Metoda symboliczna

Metoda symboliczna
czyli
trochę rzemiosła
Założenia
1. Układ jest BIBO stabilny,
2. Wszystkie pobudzenia w obwodzie, czyli wszystkie niezale\ne
zródła (napięciowe i prądowe) są generatorami przebiegów
sinusoidalnych o takiej samej pulsacji �0.
Wówczas składowe ustalone wszystkich przebiegów w obwodzie
(tzn. wszystkich napięć i prądów) są przebiegami sinusoidalnymi
(tzn. wszystkich napięć i prądów) są przebiegami sinusoidalnymi
o pulsacji �0.
Oznaczymy pobudzenia
0
i
ei t = Ei 2 sin �0t +�i = 2 Im Eiej� t , Ei = Eiej�
( ) ( )
{ }
0 j
izj t = Izj 2 sin �0t +� = 2 Im I ej� t , I = Izjej�
( )
( )
{ }
zj zj
j
Wówczas składowe ustalone wszystkich prądów i napięć
gałęziowych będą mieć postać
0
u k
uk t = U 2 sin �0t +� = 2 Im U ej� t , U = Ukej�
( ) ( )
{ }
k u k k k
0
ik
ik t = Ik 2 sin �0t +� = 2 Im I ej� t , I = Ikej�
( ) ( )
{ }
k k
i k
gdzie k jest numerem gałęzi.
Będziemy równie\ oznaczać
Będziemy równie\ oznaczać
0
uk t �! U �! uk t = 2 Im U ej� t
( ) ( )
{ }
k k
0
ik t �! I �! ik t = 2 Im I ej� t
( ) ( )
{ }
k k
itd.
co oznacza, \e sinusoidalnej funkcji czasu o pulsacji �0
przyporządkowujemy w sposób wzajemnie jednoznaczny jej
wartość skuteczną zespoloną.
Przypomnienie
0
Im Wej� t a" 0 �! W = 0
{ }
I prawo Kirchhoffa
K zbiór gałęzi incydentnych z wybranym
( )
"a ik t a" 0
k
węzłem (lub ogólniej tworzących
k"K
przekrój), ak = ą 1
ńł �ł
�ł �ł
j�0t
0
ej� t = 2 Im�ł�ł
{ }
"a 2 Im I k "a I k
k k
�łe żł a" 0
k"K �ł k"K łł
ół �ł
I prawo Kirchhoffa w postaci symbolicznej
W ka\dym węzle obwodu algebraiczna suma
"a I = 0
k
k wartości skutecznych zespolonych prądów
k"K
jest równa 0.
Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy
i2 t
( )
I
2
i1 t
( ) I1
I
3
i3 t
( )
-i1 t + i2 t - i3 t = 0 -I1 + I - I = 0
( ) ( ) ( )
2 3
II prawo Kirchhoffa
L zbiór gałęzi tworzących oczko,
( )
"b ui t a" 0
i
bi = ą 1
i"L
ńł �ł
�ł
t j�0t
0
{ }
"b 2 Im U ej� = 2 Im�ł�ł"b U �ł
i i i i
�łe żł a" 0
i"L �ł i"L łł
ół �ł
II prawo Kirchhoffa w postaci symbolicznej
W ka\dym oczku w obwodzie algebraiczna
"b U = 0
i i suma wartości skutecznych zespolonych
i"L
napięć jest równa 0.
Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy
U
u2 t
( )
2
U
u3 t
u1 t ( )
( ) U1 3
U
u4 t
( )
4
-u1 t + u2 t - u3 t + u4 t = 0 -U1 +U -U +U = 0
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4
Prawo Ohma
Rezystor
u t = Ri t
( ) ( )
0 0
2 Im Uej� t a" R 2 Im Iej� t
{ } { }
0
Im U - RI ej� t a" 0 �! U - RI = 0
( )
{ }
Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy
Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy
i t
( ) R
R
I
U
u t
( )
U = RI
u t = Ri t
( ) ( )
I = GU
i t = Gu t
( ) ( )
Induktor
di
u t = L
( )
dt
d
0 0 0
�ł
2 Im Uej� t = L 2 Im Iej� t �ł = 2 Im j�0LIej� t
{ } { }łł { }
�ł
dt
0
Im U - j�0LI ej� t a" 0 �! U - j�0LI = 0
( )
{ }
Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy
Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy
L
I
i t
L
( )
U
u t
( )
U = j�0L I
di
u t = L
( )
1
dt
I = U
j�0L
Kondensator
du
i t = C
( )
dt
d
0 0 0
�ł
2 Im Iej� t = C 2 Im Uej� t �ł = 2 Im j�0CUej� t
{ } { }łł { }
�ł
dt
0
Im I - j�0CU ej� t a" 0 �! I - j�0CU = 0
( )
{ }
Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy
Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy
C
C
I
i t
( )
U
u t
( )
I = j�0CU
du
i t = C
( )
1
dt
U = I
j�0C
Prawa Kirchhoffa i prawo Ohma w postaci symbolicznej nie ró\nią
się od odpowiednich praw w postaci operatorowej (przy zerowych
warunkach początkowych) je\eli transformaty napięć i prądów
zastąpimy odpowiednimi wartościami skutecznymi zespolonymi oraz
dokonamy formalnego podstawienia s = j�0.
Równania symboliczne, opisujące obwód, mo\na uzyskać z równań
operatorowych poprzez podstawienia:
U s U
Uk s U
( )
( )
k
Ik s I
( )
k
E s E
( )
Iz s I
( )
z
s j�0
i pominięcie zródeł pochodzących od warunków początkowych.
Przykład
R1
i1 t
i3 t
( )
( )
e t = 2 2 cost �"1 t V,
( ) ( )
i2 t
( )
u1 t
( )
rad
�0 =1 ,
( )
e t u t
( ) R2 C ( )
s
R1 = 2&!, R2 = 2&!, C =1F.
