 2 2 0ś
ę0 0 0 0 0ś

Macierze
zerowe
Wsp stkowej,
zatem oraz b w rozwi
Z tak przekszta
= -3 + 3 +1

,

= 2 - 2

gdzie s
= -3 + 3 +1


= 2 - 2

Rozwi a .

=


=

..........................................................................................
- 2 + 3 - 2 = 5


Rozwi - 2 + + 7 = -3 .

- 5 + 4 - 3 +16 = -13

Rozwi
1 - 2 3 - 2 5
ł
ę- ś
Macierz rozszerzona tego uk posta = 2 1 0 7 - 3 .
ę ś
ę ś
- 5 4 - 3 16 -13
Wykonujemy kolejno operacje:
+ 2
2 1
+ 5
3 1
1 - 2 3 - 2 5
ł
ę- + 1+ 2(-2) 0 + 23 7 + 2(-2) - 3 + 25 ś
=
ę ś
ę ś
- + 4 + 5(-2) - 3 + 53 16 + 5(-2) -13 + 55
1 - 2 3 - 2 5
ł
ę ś
= - 3 6 3 7
ę ś
ę ś
- 6 12 6 12
2
ć
+ -

1 2
3
Ł ł
+ (- 2)
3 2
2 2 2 ł
ć ć ć ć
ę1 - + - - 3 + - 3 6 - 2 + - 3 3 5 + - 3 7ś
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
ę ś
- 3 6 3 7 =
ę0 ś
ę0 - + - - 12 + (-2) 6 6 + (-2) 3 12 + (-2) 7 ś
ę ś

1
ł
ę1 -1 - 4 3 ś
ę0 ś
= - 3 6 3 7
ę ś
0 0 0 - 2
ę ś
ę ś

Nie ma potrzeby wykonywania kolejnych operacji prowadz
jednostkowej bo w trzecim wierszu widoczna jest sprzeczno
Zapiszmy uk
1

- - 4 =

- 3 + 6 + 3 3 7
=


Sprzeczno
0 ą -2


Uk jest sprzeczny.
..........................................................................................
- 3 + = -10


2 - - 3 = -5

Rozwi
- + 4 - 2 =13.

3 - 2 - 4 = -9

Rozwi
1 - 3 1 -10
ł
ę ś
2 -1 - 3 - 5
ę ś
Macierz rozszerzona tego uk = .
ę ś
-1 4 - 2 13
ę ś
3 - 2 - 4 - 9

Wykonujemy kolejno operacje elementarne:
+ (-2)
2 1
+
3 1
+ (-3)
4 1
Otrzymujemy:
1 - 3 1 -10
ł
ę2 + (-2) 1 -1+ (-2) (-3) - 3 + (-2) 1 - 5 + (-2)(-10)ś
ę ś
=
ę -1+1 4 + (-3) - 2 +1 13 + (-10) ś
ę3 + (-3) 1 - 2 + (-3)(-3) - 4 + (-3)1 - 9 + (-3) (-10)ś

1 - 3 1 -10
ł
ę0 5 - 5 15 ś
ę ś
=
ę ś
0 1 -1 3
ę0 7 - 7 21 ś

1
2
5
1
4
7
1 - 3 1 -10
ł
1 - 3 1 -10
ł
1 1 1
ę0 5 - 5 15 ś
ę0 1 -1 3 ś
ę ś
5 5 5
ę ś
=
ę0 1 -1 3 ś
ę ś
0 1 -1 3
ę
1 1 1ś ę0
ś
ę0 7 - 7 21 ś
1 -1 3

7 7 7
+ 3
1 2
-
3 2
-
4 2
1 - + 1+ 3(-1) -10 + 33 1 - 2 -1
ł ł
ę0 1 ś ę0 1 -1 3 ś
-1 3
ę ś ę ś
=
ę ś ę ś
0 - -1- (-1) 3- 3 0 0 0
ę0 - -1- (-1) 3- 3 ś ę0 0 0 ś

Uzyskana macierz z podzia
Macierz
Macierz - 1
ł
1 0
- 2
jednostkowa ę ś
Macierz
ę0 1 - 1 3 ś
ę 0 ś
0 0 0
ę ś
ę0 0 0 0 ś

Macierze
zerowe
Wsp nie znalaz
z b
Z postaci otrzymanej macierzy podajemy rozwi
= 2 -1


= + 3

gdzie to dowolna liczba rzeczywista.
= 2 -1

Ostatecznie , .

