Istota i przedmiot statystyki.

Prezentacja danych statystycznych

Znaczenia słowa statystyka

• Znaczenie I - nazwa zbioru danych liczbowych

prezentujących kształtowanie się określonych zjawisk

i procesów.

• Znaczenie II - nazwa wszelkich prac związanych z

gromadzeniem i opracowywaniem danych liczbowych.

• Znaczenie III - nazwy pewnych charakterystyk

liczbowych obliczanych ze zbiorowości próbnych.

• Znaczenie IV - nazwa dyscypliny naukowej,

posiadającej własne metody badawcze.

Statystyka jako nauka

Statystyka jest nauką traktującą o specyficznych metodach

ilościowych dostosowanych do badania prawidłowości zjawisk

masowych.

Statystyki branżowe Statystyka opisowa

Statystyka matematyczna

Funkcje statystyki

• Funkcja informacyjna - statystyka daje pełny i obiektywny obraz badanych zjawisk.

• Funkcja analityczna - statystyka określa czynniki kształtujące konkretne zjawiska

i procesy.

• Funkcja prognostyczna - statystyka pozwala na przewidywanie poziomu i struktury

zjawisk.

Badanie statystyczne

Badanie statystyczne - to ogół prac mających na celu poznanie struktury danej zbiorowości statystycznej.

Etapy badania statystycznego

Etap I - przygotowanie badania

Etap II - obserwacja statystyczna

Etap III - opracowanie statystyczne

Etap IV - analiza statystyczna

Rodzaje badań statystycznych

• Badania pełne - obejmujące wszystkie jednostki danej zbiorowości.

• Badania częściowe - obejmujące niektóre jednostki zbiorowości statystycznej.

• Badania interpolacyjne i ekstrapolacyjne (metody pośrednie).

Rodzaje badań statystycznych

• Badania ciągłe - badania, w których zjawiska zmieniające się w czasie są

obserwowane i analizowane sukcesywnie i nieprzerwanie.

• Badania okresowe - badania, które są prowadzone w pewnych, zazwyczaj

regularnych odstępach czasowych.

• Badania doraźne - badania, które są podejmowane w pewnych szczególnych

sytuacjach.

Podstawowe pojęcia

Zbiorowością statystyczną (populacją) nazywamy pewną, zazwyczaj dużą liczbę jednostek mających jedną lub kilka cech stałych oraz wiele cech zmiennych, których warianty wyróżniają poszczególne jednostki zbiorowości statystycznej.

Jednostka statystyczna to element składowy badanej zbiorowości statystycznej.

Cecha statystyczna - właściwość, którą ma i którą się wyróżniają

jednostki wchodzące w skład zbiorowości statystycznej.

Cechy statystyczne

Cechy stałe Cechy zmienne

Cecha

rzeczowa Cecha przestrzenna Cecha czasowa Cecha jakościowa Cecha ilościowa

Cecha ilościowa Cecha ilościowa

skokowa ciągła

Prezentacja materiału statystycznego

Opracowanie materiału statystycznego obejmuje następujące czynności:

porządkowanie, zliczanie danych oraz grupowanie statystyczne.

Szereg statystyczny - materiał statystyczny, który został uporządkowany

lub uporządkowany i pogrupowany według wariantów jednej wybranej

cechy statystycznej.

Tabele statystyczne

Tabela statystyczna - są tworzone w celu: prezentacji, opracowania, popularyzacji, analizie zebranego materiału statystycznego. Tabele statystyczne to liczbowy obraz struktury badanej zbiorowości.

Elementy składowe tabeli statystycznej:

- tytuł tabeli,

- tabela właściwa,

- źródło danych,

- wyjaśnienia.

Sposoby opracowania zbiorów o małej liczebności. Graficzne przedstawianie danych. Średnia arytmetyczna. Średnia ważona. Podstawowe miary zmienności - średnie odchylenie standardowe, wariancja, błędy statystyczne. Statystyka w MS Excel.

