1. Teoria zagadnienia.

Rozkład normalny odzwierciedla sposób w jaki rozkładają się rezultaty wielokrotnego i niezależnego powtarzania doświadczenia dając możliwość wyznaczenia najbardziej zbliżonego wyniku do wartości rzeczywistej i najlepsze oszacowanie błędu tego wyniku.

Rozkład normalny ma zastosowanie jedynie do doświadczeń, w których:

1. prawdopodobieństwo uzyskana określonej wartość wyniku jest tym większe im wynik ten jest bliższy wartości średniej arytmetycznej wszystkich wyników;

2. prawdopodobieństwo uzyskania wyniku zawyżonego w stosunku do wartości rzeczywistej jest równe prawdopodobieństwu uzyskania wyniku zaniżonego.

Reprezentację rozkładu normalnego o charakterze dyskretnym otrzymujemy poprzez podzielenie zakresu pomiarowego na przedziały P o niewielkiej szerokości
Δx i przyporządkowanie każdemu P ilości n pomiarów z serii, które mieszczą się w jego zakresie.

Prowadzone doświadczenie bezpośredniego pomiaru oporu przeszło 200 oporników o zbliżonej rezystancji będzie miało za cel otrzymanie eksperymentalnego rozkładu Gaussa, a na jego podstawie wyznaczenie odpowiedniego rozkładu ciągłego i obliczenie parametrów

i
tego rozkładu.

W celu ułatwienia otrzymania docelowej krzywej rozkładu ciągłego skorzystamy z zależności Simpsona wiążącej trzy kolejne punkty pomiarowe należące do krzywej:

(1)
.

Wartością najbardziej zbliżoną do rzeczywistej jest wartość średnia, która dla wyników
całej serii n pomiarów jest równa:

(2)
.

Na ciągłym wykresie rozkładu wartość średnia to wartość pomiaru dla najwyżej położonego punktu. (patrz rys.1)

Za najlepiej wyznaczony błąd pomiarowy dla danej serii pomiarowej uchodzi średni błąd kwadratowy czyli odchylenie standardowe δ określające rozmycie rozkładu wokół
i wyraża się jako:

(3)
.

Na ciągłym wykresie rozkładu odchylenie standardowe wyznacza położenie punktów przegięć krzywej rozkładu ciągłego. (patrz wykres 1)

Reprezentacja ciągła rozkładu to funkcja w postaci:

(4)
.

Przyjmując, że
to wtedy wartość
odpowiada prawdopodobieństwu, że dowolny wynik z serii znajdzie się w przedziale
. Przedział
zwany jest przedziałem ufności, który uznaje się za optymalny dla
ponieważ w
krzywa rozkładu jest wypukła i wtedy
.

2. Opis układu pomiarowego.

W skład zestawu pomiarowego wchodzą:

1. omomierz cyfrowy;

2. rezystory fabryczne o jednakowej podanej na obudowie wartości rezystancji. Każdy z oporów podłączony jest do osobnego gniazdka pomiarowego;

3. krótkie przewody połączeniowe.

3. Przeprowadzenie eksperymentu.

Założenie:

Dokonano pomiaru n=208 oporów i pogrupowano je w przedziały P_j o szerokości
. Rezultaty przedstawia poniższa tabela:

Tabela 1: Tabela pomiarów

Indeks (j)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Przedział Pj	<155Ω;155,5Ω)	<155,5Ω;156Ω)	<156Ω;156,5Ω)	<156,5Ω;157Ω)	<157Ω;157,5Ω)	<157,5Ω;158Ω)	<158Ω;158,5Ω)	<158,5Ω;159Ω)	<159Ω;159,5Ω)	<159,5Ω;160Ω)	<160Ω;160,5Ω)	<160,5Ω;161Ω)	<161Ω;161,5Ω)	<161,5Ω;162Ω)	<162Ω;162,5Ω)	<162,5Ω;163Ω)	<163Ω;163,5Ω)	<163,5Ω;164Ω)	<164Ω;164,5Ω)	<164,5Ω;165Ω)	<165Ω;165,5Ω)
Ilość wyników (nj)	1	1	4	5	7	16	28	32	31	24	13	17	6	8	5	4	2	1	0	2	1

4. Opracowanie wyników pomiarów.

Wykres 2 reprezentuje histogram zebranych pomiarów.

W celu wyznaczenia przypuszczalnego biegu krzywej rozkładu przeliczono wg
wzoru (1) wszystkie punkty
(j,n_j) na punkty simpsonowskie
(j,n_j') i naniesiono je na wykres 3. Następnie poprowadzono przypuszczalną krzywą rozkładu normalnego. Aby krzywa była symetryczna konieczne stało się podniesienie jej w przedziałach 9 i 10 kosztem obniżenia w 13, 14, 15, 16. Czynność ta została wymuszona przez niesymetryczny rozrzut wyników.