= + 3

..........................................................................................
- 4 + = -8

- 6 + 2 + 3 = -5

Rozwi .

8 -10 - = -11


5 - + 3 = 0

Rozwi
1 - 4 1 -8
ł
ę- 6 2 3 - 5 ś
ę ś
Macierz rozszerzona tego uk a posta = .
ę 8 -10 -1 -11
ś
ę ś
5 -1 3 0

Wykonujemy kolejno operacje elementarne:
+ 6
2 1
+ (-8) = - 8
3 1 3 1
+ (-5) = - 5
4 1 4 1
Otrzymujemy:
1 - 4 1 -8
ł
ę- + 2 + 6(-4) 3 + 61 - 5 + 6(-8) ś
ę ś
=
ę - -10 - 8(-4) -1- 81 -11- 8(-8)
ś
ę ś
- -1- 5(-4) 3 - 51 0 - 5(-8)

1 - 4 1 -8
ł
ę - 22 9 - 53ś
ę ś
=
ę 22 - 9 53 ś
ę 19 - 2 40 ś

4 4
+ (- ) = -
1 2 1 2
22 22
+
3 2
19
+
4 2
22
4 4
1 - - - 1- 9 - 8 - (-53)ł
ę ś
22 22
ę0 ś
- 22 9 - 53
ę ś
=
0 + - - 9 + 9 53 + (-53)
ę ś
ę ś
19 19
ę0 + - - 2 + 22 9 40 + 22 (-53)ś

14 36
1 - ł
ę ś
22
ę0 - 22 9 -22 ś
53
= ę ś
0 0 0
ę ś
ę0 127 - 127ś
ę ś
22 22
Przestawiamy wiersz trzeci z wierszem czwartym ( )
3 4
14 36
1 0 - ł
ę ś
22
ę0 - 22 9 -22 ś
53
ę ś
127 127
ę0 0 - ś
22 22
ę ś
ę
0 0 0 0 ś

22

3
127
14 36
1 0 - ł
ę ś
22
ę0 - 22 9 -22
53ś
ę ś
0 0 1 -1
ę ś
ę0 0 0 0 ś

14
+
1 3
22
+ (-9)
2 3
14 14 36 14
1 0 - + 1 + (-1) ł
ę ś
22 22
ę0 - 22 922(-9) 1 -22 + (-9) (-1)ś
+ 53
=
ę ś
0 0 1 -1
ę ś
ę0 0 ś
0 0

1 0 0 1
ł
ę0 - 22 0 - 44ś
ę ś
=
ę ś
0 0 1 -1
ę0 0 0 0 ś

1
-
2
22
1 0 0 1
ł
ę0 1 0 - 2ś
ę ś
ę ś
0 0 1 -1
ę0 0 0 0 ś

Uzyskana macierz z podzia
Macierz
jednostkowa
Macierz D
1 0 0 1 ł
ę0 1 0 - 2ś
ę ś
ę0 0 1 -1ś
ę ś
ę0 0 0 0 ś

Macierz zerowa
= 1


Z postaci otrzymanej macierzy podajemy rozwi = -2 .


= -1

..........................................................................................
+ 2 - 3 = -13


Rozwi wna 4 + - 3 = -11 .