Opracowanie materiału statystycznego

1. Grupowanie statystyczne /podział całej zbiorowości statystycznej na mniejsze jej części, czyli jednolite grupy jednostek/

Wyodrębnienie tych grup dokonywane jest na podstawie jednoznacznych kryteriów. Tymi kryteriami są warianty cechy statystycznej. Jeżeli cecha statystyczna ma charakter naturalny (np. płeć), wówczas grupowanie statystyczne ma również charakter naturalny (np. podział mieszkańców Poznania na mężczyzn i kobiety). Najczęściej jednak kryteria podziału zbiorowości na grupy nie mają charakteru naturalnego i wówczas prowadzący badania musi zdecydować o tym, jakie mniejsze grupy zostaną wyodrębnione w ramach badanej zbiorowości.

Grupowanie statystyczne pozwala na uporządkowanie materiału statystycznego i zapewnia jego porównywalność.

Celem grupowania statystycznego jest wskazanie podobieństw i różnic występujących w badanej zbiorowości statystycznej oraz sformułowanie obiektywnych wniosków ogólnych.

Decydujące znaczenie, przy dokonywaniu grupowania statystycznego, ma cel badania statystycznego.

Punktem wyjścia przy grupowaniu statystycznym jest stworzenie wykazu klasyfikacyjnego, czyli uporządkowanego wykazu wariantów cech. W przypadku cechy niemierzalnej i cechy mierzalnej ze zmiennością skokową o niewielkiej liczbie wariantów stworzenie wykazu klasyfikacyjnego jest zadaniem stosunkowo prostym – można ograniczyć się do wypisania wszystkich cech.

Przykłady wykazów klasyfikacyjnych

Tablica 1

Grupowanie ludności wg wykształcenia

Wykształcenie

podstawowe

zasadnicze zawodowe

średnie

wyższe

Gdy badana cecha mierzalna ma charakter ciągły, warianty cechy w wykazie klasyfikacyjnym powinny być przedstawione w postaci przedziałów liczbowych nazywanych przedziałami klasowymi.

Tablica 2

Płace w Spółce Akcyjnej „Klin” w Białymstoku we wrześniu 2006 r.

Płace w zł

(2700 – 2900>

(2900 – 3100>

(3100 – 3300>

(3300 – 3500>

(3500 – 3700>

Płace w zł (xi0 – xit>

2700 – 2900

2900 – 3100

3100 – 3300

3300 – 3500

3500 – 3700

W wykazach klasyfikacyjnych z cechą ze zmiennością ciągłą ważne jest wyznaczenie środków poszczególnych przedziałów klasowych oznaczanych

=

Gdzie:

i=1,2,….,n – numer przedziału klasowego

x_i0 – dolna granica przedziału klasowego o numerze i

x_it – górna granica przedziału klasowego o numerze i

Tworząc wykaz klasyfikacyjny z cechą ze zmiennością ciągłą należy podjąć decyzję o rozpiętości przedziałów klasowych.

Z reguły ustala się jednakowe rozpiętości przedziałów klasowych. Przy równej rozpiętości przedziałów klasowych liczebności (częstości) występujące w poszczególnych klasach są porównywalne.

Przy różnych rozpiętościach (dla populacji niejednorodnej z dużą koncentracją wartości w jednej grupie) zamiast liczebności (częstości) stosuje się wskaźnik: gęstość liczebności (gęstość częstości).

 

Gęstość liczebności (gęstość częstości) - jest to stosunek liczebności (częstości) danej klasy do rozpiętości przedziału klasowego:

 

gęstość liczebności	(wzór1)
szereg rozdzielczy	( wzór 2)

 

Dla szeregu rozdzielczego o jednakowych rozpiętościach przedziałów klasowych h_i = h:

( wzór 3)

gdzie: nazywa się rozstępem, a k oznacza liczbę klas.

Uwaga: Jeżeli wybieramy przybliżoną wartość h, to powinno to być zawsze przybliżenie z nadmiarem, tzn. .

 

Ustalanie granic poszczególnych klas

 

Jako dolną granicę najczęściej przyjmuje się najmniejszą wartość cechy lub bliskiej tej wartości, czyli . Przy cechach ciągłych górne granice klas poprzednich powinny być dolnymi granicami klas następnych, aby nie było pomiędzy przedziałami luk Ponadto trzeba ustalić, do które klasy zaliczyć wartości graniczne.

W szeregach o otwartych przedziałach klasowych, konieczne jest czasami domknięcie tych przedziałów. Stosuję się tutaj zasadę, że jeżeli liczebność w tych przedziałach jest niewielka (nie większa niż 5% badanej zbiorowości, można te przedziały domknąć taką szerokością, jaka jest w sąsiednich przedziałach klasowych.

