Własności ciała liczbowego
Ciało, to zbiór liczb zawierający element zerowy i jedynkę, w którym określone
sÄ… operacje dodawania i mno\
enia spełniające warunki
a + (b + c) = (a + b) + c
łączność dodawania
Metoda symboliczna analizy obwodów elektrycznych prądu
"0 : a + 0 = a
istnieje element zerowy
przemiennego
"a "b : a + b = 0 istnieje element przeciwny
a + b = b + a przemienność dodawania
a Å"(b Å"c) = (a Å"b) Å"c Å‚Ä…czność mno\
enia
"1: a Å"1 = a istnieje jedynka
a Å"(b + c) = a Å"b + a Å"c rozdzielczość mno\
enia względem dodawania
a Å"b = b Å" a przemienność mno\
enia
istnieje element odwrotny
"a `" 0 "b : a Å"b = 1
2
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Przykładowe ciała liczb Liczby zespolone
Rozwa\
my zbiór par liczb rzeczywistych , w którym
(a,b) a,b " R
Liczby wymierne
zdefiniowano operacjÄ™ mno\
enia i dodawania
(a,b) + (c, d) = (a + c,b + d)
(a,b)Å"(c,d) = (ac - bd, ad + bc)
Liczby rzeczywiste - konstrukcja liczb rzeczywistych z liczb wymiernych za
pomocą ciągów Cauchego
Zauwa\
my, \
e
(0,0) jest elementem zerowym (oznaczanym krótko
(a,b) + (0,0) = (a,b)
przez 0),
Liczby wymierne Liczby rzeczywiste
"
(a,b)Å"(1,0) = (a,b) (1,0) jest jedynkÄ… (oznaczanÄ… przez 1)
Czy mo\
na rozszerzyć ciało liczb rzeczywistych?
(-a,-b) jest elementem przeciwnym do (a,b)
(a,b) + (-a,-b) = (0,0)
a b öÅ‚ ëÅ‚ a b öÅ‚
(a,b)Å"ëÅ‚ ,- ÷Å‚
= (1,0) ìÅ‚ ,- ÷Å‚
ìÅ‚
jest elementem
íÅ‚ a2 + b2 a2 + b2 Å‚Å‚
íÅ‚ a2 + b2 a2 + b2 Å‚Å‚
odwrotnym do (a,b)
3 4
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Liczby zespolone Jednostka urojona
Kwadrat jednostki urojonej
A
atwo sprawdzić, \
e zdefiniowany zbiór par liczb jest ciałem. Zbiór
nazywamy zbiorem liczb zespolonych
j2 = j Å" j = (0,1)Å"(0,1) = (-1,0) = -1
Zbiór par postaci (a,0) uto\
samiamy ze zbiorem liczb rzeczywistych i
przyjmujemy
Stosuje siÄ™ oznaczenie
(a,0) = a
j = -1
Zatem zbiór liczb zespolonych zawiera zbiór liczb rzeczywistych
LiczbÄ™ (0,1) nazywamy jednostkÄ… urojonÄ… i oznaczamy jÄ… przez
(0,1) = j (elektrycy) lub i (matematycy,fizycy)
Stosujemy notacjÄ™
z = (a,b) = a Å"(1,0) + b Å"(0,1) = a Å"1+ b Å" j
= a + jb
5 6
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Postać algebraiczna liczb zespolonych Działania na liczbach zespolonych
Dodawanie
PÅ‚aszczyzna zespolona (Gaussa)
z = a + ib
Postać algebraiczna
(a + jb) + (c + jd ) = (a + c) + j Å"(b + d)
Część rzeczywista a = Re z = !z ! Mno\
enie
z = a + ib
(a + jb) Å"(c + jd) = ac + jad + jbc + j2bd = (ac - bd) + j(ad + bc)
b
Część urojona b = Im z = !z
| z | Dzielenie
arg z
a + jb a + jb c - jd (ac + bd) + j(bc - ad)
!
= Å" =
Moduł
z = a2 + b2
2
c + jd c + jd c - jd
c2 + d
a
b
Å„Å‚arctan dla a > 0
Liczba sprzÄ™\
ona
ôÅ‚
a
ôÅ‚
z = z* = (a + jb)* = a - jb
ôÅ‚Ä„ + arctan b dla a < 0
Argument
arg z =
òÅ‚
a
ôÅ‚Ä„ / 2 dla a = 0,b > 0
Moduł
ôÅ‚
z = z Å" z*
ôÅ‚- Ä„ / 2 lub 3Ä„ / 2 dla a = 0,b < 0
ół
7 8
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Postać trygonometryczna liczb zespolonych Postać wykładnicza zmiennej zespolonej
z = z (cosÕ + j sin Õ)
Õ = arg z
!
z = a + ib ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚1- Õ2 Õ4 ìÅ‚Õ Õ3 Õ5
a = z cos Õ, b = z sin Õ = z + -...÷Å‚ + j z - + -...÷Å‚
b
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2! 4! 3! 5!
