Zakres zagadnień
Algebra z geometrią
1 Liczby urojone i jednostka urojona
Ciało liczb zespolonych
2 Liczby zespolone
3 Uniwersalne środowisko obliczeniowe Matlab
Adam Dąbrowski 4 Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
5 Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Politechnika Poznańska
6 Wzór Moivre a
Wydział Informatyki
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
7 Abraham de Moivre i Isaac Newton
Pracownia Układów Elektronicznych i Przetwarzania Sygnałów
8 Pierwiastki liczby zespolonej
27 paz
dziernika 2012
9 Pierwiastki z jedności jako grupa
10 Wzory Eulera i postać wykładnicza liczby zespolonej
11 Logarytmowanie i potęgowanie liczb zespolonych
12 Liczby zespolone w technice: wskazy, koło barw, QAM
13 Barwa jako wskaz
14 Znaczenie liczby Ą w życiu studenckim
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 1 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 2 / 100
Liczby urojone i jednostka urojona Rafael Bombelli
Definicja
Urojonymi nazywa się liczby, których wyniki podniesienia do kwadratu
są ujemnymi liczbami rzeczywistymi.
Jednostką urojoną jest liczba, której kwadrat jest równy -1. Liczbę tę
oznacza się jako i lub jako j
"
i = j = -1 .
My, zgodnie z obyczajem inżynierów elektroników i elektryków, Rafael Bombelli urodził się w 1526 r. w Bolonii we Włoszech a zmarł
będziemy używali oznaczenia j, ponieważ litera i jest zarezerwowana prawdopodobnie w Rzymie w 1572 r. (czyli w wieku zaledwie 46 lat).
do oznaczania natężenia prądu elektrycznego, więc, mimo że jest Bombelli jest autorem wielkiego, niedokończonego dzieła poświęconego
pisana kursywą, może mylić się z oznaczeniem jednostki i. algebrze. Trzy pierwsze tomy opublikował tuż przed śmiercią w 1572 r.
W trzecim tomie zapowiedział następne dwa, ale nie zdążył już ich
dokończyć. Ich rękopisy odnaleziono w Bolonii w 1923 r.
Uwaga
Wielkim osiągnięciem Bombelliego jest odkrycie liczb urojonych
Liczby urojone zdefiniował Rafael Bombelli w dziele z 1572 r.
i zespolonych.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 3 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 4 / 100
Liczby zespolone Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych
Liczby zespolone przedstawia się w następującej tzw. kanonicznej postaci
Rozważmy dwie liczby zespolone
z = a + j � b
przy czym a i b to liczby rzeczywiste. z1 = a + j � b i z2 = c + j � d
Uwaga
Dodawanie w powyższym wzorze należy rozumieć  symbolicznie , bo na
Działania na liczbach zespolonych
prawdę nie da się dodać do siebie obu części liczby zespolonej, tak jak nie
Sumą liczb z1 i z2 jest liczba
da się dodać do siebie pieniędzy w dwóch niewymienialnych wzajemnie
walutach. Liczba zespolona jest więc parą liczb rzeczywistych!
z = z1 + z2 =(a + jb) +(c + jd) =(a + c) +j(b + d)
Liczbę a nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej z i zapisuje
Iloczynem liczb z1 i z2 jest liczba
a = Re z .
z = z1 � z2 =(a + jb) � (c + jd) =(ac - bd) +j(bc + ad)
Liczbę b nazywa się częścią urojoną liczby zespolonej z i zapisuje
b = Im z .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 5 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 6 / 100
Własności dodawania liczb zespolonych Własności mnożenia liczb zespolonych
Dodawanie liczb zespolonych jest
Mnożenie liczb zespolonych jest
przemienne
z1 + z2 = z2 + z1 przemienne
z1 � z2 = z2 � z1
łączne
(z1 + z2) +z3 = z1 +(z2 + z3) łączne
(z1 � z2) � z3 = z1 � (z2 � z3)
elementem neutralnym dodawania jest liczba
rozdzielne względem dodawania
0 = 0 + j0
(z1 + z2) � z3 = z1 � z3 + z2 � z3
elementem przeciwnym względem liczby
elementem neutralnym mnożenia jest liczba
z = a + jb
1 = 1 + j0
jest liczba
-z = -a - jb
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 7 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 8 / 100
Dzielenie liczb zespolonych Liczby zespolone sprzężone
Wykonanie dzielenia liczb zespolonych wymagało pomnożenia licznika
Rozważmy dwie liczby zespolone i mianownika przez liczbę o przeciwnej części urojonej do mianownika.
"
Taką liczbę oznaczamy i nazywamy liczbą sprzężoną.
z1 = a + j � b i z2 = c + j � d = 0