 

Wskaźnik struktury wi lub częstość (liczebność względna, frakcja, odsetek) - występowania danego wariantu cechy nazywa się stosunek liczby jednostek o danej wartości cechy do liczebności próby.

 

(wzór 3)

przy czym: .

 

Szereg rozdzielczy skumulowany - uzyskuje się poprzez przyporządkowanie kolejnym wariantom cechy odpowiadających im liczebności (częstości) skumulowanych, informuje, dla ilu jednostek badanej zbiorowości cecha przyjmuje wartości nie większe od górnej granicy poszczególnego przedziału klasowego.

 

Skumulowany wskaźnik struktury w_isk (częstość skumulowana):

( wzór 4)

gdzie n_isk oznacza liczbę jednostek, których cechy odpowiadają wartościom nie większym niż x_i.

 

Dystrybuanta empiryczna - przyporządkowanie kolejnym wartościom cechy statystycznej (zmiennej) odpowiadających im częstości skumulowanych (względnie liczebności skumulowanych)

Ustalanie liczby klas

 

Liczby klas w zależności od liczebności badanej zbiorowości
Liczba obserwacji n	Liczba zalecanych klas k
40-60 60-100 100-200 200-500	6-8 7-10 9-12 11-17

wzory: 

( wzór 5)

( wzór 6)

Tablica 3

Przykład złożonego grupowania statystycznego wg płci i poziomu płac

Płace w zł (xi0 – xit>	Liczba zatrudnionych
	kobiet	mężczyzn
2700-2900	220	70
2900-3100	660	250
3100-3300	480	720
3300-3500	1150	650
3500-3700	90	310
Razem	1600	2000

Ćwiczenia /arkusz kalkulacyjny/

1. Dokonaj grupowania przedsiębiorstw według liczby zatrudnionych w nich pracowników wiedząc, że liczba pracowników w poszczególnych przedsiębiorstwach wynosi:

100	125	170	144	144	235	301	100	100	170	144	235	100	301	170	301	125	125	235
125	125	100	144	301	144	144	170	144	144	144

Rozstrzygnij, czy w tej sytuacji lepsza będzie cecha mierzalna skokowa czy mierzalna ciągła. Sporządź szereg rozdzielczy i wypełnij go. Przedstaw graficznie informacje zawarte w szeregu.

2. Na podstawie informacji o wieku słuchaczy II roku WSM w Poznaniu przeprowadź grupowanie statystyczne wg kryterium „wiek” (w latach ukończonych). Ustal liczebność każdej grupy wiekowej i sporządź szereg rozdzielczy z przedziałami o rozpiętości dwa lata dla każdego przedziału, jeżeli dane dotyczące wieku słuchaczy są następujące:

26	18	30	20	23	25	19	28	20	24	18	28	21	26	25	23	21	26	20	28	25	21	26	20
19	29	20	22	23	18	19	31	23	28	25	19	21	26	26	20	25	26	20	21	26	21	20	21
26	30	21	21	20	29	28	20	21	19	20	22	21	26	19	31	25	26	26	25	20	21	26	30
28	26	30	22	28	25	23	21	20	26	20	21	26	20	21	20	21	29	21

Przedstaw graficznie informacje zawarte w szeregu.

3. Przedstaw graficznie informacje zawarte w szeregach.

a) przedstawionych w Tablicy 3

b) Tablica 4

Ludność w milionach w latach: 1980, 1990, 2000, 2002

Wyszczególnienie	1980	1990	2000	2002
Afryka	467	620	794	832
Ameryka Północna i Środkowa	374	428	487	498
Ameryka Południowa	242	295	346	357
Azja	2631	3164	3672	3768
Europa	693	722	727	725
Oceania	23	26	31	31
Razem	4430	5255	6057	6211

Źródło: Mały Rocznik Statystyczny Polski 2003 s. 506 tabl. 13 (305)

Analiza tendencji centralnej

Analiza badanych zbiorowości statystycznych z określonego punktu widzenia na

podstawie cech mierzalnych wymaga ustalenia dla tych zbiorowości przeciętnego poziomu wartości. Badane zbiorowości charakteryzują się zwykle pewną tendencją centralną, co oznacza, że wartości cechy, które są bliższe przeciętnemu poziomowi wartości cechy, występują z większą częstotliwością.

