Względny rachunek opłacalności
inwestycji
DR WALDEMAR ROGOWSKI
[e-mail]
[e-mail]
KATEDRA ANALIZY
DZIAA
ALNOŚCI PRZEDSI
BIORSTWA SGH
� Waldemar Rogowski
Występowanie sprzecznych wskazań kryteriów
decyzyjnych opartych o metodę NPV oraz IRR
mo\
e doprowadzić do podjęcia nieefektywnej
względnej decyzji inwestycyjnej.
Występuje konflikt wyboru
(conflicting ranking).
2
� Waldemar Rogowski
Konflikt wyboru mo\
e pojawiać się w przypadku
porównywania inwestycji ró\
niących się:
1. wielkością niezbędnych nakładów inwestycyjnych (scale problem)
1. wielkością niezbędnych nakładów inwestycyjnych (scale problem)
z
ródłem konfliktu jest więc ró\
na wartość nakładów
inwestycyjnych koniecznych do poniesienia w celu realizacji
porównywanych inestycji,
2. czasowym rozkładem przepływów pienię\
nych netto (timing
2. czasowym rozkładem przepływów pienię\
nych netto (timing
problem),
problem),
konflikt jest spowodowany tym, \
e przepływy pienię\
ne netto obu
inwestycji o ró\
nej wartości, występują w ró\
nych momentach
okresu \
ycia,
3. długością okresu \
ycia porównywanych inwestycji (life problem).
3. długością okresu \
ycia porównywanych inwestycji (life problem).
konflikt jest spowodowany tym, \
e inwestycji funkcjonować i
generować korzyści netto w okresach o ró\
nej długości.
3
� Waldemar Rogowski
Graficzna ilustracja sprzeczności między
wskazaniami metody NPV i IRR w przypadku
względnej oceny opłacalności inwestycji
NPV
Punkt przecięcia P
NPV1 = NPV2
Krzywa NPV
B
przedsięwzięcia 1
Krzywa NPV
A
przedsięwzięcia 2
0 kp IRR1 IRR2 k
ks1 ks2
4
y
ródło: opr. wł.
� Waldemar Rogowski
Porównywane inwestycje mogą, bowiem:
1. mieć ró\
ne co do wartości i rozło\
enia w czasie
przepływy pienię\
ne netto (NCF),
2. wymagać poniesienia nakładów inwestycyjnych o
ró\
nej wartości lub niejednakowo rozło\
onych w
czasie,
3. mieć ró\
ną długość okresu \
ycia,
4. wymagać poniesienia nakładów inwestycyjnych o
ró\
nej wartości oraz posiadać ró\
ny okres \
ycia.
5
� Waldemar Rogowski
Specyficzne przypadki występujące we
względnym rachunku opłacalności inwestycji
Cechy charakterystyczne porównywanych inwestycji
Rozło\
enie w
Specyficzne
Wysokość
czasie i wartość Długość okresu
przypadki
nakładów
przepływów \
ycia inwestycji
inwestycyjnych
pienię\
nych netto
Przypadek
Ró\
ne Taka sama Taki sam
pierwszy
Przypadek drugi Takie samo Ró\
na Taki sam
Przypadek trzeci Takie samo Taka sama Ró\
ny
Przypadek
Takie samo Ró\
na Ró\
ny
czwarty
y
ródło: opr. wł.
6
� Waldemar Rogowski
W przypadku inwestycji o ró\
nej
wartości i ró\
nym rozkładzie w czasie
przepływów pienię\
nych netto, wybór
inwestycji najbardziej opłacalnej
mo\
na oprzeć bezpośrednio na
kryterium decyzyjnym zbudowanym
na
metodzie NPV.
metodzie NPV
7
� Waldemar Rogowski
Za najbardziej opłacalna uznana powinna być
inwestycja generująca największą wartość NPV.