Para liczb sprzężonych z i z"
W celu podzielenia tych liczb należy wykonać następujące przekształcenia
z = a + jb , z" = a - jb
z1 a + j � b
= "
z2 c + j � d
z" = z
(a + jb)(c - jd) (ac + bd) +j (bc - ad)
z + z" =(a + jb) +(a - jb) =2a = 2 Re z
= =
(c + jd)(c - jd) c2 + d2
z - z" =(a + jb) - (a - jb) =j2b = j2 Im z
ac + bd bc - ad
= + j
c2 + d2 c2 + d2
z � z" =(a + jb) � (a - jb) =a2 + b2 = |z|2 = |z"|2 0
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 9 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 10 / 100
Matlab  uniwersalne środowisko obliczeniowe Matlab  laboratorium macierzowe
Główne cechy środowiska programowego Matlab
Nazwa Matlab pochodzi od  matrix laboratory .
Jest to język wysokiego poziomu, w którym polecenia są
interpretowane sekwencyjnie.
Kolejne instrukcje są wpisywane w wierszu specjalnego interaktywnego
okna poleceń ( command window ) na prawo od znaku zachęty >>.
Wykonanie prostych instrukcji następuje po wpisaniu nazwy instrukcji
i naciśnięciu klawisza Enter. Wykonanie pętli bądz
instrukcji
warunkowych (for, while, if, switch) następuje po zamknięciu
bloku instrukcji słowem end i wciśnięciu klawisza Enter.
Ciągi instrukcji można umieszczać w funkcjach lub skryptach,
będących plikami o nazwach [nazwa].m; zawarte w nich instrukcje
można wykonywać, wpisując w linii okna poleceń nazwa i wciskając
Enter.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 11 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 12 / 100
Matlab  deklarowanie zmiennych i przypisywanie wartości Matlab  nazwy zmiennych
Właściwości nazw zmiennych
Nazwy mogą się składać maksymalnie z 31 znaków, znaki powyżej tej
granicy są ignorowane. Rozpoznawane są małe i wielkie litery.
Zadeklarujmy zmienną skalarną x (macierz 1x1) o wartości x = 1
Nazwy muszą się zaczynać od liter, kolejne znaki mogą być literami,
>> x = 1
cyframi lub podkreśleniami:   .
x =
Nazwy nie mogą być słowami kluczowymi języka Matlab: break,
1
case, catch, continue, else, elseif, end, for, function,
>>
global, if, otherwise, persistent, return, switch, try, while.
Jeśli nie życzymy sobie odpowiedzi (echa) ze strony środowiska
Nazwy nie powinny pokrywać się z nazwami funkcji ani zmiennych
Matlab, co może być uciążliwe w przypadku długich bloków danych,
specjalnych środowiska Matlab. Np. deklaracja clear = 4; zablokuje
instrukcję kończymy średnikiem
dostęp do funkcji clear usuwającej wszystkie zmienne z pamięci.
>> x = 1;
Wywołanie clear jedynie spowoduje wyświetlenie:
>>
clear =
4
a wywołanie clear; niczym się nie objawi.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 13 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 14 / 100
Matlab  wybrane zmienne specjalne Przykłady obliczeniowe w środowisku Matlab
>> (2 - j*3) + (5 + j*8)
ans przechowuje wynik ostatnio obliczonego wyrażenia, jeżeli nie był on
ans =
przypisany do żadnej innej zmiennej.
7 + 5i
pi stosunek obwodu koła do jego średnicy, np.:
>> 1*pi >> (2 - j*3) - (5 + j*8)
ans =
ans =
-3 - 11i
3.1416
i, j jednostka urojona, np.:
>> (2 - j*3) * (5 + j*8)
>> sqrt(-1)
ans =
ans = 34 + 1i =(2 � 5 + 3 � 8) +j (2 � 8 - 3 � 5)
0 + 1.0000i
>> conj(2 - j*3)
>> i
ans =
ans =
2 + 3i
0 + 1.0000i
>> 1/(2 - j*3)
>> j
ans =
2 + j3 2 + j3 2 3
ans =
0.15385 + 0.23077i = = = + j
0 + 1.0000i (2 - j3)(2 + j3) 22 + 32 13 13
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 15 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 16 / 100
Liczba zespolona jako punkt na płaszczyz
nie Argument liczby zespolonej
y = Im z
Kąt � spełniający równania
z = x + j y
y
Re z = |z| cos �
|z|
� = arg z x = Re z
Im z = |z| sin �
x
oraz warunek
Liczba zespolona z = x + jy może być interpretowana jako punkt (x, y) na -Ą <� Ą , czyli � " (-Ą, Ą]
tzw. płaszczyz
nie liczb zespolonych, przy czym
nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej z i oznaczamy przez
z = x + jy = |z|(cos � + j sin �)
� = arg z .
Liczba rzeczywista nieujemna |z| określona wzorem
Dowolne rozwiązanie Arg z powyższych równań spełnia warunek

