Elektrotechnika Podstawy Automatyki 2
PODSTAWY AUTOMATYKI 2  ĆWICZENIA
lista zadań nr 1
Transformata Z
1. KorzystajÄ…c wprost z definicji znalez
ć transformatę Z funkcji:
d. f (n) =ð 5n +ð1
a. f (n) =ð 3n
b. f (n) =ð 2n-ð2 e. f (t) =ð e-ð4t1(t)
p
c. f (n) =ð 32n +ð1
f. f (t) =ð et-ðT 1(t)
2. Korzystając z podstawowych własności transformaty, znalez
ć transformatę Z funkcji:
a. f (t) =ð (ð3t +ð8)ð1(t)
d. f (t) =ð 0,5t2 1(t)
b. f (t) =ð (ð-ð t +ð 5)ð1(t)
e. f (t) =ð 5e3t1(t)
c. f (t) =ð t-ð11(t) f. f (t) =ð (ðt +ð 3e-ð4t)ð1(t)
3. Obliczyć odpowiedz
na impuls Diraca, g(n) , dla układu impulsowego o transmitancji:
0,5z +ð 2 z
a. G(z) =ð e. G(z) =ð
z2 +ð 6z +ð 5 z2 +ð1,5z +ð 0,5
5z +ð 2 2z +ð 3
b. G(z) =ð f. G(z) =ð
z2 +ð 6z +ð 8 z2 +ð 9z +ð 20
z +ð 0,5 3z +ð1
c. G(z) =ð g. G(z) =ð
z2 +ð 7z +ð10 z2 +ð 4z +ð 3
4z +ð 2 z +ð1
d. G(z) =ð h. G(z) =ð
2
z2 +ð 8z +ð15
(ðz +ð 2)ð
4. Obliczyć odpowiedz
na skok jednostkowy, y1(n), dla układu impulsowego o transmitancji:
z 2z +ð1
a. G(z) =ð d. G(z) =ð
z -ð 2 z -ð1
1 z
b. G(z) =ð e. G(z) =ð
0,5z -ð1 z2 -ð 5z +ð 6
z -ð1 z +ð 4
c. G(z) =ð f. G(z) =ð
z +ð1 z2 -ð z -ð 2
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 2
5. Dana jest odpowiedz
na impuls Diraca g(n) . Obliczyć transmitancję takiego układu
impulsowego:
a. g(n) =ð 2×ð3n +ð 3×ð2n c. g(n) =ð 2×ð (-ð1)n-ð1 +ð 3×ð (-ð2)n
b. g(n) =ð 5×ð 2n +ð1 g(n) =ð n 3n-ð1
d.
6. Wyznaczyć odpowiednik impulsowy transmitancji układu ciągłego G(s) dla czasu
próbkowania Tp =ð 0,1s .
2s +ð1 1
a. G(s) =ð d. G(s) =ð
s2 +ð 3s +ð 2 s2 -ð 4
s -ð 2 s +ð 4
b. G(s) =ð e. G(s) =ð
s2 +ð 5s +ð 4 s2 +ð 2s
1 1
c. G(s) =ð f. G(s) =ð
s2 +ð 5s +ð 6 s2 +ð 2s +ð1
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 2
PODSTAWY AUTOMATYKI 2  ĆWICZENIA
lista zadań nr 2
Równania różnicowe. Ekstrapolatory
1. Dla układu impulsowego o transmitancji G(z) , zakładając zerowe warunki początkowe,
obliczyć wartość pierwszych pięciu próbek sygnału wyjściowego y(n) , dla sygnału
wejÅ›ciowego u(t) =ð dð (t) .
