Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
PODSTAWY AUTOMATYKI 1  ĆWICZENIA - odpowiedzi
lista zadań nr 1
Transformata Laplace a
1. (Korzystając wprost z definicji znalez
ć transformatę Laplace a funkcji)
2 3 2
a. Y(s) =� +� c. Y (s) =�
s2 s s3
1 2 2 1
b. Y(s) =� -� +� d. Y (s) =� +�
s2 s s +� 3 s
2. (Dana jest odpowiedz
na impuls Diraca (funkcja wagi) g(t) . Znalez
ć transmitancję
operatorową G(s) )
2 3 2 2 3
a. G(s) =� -� +� d. G(s) =� +� +�
3 2
s +� 3 s +� 4 s +� 3
(�s +�1)� (�s +� 2)�
3 2 1 2 2
b. G(s) =� +� +� e. G(s) =� +�
s +� 3 s +� 2 s +�1 s +�1 s2 +� 4
4 3 2s
c. G(s) =� +� f. G(s) =�
3 2
s +� 2
(�s +�1)�
(�s2 +�1)�
3. (Dana jest odpowiedz
układu na skok jednostkowy y1(t) . Znalez
ć transmitancję
operatorową G(s) )
4 s
a. G(s) =� c. G(s) =�
2
(�s +�1)�(�s +� 2)�
(�s +�1)� (�s +� 2)�
2s
s e-�2s
b. G(s) =�
d. G(s) =�
2
(�s +� 2)�
s2 +�1
4. (Dana jest transmitancja operatorowa obiektu G(s) . Wyznaczyć odpowiedz
układu na
impuls Diraca (funkcję wagi) g(t) )
a. g(t) =�(�9e-�4t -� 4e-�2t)�1(t) d. g(t) =�(�-�te-�2t +� e-�2t)�1(t)
b. g(t) =�(�7e-�5t -�5e-�4t)�1(t) e. g(t) =�(�-� 7te-�3t -� 2e-�3t +� 3e-�2t)�1(t)
c. g(t) =�(�1+� e-�t)�1(t) f. g(t) =�(�0,5t2e-�t +� 2te-�t)�1(t)
1
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
5. (Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową G(s)
oraz odpowiedz
układu na impuls Diraca (funkcję wagi) g(t) )
s +� 4
g(t) =�(�0,25e-�5t +� 0,75e-�t)�1(t)
a. G(s) =�
(�s +�1)�(�s +� 5)�
4s +� 2
g(t) =�(�-�3e-�2t +� 7e-�4t)�1(t)
b. G(s) =�
(�s +� 2)�(�s +� 4)�
3s +� 2
1 10
ć�
c. G(s) =�
g(t) =� -� e-�t +� e-�4t �� 1(t)
�� ��
(�s +�1)�(�s +� 4)�
3 3
Ł� ł�
6. (Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową
G(s) oraz odpowiedz
układu na skok jednostkowy y1(t) )
1
1 1
ć�
a. G(s) =�
y1(t) =� -� e-�3t �� 1(t)
�� ��
s +� 3
3 3
Ł� ł�
2
y1(t) =�(�1-� e-�2t)�1(t)
b. G(s) =�
s +� 2
1 1 13
s2 +� s +�1 ć�
y1(t) =� -� e-�t +� e-�4t �� 1(t)
c. G(s) =� �� ��
4 3 12
(�s +�1)�(�s +� 4)� Ł� ł�
7. (Znalez
ć transmitancję G(s) czwórnika elektrycznego)
Ts L
a. G(s) =� T =�
Ts +�1 R
1
b. G(s) =� T =� RC
Ts +�1
RCs
c. G(s) =�
LCs2 +� RCs +�1
1-� LCs2
d. G(s) =�
1+� LCs2
2
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
PODSTAWY AUTOMATYKI 1  ĆWICZENIA - odpowiedzi
lista zadań nr 2
Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe układów ciągłych
1. (Wykreślić charakterystykę impulsową obiektów opisanych transmitancją operatorową
G(s) )
2
a. G(s) =� 5 g(t) =� 5d� (t) c. G(s) =� g(t) =� 2 1(t)
s
1 5
b. G(s) =� d. G(s) =�
s +� 2 s(�2s +�1)�
Impulse Response
Impulse Response
1
5
0.9 4.5
0.8 4
0.7 3.5
0.6 3
0.5 2.5
0.4 2
0.3 1.5
0.2 1
0.1 0.5
0 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Time [s] Time [s]
2. (Wykreślić charakterystykę odpowiedzi na skok jednostkowy obiektów opisanych
transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I)
1
a. G(s) =� 5 y1(t) =� 5 b. G(s) =�
s +� 2
Step Response
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Time [s]
3
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
2 5
c. G(s) =� d. G(s) =�
s s(�2s +�1)�
Step Response Step Response
2.5 100
90
2 80
70
1.5 60
50