- 3 + 2 + = -1

Rozwi
1 2 - 3 -13
ł
ę
Macierz rozszerzona tego uk = 4 1 - 3 -11ś .
ę ś
ę
- 3 2 1 -1 ś

Wykonujemy operacje:
+ (-4)
2 1
+ 3
3 1
1 2 - 3 -13
ł
ę
4 - 4 1 1- 4 2 - 3 - 4 (-3) -11- 4 (-13)ś =
ę ś
ę
- 3 + 31 2 + 3 2 1+ 3 (-3) -1+ 3 (-13) ś

1 2 - 3 -13
ł
ę0 ś
= - 7 9 41
ę ś
ę ś
0 8 - 8 - 40
1
3
8
1 2 - 3 -13 ł
1 2 - 3 -13
ł
ę ś
ę0 ś
ę0 - 7 9 ś
41 = - 7 9 41
ę ś
ę ś
1 1 1
0
ę0 8 8 8 (-8) 8 (-40)ś ę 1 -1 - 5 ś


2 3
1 2 - 3 -13
ł
ę0 1 -1 - 5 ś
ę ś
ę
0 - 7 9 41 ś

+ (-2) = - 2
1 2 1 2
+ 7
3 1
1 2 - 2 1 - 3 - 2 (-1) -13 - 2 (-5) 1 0 -1 - 3
ł ł
ę0 1 ś ę0
-1 - 5 = 1 -1 - 5ś
ę ś ę ś
ę
0 - 7 + 7 1 9 + 7 (-1) 41+ 7 (-5) ś ę 0 2 6 ś
0
1

3
2
1 0 -1 - 3
ł
ę0 1 -1 - 5ś
ę ś
ę
0 0 1 3 ś

+
1 3
+
2 3
1 0 -1+1 - 3 + 3 1 0 0 0
ł ł
ę0 1 -1+1 - 5 + 3ś = ę0 1 0 - 2ś
ę ś ę ś
ę
0 0 1 3 ś ę 0 1 3 ś
0
Otrzymana macierz z podzia
Macierz
jednostkowa
Macierz D
1 0 0 0 ł
ę0 1 0 - 2ś
ę ś
ę0 0 1 3 ś

= 0


Z postaci otrzymanej macierzy podajemy rozwi = -2 .


= 3

..........................................................................................
- 3 + 2 = 1

7
Rozwi - 5 + 4 = 3 .


2 + 2 - = 3

Rozwi
1 - 3 2 1
ł
ę7
Macierz rozszerzona tego uk = - 5 4 3ś .
ę ś
ę ś
2 2 -1 3
Wykonujemy operacje:
+ (-7) = - 7
2 1 2 1
+ (-2) = - 2
3 1 3 1
1 - 3 2 1 1 - 3 2 1
ł ł
ę - - 5 - 7 (-3) 4 - 7 2 3 - 7 1ś = ę 16 -10 - 4ś
ę ś ę ś
ę ś
- 2 - 2 (-3) -1- 2 2 3 - 2 1 ę 8 - 5 1 ś

1
Zauwa - oka
3 2
2
uk
1 - 3 ł
2 1 1 - 3 2 1
ł
ę ś
ę0
ę ś
0 16 -10 - 4 = 16 -10 - 4ś
ę ś
ę ś
1 1
0
ę0 - - 5 - 2 (-10) 1 - 2 (-4)ś ę 0 3 ś

Zapiszmy uk
- 3 + 2 = 1


16 -10 - 4

Sprzeczno

0 ą 3

St k .
..........................................................................................
- 2 + 3 + 6 =1


Rozwi + 4 + 8 = 5 .


3 - - 2 = 2

Rozwi
+ 4 + 8 = 5

-
Przestawmy r , tzn. 2 + 3 + 6 =1.