5 z +ð 2
a. G(z) =ð c. G(z) =ð
z +ð 5 z2 +ð 2z +ð 3
4 z +ð 2
b. G(z) =ð d. G(z) =ð
2z -ð1 2z2 +ð 2z +ð1
2. Znalez
ć równanie różnicowe wiążące sygnały wejściowy i wyjściowy dla układu
impulsowego o transmitancji G(z) , zakładając zerowe warunki początkowe. Obliczyć
wartość próbki sygnaÅ‚u wyjÅ›ciowego y(3) , dla sygnaÅ‚u wejÅ›ciowego u(t) =ð 1(t) .
z +ð1 2
a. G(z) =ð c. G(z) =ð
z2 -ð 6z +ð 5 z +ð10
1 1
b. G(z) =ð d. G(z) =ð
z2 +ð 5z +ð 6 z2 -ð 2
3. Rozwiązać równanie różnicowe dla podanych warunków początkowych.
a. y(n) -ð 4y(n -ð1) =ð 0, y(-ð1) =ð 1
b. y(n) -ð 9y(n -ð 2) =ð 0, y(-ð1) =ð 1,
y(-ð2) =ð 1
c. y(n) -ð 3y(n -ð1) +ð 2y(n -ð 2) =ð 0 , y(-ð1) =ð 2, y(-ð2) =ð 1
d. y(n) -ð 3y(n -ð1) +ð 2y(n -ð 2) =ð 0 , y(-ð1) =ð 3 , y(-ð2) =ð 2
e. y(n) +ð y(n -ð1) -ð 2y(n -ð 2) =ð 0, y(-ð1) =ð 3, y(-ð2) =ð 6
4. Rozwiązać układ równań różnicowych dla podanych warunków początkowych.
x1(n +ð1) 4 -ð 3 x1(n)
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
a.
Ä™ðx (n +ð1)Å›ð =ð Ä™ð2 -ð1Å›ð Ä™ðx (n)Å›ð , x1(0) =ð 2, x2(0) =ð1
ëð 2 ûð ëð ûð ëð 2 ûð
x1(n +ð1) 6 4 x1(n)
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
b.
Ä™ðx (n +ð1)Å›ð =ð Ä™ð Ä™ðx (n)Å›ð , x1(0) =ð 1, x2(0) =ð 2
ûð
ëð 2 ûð ëð-ð 3 -ð1Å›ð ëð 2 ûð
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 2
x1(n +ð1) 4 -ð 3 x1(n)
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
c.
Ä™ðx (n +ð1)Å›ð =ð Ä™ð3 -ð 2Å›ð Ä™ðx (n)Å›ð , x1(0) =ð 3, x2(0) =ð1
ëð 2 ûð ëð ûð ëð 2 ûð
5. Obliczyć transmitancję G(z) obiektu o transmitancji G(s) przy zastosowaniu ekstrapolatora
zerowego rzędu.
1 2
a. G(s) =ð , Tp =ð 1s d. G(s) =ð , Tp =ð 10s
s +ð1 s +ð 5
2 1
b. G(s) =ð , Tp =ð 1s e. G(s) =ð , Tp =ð 1s
s +ð ln(0,5) s2 -ð 3s +ð 2
2 s +ð1
c. G(s) =ð , Tp =ð 0,1s f. G(s) =ð , Tp =ð 1s
s +ð 5 (ðs -ð ln(4))ð(ðs -ð ln(2))ð
6. W układzie jak na rysunku zastosowano ekstrapolator zerowego rzędu. Obliczyć wartości
pierwszych czterech próbek sygnałów odpowiedzi y(n) i błędu e(n) przy pobudzeniu skokiem
jednostkowym (Tp =ð1s ).
GE(s) G0(s)
Tp
1 0,5
a. G0(s) =ð , c. G0(s) =ð ,
s +ð 2 s +ð 4
3 1
b. G0(s) =ð , d. G0(s) =ð ,
3s +ð1 s2 +ð 6s +ð 8
7. W układzie jak na rys. 9.1 zastosowano ekstrapolator zerowego rzędu. Obliczyć wartości
pierwszych pięciu próbek sygnałów odpowiedzi y(n) i przy pobudzeniu skokiem prędkości
(Tp =ð1s ).
1 1
a. G0(s) =ð c. G0(s) =ð
s +ð1 s -ð 2
1 0,5
b. G0(s) =ð d. G0(s) =ð
3s +ð1 2s -ð 3
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 2
PODSTAWY AUTOMATYKI 2  ĆWICZENIA
lista zadań nr 3
Algebra schematów blokowych układów dyskretnych. Uchyby ustalone
1. Wyprowadzić wzór na dyskretną transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach:
a.