|z| = x2 + y2 = (Re z)2 +(Im z)2
Arg z = arg z + 2kĄ , przy czym k liczba całkowita.
jest nazywana modułem lub wartością bezwzględną liczby zespolonej z.
Arg z jest tzw. argumentem ogólnym liczby zespolonej z.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 17 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 18 / 100
Postać trygonometryczna liczby zespolonej Ilustracja dodawania liczb zespolonych
90
Uwaga 5
>> polar(0,5)
120 60
4 >> hold on
Zapis
z = r(cos � + j sin �)
3
150 30
2
jest nazywany postacią trygonometryczną liczby zespolonej z.
1

180 0
r = |z| = (Re z)2 +(Im z)2
� = Arg z
Im z
210 330
tg � =
Re z

Im z
240 300
arg z = arc tg
Re z
270
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 19 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 20 / 100
Ilustracja dodawania liczb zespolonych Ilustracja dodawania liczb zespolonych
90 90
5 5
>> polar(0,5) >> polar(0,5)
120 60 120 60
4 >> hold on 4 >> hold on
>> z1 = 2 + j*1; >> z1 = 2 + j*1;
3 3
150 30 150 30
>> compass(z1) >> compass(z1)
2 2
>> z2 = 1 + j*3;
1 1
>> compass(z2)
180 0 180 0
210 330 210 330
240 300 240 300
270 270
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 21 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 22 / 100
Ilustracja dodawania liczb zespolonych Iloczyn liczb zespolonych
Rozważmy dwie liczby zespolone
90
5
>> polar(0,5)
z1 = r1(cos �1 + j sin �1) i z2 = r2(cos �2 + j sin �2)
120 60
4 >> hold on
>> z1 = 2 + j*1;
3 Ich iloczyn jest równy
150 30
>> compass(z1)
2
>> z2 = 1 + j*3; z1 � z2 = r1r2(cos �1 + j sin �1)(cos �2 + j sin �2)
1
>> compass(z2)

180 0 >> z = z1 + z2 = r1r2 (cos �1 cos �2 - sin �1 sin �2) +j(sin �1 cos �2 + cos �1 sin �2)
z =

3 + 4i = r1r2 cos(�1 + �2) +j sin(�1 + �2)
>> compass(z, r )
210 330
Mnożenie liczb zespolonych to
240 300
mnożenie modułów i dodawanie argumentów
270
|z1z2| = |z1| � |z2| i Arg z1z2 = Arg z1 + Arg z2
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 23 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 24 / 100
Ilustracja mnożenia liczb zespolonych Ilustracja mnożenia liczb zespolonych
>> polar(0,5) >> polar(0,5)
90 90
5 5
>> hold on >> hold on
120 60 120 60
4 4 >> z1 =
2*(cos(pi/6) +
3 3
150 30 150 30
j*sin(pi/6));
2 2
>> compass(z1)
1 1
180 0 180 0
210 330 210 330
240 300 240 300
270 270
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 25 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 26 / 100
Ilustracja mnożenia liczb zespolonych Ilustracja mnożenia liczb zespolonych
>> polar(0,5) >> polar(0,5)
90 90
5 5
>> hold on >> hold on
120 60 120 60
4 >> z1 = 4 >> z1 =
2*(cos(pi/6) + 2*(cos(pi/6) +
3 3
150 30 150 30
j*sin(pi/6)); j*sin(pi/6));
2 2
>> compass(z1) >> compass(z1)
1 1
>> z2 = >> z2 =
180 0 2.5*(cos(pi/3) + 180 0 2.5*(cos(pi/3) +
j*sin(pi/3)); j*sin(pi/3));
>> compass(z2) >> compass(z2)
>> z = z1*z2
210 330 210 330
(z = j*5)
>> compass(z, r )
240 300 240 300
270 270
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 27 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 28 / 100
Iloraz liczb zespolonych Ilustracja dzielenia liczb zespolonych
Zauważmy wpierw, że
90
1 1
5
>> polar(0,5)
= (cos �2 - j sin �2)
120 60
z2 r2
4 >> hold on
Zatem iloraz pierwszej liczby przez drugą jest równy
3
150 30
z1 1 r1
2
= z1 = (cos �1 + j sin �1)(cos �2 - j sin �2)
z2 z2 r2
1

r1
= (cos �1 cos �2 + sin �1 sin �2) +j(sin �1 cos �2 - cos �1 sin �2)
180 0
r2

r1
= cos(�1 - �2) +j sin(�1 - �2)
r2
210 330
Dzielenie liczb zespolonych to
dzielenie modułów i odejmowanie argumentów
240 300