Kryterium decyzyjne stanowiące podstawę
podejmowania względnej decyzji inwestycyjnej
mo\
na w tym przypadku zapisać następującą
formułą:
max (NPVA; NPVB;......NPVZ )
8
� Waldemar Rogowski
Bardzo istotny wpływ na postać kryterium decyzyjnego
a tym samym na podejmowaną decyzję inwestycyjną w
przypadku inwestycji o ró\
nej wartości i o ró\
nym
rozkładzie w czasie przepływów pienię\
nych netto ma
wartość stopy dyskonta wykorzystywana do
wartość stopy dyskonta
dyskontowania NCF.
Zmiana stopy dyskonta mo\
e, bowiem wpłynąć na
zmianę decyzji o wyborze najbardziej opłacalnej
inwestycji - za bardziej opłacalną mo\
e być
uznana inna, ni\
poprzednio inwestycja.
9
� Waldemar Rogowski
Wpływ zmiany stopy dyskonta na zmianę względnej decyzji inwestycyjnej w
przypadku porównywania dwóch inwestycji o ró\
nej wartości i o ró\
nym
rozkładzie w czasie przepływów pienię\
nych netto A i B
N P V
K rzywa N P V
przedsię wzięcia A
N P V
Ak 1
P unkt Fishera
N P V = N P V
A B
N P V
B k 1
K rzywa N P V
przedsię wzięcia B
N P V
B k2
N P V
A k 2
0 k1 kp k2 k
N P VA > N P VB N P V < N P VB
A
y
ródło: opr. w ł.
10
� Waldemar Rogowski
Profile NPV dwóch inwestycji
przecinają się przy stopie dyskonta kp.
Stopa dyskonta kp określana jest jako Cross
Over Rate (stopa przecięcia) lub Punkt
Fishera.
11
� Waldemar Rogowski
Kluczowe znaczenie dla podjęcia
właściwej względnej decyzji
inwestycyjnej w przypadku wyboru
spośród inwestycji o ró\
nej wartości i o
ró\
nym rozło\
eniu w czasie NCF, ma
znajomość wysokości stopy dyskonta
kp.
12
� Waldemar Rogowski
Stopa dyskonta kp mo\
e być
wyznaczana dwoma sposobami:
1. sposobem algebraicznym,
2. sposobem wykorzystującym
koncepcję tzw. inwestycji
przyrostowej.
13
� Waldemar Rogowski
W przypadku oparcia się przy szacowaniu wartości
stopy przecięcia na koncepcji inwestycji przyrostowej
nale\
y w pierwszym kroku oszacować przepływy
pienię\
ne netto tzw. inwestycji przyrostowej
(nadwy\
kowej, ró\
nicowej, dodatkowej - Incremental
Cash Flows).
Przepływy pienię\
ne netto takiej  wirtualnej
inwestycji konstruowane są jako ró\
nica
pomiędzy przepływami pienię\
nymi netto
porównywanych inwestycji.
14
� Waldemar Rogowski
Wartość NPV inwestycji przyrostowej
oznacza dodatkowy przyrost NPV, jaki
firma mo\
e uzyskać poprzez realizację
inwestycji o wy\
szym saldzie NCF lub
korzystniejszym rozkładzie przepływów
pienię\
nych netto w okresie \
ycia (tzn. w
początkowym okresie \
ycia generowane
są wy\
sze dodatnie NCF).
15
� Waldemar Rogowski
Następnie szacowana jest stopa
dyskonta, dla której NPV inwestycji
jest równa zero, czyli NPV obu
analizowanych inwestycji są równe
(NPVA = NPVB).
(NPVA = NPVB).
Stopa ta nosi nazwę wewnętrznej
wewnętrznej
przyrostowej stopy zwrotu IIRR
przyrostowej stopy zwrotu IIRR
(Incremental Internal Rate of Return).
16
� Waldemar Rogowski
Mo\
na, więc sformułować ogólną
zasadę, która brzmi następująco:
wewnętrzna stopa zwrotu IRR
inwestycji przyrostowego
(ró\
nicowego) jest równa stopie
przecięcia kp porównywanych
inwestycji (IIRR = kp).
17
� Waldemar Rogowski
Graficzna ilustracja przypadku gdy przepływy
pienię\
ne netto inwestycji przyrostowej zmieniają
swój znak więcej ni\
jeden raz  inwestycja
przyrostowa jest nietypowa
NPV
A
NPVA > NPVB
NPVA < NPVB
B
NPVA > NPVB
IIRRA IIRRB k
y
ródło: opr. wł.