Wyznaczyć składową ustaloną napięcia u(t)
Metoda operatorowa
I1 s
( ) I3 s
( )
I2 s
( )
U1 s
( )
E s U s
( ) ( )
2 2s
E s =
( )
s2 +1
-I1 s + I2 s + I3 s = 0,
( ) ( ) ( )
1 1
I1 s = �łE s -U s łł , I2 s = U s , I3 s = sCU s ,
( ) ( ) ( )�ł ( ) ( ) ( ) ( )
R1 �ł R2
1
1
E s
( )
( )
R1
2s 2 s +1 2 1
U s = = = - ,
( )
1 1 2 2 s +1
s2 +1
s +1 s2 +1
( )
( )
sC + +
R1 R2
�ł łł
2 2 2
u t = sin t + cost - e-t śł1 t
( ) ( )
�ł
2 2 2
�ł �ł
składowa ustalona
W stanie ustalonym:
Ą Ą Ą
u t = sin t �"cos + cost �"sin = sin t +
( )
( )
4 4 4
Metoda symboliczna
I
I1
3
I
2
U1 jĄ
2
E = 2e = j2
E
U
-I1 + I + I = 0,
2 3
1 1
I1 = E -U , I = U , I = j�0CU ,
I1 = E -U , I = U , I = j�0CU ,
[ ]
[ ]
2 3
2 3
R R
R1 R2
1
E
jĄ
R1
j
1 1 2
4
U = = = + j = e
1 1 1+j 2 2 2
j�0C + +
R1 R2
Ą
u t = sin t + V.
( )
( )
4
Impedancja i admitancja zespolona
I
U
U
Z \" = Z s impedancja zespolona
( )
s= j�0
I
I
Y \" = Y s admitancja zespolona
( )
s= j�0
U
Z = R + jX
R część rezystancyjna impedancji zespolonej (rezystancja)
X część reaktancyjna impedancji zespolonej (reaktancja)
Y = G + jB
G część konduktancyjna admitancji zespolonej (konduktancja)
X część susceptancyjna admitancji zespolonej (susceptancja)
1 1 R -X
Y = = = + j = G + jB
2 2
Z R + jX
R2 + X R2 + X
G B
1 1 G -B
Z = = = + j = R + jX
Y G + jB
G2 + B2 G2 + B2
R X
Aączenie dwójników
Połączenie szeregowe
Z
n
Z
Z1 Z
2
n
Z =
"Z k
k =1
Połączenie równoległe
Połączenie równoległe
Y
Y1
Y
n
2
Y =
"Y k
k =1
Y
n
Rezystor
U = RI Z = R
I = GU Y = G
u i
U = Uej� , I = Iej�
u i
Uej� = RIej� �! � =�
u i
u t
( )
t
Faza napięcia jest taka
sama jak faza prądu
i t
( )
t
Induktor
U = j�0LI Z = j�0L = jX , X = �0L > 0
1 1 -1 1
I = U Y = = j = jB, B = - < 0
j�0L j�0L �0L �0L
u i
U = Uej� , I = Iej�
jĄ
Ą
u i 2 i
Uej� = j�0LIej� = �0LIe ej� �! � =� +
u i
2
u t
u t
( )
( )
t
Fazy napięcia i prądu
Ą
ró\nią się o kąt
2
(Napięcie wyprzedza
i t
( )
Ą
prąd o )
t
2
Kondensator
I = j�0CU Y = j�0C = jB, B = �0C > 0
1 1 -1 1
U = I Z = = j = jX , X = - < 0
j�0C j�0C �0C �0C
u i
U = Uej� , I = Iej�
- jĄ
1 1 Ą
u i 2 i
Uej� = Iej� = Ie ej� �! � =� -
u i
j�0C �0C 2
u t
u t
( )
( )
t
Fazy napięcia i prądu
Ą
ró\nią się o kąt
2
(Prąd wyprzedza
i t
( )
Ą
napięcie o )
t
2
C
R L
�ł
1 1
Z = R + j�0L + = R + j�ł�0L - = Zej�
�ł �ł
j�0C �0C
�ł łł
gdzie
1
�0L -
�0C
Z = Z , � = arc tg
R
�ł
1
-�ł�0L -
�ł �ł
�0C
1 1 R �ł łł
Y = = = + j
2 2
Z
�ł
1
�ł� L - �ł �ł� L - �ł
1 1
R + j�ł�0L -
R2 + R2 +
�ł �ł
�ł 0 �ł �ł 0 �ł
�0C
�0C �0C
�ł łł
�ł łł �ł łł
Y = Ye- j�
1
Y = j�0C +
R L
R + j�0L
1 1
Z = =
Y 1
j�0C +
C
R + j�0L
L1 L2
C
C2
C
C3
C R
C1 R
1
Y = j�0C1 +
1
j�0L1 +
1
j�0C2 +
1
j�0L2 +
1
j�0C3 +
R
Wykres wskazowy
Rozwa\my dwa napięcia sinusoidalne
0 1
u1 t = U1 2 sin �0t +�1 = 2 Im U1ej� t , U1 = U1ej�
( ) ( )
{ }
0 2
u2 t = U2 2 sin �0t +� = 2 Im U ej� t , U = U2ej�
( ) ( )
{ }
2 2 2
0 0
Ka\da z zespolonych funkcji U1ej� t i U ej� t reprezentuje na płaszczyznie
2
zespolonej punkt poruszający się po okręgu o promieniu odpowiednio
równym U1 i U2 z taką sama prędkością kątową �0.
Im
0
U1ej� t
�0
0
U ej� t
2 Odległość między
punktami jest stała!
�0
Re
Definicja
Wskazem napięcia U będziemy nazywać strzałkę o długości U, łączącą
0
początek układu współrzędnych z punktem reprezentującym funkcję � t
Uej
na płaszczyznie zespolonej w dowolnej, ale ustalonej, chwili czasu t.