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
!
| z |
jÕ
ëÅ‚ öÅ‚
z = z (cosÕ + j sin Õ) z = a + ib = z e
ìÅ‚1+ ( jÕ)2 ( jÕ)3 ( jÕ)4 ( jÕ)5
Õ = arg z = z ( jÕ) + + + + + ...÷Å‚
!
b
ìÅ‚ ÷Å‚
2! 3! 4! 5!
íÅ‚ Å‚Å‚
a
| z |
jÕ
= z e
Õ = arg z
!
a
Postać wykładnicza
jÕ
z = z e
9 10
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Przykłady Liczby zespolone jako wektory na płaszczyz
nie Gaussa
!
!
j0
jĄ
e = 1
e = -1
! Pomno\
enie liczby przez
Dodawanie liczb
! Pomno\
enie liczby przez -j
j - równoznaczne z
zespolonych
- równoznaczne z obrotem
obrotem wektora o kÄ…t
wektora o kÄ…t -Ä„/2
Ä„/2
!
! !
z1 + z2
!
!
j3Ä„/ 2
z2
e = e- jĄ/ 2 = - j
jĄ/ 2
e = j
Ä„ / 2
!
jz
!
z z
z1 !
! !
- Ä„ / 2
jz
11 12
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Postać symboliczna sygnałów napięciowych i prądowych Postać symboliczna sygnałów napięciowych i prądowych
Sygnał napięciowy
Postać symboliczna wektora
!
!
wodzÄ…cego w chwili zerowej dla
Um sin(Ét + Õ)
wartości szczytowych
U
jÕ
Postać symboliczna wektora Õ
U = Ume
! !
m
wodzÄ…cego obracajÄ…cego siÄ™ z
prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É
Postać symboliczna wektora
j(É t+Õ)
u(t) = Ume
wodzÄ…cego w chwili zerowej dla
wartości skutecznych
jÕ
U = Ue
13 14
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Analiza obwodów metodą symboliczną Analiza obwodów metodą symboliczną
Rezystor idealny Cewka idealna
Prawo Ohma dla wartości Prawo Ohma dla wartości
skutecznych skutecznych
U = jÉL I = X I
L
U = R I
Reaktancja indukcyjna w
postaci symbolicznej
X = jÉL, [X ] = &!
L L
Napięcie na cewce wyprzedza
prÄ…d o Ä„/2
15 16
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Analiza obwodów metodą symboliczną Dwójnik szeregowy R, L, C
U = R I
R
Idealny kondensator
Prawo Ohma dla wartości
U = jÉL I = X I
skutecznych
L L
1
1
U = I = X I
U = I = X I
C C
C
jÉC
jÉ C
Reaktancja pojemnościowa
U = U +U +U
R L C
w postaci symbolicznej
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1
ëÅ‚ 1 öÅ‚ 1
öÅ‚÷Å‚ I
X = , [X ] = &! ìÅ‚
C C
= ìÅ‚ R + jÉL + ÷Å‚ I = R + jëÅ‚ÉL - ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚
jÉC ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
jÉC
íÅ‚ Å‚Å‚÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
142ÉC
43
ìÅ‚
X
íÅ‚ Å‚Å‚
Prąd płynący przez
= Z I
kondensator wyprzedza
napięcie o Ą/2
17 18
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Dwójnik szeregowy R, L, C Dwójnik równoległy R, L, C
rezystancja dwójnika,
R
opór czynny
ëÅ‚ 1 1 1
öÅ‚
I = ìÅ‚ + jÉC + ÷Å‚ U = U
ìÅ‚ ÷Å‚
R jÉL Z
1 íÅ‚ Å‚Å‚
öÅ‚ reaktancja symboliczna
X = jëÅ‚ÉL - ÷Å‚
ìÅ‚
dwójnika, opór bierny
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
1
öÅ‚ impedancja dwójnika,
1 1 1
Z = R + jëÅ‚ÉL - ÷Å‚
ìÅ‚
= + jÉC +
opór pozorny
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
Z R jÉL
kąt fazowy dodatni, obwód ma
!X > 0 1
Z
charakter indukcyjny = G
R
X
kąt fazowy ujemny, obwód ma
!X < 0
1 1 1
susceptacja symboliczna,
charakter pojemnościowy = + = BC + BL = B
przewodność bierna
X X X
C L
R
kąt fazowy równy zeru, obwód ma
1
X = 0 admitancja symboliczna,
= Y
charakter rezystancyjny
przewodność pozorna
Z
19 20
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Dwójnik równoległy R, L, C Wykorzystanie metody symbolicznej
1 1 1
" Prawa Kirchhoffa
= + jÉC +
Z R jÉL
" Wyznaczanie impedancji zastępczej
" Metoda superpozycji
Y = G + BC + BL = G + B
" Twierdzenie Thevenina i Nortona
kąt fazowy ujemny, obwód ma
!B > 0
" Przekształcenie gwiazda - trójkąt
charakter pojemnościowy
" Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych
kąt fazowy dodatni, obwód ma
!B < 0
Y
charakter indukcyjny
" Metoda potencjałów węzłowych
B
kąt fazowy równy zeru, obwód ma
B = 0
charakter rezystancyjny
G
Trójkąt admitancji
[G] = [B] = [Y ] = 1S [simens]
21 22
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Pierwsze prawo Kirchhoffa Drugie prawo Kirchhoffa
Suma algebraiczna spadków napięć na
poszczególnych elementach oczka jest równa zeru.