Przeciętny poziom wartości cechy obliczamy za pomocą specjalnych miar statystycznych – średnich.

Średnia jest miarą odzwierciedlającą przeciętny poziom cechy mierzalnej jednostek zbiorowości statystycznej, charakteryzuje centralnie położona wartość, dookoła, której skupiają się jednostki zbiorowości.

Średnie dzieli się na dwie zasadnicze grupy:

1. średnie klasyczne – przy ich wyliczaniu uwzględniamy wszystkie wartości szeregu statystycznego ( średnia arytmetyczna, harmoniczna, geometryczna)

2. średnie pozycyjne – będące wartościami konkretnych wyrazów szeregu statystycznego, wyrazów wyróżniających się pod jakimś względem ( mediana – wartość środkowa, dominanta – wartość dominująca).

1.1 Pojecie średniej arytmetycznej

Średnia arytmetyczna jest to iloraz ogólnej wartości zmiennej i ogólnej liczby jednostek badanej zbiorowości.

Średnia jest więc taka wartością cechy, jaka miały by wszystkie jednostki przy ustalonej sumie cechy, gdyby nie występowała zmienność. Oznacza to, że gdyby każda z jednostek przyjmowała jednakowa wartość, to ta wartość byłaby równa średniej
arytmetycznej.

1.2 Średnia arytmetyczna prosta

Przed przystąpieniem do obliczeń należy przyjąć następujące założenia:

X_i - wartość cechy dla i-tej jednostki zbiorowości

N – liczba spostrzeżeń

X – średnia arytmetyczna

Zgodnie z definicją średniej arytmetycznej otrzymujemy następujący wzór:

x =
Przykład 1

Oblicz przeciętny wiek 5 wybranych osób.
Wiek osób w latach: 18, 32. 40, 24, 26

x = ( 18+32+40+24+26): 5 =28

Przeciętny wiek w badanej zbiorowości wynosi 28 lat.

3. Średnia arytmetyczna ważona i sposoby jej obliczania

Jeżeli informacje dotyczące wartości cech nie są podane w formie szeregu z indywidualnymi wartościami cechy, lecz w formie szeregu rozdzielczego rozdzielczego o różnej liczebności poszczególnych klas wówczas obliczanie średniej arytmetycznej prostej dałoby wyniki błędne, gdyż różne wartości cechy występują w zbiorowości z różną częstotliwością i ich wpływ na średnią nie jest jednakowy. W takich sytuacjach obliczamy się średnią arytmetyczną ważoną.

Jeżeli informacje podano w formie szeregu rozdzielczego punktowego średnią obliczamy wg wzoru:

x =

Przykład 2

Na podstawie poniższych danych oblicz przeciętny wiek uczniów.

Uczniowie wg wieku w TCE Tarnów w IX br.

Wiek w latach( x)	Liczba uczniów(n)	Wiek ogółem (xn)
16	275	4400
17	180	3060
18	98	1764
19	33	627
20	21	420
Razem	607	10271

Źródło: dane umowne

X =
Przeciętny wiek uczniów wynosi 16.9 lat.
Jeżeli informacje podano w formie szeregu rozdzielczego klasowego wówczas średnią arytmetyczna liczymy wg wzoru

X =

Przykład 3

Na podstawie poniższych danych oblicz średnie wynagrodzenie

Wynagrodzenie pracowników „OLA” sp. z o.o. w X br.

Wynagrodzenie w zł (x)	Liczba pracowników (n)	Środek przedziału (x )	Wynagrodzenie ogółem (x n)
1500 – 1800	385	1650	635250
1800 - 2100	250	1950	487500
2100 – 2400	480	2250	1080000
2400 – 2700	135	2550	344250
Razem	1250	X	2547000

Źródło: dane umowne

X = 2037,6 zł.

Przeciętne wynagrodzenie w badanej zbiorowości wynosiło 2037,6 zł.