Identycznie definiujemy wskaz prądu I.
t = t1 t = t2 t = t3
U
2
U
U1
2
U1
U U1
2
Lub równowa\nie
U
U U
2
2 2
U1
U1
U1
Definicja
Wykresem wskazowym nazywamy zbiór wskazów napięć i prądów
w obwodzie elektrycznym w ustalonej chwili czasu t, np. t = 0.
(Oczywiście obowiązuje cały czas zało\enie, \e wszystkie napięcia i prądy
w obwodzie są przebiegami sinusoidalnymi o takiej samej pulsacji).
Dodawanie wskazów
1
U1 = U1ej� = U1 cos�1 + jU1 sin�1
2
U = U1e = U2 cos� + jU2 sin�
U = U1ej� = U2 cos� + jU2 sin�
2 2 2
2 2 2
U = U1 +U = U1 cos�1 +U2 cos� + j U1 sin�1 +U2 sin�
( ) ( )
2 2 2
U
U
2
U U
albo tak 2
U1
U1
Przykłady
R
I
U = R I
I
U
U = j�0L I
L
I
U
I
C
I
I
1
U
U = I
j�0C
R L
I
E E
I = = ,
Z 1
R + j�0L +
U U
R L
j�0C
E U
C
C
1
U = RI, U = j�0 I, U = I
R L C
j�0C
U
R
U
L
I
U
C
E
Twierdzenie Th�venina i Nortona
w postaci symbolicznej
Z
T
A
Twierdzenie
ET
Th�venina
A
SLS
B
E, I
A
z
B
Twierdzenie
I
Y
N
N
Nortona
B
SLS
SLS
I
U
zw
0
E, I
E, I
z
z
ET = U I = I
0 N zw
U I
0 zw
0 zw
Z = Y =
Z = Y =
T N
I U
zw 0
Z
T
SLS
E = 0, I = 0
z
Y
N
Nie wyłączamy zródeł sterowanych!!!
Z
I
E Y
z
I
E
z
I =
E =
z
Z
Y
�! �!
1
1
Y =
Z =
Z
Y
Przykład 1.
Ą rad
e t = 20sin �0t - V, �0 = 2 ,
( )
( )
4 s
C R`1
R1 = 1&!, R2 = 1&!, R3 = 1&!,
L = 1H, C = 1F.
L
e t
( ) R2 u t
( )
u t = ?
( )
R3
Ą
- j
20
4
E = e = 10 - j10
Symboliczny schemat zastępczy
2
Z1
Z
C 2
C 2
R`1 Z
R`1 Z
2
2
U = E
U = E
Z1 + Z
2
1
L
Z1 = R1 + = 1- j0,5
R2
E
j�0C
U
R3
1
Z = = 0,75 + j0,25
2
1 1
+
R2 R3 + j�0L
U = 6 - j2 = 6,325e- j0,3217
u t = 6,325 2 sin �0t -0,3217 V.
( ) ( )
Przykład 2.
iz t
( )
C2
R1 R2
L
R3
C3
e t C1 u t
( ) ( )
e t = 4 2 sin�0t V,
( )
�0 = 106 rad ,
s
iz t = 5�"10-3 2 cos�0t A,
( )
R1 = 500&!, R2 =1 k&!, R3 = 2 k&!,
L = 2 mH, C1 = 1nF, C2 = 500 pF, C3 = 500 pF.
u t = ?
( )
I
z
C2
R1 R2
L
1
2
E = 4
U U
n1 n2
I = j 5�"10-3
E R3
C1 C3 U z
1 1 1
�ł łł
+ j�0C1 + -
+ j�0C1 + -
�ł śł
�ł śł
R 1 1
R1 1 1
R2 + j�0L + R2 + j�0L +
E
�ł łł
�ł śł
j�0C2 j�0C2
- I
U
�ł łł
n1
�ł
�ł śł
R1 z śł
=
�ł śł
1 1 1 �ł śł
U
�ł śł
�ł n2 �ł
- + j�0C3 +
I
�ł śł
�ł z �ł
�ł 1 R3 1 śł
R2 + j�0L + R2 + j�0L +
�ł
j�0C2 j�0C2 śł
�ł �ł
Yn
U = U
n2
�ł łł U �ł łł
3�"10-3 + j10-3 -10-3 �ł łł 8�"10-3 - j 5�"10-3
n1
�ł śł = �ł śł
�ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
-10-3 1,5�"10-3 + j 0,5�"10-3 �ł �łU n2 �ł �ł j 5�"10-3
�ł �ł
Po uproszczeniu przez 10 3
3 + j -1 U 8 - j 5
�ł łł �ł łł �ł łł
n1
=
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł -1 1,5 + j 0,5�ł �łU j 5
śł �ł śł �ł śł
�ł n2 �ł �ł �ł
"2
U = U =
U = U =
n2
n2
"
"n
3 + j 8 - j5
�ł łł
"2 = det = 3 + j10
�ł śł
-1 j5
�ł �ł
"n = det Yn = 3 + j3
3 + j10
U = = 2,167 + j1,167 = 2,46ej0,494
3 + j3
u t = 2,46 2 sin �0t + 0,494 V.
( ) ( )
Przykład 3.
C1
e t
( )
L
i t
( )
R1 R2 R3
C2
Ą rad
e t = 2sin -
( )
(t )V, (� = 1 ),
0
4 s
1 1
R1 =1&!, R2 = &!, R3 = &!,
2 2
1
C1 =1F, C2 = 2 F, L = H.
2
i t = ?