Znak + stoi przed napięciem, które jest
"U = 0
i zgodne z przyjętym obiegiem (orientacją)
i oczka.
Suma algebraiczna spadków napięć przemiennych
Suma prądów o kierunku do węzła jest równa sumie prądów o kierunku od
z
ródłowych jest równa sumie spadków napięć na
węzła.
impedancjach.
I1 + I = I + I
2 3 4
"E = "I Z
i j j
Suma algebraiczna prądów wpływających do węzła jest równa zeru.
i j
strzałka do węzła  znak +
"I = 0 Znak +
i
strzałka od węzła  znak -
Znak +
jeśli napięcie na
i
jeśli napięcie
impedancji
z
ródłowe zgodne
przeciwne
z obiegiem oczka.
do obiegu oczka.
23 24
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Szeregowe połączenie impedancji Równoległe połączenie impedancji
Z
Z Z Z Z
Z
Z
Z
U = U1 +U +...+U = I Z1 + I Z +...+ I Z
2 N 2 N
U = I Z1 = I Z = ... = I Z
2 N
= I(Z1 + Z ... Z3)
ëÅ‚ öÅ‚
U U U 1 1 1
144224+ N
4+ 44
ìÅ‚ ÷Å‚
I = I1 + I + ...+ I = + + ...+ = UìÅ‚ + +...+
2 N
÷Å‚
Z
Z1 Z Z Z1 Z Z
z 2 N íÅ‚ 2 N Å‚Å‚
144424443
1
Z
Impedancja zastępcza: Admitancja zastępcza:
z
Impedancja zastępcza: Admitancja zastępcza:
1 1
Z =
"Z =
Z i
"Y
1 1
Y
i
Z i Y =
i
=
"Y
Z i
"
Z Z
i
Z i
i
25 26
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Zamiana z
ródeł napięciowych i prądowych Przykład - warunek równowagi mostka Wiena
Z1 R3
=
Z R4
2
1
Z1 = R1 +
jÉC1
1
R2
jÉC2
Z =
2
1
R2 +
jÉC2
E
E = I Z
z
r w I =
z
r
Z
w
27 28
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Przykład - warunek równowagi mostka Wiena Przykład
1
Wyznaczyć prąd płynący przez rezystancję R
R1 +
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚ C
Z1 jÉC1 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
= = R1 + R2 + =
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
1 1
Z
Stan jałowy
2
R2 R2 íÅ‚ jÉC1 Å‚Å‚íÅ‚ jÉC2 Å‚Å‚
jÉC2 jÉC2
ëÅ‚ öÅ‚
X X
1 L1 L2
ìÅ‚ ÷Å‚
U = -
R2 + AB
A B
ìÅ‚ ÷Å‚U1
X + X X + X
jÉC2 íÅ‚ C1 L1 C2 L2 Å‚Å‚
öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
jÉC2 ëÅ‚ 1 R1 C2 R3
Impedancja pomiędzy punktami AB przy
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= R1R2 - + + =
zwartych zaciskach CD
R2 ìÅ‚ É2C1C2 ÷Å‚ ìÅ‚ R2 C1 ÷Å‚ R4
D
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Warunki równowagi
X X X X
L1 C1 L2 C2
Z = +
CD
X + X X + X
L1 C1 L2 C2
1 R1 C2 R3
R1R2 - = 0 + =
R2 C1 R4
É2C1C2
U
AB
I =
AB
Z + R
CD
29 30
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego
Zapis mocy w postaci symbolicznej
jÕu
U = Ue
jÕi
I = Ie
jÕu j(Õu -Õi )
S = U Å" I* = Ue Å" Ie- jÕi = UIe
= UI(cosÕ + j sin Õ)
= P + jQ
31
Metoda symboliczna analizy obwodów prądu przemiennego