XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
SÅ‚awomir BIRUK1
MODELOWANIE PRZEDSI
WZI
Ć BUDOWLANYCH
Z WYKORZYSTANIEM SIECI PETRIEGO
1. Wprowadzenie
Sieci Petriego są efektywnym narzędziem modelowania procesów dyskretnych. Ich pod-
stawową zaletą jest możliwość odwzorowania równoległoś ci, asynchronizmu i hierarchicz-
ności modelowanych systemów. Dzięki tym zaletom sieci Petriego znajdują zastosowanie
przy modelowaniu złożonych systemów dyskretnych, takich jak procesy produkcyjne,
systemy operacyjne, rozproszone bazy danych. Sieci Petriego wykorzystywane były przy
modelowaniu reakcji chemicznych, systemów prawa oraz w telekomunikacji, administracji
i zarządzaniu. Znalazły także zastosowanie do modelowania złożonych procesów budowla-
nych [1, 2, 3, 4, 5].
2. Zasady modelowania przedsięwzięć budowlanych
przy wykorzystaniu sieci Petriego
Obrazem graficznym sieci Petriego (P/T net) jest dwudzielny zorientowany graf [6, 7, 8] z
dwoma typami wierzchołków. Elementy typu p"P nazywane miejscami (ang. places) lub
pozycjami oznaczane są kółkami. Elementy zbioru t"T nazywane tranzycjami (ang. transitions)
lub przejściami, reprezentowane są za pomocą prostokątów lub pogrubionych kresek
pionowych. Relacja przepływu sieci reprezentowana jest graficznie przy pomocy łuków
f "F łączących odpowiednie kółka i prostokąty (rys. 1). Pozycje w modelowaniu procesów
budowlanych mogą być utożsamiane ze stanami systemu np.: koparka wolna, wywrotka
czeka na obsługę, żuraw gotowy do podnoszenia itp. Przejścia odwzorowują zmiany systemu
np.: koparka ładuje, zjazd załadowanej wywrotki, żuraw podnosi element. Pojemność
miejsca p"P reprezentuje napis  x = K ( p )  . W przypadku nieskończonej pojemności
pozycji napis ten może być pominięty. W odwzorowaniu graficznym łuki f"F są
oznaczane przez w ( f ), jeżeli w ( f ) > 1.
Dynamika systemu opisana jest zmiennym w czasie rozkładem znaczników
(oznaczanych czarnymi kółkami), który ulega zmianie podczas wzbudzania tak zwanych
przejść przygotowanych (rys. 2).
1
Dr inż., Politechnika Lubelska
316
p1
p5
p3 t 2 p4
t t
1 3
p2
t
4
Pozycje Przejścia
p1- element oczekuje na transport t1-zaczepienie elementu
p2 - żuraw wolny t2 - transport elementu
p3 - element gotowy do podniesienia t3 - odczepienie elementu
p4 - element przetransportowany t4 - powrót żurawia
p5 - element gotowy do wbudowania
Rys. 1. Sieć Petriego odwzorowująca pracę żurawia [5]
Przejś cie t"T jest przygotowane (moż liwe do wzbudzenia)[6, 7, 8], gdy liczba
znaczników na pozycjach wejś ciowych jest nie mniejsza od odpowiednich wag łuków,
oraz jeż eli po wzbudzeniu przejś cia nie zostaną przekroczone pojemnoś ci miejsc
wyjściowych tego przejś cia (wzbudzenie przejś cia polega na usunięciu odpowiedniej
liczby znaczników na pozycjach wejś ciowych i zwiększeniu liczby znaczników na
pozycjach wyjściowych, o odpowiadają ce im wagi łuków łączą cych przejś cie z tymi
miejscami).
4 4
2 2
2 3 2 3
6 6
5 5
1 1
Rys. 2. Zmiana znakowania sieci po wzbudzeniu przejścia aktywnego
Interpretacja fizyczna warunków wejściowych, w procesach produkcyjnych, polega na
określeniu zasobów niezbędnych do wykonania procesu (wzbudzenie przejścia
przygotowanego). Warunki wyjściowe mogą być interpretowane jako zasoby wytwarzane
przy wzbudzaniu przejścia.
Na rys. 3 przedstawiono podstawowe zasady modelowania zależ ności pomiędzy
procesami przedsięwzięcia budowlanego.
" Wykonanie kolejne procesów (rys. 3a). Tranzycja t2 nie moż e zostać uaktywniona
przed wzbudzeniem tranzycji t1. W ten sposób mogą być odwzorowywane
ograniczenia kolejnoś ciowe pomiędzy procesami, np. nie moż na przystą pić do
układania mieszanki betonowej przed ukończeniem procesu zbrojenia i wykonania
deskowań.