1 40
30
0.5 20
10
0 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Time [s] Time [s]
3. (Wykreślić charakterystykę amplitudowo  fazową (Nyquista) obiektów opisanych
transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I)
a. G(s) =� 5 punkt o paramatrach Re{�G(�jw�)�}�=� 5 , Im{�G(�jw�)�}�=� 0
1 2
b. G(s) =� c. G(s) =�
s +� 2 s
Nyquist Diagram
Nyquist Diagram
0
0
-0.05
-40
-0.10
-80
-0.15
-120
-0.20
-160
-0.25
-200
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-0.8 -0.4 0 0.4 0.8
Real Axis Real Axis
5
d. G(s) =�
s(�2s +�1)�
Nyquist Diagram
0
-100
-200
-300
-400
-500
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Real Axis
4
Amplitude
Amplitude
Imaginary Axis
Imaginary Axis
Imaginary Axis
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
4. (Wykreślić logarytmiczną charakterystykę amplitudowo  fazową (na karcie Nicholsa)
obiektów opisanych transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I)
a. G(s) =� 5 punkt o paramatrach L(�w�)�=�13,98 dB, arg{�G(�jw�)�}�=� 0
1 2
b. G(s) =� c. G(s) =�
s +� 2 s
Nichols Charts
Nichols Charts
0
80
-10 60
40
-20
20
-30
0
-40
-20
-50
-40
-60
-60
-70
-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
-91 -90 -89
Open-Loop Phase [deg] Open-Loop Phase [deg]
5
d. G(s) =�
s(�2s +�1)�
Nichols Charts
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-180 -160 -140 -120 -100
Open-Loop Phase [deg]
6. (Wyznaczyć transmitancję operatorową G(s) dla układów, których uproszczone
logarytmiczne charakterystyki modułu dane są na rysunkach)
1
a. G(s) =�100(�100s +�1)�
2
(�10s +�1)�
1
2
b. G(s) =�100(�100s +�1)� (�s +�1)�
3
(�10s +�1)�
1
c. G(s) =�10000s (�0,01s +�1)�
2
(�10s +�1)�
d. G(s) =� 10(�1000s +�1)�(� 1 (�s 1
10s +�1)� +�1)�(�0,01s +�1)�
5
Open-Loop Gain [dB]
Open-Loop Gain [dB]
Open-Loop Gain [dB]
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
1 1
e. G(s) =� (�10s +�1)�
0,5
s
(�0,1s +�1)�
1
f. G(s) =� 100(�100s +�1)�(� 1 (�s 1
2
10s +�1)� +�1)�(�0,1s +�1)�
(�0,01s +�1)�
6
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
PODSTAWY AUTOMATYKI 1  ĆWICZENIA - odpowiedzi
lista zadań nr 3
Algebra schematów blokowych układów ciągłych. Uchyby ustalone
1. (Wyznaczyć transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach)
G1 +� G3
G1G2
a. G =�
d. G =�
1+� G1G2
1+� G1G2(�G3 +� G4 )�
b. G =� 1
e. G =� G1G4 +� G2G3G4 +� G2G5
G1 +� G2 +� G3 G1G2G3
c. G =� f. G =�
1+� G2G4 1+� G1G6(�G4 +� G2G5)�
2. (Dana jest transmitancja układu otwartego G12(s) . Obliczyć wartość uchybów położenia,
prędkości i przyspieszenia)
a. ep =� 0,2 ev =� Ą� ea =� Ą� g. ep =� 0 ev =� 0 ea =� 4
b. ep =� 0 ev =� 0,2 ea =� Ą� h. ep =� 0 ev =� 0 ea =� 0
c. ep =� 0 ev =� 0 ea =� 0,2 i. ep =� 0,2 ev =� Ą� ea =� Ą�
d. ep =� 0,5 ev =� Ą� ea =� Ą� j. ep =� 0 ev =� 0 ea =�100
e. ep =� 0,6 ev =� Ą� ea =� Ą� k. ep =� 0,25 ev =� Ą� ea =� Ą�
f. ep =� 0 ev =�1,5 ea =� Ą� l. ep =� 0 ev =� 0 ea =� 0,5
7
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
PODSTAWY AUTOMATYKI 1  ĆWICZENIA - odpowiedzi
lista zadań nr 4
Stabilność układów ciągłych cz.1
1. (Korzystając z kryterium Routh a zbadać stabilność układu o transmitancji podanej poniżej.