3 - - 2 = 2

1 4 8 5
ł
ę-
Macierz rozszerzona tego uk = 2 3 6 1ś .
ę ś
ę ś
3 -1 - 2 2

Wykonujemy operacje:
+ 2
2 1
+ (-3)
3 1
1 4 8 5 1 4 8 5
ł ł
ę ś ę ś
- + 3 + 24 6 + 28 1+ 25 = 11 22 11
ę ś ę ś
ę ś ś
+ - -1+ (-3) 4 - 2 + (-3) 8 2 + (-3)5 ę -13 - 26 -13

1
2
11
1
3
13
1 4 8 5
ł
ę0 1 2 1 ś
ę ś
ę ś
0 -1 - 2 -1
+
3 2
1 4 8 5
ł
ę0 1 2 1ś
ę ś
ę ś
0 0 0
W uzyskanej macierzy mo
*
Macierz
Macierz
tr
1 4 8 5ł
*
Macierz
ę ś
ę0 1 2 1ś
ę0 0 0 0ś

Macierze
zerowe
W trzeciej kolumnie tej macierzy znajduj . Jak
wida
praw niu.
+ 4 = -8 + 5

Uk .

= -2 +1

+ 4(-2 +1) = -8 + 5

Po prostych przekszta

= -2 +1

=1

sk
= -2 +1 ,

..........................................................................................
+ 3 - 5 = -4


Rozwi 3 + 2 - = 9 .


2 - + 4 = 0

Rozwi
1 3 - 5 - 4
ł
ę3 ś
Macierz rozszerzona tego uk = 2 -1 9 .
ę ś
ę
2 -1 4 0 ś

Wykonujemy operacje:
+ (-3)
2 1
+ (-2)
3 1
1 3 - 5 - 4 1 3 - 5 - 4
ł ł
ę3 + (-3)1 2 + (-3) 3 -1+ (-3) (-5) 9 + (-3) (-4)ś = ę0 - 7 14 21ś
ę ś ę ś
ę ś
2 + (-2) 1 -1+ (-2)3 4 + (-2)(-5) 0 + (-2) (-4) ę - 7 14 8 ś
0
+ (-1)
3 2
1 3 - 5 - 4 1 3 - 5 - 4
ł ł
ę0 ś ę0 ś
- 7 14 21 = - 7 14 21
ę ś ę ś
ę ś ś
0 - 7 + (-1) (-7) 14 + (-1)14 8 + (-1) 21 ę 0 0 -13
0
Otrzymana macierz z wyodr
*
Macierz
Macierz
tr
1 3 - 5 - 4 ł
Macierz
ę ś
tr
ę0 - 7 14 21 ś
*
ę0 0 0 -13ś Macierz

Macierze
zerowe
Z postaci tej macierzy wida zny.
Sprzeczno
otrzymanej macierzy:
+ 3 - 5 = -4


- 4 + 14 = 21


0 ą -13 Sprzeczno

St k .
..........................................................................................
+ - 2 = 0

2
Rozwi + + = 3 .

3 + - = 1

Rozwi
1 1 - 2 0
ł
ę2
Macierz rozszerzona tego uk = 1 1 3ś .
ę ś
ę ś
3 1 -1 1
*
Za pomoc do postaci
podobnej do gdzie zamiast macierzy jednostkowej jest macierz tr ,
a nast
+ (-2)
2 1
+ (-3)
3 1
1 1 - 2 0 1 1 - 2 0
ł ł
ę + - 1+ (-2) 1 1+ (-2) (-2) 3 + (-2) 0ś = ę -1 5 3ś
ę ś ę ś
ę ś ś
+ - 1+ (-3) 1 -1+ (-3)(-2) 1+ (-3) 0 ę - 2 5 1

+ (-2)
3 2
1 1 - 2 0 1 1 - 2 0
ł ł
ę0 ś ę0 ś
-1 5 3 = -1 5 3
ę ś ę ś
ę ś ś
0 - + - - 5 + (-2) 5 1+ (-2)3 ę - 5 - 5
0
W otrzymanej macierzy zamiast macierzy jednostkowej jest macierz tr
1 1 - 2 0 ł
*
Macierz
Macierz
ę0 -1 5 3 ś
tr
ę ś
ę0 0 - 5 - 5ś

+ - 2 = 0


Zapiszmy uk - + 5 = 3 .