 317
a) b)
t
t
1 2
d)
c)
f)
e)
t
t 2
1
t
t 4 t
2
1
t
3
t
3
t
4
g)
Rys. 3. Podstawowe metody modelowania zależ ności pomiędzy procesami:
a) wykonanie kolejne, b) i c) konflikt, d) konfuzja, e) węzeł typu receptor  albo ,
f) współbieżność procesów, g) łączenie procesów
" Konflikt (rys. 3b i c). Zdarzenia pozostajÄ… ze sobÄ… w konflikcie, gdy tranzycje aktywne
mają wspólne warunki wejściowe lub wyjściowe, a więc wykluczają się wzajemnie. Ma
to miejsce, gdy np. dwa jednocześnie realizowane procesy wymagają tego samego
zasobu odnawialnego. Rozwiązanie konfliktu wymaga ustalenia reguły rozstrzygania
sytuacji konfliktowej.
" Konfuzja (rys. 3d). Z taką sytuację mamy do czynienia w przypadku współistnienia
konfliktu i współbieżności procesów. Pomimo, że tranzycje mają wspólne warunki
wejściowe nie ma między nimi sytuacji konfliktowej bowiem tylko jedna z nich jest
prawomocna.
" Przejście t4 staje się prawomocne jeżeli została wzbudzona jedna z tranzycji t1, t2 lub t3
(rys. 3e). Jest to sytuacja analogiczna z węzłem typu receptor  albo uogólnionej sieci
stochastycznej.
" Współbieżność (rys. 3f). Procesy t2, t3 i t4 mogą być wykonywane równolegle po
wykonaniu procesu t1.
318
" A
ączenie procesów (rys. 3g). Proces nie moż e rozpocząć się dopóki nie pojawi się
znacznik na wolnym miejscu. Jest to typowa sytuacja odzwierciedlajÄ… ca
ograniczenia technologiczne pomiędzy poszczególnymi procesami (np. nie moż na
rozpocząć procesu tynkowania bez ukończenia ś cianek działowych i instalacji
elektrycznych).
Efektywnym sposobem analizy sieci Petriego jest metoda symulacji, należ y jednak
zauważ yć, że przeprowadzone eksperymenty symulacyjne nie zawsze dostarczają dowodu o
tym, że system funkcjonuje poprawnie. Formalne metody badania własności sieci Petriego
zostały omówione na przykład w [7, 8].
3. Modyfikacje sieci Petriego złożonych z miejsc i przejść (P/T nets)
Do klasycznych sieci złożonych z miejsc i przejść (P/T nets) wprowadzone zostały
dodatkowe elementy mające na celu rozszerzenie zdolności modelowania systemów. Są to:
" Czasowe sieci Petriego
Wykorzystanie sieci Petriego do analiz ilościowych wymaga rozszerzenia modelu
sieciowego o czynnik czasu. Uporzą dkowanie w czasie zdarzeń modelowanego
systemu moż na uzyskać definiują c funkcję: Z:TR+ , która przyporzą dkowuje
każ demu miejscu czas zatrzymania znacznika zi=Z(ti) ( znacznik docierają cy na
jakieś miejsce jest dostępny dla tranzycji dopiero po pewnym czasie zwłoki)
[7, 9]. Czas moż e być zwią zany z przejś ciami lub z miejscami. Moż liwa jest
zamiana sieci z czasem skojarzonym z miejscami w model z czasem skojarzonym
z przejściami. Czas opóz
nienia dotarcia znacznika na pozycję wyjś ciową moż e
mieć charakter deterministyczny lub być opisany dowolnym rozkładem prawdo-
podobieństwa.
" A
uki wzbraniajÄ…ce (hamujÄ…ce)
Wprowadzenie łuków wzbraniających (ang. inhibitor arcs) ma celu umożliwienie
sterowania przejściami sieci w zależności od oznakowania jej pozycji [7, 9].
p
1
t
l
p
2
Rys. 4. Sieć Petriego z łukiem wzbraniającym
Na rys. 4 pozycja p1 jest związana z przejściem t łukiem wzbraniającym o wadze l.
Przejście t może nastąpić, jeś li w p2 znajduje się przynajmniej jeden znacznik, a liczba
znaczników w p1 jest mniejsza od krotności łuku l.
 319
" Sieci priorytetowe
W sieciach priorytetowych zadany jest częściowy porządek w zbiorze przejść T,
interpretowany jako priorytet. Spośród tranzycji, przy danym znakowaniu, wzbudzane
są tylko przejścia o najwyższym priorytecie.