( )
C1
U
n2
E
L
I
E = 1- j
U
n3
R1 R2 C2 R3
U
n1
�ł
1 1 1 1 1
+ + + j�0C2 �łU n1 - U - U = 0
�ł �ł
�ł �ł
R1 R2 R3 R1 R2
R1 R2 R3 R1 n2 R2 n3
�ł łł
�ł łł
�ł �łU -
1 1 1 1
- U + + j�0C1 + U = 0
n2 n3
�ł
R1 n1 �ł R1 j�0L j�0L
�ł łł
U = -E
n3
1
I = - U
R3 n1
1 1 1 1
�ł łł
1
�ł łł
+ + + j�0C2 -
- E
�ł śł
R1 R2 R3 R1
�ł śł
U R2
�ł łł
n1
�ł śł =
�ł śł
�łU śł
1 1 1
�ł śł
�ł n2 �ł
- + j�0C1 + �ł- 1 Eśł
R1 R1 j�0L
j�0L
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
�ł �ł
Po podstawieniu danych
5 + j2 -1 U -1+ j
�ł łł �ł łł �ł łł
n1
=
�ł
�ł
-1 1- jśł �łU śł �ł2 + j2śł
-1 1- jśł �łU n2 śł �ł2 + j2śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
2
U = j
n1
3
- jĄ
1 4 4
2
I = - U = -j = e
R3 n1 3 3
4 Ą 4
i t = 2 sin t - = - 2 cost A.
( )
( )
3 2 3
Metoda prądów oczkowych
E3
R2
I
4
I1 = I
m1
I = I - I
2 m2 m3
I
m3
I = I - I
E2 3 m1 m2
L
I1 R1
I
2
I = I
4 m3
I
5
I
3
I = I
5 m2
E1 R3
C
I I
m1 m2
1
1. -E1 + R1 I + I - I = 0
( )
m1 m1 m2
j�0C
1
2. - I - I + j�0L I - I + E2 + R3 I = 0
( ) ( )
m1 m2 m2 m3 m2
j�0C
3. - j�0L I - I + R2 I - E3 - E2 = 0
( )
m2 m3 m3
R2 E3
I
m3
E2
R1
L
E1
C R3
I
I
m1
m2
�ł �ł
1 1
1. R1 + I - I = E1
�ł �ł m1 m2
j�0C j�0C
�ł łł
�ł �ł
1 1
2. - I + R3 + j�0L + I - j�0LI = -E2
m1 �ł �ł m2 m3
j�0C j�0C
j�0C j�0C
�ł łł
�ł łł
3. - j�0LI + R2 + j�0L I = E2 + E3
( )
m2 m3
1 1
�łR + łł
- 0
1
�ł śł
j�0C j�0C
I E1
�ł łł �ł łł
m1
�ł śł
1 1
�łI śł �ł
�ł śł
- R3 + j�0L + - j�0L = -E2 śł
m2
�ł śł �ł śł
j�0C j�0C
�ł śł
�łI śł �łE2 + E3śł
�ł �ł
0 -j�0L R2 + j�0Lśł �ł m3 �ł �ł
�ł śł
�ł �ł
Zm
macierz zespolonych impedancji oczkowych
ZmIm = Em
Z Z
kk kj
Zm =
Z Z
Z Z
jk jj
Zkk, (Zjj) suma impedancji zespolonych gałęzi tworzących oczko k, (j)
Zjk, Zkj impedancje zespolone gałęzi nale\ących jednocześnie do
oczek k i j, wzięte ze znakiem + gdy prądy Imk i Imj płyną we
wspólnej gałęzi w tym samym kierunku, lub ze znakiem gdy
płyną w kierunkach przeciwnych
Układ RLC, e
t
Z = Z , czyli Zm = Zm
kj jk
Algebraiczna suma wartości
skutecznych zespolonych SEM
zródeł napięciowych, znajdujących
się w oczku k, przy czym SEM
Emk
k Emk
skierowaną zgodnie z orientacją
Em =
oczka bierzemy ze znakiem plus,
a skierowaną przeciwnie ze
znakiem minus
Przykład 1.
C
R1
L
i t
( )
e t R3 iz t
( ) ( )
R2
Ą
Ą
e t = 2sin t + V,
= +
( )
( )
( )
( )
4
�0 = 1rad
( )
s
Ą
iz t = 2sin t - A,
( )
( )
4
R1 =1&!, R2 = 1&!, R3 = 2&!,
1
L = 2 H, C = F.
2
i t = ?
( )
C
R1
L
I
E = 1+ j
E R2 I R3
I
z
I
m1 I = 1- j
m2
z
1 1
�łR + R2 + łł
R1 +
1
�ł śł
j�0C j�0C E
I
�ł łł �ł łł
m1
=
�ł śł
�łI śł �łE - R3 I śł
1 1
z
�ł m2 �ł �ł �ł
�ł śł
R1 + R1 + R3 + j�0L +
j�0C j�0C
j�0C j�0C
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
�ł �ł
I = I
m1
2 - j2 1- j2 I 1+ j
�ł łł �ł łł �ł łł
m1
=
�ł1- j2 śł �łI śł �ł-1+ j3śł
3
�ł �ł �ł m2 �ł �ł �ł
I = I = -0,1647 - j0, 2588 = 0,3068e- j2,138
m1
i t = 0,3068 2 sin t - 2,138 A.
( ) ( )
Przykład 2.
R3
L
i t
( )
C
iz t
( )
e t R1 R2
( )
e t = 2 2 sin t V,
( )
rad
�0 =1
( )
s
iz t = 2 cost A,
( )
R1 = 2&!, R2 =1&!, R3 = 3&!,
1
L = 2 H, C = F.
2
i t = ?