270
z1 |z1| z1

= i Arg = Arg z1 - Arg z2

z2 |z2| z2
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 29 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 30 / 100
Ilustracja dzielenia liczb zespolonych Ilustracja dzielenia liczb zespolonych
90 90
5 5
>> polar(0,5) >> polar(0,5)
120 60 120 60
4 >> hold on 4 >> hold on
>> z1 = -3 + j*4; >> z1 = -3 + j*4;
3 3
150 30 150 30
>> compass(z1) >> compass(z1)
2 2
>> z2 = j*2.5;
1 1
>> compass(z2)
180 0 180 0
210 330 210 330
240 300 240 300
270 270
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 31 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 32 / 100
Ilustracja dzielenia liczb zespolonych Potęgowanie liczb zespolonych
Potęga naturalna liczb zespolonych to
90
5 potęga modułu i równa wykładnikowi wielokrotność argumentu
>> polar(0,5)
120 60
n
4 >> hold on
zn = r(cos � + j sin �) = rn(cos n� + j sin n�)
>> z1 = -3 + j*4;
3
150 30
>> compass(z1)
2
Wzór Moivre a
>> z2 = j*2.5;
1
>> compass(z2)
(cos � + j sin �)n = cos n� + j sin n�
180 0 >> z = z1/z2
Porównując części rzeczywiste i urojone lewej i prawej strony uzyskujemy
z =
wzory na funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta.
1.6 + 1.2i
>> compass(z, r )
210 330
Wzór Moivre a-Newtona
A
ącząc wzór Moivre a z dwumianem Newtona otrzymuje się
240 300

n

270
n
cos n� + j sin n� = jn-k cosk � sinn-k �
k
k=0
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 33 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 34 / 100
Ilustracja potęgowania liczb zespolonych Ilustracja potęgowania liczb zespolonych
>> p = zeros(200,2); >> p = zeros(400,2);
>> zn = 1; >> zn = 1;
>> z = 1.005*exp(j*0.05); >> z = 1.005*exp(j*0.05);
>> for n = 1 : 200; >> for n = 1 : 400;
zn=zn*z; zn=zn*z;
p(n,1) = real(zn); p(n,1) = real(zn);
p(n,2) = imag(zn); p(n,2) = imag(zn);
end end
>> comet(p(:,1),p(:,2)) >> comet(p(:,1),p(:,2))
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 35 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 36 / 100
Ilustracja potęgowania liczb zespolonych Ilustracja potęgowania liczb zespolonych
>> p = zeros(600,2); >> p = zeros(800,2);
>> zn = 1; >> zn = 1;
>> z = 1.005*exp(j*0.05); >> z = 1.005*exp(j*0.05);
>> for n = 1 : 600; >> for n = 1 : 800;
zn=zn*z; zn=zn*z;
p(n,1) = real(zn); p(n,1) = real(zn);
p(n,2) = imag(zn); p(n,2) = imag(zn);
end end
>> comet(p(:,1),p(:,2)) >> comet(p(:,1),p(:,2))
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 37 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 38 / 100
Ilustracja potęgowania liczb zespolonych Abraham de Moivre
>> p = zeros(1000,2);
>> zn = 1;
>> z = 1.005*exp(j*0.05);
>> for n = 1 : 1000;
zn=zn*z;
Abraham de Moivre urodził się 26. maja 1667 r. w Vitry-le-Fran�ois,
p(n,1) = real(zn);
a zmarł 27. listopada 1754 r. (w wieku 87 lat) w Londynie. W 1730 r.
p(n,2) = imag(zn);
w dziele  Miscellanea analytica opublikował słynny wzór dotyczący
end
potęgowania liczb zespolonych.
>> comet(p(:,1),p(:,2))
Był matematykiem samoukiem. Zajmował się geometrią analityczną,
rachunkiem prawdopodobieństwa, teorią szeregów i liczb zespolonych.
Ze względu na protestanckie (kalwińskie) wyznanie w 1685 r. wyjechał
z Francji do Anglii, gdzie został członkiem Royal Society. Był przyjacielem
Newtona i Halleya.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 39 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 40 / 100
Sir Isaac Newton Pierwiastki liczby zespolonej
Definicja
Pierwiastkami algebraicznymi naturalngo stopnia liczby zespolonej nazywa
się wszystkie liczby zespolone, których potęgi tego stopnia są równe danej
liczbie.
Przykład
Zapis pierwiastka algebraicznego nie jest jednoznaczny i należy odróżniać
Isaac Newton urodził się 4. stycznia 1643 r. w Wollsthorpe, Lincolnshire
go od jednoznacznego zapisu pierwiastka arytmetycznego nieujemnych
(Anglia), zmarł 31. marca 1727 r. w wieku 84 lat.
liczb rzeczywistych, np.
Był angielskim fizykiem, matematykiem, astronomem, filozofem,
historykiem, badaczem Biblii i alchemikiem. W słynnym dziele
pierwiastek pierwiastek
 Philosophia Naturalis Principia Mathemathica (1687 r.) przedstawił
arytmetyczny algebraiczny
prawo powszechnego ciążenia, a także prawa ruchu tworzące podstawy
" " "
4 = 2 , - 4 = -2 4 = ą2
mechaniki klasycznej.
Niezależnie od Gottfrieda Leibniza odkrył i zastosował w matematyce oraz
fizyce (zwłaszcza mechanice) rachunek różniczkowy i całkowy.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 41 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 42 / 100
Pierwiastki liczby zespolonej Ilustracja pierwiastkowania liczb zespolonych
90
1
"
Ą Ą
Twierdzenie 4
120 60
1 = cos( k) +j sin( k)
0.8
2 2
Każda liczba zespolona z ma n pierwiastków n-tego stopnia
k = 0, 1, 2, 3
0.6
"
150 30
n
z . "
0.4
4
1 =
0.2
1 dla k = 0
Wzór na pierwiastki liczby zespolonej
180
0
"
n n
z = r(cos � + j sin �)