Określić liczbę biegunów w prawej i w lewej półpłaszczyz
nie)
a. [5.00 4.00 0.50 -6.00 1.00]T
układ niestabilny: 2 bieguny w prawej półpłaszczyz
nie, 2 bieguny w lewej
b. [1.00 4.00 2.50 0.40 1.00]T
układ stabilny: 0 biegunów w prawej półpłaszczyz
nie, 4 bieguny w lewej
c. [1.00 5.00 6.00 0.1 -6.00]T
wystąpił zerowy element 1-szej kolumny, przyjęto e� =� 0,1
układ niestabilny: 1 biegun w prawej półpłaszczyz
nie, 3 bieguny w lewej
d. [3.00 2.00 -0.50 1.00]T
układ niestabilny: 2 bieguny w prawej półpłaszczyz
nie, 1 biegun w lewej
e. [1.00 2.00 1.00 4.00]T
układ stabilny: 0 biegunów w prawej półpłaszczyz
nie, 3 bieguny w lewej
f. [5.00 1.00 -4.00 1.00]T
układ niestabilny: 2 bieguny w prawej półpłaszczyz
nie, 1 biegun w lewej
2. (Dana jest transmitancja G12(s) układu otwartego (ze sztywnym sprzężeniem zwrotnym).
Wykorzystując kryterium Michajłowa zbadać czy układ zamknięty jest stabilny)
a. niestabilny b. stabilny
2
5
0
0
-2
-4
-5
-6
-10
-8
-10
-15
-12
-14
-20
-16
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2
Real(M)
Real(M)
8
Imag(M)
Imag(M)
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
c. granica stabilności d. stabilny
2 6
1
5
0
4
-1
-2 3
-3
2
-4
1
-5
0
-2 -1 0 1 2 -20 -15 -10 -5 0 5
Real(M) Real(M)
3. (Dana jest transmitancja G12(s) układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista
zbadać czy układ zamknięty jest stabilny)
a. niestabilny b. niestabilny
0.3
0.35
0.2
0.3
0.1
0.25
0
0.2
-0.1
0.15
-0.2
0.1
-0.3
0.05
0
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
Real(G12) Real(G12)
c. niestabilny d. stabilny
10
1000
0
800
-10
-20
600
-30
-40
400
-50
-60
200
-70
-80
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
Real(G12) Real(G12)
4. (Dana jest transmitancja G12(s) układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista
zbadać dla jakiego k układ zamknięty jest stabilny)
a. k < 512 c. k < 240
b. k < 32 d. k < 4
9
Imag(M)
Imag(M)
Imag(G12)
Imag(G12)
Imag(G12)
Imag(G12)
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 1
ODPOWIEDZI
PODSTAWY AUTOMATYKI 1  ĆWICZENIA - odpowiedzi
lista zadań nr 5
Stabilność układów ciągłych cz.2
1. (Dana jest transmitancja G12(s) układu otwartego. Wykorzystując kryterium logarytmiczne
zbadać czy układ zamknięty jest stabilny)
a. układ zamknięty stabilny
w�1 =� 1,732, L(�w�1)�=� -1,16 dB
w�2 =� 1,631, arg{�G12( jw�2)}�=� -�3,06
b. układ zamknięty stabilny
w�1 =� 3,464 , L(�w�1)� =� -�2,144 dB
w�2 =� 3,094 , arg{�G12( jw�2)}�=� -�2,99
c. układ zamknięty niestabilny
w�1 =� 0,573, L(�w�1)�=� +�3,18 dB
w�2 =� 2,236 , arg{�G12( jw�2)}�=� -�12,02
2. (Dana jest transmitancja G12(s) układu otwartego. Obliczyć zapas fazy i wzmocnienia dla
układu zamkniętego)
a. układ. zamknięty stabilny, w�1 =� 1,732, D�KdB =� 6,021 dB, w�2 =� 1,233, D�j� =� 27,1o
b. układ zamknięty stabilny, w�1 =�1,014 , D�KdB =�1,068 dB , w�2 =� 0,866 , D�j� =� 20,8o
c. układ zamknięty stabilny, w�1 =� 6,928 , D�KdB =� 24,08 dB, brak w�2 dla którego G12( jw�2) =�1,
czyli D�j� =� Ą�
d. układ zamknięty stabilny, brak w�1dla którego arg{�G12( jw�2)}�=� -�p� , czyli D�K =� Ą�
brak w�2 dla którego G12( jw�2) =�1, czyli D�j� =� Ą�
10