Y(s)
U(s) E(s)
G1(s) G2(s)
Tp
-ð
G3(s)
Tp
b.
Y(s)
U(s) E(s)
G1(s) G2(s)
Tp
-ð
G3(s)
2. Wyznaczyć transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach:
a.
1
G1(s) =ð
Y(s)
U(s)
E(s)
s
G1(s)
Tp
-ð
1
G2(s) =ð
s +ð 2
G2(s)
Tp =ð 1
b.
1
G1(s) =ð
U(s) E(s) Y(s)
s -ð ln 2
G1(s)
Tp
-ð
2
G2(s) =ð
s -ð ln 3
G2(s)
Tp
Tp =ð 1
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 2
c.
1
G1(s) =ð
E(s) Y(s)
U(s)
s
G1(s)
Tp
-ð
2
G2(s) =ð
s
G2(s)
Tp =ð 1
d.
1
G1(s) =ð
E(s) Y(s)
U(s)
s -ð ln 2
G1(s)
Tp
-ð
2
G2(s) =ð
s -ð ln 2
G2(s)
Tp =ð 1
3. Dana jest transmitancja układu otwartego G12(z) . Obliczyć wartość uchybów położenia,
prÄ™dkoÅ›ci i przyspieszenia (Tp =ð1s ):
0,5z -ð 0,25
2
f. G12(z) =ð
a. G12(z) =ð
z2 -ð1,5z +ð 0,5
2z -ð1
1
2z2 -ð 0,96z -ð 0,12
b. G12(z) =ð
g. G12(z) =ð
z2 -ð 0,7z -ð 0,9
z3 -ð1,9z2 +ð 0,8z +ð 0,1
5
z2 -ð1,25z +ð 0,625
c. G12(z) =ð
h. G12(z) =ð
z3 -ð1,5z2 +ð 0,75z -ð 5,125
z3 -ð 2,5z2 +ð 2z -ð 0,5
0,2z +ð1
3z2 +ð 0,75z -ð 0,625
d. G12(z) =ð
i. G12(z) =ð
z2 +ð 0,1z -ð1,1
z3 -ð1,5z2 +ð 0,5
-ð 0,4z +ð1
2,3z2 -ð 2,9z +ð1
e. G12(z) =ð
j. G12(z) =ð
z2 +ð 0,1z -ð1,1
z3 -ð 3z2 +ð 3z -ð1
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 2
PODSTAWY AUTOMATYKI 2  ĆWICZENIA
lista zadań nr 4
Stabilność układów dyskretnych
1. Dana jest transmitancja G(z) obiektu. Wykorzystując podstawowy warunek stabilności
układów dyskretnych, zbadać czy układ zamknięty (ze sztywnym sprzężeniem zwrotnym) jest
stabilny.
2 2
a. G(z) =ð c. G(z) =ð
z2 -ð1,3z -ð1,6 z2 -ð1,8z -ð 0,38
2 z +ð 2
b. G(z) =ð d. G(z) =ð
z2 -ð 0,4z -ð1,92 z2 -ð 3z -ð 0,96
2. Korzystając z kryterium Jury ego zbadać stabilność układu o transmitancji:
z +ð 3
2z2 +ð 5z +ð1
a. G(z) =ð
e. G(z) =ð
5z4 +ð 4z3 +ð 3z2 +ð 2z +ð1
4z4 +ð 2z3 +ð 2z2 +ð 2z +ð 2
5
z2 +ð z +ð1
f. G(z) =ð
b. G(z) =ð
5z4 +ð z3 +ð 2z2 +ð 3z +ð 4
2z4 +ð z3 +ð 4z2 +ð 2z +ð1
z +ð 4
3z3 +ð1
g. G(z) =ð
c. G(z) =ð
3z4 -ð 3z3 +ð 2z2 -ð 2z +ð1
3z4 -ð z3 +ð 4z2 -ð 2z +ð 2
2z +ð1
z3 +ð 2z2 +ð1
h. G(z) =ð
d. G(z) =ð
2z4 -ð z3 +ð z2 -ð z +ð1
3z4 +ð 3z3 +ð 2z2 +ð 3z +ð 2
3. Dana jest transmitancja G12(z) układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista
zbadać dla jakiego k ukÅ‚ad zamkniÄ™ty jest niestabilny (ðTp =ð1s)ð.