- 5 = -5

Z ostatniego r i podstawimy do pierwszego i drugiego r
+ - 21 = 0


- + 51 = 3


=1

Z drugiego r i podstawimy do pierwszego co daje nam
= 0


rozwi = 2 .


= 1

..........................................................................................
- 2 - + = -5

3
Rozwi - 6 - - = -15 .


- + 2 - + 3 = 5

Rozwi
1 - 2 -1 1 - 5
ł
ę
Macierz rozszerzona tego uk = 3 - 6 -1 -1 -15ś .
ę ś
ę
-1 2 -1 3 5 ś

Wykonujemy kolejno operacje: + (-3) , +
2 1 3 1
1 - 2 -1 1 - 5
ł
ę + - - 6 + (-3) (-2) -1+ (-3)(-1) -1+ (-3)1 -15 + (-3)(-5)ś =
ę ś
ę ś
- + 2 + (-2) -1+ (-1) 3 +1 5 + (-5)

1 - 2 -1 1 - 5
ł
ę ś
= 0 2 - 4 0
ę ś
ę
0 - 2 4 0 ś

Zauwa
tr
macierz tr
Przestawimy zatem kolumny drug zeci )
2 3
pami ,
a w kolumnie trzeciej wsp .
1 -1 - 2 1 - 5
ł
ę0 2 0 - 4 0 ś
ę ś
ę
0 - 2 - 0 4 0 ś

+
3 1
1 -1 - 2 1 - 5 1 -1 - 2 1 - 5
ł ł
ę0 2 0 - 4 0 ś ę0 2 0 - 4 0 ś
=
ę ś ę ś
ę
0 - + 0 4 + (-4) 0 ś ę 0 0 0 ś
0
Otrzymana macierz z podzia na bloki ma posta
*
Macierz
Macierz
ł
1 -1 - 5
- 2 1
tr na
ę ś *
Macierz
ę0 2 0 - 4 0 ś
ę0 0 0 0 0 ś

Macierze
zerowe
Wsp oraz nie znalaz
zatem oraz b zaniu.
Mo i b
parametrami w rozwi
tr
- = 2 - - 5

Z przekszta .

2 = 4

Po wyliczeniu w drugim r
- 2 = 2 - - 5


= 2

= 2 + - 5

Stad .

= 2

..........................................................................................
- 2 + 3 = 1

- 2 + 3 - 4 = -2

Rozwi .

4 - 7 +10 = 4

- 3 + 4 - 5 = -3

Rozwi
1 - 2 3 1
ł
ę- 2 3 - 4 - 2ś
ę ś
Macierz rozszerzona tego uk = .
ę 4 - 7 10 4 ś
ę- 3 4 - 5 - 3ś

Wykonujemy kolejno operacje elementarne:
+ 2
2 1
+ (-4) = - 4
3 1 3 1
+ 3
4 1
Otrzymujemy:
1 - 2 3 1
ł
ę- + 3 + 2 (-2) - 4 + 2 3 - 2 + 2 1ś
ę ś
=
ę - - 7 - 4 (-2) 10 - 4 3 4 - 4 1 ś
ę ś
- + 4 + 3 (-2) - 5 + 3 3 - 3 + 31
1 - 2 3 1
ł
ę -1 2 0ś
ę ś
=
ę 1 - 2 0
ś
ę - 2 4 0ś

+
3 2
+ (-2) = - 2
4 2 4 2
1 - 2 3 1 1 - 2 3 1
ł ł
ę0 -1
2 0ś ę0 -1 2 0ś
ę ś ę ś
=
ę ś ę ś
0 + - - 2 + 2 0 0 0 0
ę0 - - - 4 - 2 2 0ś ę0 0 0ś

Uzyskana macierz z podzia
*
Macierz
Macierz
tr
ł
1 - 2 1
3
*
ę ś
Macierz
ę0 -1 2 0ś
ę
0
0 0 0ś
ę ś
0
0 0 0ś
ę

Macierze
zerowe
Wsp nie znalaz
b
- 2 = -3 +1

Z postaci otrzymanej macierzy podajemy uk .