"
� 2Ą � 2Ą
n
= r cos + k + j sin + k ,
210 330
n n n n
przy czym
k = 0, 1, . . . , n - 1 240 300
270
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 43 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 44 / 100
Ilustracja pierwiastkowania liczb zespolonych Ilustracja pierwiastkowania liczb zespolonych
90 90
1 1
" "
Ą Ą Ą Ą
4 4
120 60 120 60
1 = cos( k) +j sin( k) 1 = cos( k) +j sin( k)
0.8 0.8
2 2 2 2
k = 0, 1, 2, 3 k = 0, 1, 2, 3
0.6 0.6
150 30 150 30
" "
0.4 0.4
4 4
1 = 1 =
0.2 0.2
1 dla k = 0 1 dla k = 0
j dla k = 1 j dla k = 1
180 0 180 0
-1 dla k = 2
210 330 210 330
240 300 240 300
270 270
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 45 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 46 / 100
Ilustracja pierwiastkowania liczb zespolonych Ilustracja pierwiastkowania liczb zespolonych
90 90
1 1
" "
Ą Ą Ą Ą
4 4
120 60 120 60
1 = cos( k) +j sin( k) 1 = cos( k) +j sin( k)
0.8 0.8
2 2 2 2
k = 0, 1, 2, 3 k = 0, 1, 2, 3
0.6 0.6
150 30 150 30
" "
0.4 0.4
4 4
1 = 1 =
0.2 0.2
1 dla k = 0 1 dla k = 0
j dla k = 1 j dla k = 1
180 0 180 0
-1 dla k = 2 -1 dla k = 2
-j dla k = 3 -j dla k = 3
210 330 210 330
240 300 240 300
270 270
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 47 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 48 / 100
Pierwiastki z jedności jako grupa Szeregi potęgowe Taylora
Każdą funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, analityczną, (tzn.
posiadającą wszystkie pochodne) można rozłożyć w następujący szereg
Zauważmy, że zbiór {r0, r1, r2, r3}, r0 = 1, r1 = j, r2 = -1, r3 = -j potęgowy, nazywany szeregiem Taylora