3. Cechy średniej arytmetycznej

Średnia arytmetyczna, ze względu na logiczną i prostą konstrukcję jest najczęściej stosowaną średnią klasyczną.
Odznacza się ona wieloma własnościami:

• Średnia arytmetyczna jest wielkością mianowaną, tzn. wyrażana jest w konkretnych jednostkach miary np. w zł, mb, kg , latach

• Średnia arytmetyczna dla danej zbiorowości nie może być wielkością mniejszą od najmniejszej wartości a większą od największej wartości.
  Rozpatrując przykład 1 średni wiek 28 lat jest mniejszy od 40 lat ale większy od 18 lat.

• Suma wartości cechy jest równa średniej arytmetycznej pomnożonej przez liczebność.

Z przykładu 1 wynika :

18+32+40+24+26 =140
28 *5 = 140

• Suma odchyleń od średniej arytmetycznej wyrazów szeregu równa się zero.
  Z przykładu 1

(18 -28) +(32-28)+(40-28)+(24-28)+(26-28)=0

Przykład 4

Średnia płaca w 4 osobowej rodzinie wynosi 1350 zł. Rodzice otrzymują wynagrodzenie w wysokości 1720zł, 1480zł. Syn otrzymuje 1280zł. Jakie wynagrodzenie otrzymuje córka?

Cała rodzina zarabia 1350 * 4 = 5400

Córka otrzymuje wynagrodzenie: 5400 -1720 -1480 -1280 = 920

3. Ćwiczenia

Ćw.1

Wydatki na zakup prasy wybranych rodzin w miastach i na wsi województwa małopolskiego w bm. przedstawiono w poniższej tabeli.

Oblicz przeciętne wydatki na zakup prasy w mieście i na wsi.

Wydatki na zakup prasy w bm. w województwie małopolskim.

Wydatki w zł (x)	Liczba rodzin na wsi (n)	Liczba rodzin w mieście (n)	Środek przedziału (x)	Ogółem wydatki ludności wiejskiej (x*n)	Ogółem wydatki ludności miejskiej (x*n)
0 -10	1260	1430
10 -20	1400	1790
20-30	1610	1800
30 - 40	1300	2500
40-50	770	1400
Razem

Źródło: dane umowne

Średnie wydatki na zakup prasy poniesione przez ludność zamieszkałą w mieście wynoszą:

x = 25,73zł.

Średnie wydatki na zakup prasy przez ludność zamieszkałą na wsi wynoszą:

X = 23,30zł.

Ćw. 2

Hurtownia posiada następujące pomieszczenia:

Powierzchnia składowania w m^2	Liczba pomieszczeń
20	12
25	8
30	10

Źródło: dane umowne

Oblicz przeciętna powierzchnię składowania.

Ćw 3. Kapitał udziałowy w sp. z o.o w Tarnowie przedstawiał się następująco:

Kapitał udziałowy w tys. zł	Liczba spółek
50 – 60	20
60 - 70	35
70 - 80	15
80 - 90	8

Źródło: dane umowne

Obliczyć średni kapitał udziałowy.

2.1 Pojęcie i zastosowanie dominanty.

Dominanta – wartość modalna – moda.

Dominanta (Dx) jest to wartość cechy, która występuje najliczniej, najczęściej w badanej zbiorowości. Jest to wartość typowa dla danej zbiorowości.
Obliczanie wartości modalnej jest przydatne w badaniach dotyczących rynku, np. najbardziej poszukiwany towar, rozmiar, kolor.

2.2 Sposoby obliczania dominanty

Obliczanie dominanty w szeregach szeregach z indywidualnymi wartościami oraz szeregach rozdzielczych punktowych jest bardzo proste, dominantą jest ta wartość cechy, którą przyjmuje największa liczba jednostek.

Wiek uczniów klasie IV Liceum Ekonomicznego:
18. 18 .18. 19. 18, 18, `18, 18 ,19 .18. 18. 18, 18 , 20, 18, 18 19 18 18 18

Dominata Dx wynosi 18 lat, na 20 osób - 16 miało 18 lat.

Wiek uczniów IV klasy LE

Wiek w latach	Liczba ucznów
18 (Dx)	16
19	3
20	1
Razem	20

Dominujący wiek w badanej grupie wynosi 18 lat

Wyznaczanie dominanty w szeregach statystycznych klasowych jest nieco trudniejsze. Szereg powinien mieć równe przedziały klasowe.