18
� Waldemar Rogowski
Przykład
Przepływy pienię\
ne netto dwóch inwestycji A i B oraz NCF
inwestycji przyrostowej
NCF Inwestycja przyrostowa
Okres NCF Inwestycja A NCF Inwestycja B
(NCFA - NCFB)
0 -785 -785 0
1 -1590 -1590 0
2 474 643 -169
3 659 827 -168
4 884 1032 -148
5 952 1155 -203
6 1029 1084 -55
7 1350 774 576
8 1440 649 791
y
ródło: opr. wł.
19
� Waldemar Rogowski
W przypadku wyboru najbardziej opłacalnej
inwestycji spośród inwestycji o ró\
nej wartości
o ró\
nej wartości
ponoszonych nakładów inwestycyjnych:
ponoszonych nakładów inwestycyjnych
jako kryterium decyzyjnego nie mo\
na
nie mo\
na
wykorzystać bezpośrednio kryterium
wykorzystać bezpośrednio kryterium
decyzyjnego opartego o metodę NPV
decyzyjnego opartego o metodę NPV
20
� Waldemar Rogowski
Do porównania inwestycji o ró\
nej wysokości
nakładów inwestycyjnych nale\
y zastosować metodę
wskaz
nika wartości zaktualizowanej netto NPVR (Net
NPVR (Net
Present Value Ratio):
Present Value Ratio)
n
NCFt
"
(1+ k)t
NPV
NPVR =t =0 =
n
I
PVI
"
(1+ k)t
t =0
gdzie:
I  całkowite nakłady inwestycyjne
PVI - obecna wartość całkowitych nakładów inwestycyjnych
21
� Waldemar Rogowski
Kryterium decyzyjne oparte o metodę NPVR
wykorzystywane przy podejmowaniu względnej decyzji
inwestycyjnej w przypadku inwestycji o ró\
nej wartości
ponoszonych nakładów inwestycyjnych mo\
na
sformułować następująco:
wybierana jest ta inwestycja, której NPVR jest
największe:
max (NPVRA; NPVRB;......NPVRZ )
22
� Waldemar Rogowski
Metoda NPV nie mo\
e być wykorzystywana
do względnej oceny opłacalności inwestycji,
które mają ró\
ny okres \
ycia.
Nale\
y, bowiem uwzględnić fakt, \
e inwestycje o
krótszym okresie \
ycia mogą być powtórzone
kilkakrotnie, przynosząc łączną NPV wy\
szą ni\

inwestycje o dłu\
szym okresie \
ycia, które mogą być
powtórzone rzadziej.
23
� Waldemar Rogowski
Przykład
Właściwa stopa dyskontowa dla obu inwestycji została
oszacowana na poziomie 15% w skali roku.
Okres Inwestycja A Inwestycja B
0 -1000 -1000
1 1150 700
2 1150 700
3 700
4 700
5 700
6 700
NPV (15%) 870 1649
(FV(NCFA1 i NCFA2)) krei  10% 3367
(PV (NCFA1 i NCFA2)) k = 15% 1456
(NPVA +PV(NCFA1 i NCFA2)) 2325
y
ródło: opr. wł.
24
� Waldemar Rogowski
Konieczna jest więc modyfikacja stosowanego
kryterium względnej oceny opłacalności inwestycji
opartych o metodę NPV.
metodę NPV
W tym celu mo\
liwe jest zastosowanie dwóch
równowa\
nych metod.
łańcuchów wymiany (replacement
łańcuchów wymiany (replacement
chain)
chain)
rocznego ekwiwalentu (EPR)
rocznego ekwiwalentu (EPR)
25
� Waldemar Rogowski
Metoda łańcucha wymiany polega na
wyrównywaniu okresów \
ycia
porównywanych inwestycji, poprzez ich
powtarzanie w określonym czasie, a\
do
momentu, kiedy okresy \
ycia
porównywanych inwestycji będą takie
same.
