Metoda symboliczna ... 1
Metoda symboliczna
(liczb zespolonych)
Postacie liczb zespolonych
b
z = a + jb, z = z ejÕ , z = a2 + b2 , Õ = acrtg Ä…Ä„
( )
a
a = z cosÕ, b = z sinÕ, z* = a - jb, z* = z e- jÕ
Wzór Eulera
ejÕ = cosÕ + jÅ"sinÕ
Niektóre działania na liczbach zespolonych
z1 + z = a1 + a2 + j b1 + b2
( ) ( )
2
1
z1 Å" z = z1 Å" z2 ej(Õ +Õ2 ) = a1 Å" a2 - b1 Å" b2 + j a1 Å" b2 + a2 Å" b1
( ) ( )
2
z1
z1 z1z*
a1 Å" a2 + b1 Å" b2 - j a1 Å" b2 - a2 Å" b1
( ) ( )
2
1
= ej(Õ -Õ2 ) = =
2
z z z*
z2
2 2 2 z
2
2009 K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna ... 2
Pierwiastkowanie liczby zespolonej
Õ +kÅ"360o
j
n n
n
z1 = z = z Å" e
Pierwiastek kwadratowy:
Pierwiastek sześcienny z  1
2009 K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna ... 3
Zastosowanie metody symbolicznej w teorii obwodów
sin Ét +Õ Ò! ej(Ét+Õ ) = cos Ét + Õ + jÅ"sin Ét +Õ (wzór Eulera)
( ) ( ) ( )
PrzeksztaÅ‚cenie odwrotne: sin Ét +Õ = Imag ej(Ét+Õ)
( )
Przekształcenie równań do postaci symbolicznej
na przykładzie obwodu RLC
Chcemy wyznaczyć napięcie u(t) zasilające obwód RLC, czyli jego Um oraz Ć .
Dany jest prąd i(t) oraz wartości elementów R,L,C:
i(t) = Im sinÉt
uR (t) + uL(t) + uC(t) = u(t)
Ä„ 1 Ä„
ëÅ‚Ét öÅ‚ ëÅ‚Ét öÅ‚
R Im sinÉt + ÉL Im sin + + Im sin - = Um sin Ét + Õ
( )
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 ÉC 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zamieniamy funkcje sinus na funkcje eksponencjalne:
Ä„ Ä„
öÅ‚ öÅ‚
jëÅ‚Ét+ jëÅ‚Ét-
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
R ImejÉt + ÉL Ime + Ime = Umej(Ét-Õ )
ÉC
Ä„ Ä„
j - j
1
2 2
R ImejÉt + ÉL ImejÉte + ImejÉt e = UmejÉte- jÕ
ÉC
Ä„ Ä„
j - j
2 2
e = j, e = - j, upraszczamy ejÉtoraz dzielimy przez 2 :
1
R I + jÉL I - j I = Ue- jÕ
ÉC
îÅ‚ 1 Å‚Å‚
öÅ‚
jÕ
I + jëÅ‚ÉL -
÷łśł = Ue- = U, I Å" Z = U
ïÅ‚R ìÅ‚
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Z
2009 K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna ... 4
Prawa Kirchhoffa w postaci symbolicznej
Pierwsze prawo Kirchhoffa dla prądów zmiennych:
n
îÅ‚ Å‚Å‚
in = 0, in = Im sin Ét +Õn Ò! I = I ejÕ , in = 2 Å" Imag I Å" ejÉt ûÅ‚
( )
n n n
" n ðÅ‚
N
îÅ‚
2 Å" Imag Å" ejÉt ûÅ‚ = 0,
" ðÅ‚I n Å‚Å‚
N
îÅ‚Re I n Å"sinÉt + Im I n Å" cosÉtÅ‚Å‚ = 0,
2 Å"
( ) ( )
"
ðÅ‚ ûÅ‚
N
Re I = 0, Im I = 0, I = 0 + j0.
( ) ( )
n n n
" " "
N N N
Podobne wyprowadzenie mo\
na przeprowadzić dla drugiego prawa Kirchhoffa
otrzymujÄ…c:
m
"U = 0.
M
Tak więc prawa Kirchhoffa obowiązują dla zapisu symbolicznego.
Połączenie równoległe elementów
U U ëÅ‚ 1 1 öÅ‚
I = I + I + I = + + jÉC Å"U = + + jÉC = Y Å"U
R L C
ìÅ‚ ÷Å‚U
R jÉL R jÉL
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
öÅ‚
Y = - jëÅ‚ - ÉC = G + jB, G = , B = ÉC - = BC - BL.
ìÅ‚ ÷Å‚
R ÉL R ÉL
íÅ‚ Å‚Å‚
2009 K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna ... 5
Wyra\
enie admitancji zespolonej przy pomocy impedancji zespolonej
1
Y =
Z
Na przykład, dla gałęzi szeregowej mamy impedancję
Z = R + jÅ" X
Wtedy admitancja obwodu wynosi:
1 1 R - jÅ" X R X
Y = = Å" = - jÅ" = G + jÅ" B
2 2
R + jÅ" X R + jÅ" X R - jÅ" X R2 + X R2 + X
Czyli, konduktancja gałęzi szeregowej wynosi:
R -X
G = , a jej susceptancja: B =
2 2
R2 + X R2 + X
przy czym zachodzi: B = BC - BL.
Moce przy zapisie symbolicznym
Rozpatrzmy gałąz
szeregowÄ… RL. Poniewa\
ma ona charakter indukcyjny, kąt Ć
jest dodatni i le\
y w pierwszej ćwiartce (patrz wykresy na następnej stronie).
Moce mo\
na wyrazić jako:
2
P = U Å" I Å" cosÕ = R Å" I
2
Q = U Å" I Å"sinÕ = X Å" I
2
S = U Å" I = Z Å" I
Wprowadzamy moc pozornÄ… zespolonÄ… (definicja):
S = P + jQ
Dla gałęzi szeregowej RL jest wtedy:
2 2 2
* *
S = R Å" I + jÅ" X Å" I = Z Å" I = Z Å" I Å" I = U Å" I
Wzór ten mo\
na uogólnić na inne obwody.
2009 K.M.Gawrylczyk
Metoda symboliczna ... 6
Wykresy trójkątowe (wskazowe) dla gałęzi RL przy zapisie symbolicznym.
2009 K.M.Gawrylczyk