Na wstępie znajdujemy przedział w którym mieści się dominanta, jest to klasa o największej liczbie obserwacji. Wartość dominanty wyznaczamy w sposób przybliżony wg wzoru:

dolna granica klasy dominanty

l – przedział klasowy

liczebność klasy najliczniejszej

- liczebność klasy poprzedzającej klasę najliczniejszą

- liczebność klasy następującej po najliczniejszej klasie

Wyznaczanie wartości dominanty jest możliwe tylko wtedy, gdy rozpiętość przedziałów klasowych jest jednakowa.

Przykład 1

Na podstawie poniższych danych obliczyć dominujące wydatki na zakup prasy.

Wydatki na zakup prasy w bm. wybranych rodzin w województwie małopolskim.

Wydatki w zł	Liczba rodzin na wsi	Liczba rodzin w mieście
0 – 10	1260	1430
10 -20	1400	1790
20 -30	1610 Dx	1800
30 -40	1300	2500Dx
40 -50	770	1400
Razem	6340	8920

Źródło: dane umowne

Wyznaczamy przedział dominanty:

• dla rodzin mieszkających na wsi dominanta znajduje się w przedziale wydatków 20 -30 ( najwięcej rodzin)

• dla rodzin mieszkających w mieście dominanta znajduje się w przedziale wydatków 30 -40 zł

Obliczamy dominujące wydatki na zakup prasy przez ludność wiejską podstawiając do wzoru;

= 24.04

Wśród rodzin wiejskich dominuje wydatek na zakup prasy w wysokości 24,04 zł.

Obliczamy dominujące wydatki wśród rodzin miejskich:

Rodziny mieszkające w mieście najczęściej wydają na zakup prasy 33,89 zł

2.3 Graficzne wyznaczanie dominanty

Dane statystyczne przedstawiamy w formie histogramu( słupki przylegające do siebie w układzie współrzędnych).Wyznaczanie dominanty polega na wykreśleniu z górnej podstawy prostokąta odzwierciedlającego przedział dominanty dwóch przekątnych łączących wierzchołki tego prostokąta z przylegającymi wierzchołkami górnych podstaw sąsiednich prostokątów. Rzut punktu przecięcia tych przekątnych na oś odciętych umożliwia odczytanie wartości modalnej.




Wyznaczam dominantę na podstawie danych liczbowych z przykładu 1

Źródło: opracowanie własne na podstawie danych umownych

Źródło: opracowanie własne na podstawie danych umownych

2.4 Ćwiczenia
Ćwiczenie 1

Podczas kolejnych sesji giełdowych kurs akcji „M” kształtował się następująco:

86, 89,45, 86,86,86,86,86,56,67,86,56,98,32,86,86, 86, 86, 86,87,86,78

wskaż dominantę.

Odpowiedź: 86 zł

Ćwiczenie 2
Na podstawie poniższych danych oblicz dominujące dochody.

Dochody pracowników „KOKO” sp. z o.o. za bm.

Dochody w zł	Liczba pracowników
900 -1000	23
1000- 1400	33
1400 -1600	12
1600 -1800	5

Źródło: dane umowne

Odpowiedź:
Z powyższych danych nie można obliczy dominanty, ponieważ rozpiętości przedziałów klasowych są różne.

Ćwiczenie 3
Obliczyć dominantę oraz wyznaczyć graficznie.

Wynagrodzenie pracowników „NANA” sp. z o.o. za bm.

Wynagrodzenie w zł	Liczba pracowników
800 -1000	12
1000 – 1200	30
1200 - 1400	80
1400 – 1600	20

Źródło: dane umowne

Odpowiedź: Dominujące wynagrodzenie wynosi 1290,91 zł.

3 Mediana (Mx)

1. Istota mediany
   
   

Mediana( wartość środkowa) jest to wartość tego wyrazu w szeregu uporządkowanym, powyżej którego i poniżej którego znajduje się jednakowa liczba obserwacji.