26
� Waldemar Rogowski
W metodzie łańcucha wymiany zakłada
się, \
e:
powtórzona inwestycja ma taki sam samym
okres \
ycia, co inwestycja pierwotna,
koszty odtworzenia (wysokość nakładów
inwestycyjnych) zostają utrzymane na takim
samym poziomie jak w inwestycji pierwotnej,
odtworzenie majątku będzie dokonywane w
sposób dotychczasowy, nie uwzględniający
zmian w technologii, czy krzywej uczenia się.
27
� Waldemar Rogowski
Warunki te są w praktyce
gospodarczej trudne do
spełnienia szczególnie z uwagi na
znaczące zmiany w technice i
technologii oraz konieczności
coraz szybszego odtwarzania
majątku.
28
� Waldemar Rogowski
Kryterium decyzyjne zbudowane na
metodzie łańcucha wymiany oparte jest
o maksymalizację wartości korzyści
netto.
Wybierana jest ta inwestycja, której łączna
wartość bie\
ąca korzyści netto w
porównywalnym okresie \
ycia jest
największa.
29
� Waldemar Rogowski
Przykład
Inwestycja A z powtórzeniami
Inwestycja A
Okres
Powtórzenie 1 Powtórzenie 2 Powtórzenie 3
0 -1000
1 1150
2 1150 -1000
3 1150
4 1150
-1000
5
1150
6
1150
NPVR(15%) 870 870
870
NPVRd(15%) 870 658
497
NPV z
2024 (870+658+497)
powtórzeniami
y
ródło: opr. wł. 30
� Waldemar Rogowski
Metoda łańcucha wymiany jest
Metoda łańcucha wymiany
praco i czasochłonna szczególnie
w przypadku inwestycji o długim
okresie \
ycia (konieczność
wielokrotnego powtarzania).
31
� Waldemar Rogowski
Metoda ekwiwalentnego przepływu rocznego (EPR)
opiera się na zało\
eniu:
\
e łączna korzyść netto inwestycji w całym okresie
\
ycia wyra\
ona wielkością NPV, jest równowa\
ona
serii stałych płatności (PMT), generowanych w ciągu
całego okresu \
ycia inwestycji.
Metoda ta zakłada, więc, \
e porównywane nie są
NPV analizowanych inwestycji, lecz ich
ekwiwalentny przepływ roczny (Equivalent Annual
ekwiwalentny przepływ roczny
Cash Flow, Net Uniform Series).
32
� Waldemar Rogowski
Graficzna prezentacja metody EPR
EPR1 EPR2 EPR3 EPR4
1/(1 + k)1
PV1
1/(1 + k)2
PV2
1/(1 + k)3
PV3
1/(1 + k)4
Pv
4
NPV
y
ródło: opr. wł.
33
� Waldemar Rogowski
Ekwiwalentny przepływ roczny (EPR) to taka
wartość, która charakteryzuje się tym, \
e wartość
bie\
ąca serii takich przepływów jest dokładnie równa
NPV danej inwestycji, przy czym długość tej serii jest
równa okresowi \
ycia inwestycji.
n
�ł �ł
EPR EPR EPR
�ł
NPV = + ... = EPR�ł
"(1+1k) �ł
1 2 t t
�ł
(1+ k) (1+ k) (1+ k)
t=1
�ł łł
NPV
EPR =
n
1
"
(1+ k)t
t =1
34
� Waldemar Rogowski
Jak łatwo zauwa\
yć wyra\
enie:
n
"(1+1k)
t
t =1
jest to czynnik wartości bie\
ącej renty (Present Value Intrest
czynnik wartości bie\
ącej renty
Factor of Annuity) - PVIFk,t który mo\
na równie\
wyrazić
- PVIFk,t
następującą równowa\
ną formułą:
1
1-
(1+ k)t
PVIFk ,t =
k
gdzie:
k  stopa dyskontowa,
NPV
t  okres \
ycia przedsięwzięcia
EPR =
PVIFk ,t
35
� Waldemar Rogowski
Algorytm szacowania ekwiwalentnego
przepływu rocznego obejmuje dwa etapy:
1. oszacowanie NPV ka\
dej inwestycji,
2. znalezienie stałej wartości
przepływów środków pienię\
nych
netto (ekwiwalentnego przepływu
rocznego) w okresie \
ycia ka\
dej
inwestycji, która ma takie same
wartości bie\
ące jak NPV
inwestycji.