( )
R3
L
I
m3
I
C
I
z
E
R1 R2
I
m1 E = 2
I
m2
I = j
z
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
1 1 1
1 1 1
1. R + I - R + I - I = E
1. R1 + I - R1 + I - I = E
m1 m2 m3
�ł �ł �ł �ł
j�0C j�0C j�0C
�ł łł �ł łł
�ł �ł �ł �ł �ł
1 1 1
2. -�ł R1 + I + R1 + R2 + R3 + j�0L + I + R3 + j�0L + I = 0
m1 m2 m3
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
j�0C j�0C j�0C
�ł łł �ł łł �ł łł
Dla oczka 3. nie potrafimy napisać równania na podstawie II prawa Kirchhoffa
(nie znamy napięcia na zródle prądowym). Zastępujemy je równaniem
3. I = I
m3 z
Po podstawieniu równania 3. do 1. i 2. i uporządkowaniu
1
1 1
�ł łł
�ł łł
E + I
R1 + -R1 -
z
�ł śł
�ł śł
j�0C
j�0C j�0C
I
�ł łł
m1
�ł śł
�ł śł =
�łI śł
1
�ł
1
�ł-�ł R3 + j�0L + śł
�ł-R1 - 1 śł �ł m2 �ł
R1 + R2 + R3 + j�0L +
I
z
�ł �ł
j�0C j�0C
�ł śł
�ł śł
j�0C
�ł łł
�ł �ł
�ł �ł
I = I
m2
2 - j2 -2 + j2 I 4
�ł łł �ł łł �ł łł
m1
=
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł-2 + j2 6
śł �ł śł �ł- j3�ł
śł
�ł �ł �łI m2 �ł �ł
I = I = 0,5 - j =1,118e- j1,107
m2
i t =1,118 2 sin t -1,107 A.
( ) ( )
Induktory sprzężone magnetycznie
i2 t
i1 t
( )
( )
M
di1 di2
u1 t = L1 + M
( )
dt dt
u1 t L1 L2 u2 t
( ) ( )
di1 di2
u2 t = M + L2
( )
dt dt
i1 t �! I1 i2 t �! I u1 t �! U1 u2 t �! U
i1 t �! I1 i2 t �! I u1 t �! U1 u2 t �! U
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
I1 I
2
U1 = j�0L1I1 + j�0M I
j�0L1 I1 L1 L2 j�0L2 I
2
2
U1 U
2
U = j�0M1I1 + j�0L2 I
2 2
j�0M I1
j�0M I
2
M indukcyjność wzajemna, [M] = H
Warunek fizycznej realizowalności:
2
L1L2 - M e" 0
lub
M
k = d" 1
L1L2
k współczynnik sprzę\enia
Zaciski jednoimienne (zaznaczone na schemacie np. kropkami) początki
Zaciski jednoimienne (zaznaczone na schemacie np. kropkami) początki
(lub końce) uzwojeń. Je\eli prądy i1(t) i i2(t) jednocześnie wpływają do
zacisków jednoimiennych (lub wypływają z nich), to strumienie
magnetyczne wytworzone przez te prądy sumują się.
Reguła strzałkowania zródeł sterowanych pochodzących od sprzę\enia:
je\eli prądy i1(t) i i2(t) jednocześnie wpływają do zacisków
jednoimiennych (lub wypływają z nich), to zródła sterowane strzałkujemy
przeciwnie do prądu w gałęzi, w której się znajdują.
�! �!
�! �!
Przykład 1.
C
R1
M
e t L1 L2 R2 u t
( ) ( )
e t = 5 2 sin t V,
e t = 5 2 sin t V,
( )
( )
1
R1 = 2&!, R2 =1&!, C = F,
4
L1 = 4 H, L2 = 2 H, M = 1H,
u t = ?
( )
C C
I1 I
2
i2 t
i1 t ( )
M
( )
R2
L1 L2
R1 R1
( ) I U
L1 L2 R2 u t
m1 I
m2
E
e t
( )
j�0M I j�0M I1
2
�ł �ł
1
R1 + j�0L1 + I = E - j�0M I
m1 2
�ł �ł E = 5
j�0C
�ł łł
R2 + j�0L2 I = j�0M I1
( )
( )
m2
I1 = I , I = -I
m1 2 m2
1
�łR + j�0L1 + łł
- j�0M
I E
�ł łł �ł łł
1
m1
�ł śł
j�0C
=
�łI śł �ł śł
�ł śł
-j�0M R2 + j�0L2 �ł �ł m2 �ł �ł 0 �ł
�ł
Zm
2 -j I 5
�ł łł �ł łł �ł łł
m1
=
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł- j 1+ 2j�ł �łI m2 �ł �ł0śł
śł �ł śł �ł
�ł �ł
I = 0,8 + j0,6
m2
U = R2 I = 0,8 + j0,6 = ej 0,6435
m2
u t = 2 sin t + 0,6435 V.
( ) ( )
Przykład 2.
C
L2 i2 t
R1
( )
M
R2 R3
L1
e t
( )
i1 t
( )
i t
( )
e t = 15 2 sin t V,
( )
R1 =1&!, R2 = 1&!, R3 = 1&!, C = 2 F,
1
L1 = H, L2 = 4H, M =1H.
2
i t = ?
( )
C L2 I 2 j�0M I1
R1
L1
I I
I1 m2
E m1 I
R2 R3
m3
E =15
j�0M I
2 I
R1 + j�0L1 I - j�0L1 I = E - j�0M I
( )
m1 m2 2
�ł �ł
1
- j�0L1 I + R2 + j�0L1 + I - R2 I = j�0M I
m1 m2 m3 2
�ł �ł
j�0C
�ł łł
-R I + R + R + j� L I = - j� M I
-R2 I + R2 + R3 + j�0L2 I = - j�0M I1
( )
( )
m2 m3
I1 = I - I I = I
m1 m2 2 m3
�łR1 + j�0L1 łł
-j�0L1 j�0M
I E
�ł łł �ł łł
m1
�ł śł
1
�łI śł �ł śł
�ł śł
-j�0L1 R2 + j�0L1 + -R2 - j�0M = 0
m2
�ł śł �ł śł
j�0C
�ł śł
�łI śł �ł 0 śł
�ł
j�0M -R2 - j�0M R2 + R3 + j�0L2 śł �ł m3 �ł �ł �ł
�ł �ł
I = I - I
m2 m3
1+ j0,5 - j0,5 j I 15
�ł łł �ł łł �ł łł
m1
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł - j0,5 1 -1- j I = 0
śł �ł śł �ł śł
m2
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł j -1- j 2 + j4�ł �łI m3 �ł �ł 0
śł �ł śł �ł śł
�ł �ł
I = -2 + j4
m2
I = -3 + j
m3
I = I - I = 1+ j3 = 3,162ej1,249
I = I - I = 1+ j3 = 3,162ej1,249
m2 m3
i t = 3,162 2 sin t +1,249 A.