Szereg uporządkowany – szereg w którym wartości cechy mierzalnej są ułożone kolejno od wartości najmniejszej do największej lub odwrotnie

2. Sposoby obliczania i interpretacji mediany
   
   

Sposób obliczania mediany zależy od tego czy:

• Rozpatrywana zbiorowość składa się z parzystej czy teź nieparzystej liczby obserwacji

• Wartości zmiennej podano w formie indywidualnych wartości czy też ujęto w szeregu rozdzielczym klasowym

3.2.1 Mediana w szeregach z indywidualnymi wartościami:

1. o nieparzystej liczbie obserwacji

Medianą jest wartość wyrazu, którego numer kolejny jest połową liczby wyrazów szeregu powiększonej o 1, co można oznaczyć

Przykład 1

Wiek słuchaczy SP w latach:

23, 34,32,19,20

Aby wyznaczyć medianę należy szereg uporządkować czyli: 19.20,23, 32,34
Mediana wynosi 23 lata, trzeci ( ) słuchacz mający 23 lata dzieli zbiorowość na 2 części, przed nim jest dwie i za nim jest dwie osoby.

b) o parzystej liczbie obserwacji

Medianą jest średnia arytmetyczna dwóch wyrazów środkowych, oznaczając to symbolami otrzymujemy:

Przykład 2

Wiek słuchaczy:
19. 20, 23, 32, 34, 38

x


Mediana wynosi ( 23+32):2 = 27,5 lat
50% badanych słuchaczy miało mniej niż 27,5 lat a 50% miało więcej niż 27,5 lat

3.2.2 Mediana z szeregów rozdzielczych klasowych

Obliczanie mediany z szeregów rozdzielczych przedziałowych polega na:

• ustaleniu numeru kolejnego obserwacji, której wartość jest medianą

• ustaleniu klasy, w której znajduje się mediana

• obliczeniu wartości wg wzoru

- dolna granica klasy mediany

l – rozpiętość klasy mediany

- liczebność klasy mediany

n – ogólna liczba obserwacji

- skumulowana liczebność w klasach poprzedzających klasę mediany

Przykład3

Obliczyć i podać interpretację mediany.

Wydatki wybranych rodzin województwa małopolskiego małopolskiego bm. na zakup prasy,

Wydatki w zł	Liczba rodzin na wsi	Liczba rodzin w mieście	Skumulowana liczba rodzin wiejskich	Skumulowana liczba rodzin miejskich
0 -10	1260	1430	1260	1430
10 -20	1400	1790	2660	3220
20-30	1610	1800	4270	5020
30 -40	1300	2500	5570	7520
40 -50	770	1400	6340	8920
razem	6340	8920	x	x

a) obliczamy medianę wydatków ponoszonych przez rodziny zamieszkałe na wsi

• ustalamy numer kolejny obserwacji, której wartość jest medianą

3170 rodzina ponosi wydatki, które są medianą

• ustalenie klasy mediany

Mając numer wyrazu, którego wartość jest medianą odnajdujemy klasę, w której znajduje się ten wyraz. W tym celu budujemy szereg kumulacyjny. Poszczególne wyrazy tego szeregu kumulują(sumują) liczbę wyrazów(obserwacji) z klas poprzednich z liczba obserwacji klasy badanej np. wydatki od 0 -20 zł ponosi 1260+1400=2660 rodzin wiejskich, wydatki 0 -30 ponosi 2660+1610=4270 itd.
Mediana jest wartością 3170 wyrazu, znajduje się więc w klasie 20 -30zł. Jest tak, gdyż poprzednia klasa zawiera 2660 obserwacji a liczba obserwacji, w której znajduje się mediana, łącznie z liczba wyrazów w klasie poprzedniej wynosi już 4270 tzn. ze 3170 mieści się w tej klasie

• obliczanie wartości mediany

= 23,18 zł

50% rodzin mieszkających na wsi wydawało na zakup prasy w bm. mniej a 50% więcej niż 23,18 zł

3. Graficzne wyznaczanie mediany

W układzie prostokątnym wykreślamy skumulowany histogram( lub diagram).na osi rzędnych(Y) znajdujemy wartość numeru mediany( n:2) i przez ten punkt prowadzimy prostą równoległą do osi odciętych(X). Pierwszy prostokąt skumulowanego histogramu, który jest przecięty przez tę prostą to przedział mediany. W prostokącie tym rysujemy przekątną łączącą prawy górny wierzchołek tego prostokąta z prawym górnym wierzchołkiem prostokąta poprzedniego. Prosta równoległa do osi X przecina wyznaczoną przekątną. Rzutując otrzymany punkt na os odciętych, odczytujemy wartość mediany.