" A
uki probabilistyczne
Wprowadzenie do sieci Petriego łuków probabilistycznych (rys. 5) umożliwia
modelowanie przedsięwzięć o niezdeterminowanej strukturze, tak jak w przypadku
uogólnionych sieci typu GAN. Alternatywne przebiegi realizacji przedsięwzięcia
budowlanego mogą być takż e modelowane poprzez rozstrzyganie sytuacji konflikto-
wych, jak na rys. 3b, na korzyść jednego z przejść, w sposób losowy lub też z
określonym prawdopodobieństwem.
wykonanie
fundamentów
podłoże
dobre
0.7
badanie podłoża 0.3
gruntowego
wzmocnienie
podłoża
podłoze
złe
Rys. 5. Sieć Petriego z łukami probabilistycznymi
4. Model realizacji robót remontowych
Model sieci Petriego odwzorowują cy wykonanie robót remontowych został opracowany
w oparciu o pracę [10] (rys. 6), natomiast rozkłady prawdopodobieństwa czasu trwania
poszczególnych procesów (tab. 1) zostały przyjęte zgodnie z pracą [11]. Każ dej
czynnoś ci przypisano prawdopodobieństwo jej wystą pienia w realizacji pod warunkiem
zaistnienia zdarzenia poprzedzajÄ… cego, jak na rys. 6. W modelu sieci Petriego
zastosowano koncepcję rozstrzygania konfliktów z określonym prawdopodobieństwem,
inaczej niż na rys. 5, gdzie zastosowano łuki probabilistyczne. Model był analizowany
metodą symulacji cyfrowej. W tym celu wykorzystano specjalizowane narzędzie do
analizy sieci Petriego:  Stochastic Petri-Net Simulator Visual Simnet 1.37 opraco-
wany przez Wolfa Garbe (http://ourworld.compuserve.com/ homepages/wolf_garbe/
simnet.html).
Wyniki uzyskane z symulatora wykonanego w języku GPSS PC, przedstawionego
przez M. Miłosza i A. Sobotkę [10] oraz rezultaty symulacji modelu sieci Petriego,
porównane zostały w tab. 2.
320
Tabela 1. Parametry rozkładów czasów realizacji czynności
przy remoncie kamienicy (w dniach)
Lp. Czynność Wyszczególnienie procesów Czas
realizacji
1 1-2 Prace przygotowawcze (odkrywki, badania, 3Ä…0.5
inwentaryzacja)
2 2-3 Prace dokumentacyjne i projektowe 14Ä…10
3 3-4 Prace rozbiórkowe, których wynikiem jest 5ą3
konieczność podjęcia badań dodatkowych
4 i ekspertyz
5 4-5 Badania i ekspertyzy 11Ä…10
6 3-6 Prace rozbiórkowe zakończone 10ą6
6-7 Roboty budowlane wymagające opracowań 14ą10
7 uzupełniających
8 7-8 Uzupełnienia dokumentacji i ekspertyzy 11ą10
6-9 Roboty budowlane kończące remont 35ą20
Tabela 2. Dystrybuanty empiryczne czasu realizacji przedsięwzięcia określone
na podstawie 1000 powtórzeń przebiegu symulacyjnego
Czas realizacji Wartość empirycznej
przedsięwzięcia dystrybuanty %Sn1(x)- Sn2(x)%
[dni] GPSS Sn1(x) PETRI Sn2(x)
do 641 0,302 0,3010 0,001
641 989 0,719 0,6960 0,023
989 1337 0,902 0,8460 0,056
1337 1685 0,965 0,9290 0,036
1685 2033 0,988 0,9650 0,023
2033 2381 0,998 0,9860 0,012
2381 2729 0,999 0,9940 0,005
2729 3077 0,999 0,9950 0,004
3077 3425 0,999 0,9980 0,001
3425 3773 0,999 1,0000 0,001
ponad 3773 1,000 1,0000 0
Na podstawie testu zgodności  Kołmogorowa (na poziomie istotności ą = 0.05 ), nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy, że dystrybuanty rozkłady czasów trwania przedsięwzięcia
generowane przez oba symulatory sÄ… jednakowe (D*= 0.056,  =1.252<  =1.358 ).
Ä…
Liczba niezbędnych powtórzeń spełnia warunek [12]:
2
s (n)
1.65
n
d"0.09 , (1)
X (n)
 321
( X (n) = 912 , s2 (n) = 461) tzn. błąd względny średniej szacowanej z próby czasu trwania
przedsięwzięcia nie przekroczył wartości 10% na poziomie istotności ą = 0.1.