( ) ( )
Pobudzenia sinusoidalne o różnych pulsacjach
p1 t
( )
r t
( )
SLS
p2 t
( )
p1 t = P1 2 sin �01t +�1 , p2 t = P2 2 sin �02t +�2 , �01 `" �02
( ) ( ) ( ) ( )
Nie wolno zastosować metody symbolicznej!
p1 t p1 t = 0
( ) ( )
r1 t r2 t
( ) ( )
SLS SLS
p2 t = 0 p2 t
( ) ( )
Ka\dy z powy\szych układów mo\na analizować metodą symboliczną
Zgodnie z twierdzeniem o superpozycji:
r t = r1 t + r2 t
( ) ( ) ( )
p1 t �! P1;�01 p2 t �! P2;�02
( ) ( )
P1
R1
R2
SLS SLS
P2
1 2
R1 = H1P1 = R1ej� R2 = H P2 = R2ej�
2
R = R1 + R2
R = R1 + R2
yle!!!
yle!!!
01
R1 �! r1 t = 2 Im R1ej� = R1 2 sin �01t +�1
( ) ( )
{ }
02
R2 �! r2 t = 2 Im R2ej� = R2 2 sin �02t +�2
( ) ( )
{ }
r t = r1 t + r2 t = R1 2 sin �01t +�1 + R2 2 sin �02t +�2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Przykład 1.
R1
L
iz t
e t u t
( ) ( ) R2 C ( )
rad
e t = 2 2 sin 2t V,
e t = 2 2 sin 2t V,
( )
( )
(� = 2 )
(� = 2 )
01
01
s
s
iz t = 2 cost A,
( )
(� = 1rad)
02
s
1
R1 =1&!, R2 = 2&!, L =1H, C = F.
2
u t = ?
( )
A. iz(t) = 0, E = 2; �01 = 2
R1
L
2
E C
U R2
1
1
1
+ j� C
+ j�01C
R2
2
U = E = - 0, 2353 - j0,9412 = 0,9702e- j1,816
1
R1 + j�01L +
1
+ j�01C
R2
H1
2
u t = 0,9702 2 sin 2t -1,816
( ) ( )
B. e(t) = 0, Iz = j; �02 = 1
L
2 2
R2 C
R1 U I
z
1
2 2
U = I = j
z
1 1
1 1
+ j� C +
+ j�02C +
R2 R1 + j�02L
+ �
H
2
2 2
u t = 2 cost
( )
2 2 2
u t = u t + u t = 0,9702 2 sin 2t -1,816 + 2 cost V.
( ) ( ) ( ) ( )
Moc w obwodzie przy pobudzeniu sinusoidalnym
i t
( )
Dwójnik
SLS
u t
( )
p t = u t i t
Moc chwilowa dostarczona do dwójnika: ( ) ( ) ( )
Zakładamy, \e prąd i napięcie mają postać:
Zakładamy, \e prąd i napięcie mają postać:
i t = I 2 sin �0t +�i
( ) ( )
u t = U 2 sin �0t +�
( ) ( )
u
p t = 2UI sin �0t +� sin �0t +�i =
( ) ( ) ( )
u
= UI cos � -�i -UI cos 2�0t +� +�i
( ) ( )
u u
2sin xsin y = cos x - y - cos x + y
( ) ( )
I
Z
u U
U = Uej�
i
I = Iej�
Z = R + j X = Zej�
i u
U = Z I = Zej� Iej� = ZIej(� +�i ) = Uej� , U = ZI, � = � +�i
u
u i
p t = UI cos� -UI cos 2�0t + 2�i +�
( ) ( )
p t
( )
Wartość średnia
P
t
Wartość średnia mocy chwilowej
t0 +T
1 2Ą
P = p t dt = UI cos� , T =
( )
+"
T �0
t0
P moc czynna, [P] = W
cos� współczynnik mocy
u
u i
S \" U I = Ue Ie = UIe = UI cos� + jUIsin� = P + jQ
S \" U I" = Uej� Ie- j�i = UIej� = UI cos� + jUIsin� = P + jQ
S
moc pozorna zespolona
P = Re S = Re I" UI cos�
{ }
{U }=
Q = Im S = Im I" UI sin�
{ }
{U }=
Q moc bierna, [Q] = VAr
S2 = P2 + Q2
S moc pozorna, [S] = VA
Trójkąt mocy
S = UI moc pozorna
P = UI cos� moc czynna
Q = UI sin� moc bierna
Z = R > 0 �! � = 0, cos� =1
p t = UI -UI cos 2�0t + 2�i
( ) ( )
P = UI
p t
( )
P
P
t
P
Generator Odbiornik
+
+
+
Ą
Z = j X �! � = ą , cos� = 0
2
Ą
�ł
p t = -UI cos�ł 2�0t + 2�i ą = ąUI sin 2�0t + 2�i
( ) ( )
�ł �ł
2
�ł łł
P = 0
p t
( )
t
t
- - -
- - -
- - -
- - -
P = 0
Generator Odbiornik
Q
+
+
+
+
+
+
R
Z = R + j X , R > 0, X `" 0 �! cos� = , 0 < cos� < 1
2
R2 + X
p t = UI cos� -UI cos 2�0t + 2�i +�
( ) ( )
P = UI cos�
p t
( )
P
t
- -
- -
- - -
- - -
-
-
P
Generator Odbiornik
Q
+
+
+
Przykład
R1
I
e t = 230 2 sin�0t V, f0 = 50 Hz,
( )
L
R1 = 1k&!, R2 = 100&!,
E U
C
L = 5H, C = 20 nF.