k 2k
G12(z) =ð d. G12(z) =ð
z +ð 0,5 3z +ð 0,4
a.
k k
G12(z) =ð e. G12(z) =ð
2z +ð 0,2 2z -ð1,8
b.
k 0,1k
G12(z) =ð f. G12(z) =ð
z +ð 0,8 12z +ð 9,6
c.
4. Korzystając z przekształcenia biliniowego zbadać stabilność układu o transmitancji G(z) .
1 1
a. G(z) =ð c. G(z) =ð
z3 +ð z2 +ð z +ð 5 5z3 -ð 2z2 +ð 3z +ð1
2 1
b. G(z) =ð d. G(z) =ð
2z3 +ð 2z2 +ð 3z +ð1 7z3 -ð 3z2 +ð 8z +ð1
Elektrotechnika Podstawy Automatyki 2
PODSTAWY AUTOMATYKI 2  ĆWICZENIA
lista zadań nr 5
Zmienne stanu
1. Korzystając z metody bezpośredniej wyznaczyć równania stanu dla obiektu o transmitancji
G(s) przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych:
2 2s +ð1
a. G(s) =ð c. G(s) =ð
s2 -ð 3s +ð 2 2s2 +ð 4s +ð 6
4 1
b. G(s) =ð d. G(s) =ð
s3 +ð 2s2 +ð 6 s3 +ð s2 +ð 3s +ð 3
2. Korzystając z metody równoległej wyznaczyć równania stanu dla obiektu o transmitancji
G(s) przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych:
1 0,5s +ð 3
a. G(s) =ð c. G(s) =ð
s2 +ð 5s +ð 6 0,5s2 +ð 3s +ð 4
2s +ð1 s +ð10
b. G(s) =ð d. G(s) =ð
s2 +ð 6s +ð 5 (ðs +ð 2)ð(ðs +ð 4)ð(ðs +ð 6)ð
3. Korzystając z metody szeregowej wyznaczyć równania stanu dla obiektu o transmitancji
G(s) przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych:
1 s(ðs -ð 4)ð
a. G(s) =ð c. G(s) =ð
2
(ðs +ð1)ð(ðs +ð 4)ð
(ðs +ð 2)ð
4 s -ð 2
b. G(s) =ð d. G(s) =ð
2s2 +ð 6s +ð 4 s2 (ðs +ð 2)ð
4. Dane są równania stanu:
sX(s) =ð AX(s) +ð BU(s)
Wyznaczyć transmitancję G(s) .
Y(s) =ð CX(s) +ð DU(s)
1 1 0 1 2 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
a. A =ð , B =ð , C =ð [ð1 0]ð, D =ð 0 d. A =ð , , C =ð [ð0 1]ð, D =ð 0
Ä™ð1 1Å›ð Ä™ð1Å›ð Ä™ð3 4Å›ð B =ð Ä™ð2Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
1 2 1 2 2 4
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
b. A =ð , , C =ð [ð1 0]ð, D =ð 0 e. A =ð , , C =ð [ð1 1]ð, D =ð 0
Ä™ð2 1Å›ð B =ð Ä™ð1Å›ð Ä™ð3 3Å›ð B =ð Ä™ð4Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
2 1 1 -ð 2 1 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
c. A =ð , , C =ð [ð1 0]ð, D =ð 0 f. A =ð , B =ð ,C =ð [ð2 2]ð, D =ð 0
Ä™ð1 2Å›ð B =ð Ä™ð0Å›ð Ä™ð Ä™ð2Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð-ð 3 1Å›ð ëð ûð
ûð