Redukcja płaskiego układu wektorów,
redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci
Twierdzenie o redukcji:
Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym
punkcie O i pary o momencie równym momentowi układu względem punktu O .
Dane:
Długości wektorów:
| PA | = 15
Y
B
3
| PB | = 10
| PC | = 18
PB
PD
| PD | = 12
K
2
C
Punkty zaczepienia wektorów:
ą
D
A ( 5,0; 1,0; 0,0 ); B ( 4,0; 3,0; 0,0 )
PA A
1
C ( 1,0; 1,7; 0,0 ); D ( 2,8; 1,3; 0,0 )
PC
Kąt nachylenia wektora PC do osi x
X
O
ą = 56,25�
0
12 34 5
Współrzędne dowolnie przyjętego
punktu K ( 3,0; 2,0; 0,0 )
Rys.1 Dany układ wektorów na płaszczyz
nie x y
1. Obliczenie współrzędnych wektorów PA , PB , PC , PD
PA = ( ax , ay , az ) = (-15,0; 0,0; 0,0 )
PB = ( bx , by , bz ) = ( 0,0; -10,0; 0,0 )
PC = ( cx , cy , cz ) gdzie:
cx = | PC | " cos ą = 18 " cos 56,25� = 10,0
cy = - | PC | " cos(90�-ą) = -18 " sin 56,25� = -14,97
cz = 0,0
PC = ( 10,0; -14,97; 0,0 )
PD = ( 0,0; 12,0; 0,0 )
Uwaga: działania na wektorach przeprowadzamy w tabelach
i tak np. zapis wektora PC = ( 10,0; -14,97; 0,0 )
zastępujemy zapisem wektora w tabeli:
PC
10,0 -14,97
0,0
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 1/6
2. Redukcja danego układu wektorów w punkcie O
2.1. Obliczenie sumy S układu wektorów
S = PA + PB + PC + PD
PA -15,0 0,0 0,0
PB 0,0 -10,0 0,0
PC
10,0 -14,97 0,0
PD 0,0 12,0 0,0
-5,0 -12,97 0,0
S
2.2. Obliczenie momentu MO układu wektorów względem punktu O ( 0, 0, 0 )
MO = MO(PA ) + MO(PB ) + MO(PC ) + MO(PD ) = PA xAO + PBxBO + PCxCO + PDxDO
PA -15,0 0,0 0,0
-5,0 -1,0 0,0
AO
PA xAO 0,0 0,0 15
PB 0,0 -10,0 0,0
-4,0 -3,0 0,0
BO
PBxBO 0,0 0,0 -40,0
PC
10,0 -14,97 0,0
-1,0 -1,7 0,0
CO
PCxCO 0,0 0,0 -31,97
PD 0,0 12,0 0,0
-2,8 -1,3 0,0
DO
PDxDO 0,0 0,0 33,6
MO
0,0 0,0 -23,37
Dany układ wektorów redukuje się w punkcie O do sumy S = ( -5,0; -12,97; 0,0 ) o początku
w punkcie O i pary o momencie MO = ( 0,0; 0,0; -23,37 ) równym momentowi układu względem
punktu O.
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 2/6
3. Redukcja danego układu wektorów w punkcie K
3.1 Obliczenie momentu MK układu wektorów względem punktu K ( 3, 2, 0 )
MK = MK (PA ) + MK (PB ) + MK (PC ) + MK (PD ) = PA xAK + PBxBK + PCxCK + PDxDK
PC
PA -15,0 0,0 0,0 10,0 -14,97 0,0
-2,0 1,0 0,0 2,0 0,3 0,0
CK
AK
PA xAK 0,0 0,0 -15 PCxCK 0,0 0,0 32,94
PB 0,0 -10,0 0,0 PD 0,0 12,0 0,0
-1,0 -1,0 0,0 0,2 0,7 0,0
BK DK
PBxBK 0,0 0,0 -10,0 PDxDK 0,0 0,0 -2,4
MK 0,0 0,0 5,54
3.2. Obliczenie momentu MK układu wektorów względem punktu K ( 3, 2, 0 )
korzystając z twierdzenia o zmianie bieguna
MK = MO + S x OK
MO
0,0 0,0 -23,37
-5,0 -12,97 0,0
S
3 2 0
OK
0,0 0,0 28,91
SxOK
MK 0,0 0,0 5,54
Dany układ wektorów redukuje się w punkcie K do sumy S = ( -5,0; -12,97; 0,0 ) o początku
w punkcie K i pary o momencie MK = ( 0,0; 0,0; 5,54 ) równym momentowi układu względem
punktu K.