pierwiastków czwartego stopnia z jedności tworzy (z mnożeniem w ciele
(n)
f (a) f (a)
liczb zespolonych) grupę abelową. Elementem neutralnym jest liczba
f (x) = lim f (a) + (x - a) +. . . + (x - a)n
n"
1! n!
r0 = 1, a elementem przeciwnym do rk, k = 0, 1, 2, 3 jest element
"
o wartości sprzężonej tj. rk = r(-k)mod 4 . Ta grupa jest izomorficzna
z grupą wskaz
ników k z ich dodawaniem modulo 4.
Przykład
Ogólnie, pierwiastki rk, k = 0, 1, . . . , n - 1 równania
W poniższym przykładzie przyjęto wartość a = 0.
zn - 1 = 0
x x2 x3
x
e = 1 + + + + . . .
1! 2! 3!
z mnożeniem w ciele liczb zespolonych tworzą grupę abelową izomorficzną
a na tej podstawie liczbę e możemy okreslić jako równą
z grupą wskaz
ników k z ich dodawaniem modulo n.
1 1 1
1
e = e = 1 + + + + . . . H" 2.718281828459 . . .
1! 2! 3!
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 49 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 50 / 100
Szeregi potęgowe funkcji trygonometrycznych Brook Taylor
Przykłady
Rozważamy dalsze przykłady, w których także przyjęto wartość a = 0. Dla
wygody porównań i spostrzeżenia występujących prawidłowości powtórnie
x
podano rozkład w szereg funkcji e .
x x2 x3
x
e = 1 + + + + . . .
1! 2! 3!
x2 x4 x6
cos x = 1 - + - + . . .
Brook Taylor urodził się 18. sierpnia 1685 r. w Edmonton, (Middlesex)
2! 4! 6!
w Anglii w rodzinie arystokratycznej. Zmarł 30. listopada 1731 r. (w wieku
46 lat).
x3 x5 x7
sin x = x - + - + . . .
Jest znany dzięki osiągnięciom dotyczącym badania szeregów potęgowych
3! 5! 7!
oraz opracowaniu nowej gałęzi matematyki, nazywanej dzisiaj  rachunkiem
różnic skończonych .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 51 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 52 / 100
Te same szeregi potęgowe przy zmiennej urojonej Wzory Eulera
Przykład
W rozważonych poprzednio szeregach potęgowych podstawmy zmienną
Leonard Euler zapisał uzyskany właśnie przez nas wynik w postaci dwóch
urojoną jx. Wówczas otrzymuje się
słynnych wzorów wiążących funkcje trygonometryczne z funkcją
wykładniczą:

x2 x4 x6 x x3 x5 x7
jx
Słynne wzory Eulera
e = 1 - + - + . . . + j - + - + . . .
2! 4! 6! 1! 3! 5! 7!
j� -j�
e + e
cos � = = cosh(j�)
x2 x4 x6
2
cos x = 1 - + - + . . .
2! 4! 6!
j� -j�
e - e 1
x3 x5 x7 sin � = = sinh(j�)
sin x = x - + - + . . . 2j j
3! 5! 7!
czyli
jx
e = cos x + j sin x
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 53 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 54 / 100
Leonhard Euler Funkcje trygonometryczne
Ze wzorów Eulera otrzymuje się
cos jy = cosh(-y) =cosh y
Leonhard Euler urodził się 15. kwietnia 1707 r. w Bazylei (Basel)
oraz
w Szwajcarii, a zmarł 18. września 1783 r. w St. Petersburgu w Rosji. Był
sin jy = -j sinh(-y) =j sinh y
szwajcarskim matematykiem, fizykiem i astronomem, twórcą większości
a także dla liczby zespolonej
działów nowoczesnej matematyki, a zwłaszcza analizy matematycznej.
Ojciec Leonharda chciał, by syn został księdzem, jednakże za namową
z = x + jy
Daniela Bernoullego  znanego matematyka  pozwolił mu porzucić studia
teologiczne i oddać się matematyce, choć poza nią Euler studiował także
cos z = cos(x + jy) =cos x cosh y - j sin x sinh y
medycynę oraz język hebrajski i grekę.
W latach 1730 33 Euler był profesorem fizyki i matematyki w Petersburgu oraz
na zaproszenie Katarzyny I. W 1741 r. został profesorem Akademii Nauk sin z = sin(x + jy) =sin x cosh y + j cos x sinh y
w Berlinie. W 1766 r. wrócił do Petersburga i został do końca życia.
W tym czasie bardzo mu osłabł wzrok i odtąd musiał swe prace dyktować.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 55 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 56 / 100
Postać wykładnicza liczby zespolonej Logarytmowanie i potęgowanie liczb zespolonych
Ze wzorów Eulera wynika następująca wykładnicza postać liczby zespolonej
Na podstawie postaci wykładniczej liczby zespolonej
j�
z = |z|(cos � + j sin �) =|z|e
j� j�
z = |z|e = eln |z|e = eln |z|+j�
Przykład
wnioskujemy, że
Mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych
ln z = ln |z| + j�.
można zapisać w zwarty sposób, stosując postaci wykładnicze tych liczb,
Stąd
np.:
z z2 ln z1 z2(ln |z1|+j�)
z12 = e = e
j�1 j�2
z1 = |z1|e oraz z2 = |z2|e
Ponadto
ln z1 logz2 z1 ln z2 logz2 z1
e = z1 = z2 = e .