36
� Waldemar Rogowski
Kryterium decyzyjne oparte o metodę EPR
formułuje się w sposób następujący - nale\
y
wybrać tę inwestycję, która ma wy\
szą wartość
EPR.
Stosuje się, więc zasadę maksymalizacji EPR:
max (EPRA; EPRB;......EPRZ )
37
� Waldemar Rogowski
Metoda EPR posiada bardzo du\
ą
Metoda EPR
wadę.
Je\
eli inwestycje są dyskontowane przy
pomocy ró\
nych stóp dyskonta (inwestycje
o ró\
nym poziomie ryzyka) wówczas EPR
nie nadaje się do zastosowania, gdy\
mo\
e
dać błędne wskazanie do podjęcia
względnej decyzji inwestycyjnej.
38
� Waldemar Rogowski
W przypadku podejmowania względnej decyzji
inwestycyjnej w stosunku do inwestycji o:
ró\
nym okresie \
ycia
i ró\
nej wysokości nakładów inwestycyjnych
nale\
y oprzeć względne kryterium decyzyjne na
zmodyfikowanej postaci wskaz
nika NPVR
zmodyfikowanej postaci wskaz
nika NPVR
EPR
MNPVR = gdy kA =kB
PVI
gdzie:
MNPVR  zmodyfikowana postać wskaz
nika NPVR
W liczniku algorytmu NPVR - NPV zastępowane jest EPR
gdy poziom ryzyka porównywanych przedsięwzięć
inwestycyjnych jest taki sam (kA = kB).
39
� Waldemar Rogowski
Kryterium decyzyjne zbudowane w oparciu o
metodę MNPVR mo\
na sformułować w
sposób następujący:
ze zbioru porównywanych inwestycji wybierana
jest ta, której MNPVR jest największe:
max (MNPVRA;MNPVRB;......MNPVRZ )
40
� Waldemar Rogowski
Zestawienie metod względnej opłacalności inwestycji
wraz z odpowiednimi kryteriami decyzyjnymi
Cechy charakterystyczne inwestycji
Postać miernika opłacalności i
Rozło\
enie w czasie Wysokość
formuła kryterium decyzyjnego
i wartość całkowitych Okres \
ycia
przepływów nakładów inwestycji
pienię\
nych netto inwestycyjnych
Miernik NPV
Kryterium decyzyjne oparte na
maksymalizacji NPV
Ró\
ne Taka sama Taki sam
NPVA > NPVB  inwestycja A jest
bardziej opłacalna
Uwaga konieczność wyliczenia
IIRR
Miernik NPVR lub PI
Kryterium decyzyjne oparte na
Takie samo Ró\
na Taki sam maksymalizacji NPVR lub PI
NPVRA > NPVRB  inwestycja A
jest bardziej opłacalna
41
� Waldemar Rogowski
Zestawienie metod względnej opłacalności inwestycji
wraz z odpowiednimi kryteriami decyzyjnymi  c.d.
Cechy charakterystyczne przedsięwzięć inwestycyjnych
Postać miernika opłacalności i
Rozło\
enie w czasie Wysokość
Okres \
ycia
formuła kryterium decyzyjnego
i wartość całkowitych
przedsięwzięcia
przepływów nakładów
inwestycyjnego
pienię\
nych netto inwestycyjnych
gdy: kA= kB: Miernik EPR
Kryterium decyzyjne oparte na
Takie samo Taka same Ró\
ny maksymalizacji EPR
EPRA > EPRB  inwestycja A jest
bardziej opłacalna
gdy: kA= kB: Miernik EPR / PVI
Kryterium decyzyjne oparte na
maksymalizacji EPR / PVI
Takie samo Ró\
na Ró\
ny
(EPR/PVI)A > (EPR/PVI)B 
inwestycja A jest bardziej
opłacalna
y
ródło: opr. wł
42
� Waldemar Rogowski