Matematyka I

Algebra

Wykład IV

16.04.2002

Przekształcenia liniowe.

Definicja:

Odwzorowanie h:EႮF przestrzeni wektorowej E w przestrzeń wektorową F nazywamy odwzorowaniem linowym, jeśli dla dowolnych wektorów x,y჎E i dowolnej liczby ၬ჎R spełnione są warunki:

h(x + y) = h(x) + h(y) - (addytywność)

h(ၬx) = ၬთh(x) - (jednorodność)

Twierdzenie 1.

W przekształceniu liniowym obrazem wektora zerowego 0 jest wektor 0.

Twierdzenie 2.

Obrazem podprzestrzeni w przekształceniu liniowym jest podprzestrzeń.

Twierdzenie 3.

Przeciwobrazem podprzestrzeni w przekształceniu liniowym jest podprzestrzeń

Definicja:

Obrazem odwzorowania liniowego h nazywamy podprzestrzeń h(E) i oznaczamy ją:

I_mh = h(E) = {h(x): x჎E}

Definicja:

Jądrem odwzorowania liniowego h nazywamy podprzestrzeń h^-1({0}) przestrzeni E i oznaczamy ją Ker h.

Ker h:= h^-1({0})={x჎ E: h(x)=0}

Definicja:

Rzędem odwzorowania liniowego h nazywamy wymiar jego obrazu i oznaczamy go przez rg h

Rg h:=dim (i_m h)

Przykład 1.

Model „nakłady xi“ = wyniki y
. Gdy f : xႮy jest przekształceniem liniowym. Opisują równania liniowe:

...

Macierz przekształcenia liniowego

Liniowe: H : EႮ F jest określone jednoznacznie przez zadanie wartości na wektorach bazowych przestrzeni E.

Niech a₁, a₂, ...,a_n baza E to:

niech w przestrzeni F będzie dana baza: b₁,b₂,...,b_m wówczas istnieją liczby

Definicja macierzy przekształcenia h:

Macierz
nazywamy macierzą przekształcenia h.

Oznaczenie M(h) :

M(h):= [ၡ_ik]_{m x n}

F : R²ႮR² obrót płaszczyzny wokół środka (0,0) o kąt ၡ to:

Oznaczenie:

L(E,F) - zbiór wszystkich odwzorowań liniowych przestrzeni wektorowej E w przestrzeń wektorową F.

Twierdzenie 4.

Twierdzenie 5.

Definicja:

Jeżeli h჎L(E,F), g჎L(F,G) to iloczynem macierzy M(g) i M(h) nazywamy macierz M(g _Ⴐ h). Iloczyn macierzy M(g) i M(h) oznaczamy M(g)თM(h).

Twierdzenie 6.

Jeżeli h჎L(E,F); g჎L(F,G) i M(g)=[ၡ_ij]_{p x m}; M(h)=[ၢ_ik]_{m x n} to M(g _Ⴐ h)=[ၧ_jk]_{p x n}, gdzie

Przykład 4.

Niech mamy do wyboru n koszyków z m dobrami każdy. Zakupu dokonujemy w dowolnym z p magazynów. Jeśli k -ta kolumna macierzy (ၢ_ik)_{m x n} przedstawia k -ty koszyk dóbr, a j -ty wiersz [ၡ_ji]_{p x m} ceny tych dóbr w j -tym magazynie , to współczynnik ၧ_jk macierzy (ၡ_ji)(ၢ_ik) oznacza wartość k -tego koszyka w j -tym magazynie.

Reprezentacja macierzowa równania liniowego

Mamy równanie h(x)=b; h jest odwzorowaniem liniowym, dimE=n; h:E→F; b∈F. Jeżeli wybierzemy bazy w E,F to wektorom x,b oraz przekształceniu h można przyporządkować macierze:

M(x)=[x₁,x₂,...,x_n]^T=X_nx1

M(b)=[b₁,b₂,...,b_m]^T=b_mx1

M(h)=[a_ij]_mxn=A_mxn

Równaniu liniowemu h(x)=b odpowiada wtedy równanie macierzowe:

lub zapisując Ax=b

Jest to postać macierzowa równania liniowego. Macierz A nazywamy macierzą tego układu.

Definicja.

Rzędem macierzy M(h) nazywamy rząd przekształcenia liniowego h. Czyli: rgM(h)=rgh.

Zauważmy, że równanie:

jest równoważne układowi równań:

Układ równań liniowych Ax=b ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy wektor b jest kombinacją liniową wektorów - kolumn macierzy A.

wówczas:

span {a₁, a₂, ..., a_n} = span{a₁, a₂, ..., a_n,b} lub inaczej : rgA = rgA_u

Twierdzenie Kroneckera - Capellego:

Układ równań liniowych ma co najmniej jedno rozwiązanie WTW rząd macierzy tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej

RgA = rg A_u

Definicja

Jeżeli h^-1 jest przekształceniem odwrotnym do odwzorowania liniowego h, to macierz M(h^-1) nazywamy macierzą odwrotną do macierzy M(h).

Definicja

Gdy detA ≠0, m=n dla układu Ax = b to nazywamy ten układ układem Cramera.

Twierdzenie Cramera:

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem:

Gdzie macierz A_k powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny wektorem [b₁, b₂, ..., b_m]^T

Uwaga 1.

Gdy n = m i detA = 0 oraz istnieje takie k, że detA_k ≠0 to układ równań jest sprzeczny. Jeżeli dla każdego k detA=detA_k=0 to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub nie ma ich wcale. Nieskończenie wiele rozwiązań to cała prosta przechodząca prze początek układu, jakaś płaszczyzna przechodząca prze początek układu, lub jakaś przestrzeń trójwymiarowa przechodząca przez początek układu

Przykład 1

Rozwiązać układ równań:

w = detA, w_k=detA_k

czyli: x₁= -1,x₂=0, x₃=1

Rozwiązanie układu Cramera można również wyznaczyć z przekształcenia równania macierzowego Ax = b, wówczas x = A^-1b

Przykład 2

Macierz:

czyli x₁=-1, x₂=0, x₃=1.

Przykład 3 (do twierdzenia Kroneckera-Capellego)

Rozwiązać układ równań:

rgA = rgA_u=2 to układ nie jest sprzeczny

stąd układ :

- parametr

Układ jest równoważny układowi *

czyli x₁=p ; x₂=4-5p ; x₃=-3+4p ; p∈R

Ma nieskończenie wiele rozwiązań np. p=1, x₁=1, x₂=-1, x₃=1.

Jeśli m≥n i rgA=n to układ jednorodny:

Ma tylko rozwiązanie zerowe gdy m = n. Gdy m >n to część z tych równań jesz rzędowo zależne. Gdy rgA < n to układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe.

Przykład 4

Rozwiązać układ równań:

rgA = 2 to istnieje rozwiązanie niezerowe

jest równoważny układowi #.

Stąd rozwiązanie ogólne układu # ma postać: x₁=p ; x₂=-5p ; x₃=4p ; p∈R.

Macierz przejścia

Niech w przestrzeni liniowej są dane dwie bazy: {a₁, a₂, ..., a_n}, {b₁, b₂, ..., b_n} wówczas :

Macierz:
nazywamy macierzą przejścia od bazy: {a₁, a₂, ..., a_n} do {b₁, b₂, ..., b_n}. Oczywiście detP_ab≠0.

czyli :
to z liniowej niezależności wektorów a_k mamy:

oznaczamy x_a, x_b jako macierze jednokolumnowe utworzone ze współrzędnych x w odpowiednich bazach:

x_a=P_abx_b

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

a₁

a₂

a₃

---