R2
rad
E = 230 V, �0 = 2Ąf0 = 100Ą
s
1
Z = R1 + = 1102 + j1587 &!
( )
1
1
j� C +
j�0C +
R2 + j�0L
Re Z
{ }
cos� = = 0,5074
Z
U E
i
I = = = 0,0679 - j0,978 = 0,119e- j0,964 = Iej�
Z Z
S = EI = 27,4 VA, P = EI cos� = 15,6 W, Q = S2 - P2 = 22,5 VAr
I2 C2 R1
L
1
= Im Z = 1587
{ }
E
U
C
2
�0C
R2
2
C H" 2�"10-6 F
1
Z2 = Z + = 1102&!
2
j�0C
cos� = 1
E
I2 = = 0, 209 A
Z2
2 2 2 2 2
S = EI = 48VA, P = EI cos� = 48 W, Q = 0
2 2
I > I, P > P
R1
I2 2
1
Y = = 0, 295 - j0, 425 �"10-3 S
( )
L
Z
E
U 2 2
C C
2 2
j�0C = - Im Y = 0, 425�"10-3
{ }
R2
2 2
C = 1,35�"10-6 F
2 2
Y2 2 = Y + j�0C = 0,295�"10-3 S
cos� = 1
cos� = 1
I2 2 = EY2 2 = 0,0679 A
2 2 2 2 2 2
S = EI = 15,6 VA, P = EI cos� = 15,6 W, Q = 0
2 2 2 2
I < I, P = P
Pasywność dwójnika
I
Z
U
U = Z I
2
P = Re I" Re I I"
{ }
{U }= {Z }= I Re Z
dwójnik pobiera energię
Re Z > 0 �! P > 0
{ }
Re Z = 0 �! P = 0
{ }
dwójnik dostarcza energię
Re Z < 0 �! P < 0
{ }
Definicja 1.
Dwójnik nazywamy ściśle pasywnym, je\eli jest on odbiornikiem
energii przy pobudzeniu sinusoidalnym o dowolnej pulsacji �0.
Dwójnik będzie ściśle pasywny gdy przy dowolnej
Re Z > 0
{ }
pulsacji �0 .
Poniewa\ , więc warunek ścisłej pasywności
Z = Z s
( )
s= j�0
mo\na zapisać jako
Re Z j� > 0, - " < � < "
( )
{ }
Z j� = Z s
gdzie ( ) ( )
s= j�
Definicja 2.
Dwójnik o impedancji Z(s) nazywa się dwójnikiem pasywnym gdy
Re Z j� e" 0, - " < � < "
( )
{ }
Warunek pasywności (ścisłej pasywności) oznacza, \e całkowita
energia dostarczona do dwójnika w dowolnej chwili czasu jest
nieujemna (dodatnia), czyli dla dowolnego t
t
w t = p � d� > 0
dwójnik ściśle pasywny
( ) ( )
+"
-"
t
w t = p � d� e" 0 dwójnik pasywny
( ) ( )
+"
-"
Definicja 3.
Dwójnik o impedancji Z(s) nazywa się dwójnikiem bezstratnym gdy
Re Z j� a" 0, - " < � < "
( )
{ }
Całkowita energia dostarczona do dwójnika bezstratnego jest
równa 0, czyli
"
W = w " = p � d� = 0
( ) ( )
+"
-"
Dwójniki bezstratne są dwójnikami pasywnymi (ale nie są
dwójnikami ściśle pasywnymi)
Definicja 4.
Dwójnik, który nie jest pasywny nazywa się dwójnikiem aktywnym.
Dwójnik o impedancji Z(s) jest więc aktywny,
gdy istnieje takie �0, \e
Re Z j�0 < 0
( )
{ }
Dwójniki zbudowane z elementów RLCM są dwójnikami
Dwójniki zbudowane z elementów RLCM są dwójnikami
pasywnymi (ale niekoniecznie ściśle pasywnymi).
Dwójniki zbudowane z elementów LCM są dwójnikami
bezstratnymi.
Dwójniki SLS, zawierające zródła sterowane, mogą być
pasywne, ściśle pasywne, bezstratne lub aktywne.
Przykład
C
i t
( )
R1 2 R2
1
3
R1 =1&!, R2 = 2&!,
1 1
L = H, C = F, ą =1.
ą i t L
( )
2 2
�ł łł
�ł łł
1 1
1 1
�ł łł
�ł łł
1 1
1 1
�ł sC + - -sC śł
�ł sC + - -sC śł
s +1 -1 - s
�ł śł
R1 R1
�ł śł
2 2
�ł śł
�ł śł
1 1 1 1 1 1
�ł- 1 s -1 3 śł
Yn s = �ł-ą sC - + ą sC - śł = s -
( )
śł
R1 R1 R2 R2 śł �ł 2 2 2 2
�ł
�ł
�ł śł
1 1 1 1 2śł
1 1 1
�ł śł
- s - s + +
�ł -sC - sC + +
śł
�ł śł
2 2 2 2 s
R2 R2 sL �ł �ł
�ł śł
�ł �ł
"n11 2s2 + s + 6
Z s = =
( )
"n s + 2
s = j�
-2�2 + j� + 6 -3�2 +12 2�3 - 4�
Z j� = = + j
( )
j� + 2 �2 + 4 �2 + 4
Re Z j�
( )
{ }
�
Dwójnik jest aktywny
Dopasowanie obciążenia do generatora
Z
g
I
Zadane Eg i Z
Eg
U
Z g
0
Z
Z
Nale\y znalezć impedancję dwójnika reprezentującego
Nale\y znalezć impedancję dwójnika reprezentującego
0
0
obcią\enie, taką, aby do obcią\enia przekazana została
maksymalna moc czynna.