j(�1+�1) j(�1-�1)
Zatem
z1 � z2 = |z1| � |z2| e , z1/z2 = |z1|/|z2| e
ln z1
logz2 z1 = .
ln z2
n
j� jn�
zn = |z|e = |z|ne
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 57 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 58 / 100
Kolejne eksperymenty w środowisku Matlab Kolejne eksperymenty w środowisku Matlab
1 1
>> z = j; >> z = j;
0.8 0.8
>> x = z^(0.25); >> x = z^(0.25);
0.6 0.6
>> X(1) =x; >> X(1) =x;
0.4 >> plot(X, b" ) 0.4 >> plot(X, b" )
>> axis([-1 1 - 1 1]) >> axis([-1 1 - 1 1])
0.2 0.2
>> axis square >> axis square
0 0
>> hold on
-0.2 -0.2 >> for k = 2 : 2
X(k) =X(k - 1) " x;
-0.4 -0.4
end
-0.6 -0.6
>> plot(X, b" )
-0.8 -0.8
-1 -1
-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 59 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 60 / 100
Kolejne eksperymenty w środowisku Matlab Kolejne eksperymenty w środowisku Matlab
1 1
>> z = j; >> z = j;
0.8 0.8
>> x = z^(0.25); >> x = z^(0.25);
0.6 0.6
>> X(1) =x; >> X(1) =x;
0.4 >> plot(X, b" ) 0.4 >> plot(X, b" )
>> axis([-1 1 - 1 1]) >> axis([-1 1 - 1 1])
0.2 0.2
>> axis square >> axis square
0 0
>> hold on >> hold on
-0.2 >> for k = 2 : 4 -0.2 >> for k = 2 : 8
X(k) =X(k - 1) " x; X(k) =X(k - 1) " x;
-0.4 -0.4
end end
-0.6 -0.6
>> plot(X, b" ) >> plot(X, b" )
-0.8 -0.8
-1 -1
-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 61 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 62 / 100
Kolejne eksperymenty w środowisku Matlab Kolejne eksperymenty w środowisku Matlab
1 25
>> z = j; >> z = j;
0.8 20
>> x = z^(0.25); >> x = z^(0.25);
0.6 15
>> X(1) =x; >> X(1) =x;
0.4 >> plot(X, b" ) 10 >> plot(X, b" )
>> axis([-1 1 - 1 1]) >> axis([-25 25 - 25 25])
0.2 5
>> axis square >> axis square
0 0
>> hold on >> hold on
-0.2 >> for k = 2 : 16 -5 >> x = 1.05 " x;
X(k) =X(k - 1) " x; >> for k = 2 : 64
-0.4 -10
end X(k) =X(k - 1) " x;
-0.6 -15
>> plot(X, b" ) end
>> plot(X, b" )
-0.8 -20
-1 -25
-1 -0.5 0 0.5 1 -20 -10 0 10 20
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 63 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 64 / 100
Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 65 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 66 / 100
Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 67 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 68 / 100
Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 69 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 70 / 100
Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 71 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 72 / 100
Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 73 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 74 / 100
Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy Liczby zespolone w elektrotechnice  wskazy
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 75 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 76 / 100
Wskaz i odpowiadający mu sygnał Rezystor
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 77 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 78 / 100
Cewka Kondensator
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 79 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 80 / 100
Wykres wskazowy szeregowego obwodu RLC Mało intuicyjne współrzędne RGB koloru
Jak wiemy, kolor jest punktem (wektorem) w trójwymiarowej przestrzeni
kolorów. Na przykład, stosując wygodne technicznie lecz mało intuicyjne
współrzędne (R, G, B) i związane z nimi wektory jednostkowe r, g, b, kolor
c jest określony zależnością
Ą# ń#
R
ó# Ą#
c = Rr + Gg + Bb =[ r g b ] G
Ł# Ś#
B
Uwaga
ograniczoną do sześciennej kostki normalizowanej do boków o długościach
Wskazy nie są wektorami! Poprawna nazwa to wykres wskazowy, nie
255 (w przypadku liczb stałoprzecinkowych) lub 1 (w przypadku liczb
wykres wektorowy.
zmiennoprzecinkowych).
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 81 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 82 / 100
Poszukiwanie intuicyjnych współrzędnych koloru Poszukiwanie intuicyjnych współrzędnych koloru
Poszukując intuicyjnych współrzędnych koloru przekształcamy kostkę RGB Poszukując intuicyjnych współrzędnych koloru przekształcamy kostkę RGB
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 83 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 84 / 100