4. Obliczenie parametru k układu wektorów
k = MO " S = MK " S = 0
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 3/6
5. Redukcja do najprostszej postaci  redukcja do wypadkowej
5.1. Wyznaczenie parametrycznego równania osi środkowej płaskiego układu wektorów
SxMO
Parametryczne równanie osi środkowej: r (rx , ry ) = + S " t = OO * + S " t
2
S
Y
-5,0 -12,97 0,0
S
1
MO
0,0 0,0 -23,37
X
SxMO 303,109 -116,85 0,0
O
2
S = 5,0 2 + 12,97 2 = 193,22 S
O*
-0,604
-1
SxMO
OO * =
1,569 -0,604 0,0
2
S
-2
W
rx = 1,569 - 5,00 " t
-3
ry = -0,604 - 12,97 " t
dla t = 0,0 O* ( 1,569; -0,604; 0,0 )
oś środkowa
-4 y = 2,594x - 4,674
Po wyrugowaniu t otrzymujemy równanie
-4,674
osi środkowej:
ry = 2,594 " rx - 4,674
Rys.2. Graficzne przedstawienie osi
środkowej na płaszczyz
nie x y
5.2. Obliczenie momentu MO* układu wektorów względem punktu O* ( 1,569; -0,604; 0,0 )
leżącego na osi środkowej korzystając z twierdzenia o zmianie bieguna
MO* = MO + S x OO *
MO
0,0 0,0 -23,37
-5,0 -12,97 0,0
S
1,569 -0,604 0,0
OO*
0,0 0,0 23,37
SxOO *
MO*
0,0 0,0 0,0
Oś środkowa układu wektorów na płaszczyz
nie jest to prosta o tej własności, że moment
układu wektorów względem dowolnego jej punktu jest równy zeru.
Dany płaski układ wektorów redukuje się do wypadkowej W = ( -5,0; -12,97; 0,0 )
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 4/6
1,8
1,569
1
2
5.3. Wyznaczenie osi środkowej (prostej działania wypadkowej) z warunku
równoważności dwóch układów wektorów
Dwa układy wektorów nazywamy równoważnymi, jeżeli mają równe sumy i równe momenty
liczone względem każdego punktu.
Układ wektorów I Układ wektorów II
Suma danego układu wektorów jest różna od zera
Wektor wypadkowej W
S = PA + PB + PC + PD `" 0
Moment układu wektorów wzgl. np. punktu O Moment wektora wypadkowej wzgl. punktu O
MO = MO ( PA , PB , PC , PD ) =
MO = MO ( W) = WxRO `" 0
PA xAO + PBxBO + PCxCO + PDxDO `" 0
Układ wektorów I jest równoważny układowi wektorów II , a zatem
S = W
MO ( PA , PB , PC , PD ) = MO ( W)
Obieramy dowolny punkt R leżący na osi środkowej R ( x, y, 0 )
Obliczamy moment wektora wypadkowej MO ( W) względem punktu O:
-5,0 -12,97 0,0
W
-x -y 0,0
RO
MO ( W) = WxRO 0,0 0,0 5,0 " y -12,97 " x
MO ( PA , PB , PC , PD )
0,0 0,0 -23,37
Porównując odpowiednie współrzędne MO ( PA , PB , PC , PD ) i MO ( W ) otrzymujemy
równanie osi środkowej ( prostej działania wypadkowej ):
5,0 " y -12,97 " x = -23,37
y = 2,594 " x - 4,674
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 5/6
6. Metoda graficzna - redukcja do najprostszej postaci danego płaskiego układu wektorów
- graficzne wyznaczenie wektora wypadkowej
dany wektor na płaszczyz
nie
Y
[ m ]
linie konstrukcyjne
B
3
wektor przesunięty po kierunku jego działania
PB
wektor wypadkowej
oś środkowa
y = 2,594x - 4,674 skala sił
2
10 KN
PD
C
D
PC
PA PA A
1
PB
PD
X
O
0 12 34 5 [ m ]
PC
W = PA + PB + PD + PC
Rys.3. Graficzne wyznaczenie wektora wypadkowej danego układu wektorów na płaszczyz
nie x y
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 6/6
B
+ P
A
P
P
A
+ P
B
+ P
D
P
A
+ P
B
+ P
D
B
W
+ P
A
P