Z i Z
Zakładamy, \e są impedancjami dwójników ściśle
g 0
pasywnych, czyli
Re Z > 0 i Re Z > 0
{ }
{ }
g 0
P = Re U I"
{ }
Eg Z Eg
0
I = , U =
Z + Z Z + Z
g 0 g 0
"
ńł �ł
�ł �ł
Z Eg Eg Re Z
2
{ }
�ł �ł
0 0
P = Re = Eg
�ł �ł �ł żł
2
�ł �ł
Z + Z
g 0 Z + Z
�łZ g + Z 0 �ł łł �ł
g 0
ół �ł
Oznaczmy:
Z = Rg + j Xg, Z = R0 + j X0
g 0
Wówczas
2
R0
P = Eg
2 2
Rg + R0 + Xg + X0
( ) ( )
Nale\y znalezć maksimum funkcji w obszarze
P R0, X0
( )
0 < R0 < ", - " < X0 < "
Warunkami koniecznymi istnienia lokalnego ekstremum są:
"P "P
= 0 i = 0
"R0 "X0
2
2 2
Rg - R0 + Xg + X0
( )
2
"P
= Eg = 0
2
2 2
"R
"R0 �ł Rg + R0 2 + Xg + X0 2 łł2 g
�ł łł
( ) ( )
( ) ( )
�ł śł
�ł �ł
-2 Xg + X0 R0
( )
2
"P
= Eg = 0
"X0 �ł Rg + R0 2 + Xg + X0 2 łł2
( ) ( )
�ł śł
�ł �ł
Jedynym rozwiązaniem w rozwa\anym obszarze jest
R0 = Rg i X0 = -Xg
2
R0
P = Eg
2 2
Rg + R0 + Xg + X0
( ) ( )
R0 = Rg
�ł
�! Z = Z"
0 g
X0 = -Xg żł
�ł
Z przesłanek fizycznych wynika, \e w wyznaczonym punkcie funkcja
P R0, X0 ma lokalne maksimum, które jest jednocześnie największą
( )
wartością funkcji w rozwa\anym obszarze.
Warunkiem dopasowania jest więc
Warunkiem dopasowania jest więc
Z = Z"
0 g
W warunkach dopasowania
2
Eg
P = Pmax =
4 Re Z
{ }
g
Moc Pmax nazywa się mocą dysponowaną generatora
Zadane I i Y
g g
I
Y
Y
g
g
0
Y = Gg + jBg, Y = G0 + jB0
g 0
2
G0
P = I
g
2 2
Gg + G0 + Bg + B0
( ) ( )
Warunek dopasowania
Warunek dopasowania
Y = Y"
0 g
Moc dysponowana generatora
2
I
g
Pmax =
4 Re Y
{ }
g
Sprawność przekazywania mocy
Z
g I
Eg
U
Z
0
Moc wydzielona w obcią\eniu Moc wytworzona w generatorze
Re Z + Z
Re Z
2
{ } { } 2
g 0
0
P = Eg
P = Eg
Pg = Eg
Pg = Eg
2
2
2
2
Z + Z
+
Z + Z
+
g 0
g 0
Re Z
{ }
P R0
0
� = = =
Pg Rg + R0
Re Z + Re Z
{ }
{ }
g 0
1
� =
W warunkach dopasowania (R0 = Rg):
2
Dopasowania na maksimum mocy czynnej nie stosuje się w energetyce!!!
Przykład 1.
e t = 5 2 cos�0t V,
( )
e t
( )
Ą
L
iz t = 0,2sin �0t - A,
( )
( )
4
�0 = 106 rad ,
s
iz t
( )
R1 C
R2 N
R1 = 50&!, R2 = 100&!,
L = 50�H, C = 50nF.
Nale\y zaprojektować taki dwójnik N, aby wydzieliła
się w nim maksymalna moc czynna
E
E
L
I
R1 C I Y
R2
z
a" N N
L
1 1
Y = + j�0C + =
Y
N N
R2 R1 + j�0L
R1 C
R2
= 0,02 + j0,04 S
( )
E
L
Ą
- j
R1 I + E
z
4
I = = 0,05 - j0,05 = 0,05 2e
zw
I R1 + j�0L
zw
R1 C
R2 I
z
I = I
N zw
1 1
Y = Y" = 0,02 - j0,04 = - j
0 N
R0 �0L0
I Y Y
N N 0
1 1
R0 = = 50&!, L0 = - = 25�"10-6 H.
Re Y �0 Im Y
{ } { }
N N
2
I
N
Pmax = = 0,0625 W R0 L0
4 Re Y
{ }
N
1
2 2
Z = = 10 + j20 = R0 + j�0L0
2
R0
0
Y
0
2
L0
2 2
R0 = 10&!, L0 = 20�"10-6 H

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
metoda symboliczna
metoda symboliczna 3
Metoda symboliczna (2)
32 Wyznaczanie modułu piezoelektrycznego d metodą statyczną
całkowanie num metoda trapezów
Beyerl P The Symbols And Magick of Tarot
Metoda kinesiotapingu w wybranych przypadkach ortopedycznych
D Kierzkowska Metoda na wagę złota
Badanie czystości metodą klasyczną
impresjonizm i symbolizm w m po Nieznany (4)
Metoda Hahna
Przystawka do spawania aluminium metoda TIG cz3
symbole

więcej podobnych podstron