Przekształcenie RGB HCL Obraz w skali szarości wraz z informacją o barwach
hue (odcień)  atrybut wizualnego postrzegania kolorów, które
Reprezentacja HCL nadaje się do przesyłania obrazu w skali szarości  do
wydają się różnymi odmianami tej samej barwy
tego wystarczą nieujemne liczby rzeczywiste (a nawet całkowite od 0 do
chroma (barwność)  zawartość barwy w odniesieniu od jasności 255) na osi neutralnej względem barw oraz do przesyłania niezależnej
podobnie oświetlonej bieli informacji o barwach: hue (odcień), chroma (barwność)  do tego
potrzebne są już liczby zespolone. Barwność jest modułem liczby
lightness (jaskrawość)  jasność barwy w odniesieniu od jasności
zespolonej a odcień jej argumentem.
podobnie oświetlonej bieli
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 85 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 86 / 100
Koło barw  barwa jako wskaz Koło barw  barwa jako wskaz
Im
Re
Podstawę podwójnego stożka HCL nazywa się kołem barw. Jeśli Podstawę podwójnego stożka HCL nazywa się kołem barw. Jeśli
naniesiemy poziomą oś rzeczywistą i pionową oś urojoną ze środkiem naniesiemy poziomą oś rzeczywistą i pionową oś urojoną ze środkiem
układu współrzędnych w środku koła barw, to leżące na nim liczby układu współrzędnych w środku koła barw, to leżące na nim liczby
zespolone opisują barwy. Możemy je traktować jako wskazy sygnałów zespolone opisują barwy. Możemy je traktować jako wskazy sygnałów
harmonicznych, przenoszących informację o barwach. harmonicznych, przenoszących informację o barwach.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 87 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 88 / 100
Dwie linie obrazu telewizyjnego PAL Pasy kontrolne na ekranie telewizora ery analogowej
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 89 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 90 / 100
Liczby zespolone w telewizji ery cyfrowej (DVB) 8-QAM (quadrature amplitude modulation)
Wybierając 8 różnych liczb zespolonych możemy każdej przypisać zestaw Przedstawiona przykładowo liczba zespolona z = |z|(cos � + j sin �)
3-ch bitów, które są jednocześnie transmitowane. Każdą z tych liczb reprezentująca symbol 110, jest transmitowana za pomocą sygnału
reprezentujemy za pomocą odpowiadającego jej sygnału harmonicznego
|z| cos (�t + �) =|z| cos � cos �t + |z| sin � (- sin �t) =I (t) +Q(t)
w czasie przeznaczonym na transmisję jednego symbolu (w tym przypadku
3-bitowego). Ta technika nosi nazwę 8-QAM.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 91 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 92 / 100
8-QAM (quadrature amplitude modulation) Sygnały 8-QAM
Składowe: I (in-phase, czyli synfazowa) oraz Q (quadrature, czyli
kwadraturowa) są równe
I (t) =|z| cos � cos �t = Re z cos �t
Q(t) =|z| sin � (- sin �t) =-Im z sin �t
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 93 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 94 / 100
Konstelacje 16-QAM i 64-QAM stosowane w DVB Odbiór sygnałów 16-QAM
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 95 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 96 / 100
Ciekawostka  nietypowy sposób zapisu liczby Ą Znaczenie liczby Ą w życiu studenckim
W wyniku wykonania w środowisku Matlab rozkazu
z
>> imag(log(-1))
otrzymuje się
ans =
3.1416
a
czyli liczbę Ą, tj. stosunek obwodu okręgu do jego średnicy.
Wyjaśninie Obliczyć objętość V walca (tym razem z oznacza promień, jest więc
jĄ nieujemną liczbą rzeczywistą). Oczywiście:
Zauważmy, że -1 = e , zatem
V = Ąz2a
jĄ
ln(-1) =ln e = jĄ .
czyli
Liczbę Ą można więc zapisać jako Ą = Im ln (-1) .
V = pi z z a
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 97 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 98 / 100
Znaczenie liczby Ą w życiu studenckim Życzenia na zakończenie
z
j&!t j&!(t-�)
j&!(t+�)
e
e
e
a
Obliczyć objętość V walca (tym razem z oznacza promień, jest więc
nieujemną liczbą rzeczywistą). Oczywiście:
V = Ąz2a
Na zakończenie życzę miłej zabawy podczas
czyli
V = pi z z a
nauki obliczeń w ciele liczb zespolonych!
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 99 / 100 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 100 / 100