0.6
0.2
t34 t45 0.2
t12 t23 0.3 t69
t36 0.7
t78
0.7
0.3 t67
0.4
0.2
0.4
Rys. 6. Model sieci Petriego robót remontowych
Zakończenie
Stosowanie różnych reguł szeregowania probabilistycznego (FIFO, LIFO itd.) oraz
moż liwość modelowania łączenia i rozmnażania zadań upodabnia modele sieci Petriego do
modeli masowej obsługi. Dynamika modelowanego za pomocą sieci Petriego systemu
opisywana jest zmiennym w czasie wektorem znakowania (ilością znaczników przypisaną
poszczególnym miejscom). Wektor znakowania odpowiada chwilowym długościom kolejek
w modelach sieci kolejkowych [7]. Modele sieci Petriego sÄ… bardziej uniwersalne od modeli
MICROCYCLONE [5]. Sieci Petriego pozwalają także odwzorowywać przedsięwzięcia
budowlane w warunkach niepewności tak jak sieci GAN.W przypadku sieci Petriego
jednolity i czytelny opis graficzny, złożony z niewielkiej liczby elementów, pozwala na
odwzorowanie wszystkich warunków realizacyjnych przedsięwzięcia budowlanego. W
praktyce analiza modelu sieciowego może być wykonana tylko metodą symulacji
komputerowej, a co się z tym wiąże konieczne jest posiadanie odpowiedniego
oprogramowania i dobra znajomość podstaw teoretycznych symulacji cyfrowej.
Literatura
[1] GA
OWACZ L., Analiza układu produkcyjnego w świetle systemów warunkowo-
zdarzeniowych. Konferencja Naukowa Jednostek Jednoimiennych Technologii i Orga-
nizacji Budownictwa TiOB 89. Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Lubelskiej,
Lublin 1989, s. 105-111.
[2] JAWORSKI K.M., BIRUK S., A model of Construction Project Based on Petri Nets
Theory. Archives of Civil Engineering, XLVI, 1, 2000, pp. 71-82.
322
[3] KÖ RNER H., Franz V., Planung und Steuerung komplexer Bauprozesse. Baumaschine
und Bautechnik. Vol. 36, No. 5, 1989, pp. 247-256.
[4] SAWHNEY A., Petri Net Based Simulation of Construction Schedules. Proceedings of
the 1997 Winter Simulation Conference, pp. 1111-1118.
[5] WAKEFIELD R. R., SEARS G. A., Petri Nets for Simulation and Modeling of Con-
struction Systems. Journal of Construction Engineering and Management. Vol. 123,
No. 2, 1997, pp. 105-112.
[6] BANASZAK Z., JAMPOLSKI L., Komputerowo wspomagane modelowanie
elastycznych systemów produkcyjnych. WNT, Warszawa 1991.
[7] DICESARE F., HARHALAKIS G., PROTH J. M., SILVA M., VERNADAT F. B.,
Practice of Petri Nets in Manufacturing. Chapman & Hall, Londyn 1993.
[8] STARKE P. H., Sieci Petri. Podstawy, zastosowania, teoria (tłumaczenie z języka
niemieckiego). PWN, Warszawa 1987.
[9] WROTNY L. T. (red.), Robotyka i elastycznie zaumatyzowana produkcja, T5:
Modelowanie zrobotyzowanych i elastycznych systemów produkcyjnych (tłumaczenie
z j. rosyjskiego). WNT, Warszawa 1991.
[10] BIERNACKI J., CYUNEL B., Metody sieciowe w budownictwie. Arkady 1989.
[11] MIA
OSZ M., SOBOTKA A., Organizacja i zarzÄ…dzanie w budownictwie. Cz IV:
Modelowanie symulacyjne procesów budowlanych. Wydawnictwa Uczelniane
Politechniki Lubelskiej, Lublin 1993.
[12] LAW A. M., KELTON W. D., Simulation Modeling and Analysis. McGraw-Hill 1991.
MODELLING CONSTRUCTION PROJECTS USING PETRI NETS
Summary
The paper introduces a Petri net approach to the modelling of construction projects. It was
demonstrated how to model conditions and decision situations typical of building such as
resources conflicts between parallel processes, probabilistic branches, and random nature of
lead time. The Petri net based model of refurbishment work was presented. It was examined
by simulation method. The obtained results were compared with outcomes from simulator
programmed in GPSS language, which imitated the same project. Petri nets are graphical and
mathematical tool for modelling discrete event dynamic system and can be efficient using in
modelling of construction processes.
PracÄ™ wykonano w ramach projektu badawczego pt.:  Modelowanie struktury techniczno-
organizacyjnej przedsięwzięć budowlanych . Grant Komitetu Badań Naukowych nr:
8 T07E 010 20. 2001-2003.