Rzuty w polu grawitacyjnym

Ruch ciał w polu grawitacyjnym odbywa się pod wpływem centralnej siły grawitacyjnej. Moment siły centralnej jest zawsze równy zero, ponieważ ramię siły i siła są skierowane w tym samym kierunku. Brak momentu siły oznacza stały w czasie wektor momentu pędu. Ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu. Jest to ruch, co najwyżej dwuwymiarowy! Do jego opisu wystarczy układ dwuwymiarowy.

Oznacza to, iż zawsze jesteśmy w stanie tak dobrać osie układu (XOY), aby tor po jakim porusza się ciało zawierał się w jednej ściśle określonej płaszczyźnie.

Ruch ciał w polu grawitacyjnym zależy wyłącznie od przyspieszenia grawitacyjnego oraz warunków początkowych tzn. miejsca wyrzutu ciała i prędkości początkowej, jaką nadano ciału. Czynnik związany z wyrzutem nadający ciału pewną prędkość początkową znika w momencie rozpoczęcia ruchu. Od tej chwili jedyną siłą działającą na poruszające się ciało jest stała w czasie siła grawitacyjna. Zgodnie z II zasadą dynamiki stała w czasie siła działająca na ciało zapewnia ruch ze stałym przyspieszeniem. Wszystkie rodzaje rzutów odbywają się w warunkach stałego co do wartości i kierunku przyspieszenia skierowanego pionowo do dołu.

Do śledzenia ciała podczas rzutu wykorzystuje się wektor położenia. Jest on zaczepiony w początku układu współrzędnych a jego koniec wskazuje gdzie w danej chwili znajduje się ciało. Przyjmując oś Y jako równoległą do kierunku wektora przyspieszenia i skierowaną przeciwnie do stałego czasie przyspieszenia grawitacyjnego g:

,

można określić prędkość ciała v(t) w dowolnej chwili czasu

,

oraz położenie ciała r(t):

wartości v_{ox ,} v_{oy , ­}r_{ox, ,} r_{oy ,} są stałymi obrazującymi warunki początkowe (brzegowe):

miejsce wyrzutu
, oraz

prędkość początkową
.

Zaletą takiego opisu rzutów w polu grawitacyjnym jest uniwersalność wzorów opisujących położenie i prędkość ciała.

Każdy rodzaj rzutu: poziomy, pionowy czy ukośny opisujemy dokładnie takim samym „szablonem”. To co jest odmienne to warunki brzegowe, które ustalamy indywidualnie dla każdego rzutu.

Rzut poziomy

W rzucie poziomym prędkość początkowa jest skierowana prostopadle do kierunku przyspieszenia. Miejsce wyrzutu jest dowolne (np. wyrzucamy ciało z pewnej wysokości H). Ustalmy warunki brzegowe dla takiego rzutu.

miejsce wyrzutu

prędkość początkowa

Po wstawieniu do „szablonów” na położenie i prędkość otrzymamy:

Ponieważ:

stąd:

Eliminując z układu równań czas (wyznaczamy t z pierwszego równania i wstawiamy do drugiego) otrzymamy równanie toru dla rzutu ukośnego:

Tor:
(parabola)

Rzut ukośny

W tym rzucie prędkość początkowa nie jest skierowana ani równolegle ani prostopadle do kierunku przyspieszenia. Miejsce wyrzutu jest dowolne (np. wyrzucamy ciało z początku układu współrzędnych). Ustalmy warunki brzegowe dla takiego rzutu.

miejsce wyrzutu

prędkość początkowa

Po wstawieniu do „szablonów” na położenie i prędkość otrzymamy:

Ponieważ:

stąd:

Eliminując z układu równań czas (wyznaczamy t z pierwszego równania i wstawiamy do drugiego) otrzymamy równanie toru dla rzutu ukośnego:

Tor:
(parabola)

Rzut pionowy

W tym rzucie prędkość początkowa jest skierowana równolegle do kierunku przyspieszenia. Miejsce wyrzutu jest dowolne (np. wyrzucamy ciało z początku układu współrzędnych do góry z prędkością początkową V_o). Ustalmy warunki brzegowe dla takiego rzutu.

miejsce wyrzutu

prędkość początkowa

Po wstawieniu do „szablonów” na położenie i prędkość otrzymamy:

Jest to ruch jednowymiarowy, stąd można zapisać go skalarnie:

Gdyby ciało zostało wyrzucone z wysokości H pionowo w dół z prędkością początkową v_o , wówczas warunki brzegowe dla takiego rzutu:

miejsce wyrzutu

prędkość początkową
.

Po wstawieniu do „szablonów” na położenie i prędkość otrzymamy:

Dysponując wektorem położenia oraz wektorem prędkości w dowolnej chwili czasu jesteśmy w stanie jednoznacznie zlokalizować ciało, określić jego prędkość, oraz wyznaczyć parametry charakteryzujące rzuty.

y

r(t)

x

g

r_o(t)

v_o

v_ox

v_oy

α

r_ox(t)

r_oy(t)

v(t)

---