- = -2

Po wyliczeniu niewiadomej z drugiego r eniu do pierwszego
otrzymujemy:
- 2 (2 ) = -3 +1


= 2

= +1

Stad .

= 2

..........................................................................................
+ 2 - + 3 = 6

- 4 + + 3 - 2 = 5

Rozwi
2 + 4 - 2 + = -3 .


3 - + 4 + 2 = 4

Rozwi
1 2 -1 3 6
ł
ę- 4 1 3 - 2 5 ś
ę ś
Macierz rozszerzona tego uk = .
ę 2 4 - 2 1 - 3
ś
ę ś
3 -1 4 2 4

Wykonujemy kolejno operacje elementarne:
+ 4
2 1
+ (-2) = - 2
3 1 3 1
+ (-3) = - 3
4 1 4 1
1 2 -1 3 6
ł
ę- + 1+ 4 2 3 + 4 (-1) - 2 + 4 3 5 + 4 6 ś
ę ś
=
ę - 4 - 2 2 - 2 - 2 (-1) 1- 2 3 - 3 - 2 6
ś
ę ś
- -1- 3 2 4 - 3 (-1) 2 - 33 4 - 3 6

1 2 -1 3 6
ł
ę 9 -1 10 29 ś
ę ś
=
ę 0 0 - 5 -15
ś
ę - 7 7 - 7 -14ś

1

2
9
1

4
7
1 2 -1 3 6
ł
1 10 29
ę0 1 - ś
ę ś
9 9 9
ę0 0 0 - 5 -15ś
ę ś
ę
0 -1 1 -1 - 2 ś

+
4 3
1 2 -1 3 6
ł
1 10 29
ę0 1 - ś
ę ś
9 9 9
=
ę0 0 0 - 5 -15 ś
ę
1 10 29ś
ę0 - + 1- -1+ - 2 + ś
9 9 9
1 2 -1 3 6
ł
1 10 29
ę0 1 - ś
ę ś
9 9 9
=
ę0 0 0 - 5 -15ś
ę ś
8 1 11
ę0 ś
9 9 9
Przestawmy wiersz trzeci z czwartym ( )
3 4
1 2 -1 3 6
ł
1 10 29
ę0 1 - ś
ę ś
9 9 9
ę ś
8 1 11
ę0 0 ś
9 9 9
ę ś
ę ś
0 0 0 - 5 -15
Dla u licze
9
2
9
3
1

4
5
1 2 -1 3 6
ł
ę0 9 -1 10 29ś
ę ś
ę ś
0 0 8 1 11
ę0 0 0 -1 - 3ś

Otrzymana macierz z podzia na bloki ma posta
Macierz
1 2 -1 3 6 ł
Macierz
tr
ę0 9 -1 10 29ś
ę ś
ę0 0 8 1 11 ś
ę ś
ę0 0 0 -1 - 3ś

Uk tej macierzy:
+ 2 - + 3 = 6


9 - +10 = 29


8 + = 11


- = -3

Wyliczmy z ostatniego r
+ 2 - + 3 3 = 6


9 - +10 3 = 29


8 + 3 = 11


= 3

Z r i wstawmy do pierwszego i drugiego r
+ 2 -1+ 3 3 = 6


9 -1+10 3 = 29


= 1


= 3

zatem
+ 2 -1+ 3 3 = 6 = -2


= 0 = 0

st .

= 1 = 1


= 3 = 3

..........................................................................................


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metoda eliminacji Gaussa
Cwiczenia metoda eliminacji
Metoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa (1)
32 Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
całkowanie num metoda trapezów
Metoda kinesiotapingu w wybranych przypadkach ortopedycznych
wplyw diety eliminac bezmlecznej na odzywienie dzieci do 2 r z
D Kierzkowska Metoda na wagę złota
Badanie czystości metodą klasyczną
Metoda symboliczna
eliminator hałasów 1

więcej podobnych podstron