Przykład 4

Przedstawię teraz graficzne wyznaczanie mediany na podstawie liczbowych założeń z przykładu 3

Żrodło: opracowanie własne na podstawie danych umownych

4. Ćwiczenia

a) Obliczyć medianę wydatków ponoszonych przez rodziny zamieszkałe w mieście

• numer kolejny, który jest medianą

odpowiedź – 4460

• ustalenie klasy mediany

odpowiedź 20 -30

• mediana

odpowiedź; 26,89zł

b) wyznaczyć medianę graficznie

Źródłoopracowanie własne na podstawie danych umownych

Podsumowanie

Średnie: arytmetyczna, mediana, dominanta nie zastępują się wzajemnie, gdyż każda z nich odpowiada na inne pytania, uzupełniają się natomiast dając łącznie wyraźniejszą charakterystykę zbiorowości.

Średnia arytmetyczna tym lepiej odzwierciedla badaną zbiorowość pod względem oceny przeciętnego poziomu cechy, im bardziej symetryczny jest rozkład cechy. Jeżeli występuje asymetria to stosuje się średnie pozycyjne, które w przeciwieństwie do średniej arytmetycznej można wyznaczyć nie rozpatrując całego szeregu statystycznego, lecz jedynie określoną jego część.

Stosowanie średnich pozycyjnych jako miar uzupełniających dla średniej arytmetycznej daje szersze informacje o rozkładzie badanej zbiorowości.

Pomiędzy miarami tendencji centralnej mogą występować relacje:

• wszystkie miary tendencji centralnej mają taką samą wartość: ,co oznacza, że liczba jednostek, która posiada wartości cechy wyższe niż średnia arytmetyczna jest taka sama jak liczba jednostek, która posiada wartości cechy niższe niż średnia arytmetyczna. Taki rozkład wartości cechy w zbiorowości statystycznej określamy mianem rozkładu symetrycznego

• wartość średniej jest większa niż wartość mediany i wartość mediany jest większa od wartości dominanty, tj. , co oznacza, że wartość cechy większości jednostek statystycznych jest niższa od średniej statystycznej.

Taki rozkład wartości cechy w zbiorowości statystycznej określamy mianem rozkładu o asymetrii prawostronnej.

• wartość średniej jest mniejsza niż wartość mediany i wartość mediany jest mniejsza od wartości dominanty, tj. , co oznacza, że wartość cechy większości jednostek statystycznych jest wyższa od średniej statystycznej.

Taki rozkład wartości cechy w zbiorowości statystycznej określamy mianem rozkładu o asymetrii lewostronnej

Incest Bank zamieścił informacje o polityce kredytowej za i półrocze br.dane dotyczące kredytów udzielonych( podaż) oraz dane dotyczące kredytów w jakie występowali klienci (popyt) przedstawiono w poniższej tabeli:

Wysokość kredytu w tyś. zł	Liczba wniosków	Liczba kredytów udzielonych
0-10	1360	1520
10-20	1380	178
20-30	1530	1040
30-40	680	630
40-50	450	370
50-60	230	180
60-70	120	100
70-80	100	80
80-90	100	60
90-100	50	40

• Źródło: dane umowne
  
  

• Na podstawie powyższych danych oceń politykę kredytową banku.
  Oblicz i podaj interpretację:

- średniej arytmetycznej dla popytu i podaży

- dominanty dla popytu i podaży

- mediany dla popytu i podaży

Wyznacz graficznie dominantę i medianę.

Odpowiedzi:

• Srednia arytmetyczna dla popytu - 25,167 tyś. Zł

• Średnia arytmetyczna dla podaży - 22,465 tyś.zł

• Dominanta popytu – 21,5 tyś. Zł.

• Dominanta podaży – 12.6 tyś.zł.

• Mediana popytu - 21,698 tyś.zł

• Mediana podaży – 17,753 tyś.zł.

Zad. kontrolne

Na podstawie informacji o premii pracowników trzech sklepów należących do Spółki Akcyjnej „Edyta” w Kielcach w styczniu 2005 r określ i zinterpretuj asymetrię rozkładów premii wśród pracowników każdego z tych sklepów

Premia w zł (xi0 – xit>	Liczba pracowników
	Sklep I	Sklep II	Sklep III
350 – 400	2	1	3
400 – 450	4	7	4
450 – 500	7	5	4
500 – 550	4	3	6
550 - 600	2	3	2
Razem	19	19	19

22