5. Wyznaczanie parametru
.

5.1. ze wzoru (2).

Założenie:

5.2. z wykresu 3:

Wartość odczytana to ⅓ przedziału 8 czyli:

6. Wyznaczanie parametru σ.

6.1. ze wzoru (3).

Założenie:

6.2. z wykresu 3:

Środek przedziału 5 jako
i środek przedziału 11 jako
.

6.3. poprzez analizę nachylenia wykresu odpowiednio dobranej funkcji liniowej:

Logarytmując funkcję rozkładu ciągłego (4) otrzymujemy:

Niech:

Przyjmując, że krzywa z wykresu 3 to f(x), wówczas sporządzając wykres zależności
od
jesteśmy w stanie odczytać jego nachylenie
. Zatem obliczymy stąd σ.

Założenie: Dla uproszczenia przyjęto:
159,27Ω.

Wyznaczamy wartości funkcji u tylko dla wartości x odpowiadającym środkom przedziałów P. Przebieg i rezultaty operacji reprezentowane są przez wykres 4.

Z wykresu 4 wnioskujemy, że
zatem:

1,49Ω

7. Obliczenie bezwzględnej i względnej ilości rezystorów, które znalazły się w przedziałach:

a)

Zakres ten obejmuje przedziały 6 do 10, zatem
,
.

Zakres wyznaczany przez szerokość tych przedziałów jest zbyt wielki. Gdyby więc przyjąć przedziały 7 do 9 to
a po uśrednieniu:
107,5 ,
(teoret. 50%)

b)

Zakres ten obejmuje przedziały 5 do11, zatem
,
.

Zakres wyznaczany przez szerokość tych przedziałów jest zbyt wielki. Gdyby więc przyjąć przedziały 6 do 10 to
a po uśrednieniu:
144,5 ,
(teoret. 68%)

c)

Zakres ten obejmuje przedziały 2 do14, zatem
,
(teoret. 95%)

d)

Zakres ten obejmuje przedziały (-1) do17, zatem
,
(teoret. 99,7%)

8. WNIOSKI

Otrzymane wartość pomiaru oporu:

Analiza problemu przy użyciu rozkładu normalnego jest utrudniona już od samego początku prowadzenia doświadczenia. Czynność pomiaru oporu ma tę szczególną własność, że sytuacja zwykle stwarza wiele niepowtarzalnych sposobności aby ten pomiar zawyżyć. Mimo wszystko eksperymentatorzy dołożyli wszelkich możliwych starań aby nie dopuścić do zajścia takiej sytuacji choćby raz.

Niesymetryczność histogramu wyraźnie wskazuje na występowanie nieco większej ilości oporów większych aniżeli mniejszych. Zjawisko to może mieć swoje źródło albo po stronie eksperymentatorów co podlega wykluczeniu, albo też jest skutkiem procesu technologicznego w jakim wytwarzane są mierzone opory. Ilość pomiarów wydaje się być wystarczająco duża aby takie właśnie zjawisko nie miało miejsca. (Karty katalogowe kondensatorów elektrolitycznych podają niesymetryczne tolerancje wartości np. 22000μF +10%, -20%). Niemniej jednak z powodu nieznacznej rozbieżności histogramu od ideału udało się po pewnych drobnych poprawkach uzyskać symetryczną krzywą Gaussa.

Wartość średnia wyznaczana zarówno graficznie jak i obliczeniowo różniła się o minimalny rząd wielkości. Nieco większe rozbieżności pojawiły się przy wyznaczaniu odchylenia standardowego, a wynikają one bezpośrednio z niesymetrycznego rozrzutu wyników, który w znacznym stopniu wpływa na „zawyżenie” wartości obliczanego bezpośrednio ze wzoru (3) średniego błędu kwadratowego.

Wyznaczanie ilości rezystorów dla przedziałów ufności nastręczało już pewne trudności wynikające z przyjęcia ogromnych szerokości przedziałów w stosunku do wartości odchylenia standardowego, toteż dla niewielkich przedziałów ufności satysfakcjonujące wyniki uzyskujemy dopiero poprzez uśrednianie ilości z mniejszego i większego zakresu. Dla większych przedziałów wyniki są już akceptowalne.

Reasumując należy powiedzieć, że choć wystąpiły pewne nieoczekiwane niezgodności to z pewnością dało by się je wraz ze wzrostem liczby i dokładności pomiarów skutecznie wyeliminować. Liczba pomiarów n=1000 z szerokością przedziału 0,1Ω była by doskonałym materiałem bardziej szczegółowych aczkolwiek nie mniej żmudnych analiz.

Ćwiczenie 1. Rozkład normalny 06.Janicki Paweł@C04H

Wykres 1: Tak w reprezentacji ciągłej rozkładu normalnego wyznacza się wartość średnią i odchylenie standardowe.

---